Laboratorio di Didattica dell Analisi Prof. F. Spagnolo. Il problema dell inversione: dal grafico all espressione analitica di una funzione

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1 S.I.S.S.I.S. - Indirizzo 2 Laboratorio di Didattica dell Analisi Prof. F. Spagnolo Il problema dell inversione: dal grafico all espressione analitica di una funzione Erasmo Modica erasmo@galois.it Giovanna Nicotra gionicotra@libero.it 1 Motivazione della scelta Noto che la metacognizione è una delle competenze che maggiormente il processo di insegnamento - apprendimento deve stimolare, la matematica risulta foriera di maggiori spunti. Il concetto di funzione, basilare nello studio dell analisi matematica, è quotidianamente vissuto dal cittadino, seppure in maniera inconscia. Infatti siamo continuamente soggetti alla visione di grafici e tabelle di varia natura che sostanzialmente rappresentano funzioni empiriche e matematiche. Non è un caso che il concetto di funzione compaia per la prima volta in modo ufficiale nel 1906 nel programma specifico di un Istituto Tecnico, a Bergamo. La lettura del grafico di una funzione è oggi uno degli obiettivi significativi e più forti della didattica della matematica marcatamente stimolato dall uso di software didattici specifici e di calcolatrici grafiche. Ciò al fine di evitare che il grafico, nella mente dei giovani futuri cittadini, assuma soltanto la connotazione di fotografia della funzione, idonea a metterne in evidenza, soprattutto dal punto di vista qualitativo, gli aspetti peculiari, dando luogo a un identificazione della funzione con la sua rappresentazione assieme alla mancanza di acquisizione del linguaggio specifico della formalizzazione. In realtà le informazioni contenute in un grafico non sono di immediata lettura e anzi l interpretazione di un grafico risulta abbastanza difficoltosa per un cittadino non consapevole dell importanza dei concetti matematici coinvolti. In linea con quanto finora affermato, molti lavori di didattica della matematica sottolineano che il concetto di funzione, portante nell approccio didattico della matematica nella scuola italiana, risulta tutt altro che chiaro e definito e soprattutto non sia trattato con continuità nelle varie tappe in cui viene presentato. Questa consapevolezza ci ha condotti ad esplorare in due classi di due istituti d istruzione secondaria superiore di indirizzi differenti i processi che portano dalla funzione alle informazioni circa le sue proprietà e quelli che permettono di trarre dal grafico delle informazioni circa la funzione. 1

2 2 Contesto scolastico e formulazione dell ipotesi L esperienza è stata svolta in un quinto anno del Liceo Pedagogico Sociale - Finocchiaro Aprile e in una terza classe del Liceo Scientifico Cannizzaro di Palermo. Al momento della somministrazione dei questionari i discenti avevano già affrontato il concetto di funzione, quello di dominio e di codominio e risolto esercizi circa la determinazione del dominio di una funzione algebrica razionale e irrazionale. Si è ritenuto interessante operare anche in un contesto di Liceo Pedagogico, in quanto le modeste attitudini dei discenti per la disciplina hanno fatto si che essi, di fronte a un problema nuovo, potessero procedere in maniera spontanea, facendo venire fuori i loro modelli spontanei e le loro convinzioni, che spesso risultano essere errate. D altra parte l esperienza al Liceo Scientifico ha consentito di evidenziare la non linearità del processo di insegnamento - apprendimento, cioè è evidente come determinati concetti ripetuti non vengano necessariamente assimilati dai discenti. Sono state somministrate due tipologie di quesiti: quesiti diretti: richiedono di effettuare delle deduzioni logiche, spesso meccaniche (per esempio data una funzione trovarne il dominio); quesiti inversi: richiedono di riflettere sulle procedure che vengono utilizzate nella risoluzione dei quesiti diretti e ripercorrere al contrario i processi logici coinvolti (per esempio dato il grafico di una funzione stabilirne il dominio). È noto che il problema dell inversione è uno dei più complessi per gli allievi che assumono un ruolo non sempre attivo nel processo didattico-educativo. Nel nostro caso gli studenti erano in grado, come detto, di determinare il dominio di una funzione algebrica e di cancellare dal grafico cartesiano le regioni in cui, di certo, non poteva essere rappresentata la funzione, o di tracciare delle rette parallele all asse delle ordinate (che loro stessi chiamano punti proibiti) per indicare il fatto che il grafico della funzione non attraversa tali rette. L uso di tale terminologia imprecisa è giustificata dal fatto che non è stato formalmente definito agli alunni il concetto di asintoto; inoltre le conoscenze relative alle intersezioni con gli assi, al segno di una funzione e alle sue eventuali simmetrie particolari non erano state né approfondite, né formalizzate. È bene sottolineare che il concetto di asintoto è di fondamentale importanza nel processo di inversione, infatti noto il grafico di una funzione, la determinazione della sua rappresentazione analitica scaturisce in maniera più semplice da considerazioni sul numero degli asintoti. Gli studenti non hanno potuto perseguire questa strada e quindi la risoluzione di uno dei quesiti proposti si è presentata molto difficoltosa. Chiarito il quadro della situazione, la domanda che ci si pone è la seguente: saper trarre informazioni su una funzione a partire dalla sua espressione analitica (dominio, segno, intersezioni con gli assi,... ) è condizione sufficiente per poter ricavare delle informazioni circa l espressione analitica di una funzione a partire dal suo grafico? 2

3 3 Questionario somministrato Il questionario proposto è composto da 10 quesiti, i primi 7 maggiormente legati alla prassi didattica del processo diretto (dare definizione, risolvere disequazione,... ). Tale lavoro, ben lungi dal pretendere di rispondere a quale sia la rappresentazione mentale di una funzione negli studenti, si è rivelato un buon banco di prova per gli autori proprio nella fase di stesura del questionario: fissare gli obiettivi e l ipotesi su cui indagare, formulare le richieste in modo chiaro ma sintetico ed organizzarle ha richiesto un analisi ed un acquisizione di consapevolezza. Ciò si è esplicitato quando si è effettuata l analisi a priori come strumento professionale di supporto dell insegnamento che vuole provocare l apprendimento (come spesso usa dire chi si occupa di teoria delle situazioni). 3.1 Quesiti relativi al processo diretto 1. Dare la definizione di dominio di una funzione. 2. Risolvere la disequazione x2 1 x Cosa s intende per positività di una funzione? 4. Cosa faresti per stabilire dove una funzione è positiva? 5. Determinare il dominio della funzione f(x) = x 8 x 2 5x Determinare il dominio della funzione f(x) = x 2+1 x Determinare gli intervalli di positività della funzione f(x) = x 2 x 2 +x 6. Risulta evidente come i quesiti siano disposti secondo la successione definire - fare, come a voler silenziosamente suggerire il percorso da seguire agli studenti. Inoltre sono coinvolte equazioni di primo e di secondo grado che non richiedono particolari abilità di calcolo. Questo tipo di quesiti è certamente risultato più familiare ai discenti in quanto più vicino alla prassi didattica quotidiana: nella terza classe del Liceo Scientifico dopo 10 minuti 7 alunni stavano già lavorando sulla parte successiva. Gli istogrammi riportati mettono in luce una maggiore sicurezza e conoscenza del concetto di dominio di una funzione, mentre il concetto di positività risulta ancora incerto ed assolutamente non acquisito se non meccanicamente (si consideri il quarto quesito). Sembrerebbe anzi che gli alunni del Liceo Scientifico siano a tal proposito più capaci di fornirne la definizione o stabilire la modalità risolutiva, ma un po meno abili a risolvere una disequazione razionale fratta. 3

4 3.2 Quesiti relativi al processo di inversione L obiettivo degli ultimi tre quesiti è quello di far emergere le difficoltà degli studenti circa il problema dell inversione e per tale ragione solamente su di essi è stata effettuata l analisi a - priori 1. Considerato lo stile di apprendimento prevalentemente rielaborativo degli studenti del Liceo Scientifico, si è ritenuto più significativo analizzare le strategie utilizzate dagli studenti del Liceo Pedagogico nella risoluzione dei quesiti proposti. Il primo quesito richiedeva: Dati i seguenti grafici, stabilire il dominio della funzione di cui essi sono la rappresentazione La presenza di due grafici è dettata dall esigenza di voler capire, comparando le risposte date alla stessa tipologia di domanda, se i ragionamenti effettuati dagli studenti erano coerenti oppure totalmente sconnessi. Ciò ha permesso di comprendere, in diversi casi, quale fosse la strategia privilegiata dall allievo in questione. Il comportamento corretto atteso dai discenti di fronte a tale quesito era quello secondo il quale, noto che la conoscenza del dominio di una funzione, utilizzando il loro linguaggio, ci permette di tracciare le rette parallele all asse delle ordinate che non verranno mai attraversate dalla funzione, facessero il ragionamento inverso di eliminare da R i cosiddetti punti proibiti. Per questo quesito abbiamo individuato sei possibili strategie che sono di seguito elencate. Di seguito sono riportate le ulteriori strategie emerse dall analisi a-posteriori dei questionari. 1 Cfr. F. Spagnolo (1998) Insegnare la matematiche nella scuola secondaria, La Nuova Italia, Firenze. 4

5 Si consideri il prodotto cartesiano A S in cui A rappresenta l insieme degli allievi sottoposti al questionario e S l insieme delle situazioni previste sia nell analisi a-priori che in quella a-posteriori. Rappresentiamo i dati rilevati mediante la seguente tabella a doppia entrata, in cui ogni elemento è rappresentato dalla coppia (A i, S j ): Utilizzando il software CHIC 2, è stato ottenuto il seguente grafico delle similarità: 2 Cfr. R. Gras, L analisi implicativa, Quaderni di Ricerca in Didattica, GRIM, n.7 5

6 La similarità tra la sesta e la settima strategia suggerisce che chi non risponde in realtà potrebbe sottendere di non dovere escludere punti dal dominio: l idea intuitiva di continuità di una funzione che può rappresentarsi con un tratto continuo sembra farsi intravedere. Inoltre da tale grafo si evince che individuare correttamente il dominio della funzione attiva competenze analoghe alla ricerca dell intersezione con gli assi: porre uguale a zero la funzione o porre la variabile indipendente uguale a zero inducono qualche riflessione inconscia sulla quantità nulla? Le altre strategie appaiono per il resto poco assimilabili e questo conferma una loro reciproca indipendenza. Il secondo quesito richiedeva: Sapresti trarre, sempre dagli stessi grafici, delle informazioni circa le proprietà della funzione Anche in questo caso, la presenza di due grafici nasce dall esigenza di capire il comportamento del discente di fronte a due situazioni diverse: il primo grafico non presenta simmetrie particolari, mentre il secondo presenta una simmetria rispetto all asse delle ordinate. Per questo quesito abbiamo individuato sei possibili strategie che sono di seguito elencate. Di seguito sono riportate le ulteriori strategie emerse dall analisi a-posteriori dei questionari. Di particolare interesse è la strategia S6 che sembra evidenziare come gli studenti siano rimasti legati alla percezione intuitiva e quotidiana di simmetria, senza aver tradotto in competenza tutto lo studio, effettuato sia alle scuola medie che al biennio delle scuole superiori, relativo alle trasformazioni geometriche nel piano. E evidente che le strategie individuate per il primo dei tre quesiti qui analizzati sono state un po tutte attuate, anzi un buon numero non era stato pensato in fase preliminare; il secondo quesito, per la sua caratteristica di essere aperto, ha attivato le risorse più intuitive e consolidate cosicché, a parte le cospicue risposte non date, chi ha risposto ha fatto uso dell impatto visivo, non ha saputo dare spiegazione (verso la formalizzazione) o addirittura ha utilizzato i primissimi arnesi del mestiere matematico. 6

7 Rappresentiamo i dati rilevati al prodotto cartesiano A S mediante la seguente tabella a doppia entrata: Il grafo delle similarità tra le strategie individuate mette in evidenza quanto sopra affermato, ovvero le uniche strategie adottate non fanno riferimento ad alcun formalismo anzi recuperano significati dalla realtà quotidiana. Infatti l impatto visivo e la simmetria a specchio fanno da sfondo alla terza e alla sesta strategia che l analisi implicativa suggerisce simili. 7

8 Ultimo quesito: Sapresti dire qualcosa circa la rappresentazione analitica della funzione, ovvero sulla forma y = f(x)? Il valore intrinseco di questa domanda è legato a quanto ha motivato tale lavoro: leggere un grafico non vuol dire guardarlo! Per questo quesito abbiamo individuato sei possibili strategie che sono di seguito elencate. Di seguito sono riportate le ulteriori strategie emerse dall analisi a-posteriori dei questionari. Rappresentiamo i dati rilevati al prodotto cartesiano A S mediante la seguente tabella a doppia entrata: 8

9 Solo 2 studenti hanno risposto correttamente dando quindi luogo all inversione che volevamo investigare. Le strategie 8 e 9 possono essere viste come battistrada del percorso che conduce alla soluzione corretta, ma ne sono soltanto i preparativi: questa analogia è evidenziata nel seguente grafo delle similarità seppure quest ultimo non mostra un legame con la prima strategia. Interessante è quanto mostrato in relazione alla quinta e alla settima strategia risolutiva: dalla definizione di funzione fratta nasce l indecisione sul significato della variabile indipendente a denominatore? 4 Analisi del grafo delle implicazioni Per agevolare la lettura del grafo delle implicazioni, riportiamo di seguito le conoscenze/competenze richieste nella risoluzione dei quesiti. 9

10 I primi due quesiti e il quesito cinque non compaiono nel grafo delle implicazioni stampato con parametro 85 (intensità dell implicazione 85%) ottenuto dallo CHIC. Non è presente alcuna doppia implicazione e dunque non sono coinvolte competenze equivalenti nei quesiti proposti. La lettura del grafico ci permette di stabilire che il Q10 implica direttamente o indirettamente il Q6 e il Q7 ma non è implicato, con l intensità considerata, da nessuna variabile. Ciò vuol dire che per poter determinare l espressione analitica di una funzione a partire dal suo grafico, è necessario saperne determinare il dominio e la positività. Il Q9 implica direttamente o indirettamente il Q8, il Q6 e il Q7 e non è implicato da nessuna variabile. Ciò vuol dire che coloro i quali sanno stabilire la simmetria di una funzione a partire da un grafico, sanno anche determinare il dominio di una funzione a partire dal suo grafico. L implicazione da Q3 a Q4 mette in luce come chi sa dare una definizione di positività di una funzione sa anche fornire una procedura operativa per determinarla. Ad un livello di intensità meno significativo abbiamo ottenuto il seguente grafico: 10

11 Dalla sua analisi si evince che il Q10 implica anche, in maniera diretta o indiretta, il Q8, il Q4, il Q2 e il Q5, dandoci informazioni in merito al fatto che chi sa risolvere il Q10, sa risolvere le disequazioni fratte e sa determinare il dominio di una funzione a partire dal suo grafico. Per quanto concerne la positività risultano logicamente connessi i quesiti 3, 4 e 7: non si possono determinare gli intervalli di positività se non si sa quali strumenti adoperare e cosa essa sia; ci saremmo aspettati anche un implicazione con il secondo quesito poiché la risoluzione di una disequazione stimola il concetto di ordinamento e dunque anche di confronto con lo zero. 5 Conclusioni Soltanto il 31% degli studenti è stato in grado di rispondere in maniera adeguata al decimo quesito, ovvero solo questi studenti hanno risposto positivamente al problema dell inversione. Il risultato atteso non si è quindi avuto con una intensità di implicazione significativa, ma è comunque migliore di quello atteso. Infatti ci si aspettava che una percentuale più bassa di discenti fosse in grado di fare considerazioni corrette ai fini della determinazione dell espressione analitica della funzione a partire dal suo grafico. Dall analisi a-posteriori dei questionari sono emerse delle interessantissime questioni in merito al concetto di ordinamento sulla retta reale, ovvero è evidente come alcuni studenti presentino delle grandi lacune nella rappresentazione dei numeri reali su una retta. Eclatanti sono i casi di alcuni intervalli espressi mettendo come estremo sinistro un valore che sia minore dell estremo destro! Questo problema può considerarsi un ottimo spunto per una successiva ricerca che si prefigga come scopo l indagine sulla questione. 11