Università degli studi di Roma Tor Vergata. Dipartimento di Ingegneria Civile e Ingegneria Informatica. Prof. ing. P. Sammarco

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1 Università degli studi di Roma Tor Vergata Dipartimento di Ingegneria Civile e Ingegneria Informatica Prof. ing. P. Sammarco Esercitazioni del corso di Idraulica Anno Accademico

2 Ringraziamenti Dispense redatte con il supporto e contributo di: Dott. ing. S. Michele. Università degli studi di Roma Tor Vergata ; Dott. ing. E. Renzi. University college Dublin; Prof. ing. M. Di Risio. Università degli studi dell Aquila; che l autore ringrazia sentitamente. 1

3 1 Cinematica dei fluidi Riferimenti utili Prof. Ing. P. Sammarco Dipartimento di Ingegneria Civile e Ingegneria Informatica sammarco@ing.uniroma.it Sito ufficiale del corso: Notazione x, y, z: variabili indipendenti i x, i y, i z : terna di versori nel riferimento cartesiano v: vettore velocità a: vettore accelerazione Operatore nabla = x i x + y i y + ( z i z = x, y, ) z Gradiente del campo delle velocità Divergenza del campo delle velocità v = v x x v x y v x z v y x v y y v y z v z x v z y v z z v = v x x + v y y + v z z Rotore del campo delle velocità ( vz v = y v ) ( y vx i x + z z v ) ( z vy i y + x x v ) x i z y

4 P. Sammarco CAPITOLO 1. CINEMATICA DEI FLUIDI Ω, D, L, S: componenti tensoriali del campo delle velocità Φ: potenziale scalare della velocità A, B, C,...: costanti scalari Concetti di base Elemento fluido: Volume di fluido di dimensioni talmente ridotte rispetto al volume del corpo complessivo, che le grandezze fisiche in esso si possono ritenere costanti b(x, t)= grandezza fisica associata ad un elemento fluido che passa in x all istante t Teorema del trasporto in forma locale (derivata sostanziale) ( ) Db Dt = t + v b Teorema del trasporto in forma integrale ( ) D b b dv = Dt V V t + (bv) dv ( ) D Db b dv = Dt Dt + b v dv Esercizi svolti Esercizio n. 1 Dato il seguente campo di velocità V V v = x i x + y i y + z i z 1. Derivare le espressioni della divergenza, del rotore, del gradiente, dell accelerazione e del potenziale di v.. Derivare le espressioni delle componenti tensoriali Ω e D; scomporre quindi D = L + S. Indicare il tipo di rotazione/deformazione connessa al campo di velocità. 3. Indicare se il moto descritto è di tipo isocoro e/o irrotazionale. 4. Valutare se il moto può essere realizzato con un fluido incomprimibile e spiegarne le motivazioni. 1. v = v x x + v y y + v z z = 3. v = v = ( vz y v ) ( y vx i x + z z v ) ( z vy i y + x x v ) x i z = 0. y v x x v x y v x z v y x v y y v y z v z x v z y v z z = = I

5 P. Sammarco CAPITOLO 1. CINEMATICA DEI FLUIDI a = Dv Dt = v t + v v = 0 + [x, y, z] I = x i x + y i y + z i z. Poichè il campo di velocità ammette rotore nullo, può scriversi v = Φ, che espressa per componenti fornisce le seguenti relazioni: v x = Φ x = x v y = Φ y = y. v z = Φ z = z Dall integrazione della prima equazione in x, si ricava Φ(x, y, z) = x + f(y, z), con f(y, z) funzione da determinare. Inserendo l espressione del potenziale appena trovata nella seconda equazione del sistema, si ha Con ciò, il potenziale diventa f y = y f(y, z) = y + g(z). Φ(x, y, z) = x + y + g(z). Sostituendo questa espressione nella terza equazione del sistema, si ottiene Il potenziale quindi è: g (z) = z g(z) = z + c. Φ = x + y + z + c, definito a meno della costante di integrazione arbitraria c. Imponendo che Φ = 0 nell origine (0,0,0), si ottiene in definitiva: Φ = 1 ( x + y + z ).. D = 1 ( v + v T ) = I. Ω = 1 ( v v T ) = 0. L = 1 ( v) I = I. 3 S = D L = 0. Non esistono rotazioni rigide impresse (Ω = 0). La deformazione impressa è una dilatazione (D L). 3. Il moto descritto è irrotazionale. 4. No, per un fulido incomprimibile deve essere v = 0. 4

6 P. Sammarco CAPITOLO 1. CINEMATICA DEI FLUIDI Esercizio n. Dato il seguente campo di velocità v = Ax i x + xz i y + z ln z i z 1. Derivare le espressioni della divergenza, del rotore, del gradiente, dell accelerazione v.. Derivare le espressioni delle componenti tensoriali Ω e D; scomporre quindi D = L + S. Indicare il tipo di rotazione/deformazione connessa al campo di velocità. 3. Indicare se il moto descritto è di tipo isocoro e/o irrotazionale. 4. Valutare se il moto può essere realizzato con un fluido incomprimibile e spiegarne le motivazioni. 1. v = v x x + v y y + v z z v = v = = Ax + ln z + 1. ( vz y v ) ( y vx i x + z z v ) ( z vy i y + x x v ) x i z = x i x + z i z. y v x x v x y v x z v y x v y y v y z v z x v z y v z z = Ax z x ln z + 1. a = Dv Dt = v t + v v = 0 + (Ax, xz, z ln z) I = A x 3 i x + (zax + zx ln z) i y + z ln z(ln z + 1) i z. Ax. D = 1 ( ) v + v T z = 0 0 Ω = 1 ( ) v v T = z 0 z 0 x 0 x. ln z + 1 z 0 0 x. Resta verificato che D + Ω = v. x 0 L = 1 3 ( v) I = 1 (Ax + ln z + 1) I [4Ax (ln z + 1)] z S = D L = z 1 x (Ax + ln z + 1) 3 x 0 0. [ Ax + (ln z + 1)] 3 5

7 P. Sammarco CAPITOLO 1. CINEMATICA DEI FLUIDI Al fluido vengono impresse una rotazione rigida, una dilatazione ed una distorsione. 3. Un moto non irrotazionale. 4. Per un fluido incomprimibile, ρ v = 0 Ax + ln z + 1 = 0, x, z. Ne segue che l equazione di conservazione della massa non è rispettata, qualsiasi valore assuma A. Il moto pertanto non può realizzarsi con fluido incomprimibile. Esercizio n. 3 Le correnti di deriva sono generate dai venti che spirano sulla superficie libera dei mari e degli oceani. Se il vento spira nella direzione i y, la velocità della corrente di deriva alla profondità z è ( π z ) ( π v = V exp cos d 4 + π z ) ( π z ) ( π i x + V exp sin d d 4 + π z ) i y d nel piano (x, y), con l asse z ad esso ortogonale e rivolto verso l alto. La superficie libera del fluido ha equazione z = 0; la profondità del fondale si assume infinita. V e d si esprimono in dipendenza della viscosità del fluido e sono da assumersi note. 1. Derivare le espressioni della divergenza, del rotore, del gradiente, dell accelerazione di v.. Derivare le espressioni delle componenti tensoriali Ω e D; scomporre quindi D = L + S. Indicare il tipo di rotazione/deformazione connessa al campo di velocità. 3. Indicare se il moto descritto è di tipo isocoro e/o irrotazionale. 4. Valutare se il moto può essere realizzato con un fluido incomprimibile e spiegarne le motivazioni. 5. Calcolare la portata per unità di larghezza nelle due direzioni principali x ed y, rispettivamente q x e q y. 6. Che relazione esiste tra portate direzionali della corrente e direzione del vento? 1. v = v x x + v y y + v z z = 0. v = v = ( vz y v ) ( y vx i x + z z v ) ( z vy i y + x x v ) x i z = y = πv ( π z ) { [ D exp sin D = π V ( π z ) [ D exp cos D v x x v x y v x z v y x v y y v y z v z x v z y v z z ( π 4 + π z ) + cos D ( π z ) i x + sin D = πv D exp ( π z D ) ( π 4 + π z )] [ i x + cos D ( π z ) ] i y. D ( 0 0 π z ) ( π z ) sin cos 0 D D ( π 4 + π z ) sin D. ( π 4 + π z )] } i y = D 6

8 P. Sammarco CAPITOLO 1. CINEMATICA DEI FLUIDI a = v t + v v = 0.. D = 1 Ω = 1 ( v + v T ) = ( v v T ) = πv ( π z ) D exp D πv ( π z ) D exp D ( π z ) 0 0 sin ( D π z ) 0 0 cos ( π z ) ( π z ) D. sin cos 0 D D ( π z ) 0 0 sin ( D π z ) 0 0 cos ( π z ) ( π z ) D. sin cos 0 D D L = 0 S D. Al campo di velocità sono connesse rotazione rigida e distorsione. 3. Il moto è di tipo isocoro. 4. Sì. Per un fluido incomprimibile infatti Dρ + ρ v = ρ v = 0. Dt 5. La portata q x attraverso la superficie A x di normale i x (cfr. figura 1.1) è 1 : q x = A x v i x da = 0 v x 1 dz = 0 V exp La portata q y attraverso la superficie A y di normale i y è 1 : q y = A y v i y da = 0 v y 1 dz = 0 ( π z ) ( π cos d 4 + π z ) dz =... = d V exp ( π z ) ( π sin d 4 + π z ) d dz =... = 0. D V π. Figura 1.1: Superficie A x di normale i x per il calcolo della portata q x. Analogo schema vale in direzione y, cambiando i pedici, per il calcolo della portata q y. 6. La corrente ha flusso netto solo in direzione i x, ed è pertanto ortogonale alla direzione i y in cui invece spira il vento. 1 Risolvere l integrale sostituendo w = π z D e integrando due volte per parti. 7

9 P. Sammarco CAPITOLO 1. CINEMATICA DEI FLUIDI Esercizio n. 4 Vortice di Rankine Il moto piano e stazionario di un vortice di raggio r 0 avente centro nell origine degli assi (x, y), è descritto in coordinate polari dalle seguenti espressioni della velocità radiale v r e della velocità tangenziale v θ : v r = 0 v θ = ωr ; 0 r r 0 v r = 0 v θ = r 0 ω r r r 0 Figura 1.: Rappresentazione schematica del vortice dove con ω si è indicata la velocità angolare positiva in senso antiorario (vortice di Rankine). Assumendo il fluido ideale ed incomprimibile si richiede: 1. Scrivere le componenti della velocità in coordinate cartesiane v x (x, y) e v y (x, y).. Determinare in quali parti del dominio il campo delle velocità risulta isocoro ed irrotazionale. 3. Ricavare l espressione della funzione di corrente Ψ(x, y). 4. Discutere l esistenza del potenziale delle velocità Φ(x, y) per 0 r r 0 ed r r Derivare il tensore dei gradienti delle velocità e l accelerazione 6. Derivare le espressioni delle componenti tensoriali Ω e D; scomporre quindi D = L + S. Indicare il tipo di rotazione/deformazione connessa al campo di velocità. 1. v r = 0 r = (x + y ) 0.5 = v x = v θ sin θ = ωy v y = v θ cos θ = ωx ; 0 r r 0 v x = r 0ω sin θ (x + y ) 0.5 = r 0ωy (x + y ) v y = r 0ω cos θ (x + y ) 0.5 = r 0ωx (x + y ) r r 0 8

10 P. Sammarco CAPITOLO 1. CINEMATICA DEI FLUIDI. v = v x x + v y y + v z z v = = 0 x, y Isocoro ovunque. ( vz y v ) ( y vx i x + z z v ) ( z vy i y + x x v ) { x ω ; 0 r r0 Rotazionale i z = y 0 ; r r 0 Irrotazionale. 3. r [0, r 0 ] Integrando la Ψ y Dato che Ψ x si ottiene: Ψ(x, = ωx si ha: f(x) Imponendo Ψ(0, 0) = 0: Ψ x = ωx Ψ y = ωy y) = ωy + f(x). = ωx + cost. Ψ(x, y) = ω(x + y ) Si ottiene quindi il valore della funzione di corrente sul bordo del vortice Ψ(r 0, θ) = ωr 0. r > r 0 Si procede come nel caso precedente: Ψ x = r 0 ωx x + y Ψ y = r 0 ωy x + y Ψ(x, y) = r 0 ω ln(x + y ) Imponendo Ψ(r 0, θ) = ωr 0, si ricava il valore della costante: In definitiva si ottiene: cost. = r 0 ω ln(r 0 ) + f(x) f (x) = 0 f(x) = cost. ωr 0. ( ) r Ψ(x, y) = r 0 ω ln ωr 0 ( ) r e = r 0 ω ln r 0 r 0 9

11 P. Sammarco CAPITOLO 1. CINEMATICA DEI FLUIDI 4. Per 0 r r 0 il moto è rotazionale pertanto non esiste un potenziale scalare; ( y Per r r 0 il moto è irrotazionale ed il potenziale vale: Φ(x, y) = r 0 ω arctan. x) 5. v x v = x v x y v y x v y ; y v x a x = v x x + v v x y y v y a y = v x x + v v y y y 0 r r 0 ; v = [ o ] ω ω 0 ; { ax = ω x a y = ω y r 0 ωxy r 0 ω(y x ) r r 0 ; v = (x + y ) (x + y ) r 0 ω(y x ) (x + y ) r 0 ωxy ; (x + y ) a x = (r 0 ω) x (x + y ) a y = (r 0 ω) y (x + y ) 6. r [0, r 0 ] D = 1 ( v + v T ) = 0 ; L = 1 ( v) = 0 Ω = 1 ( v v T ) = [ o ] ω ω 0 ; { S = D L = 0 Ω 0 Al campo di velocità è connessa una rotazione rigida. r > r 0 4r 0 ωxy r 0 ω(y x ) D = 1 (x + y ) (x + y ) r 0 ω(y x ) (x + y ) 4r 0 ωxy ; Ω = 0 ; L = 0 (x + y ) { S = D L = D Ω = 0 Al campo di velocità è connessa una distorsione. Esercizio n. 5 Il moto piano e stazionario di un campo uniforme diretto secondo l asse delle x positive, con una sorgente nell origine degli assi (x, y), è descritto in coordinate polari dalla seguente funzione di corrente Ψ(r, θ): Φ(r, θ) = Ur sin θ + Qθ π dove U è il modulo della velocità del campo uniforme e Q è la portata emessa dalla sorgente. Si richiede: 10

12 P. Sammarco CAPITOLO 1. CINEMATICA DEI FLUIDI 1. Derivare le espressioni della velocità radiale v r e della velocità tangenziale v θ.. Determinare le coordinate del punto di ristagno dove la velocità si annulla. 3. Ricavare il valore di Ψ nel punto di ristagno. 4. Determinare l equazione della curva Ψ che passa per il punto di ristagno e rappresentarne qualitativamente l andamento nel piano xy. 1. Le espressioni della velocità tangenziale v θ e la velocità radiale v r risultano essere:. Nota la velocità tangenziale si ottiene: v r = 1 Ψ r θ = U cos θ + Q πr v θ = Ψ = U sin θ r v θ = 0 θ = 0 oppure θ = π. Sostituendo nell espressione della velocità radiale, si ha: v r = ±U + Q πr = 0 r = Q πu, ma r deve essere positivo, quindi θ = π. Di conseguenza, le coordinate (x P, y P ) del punto di ristagno sono: x P = Q πu ; y P = Indicando con Ψ P il valore della funzione di corrente nel punto di ristagno, otteniamo: 4. La curva Ψ = Ψ P, si scrive: Ψ(r, θ) = Ur sin θ + Qθ π Ψ P = Q = πx P U. Ur sin θ + πx P Uθ π = πx P U r = x P (θ π). sin θ L andamento della curva Ψ P insieme a quello delle altre funzioni di corrente Ψ = cost. è rappresentato nella figura successiva. Si nota che il punto di ristagno è un punto singolare, perché in corrispondenza di esso, le funzioni di corrente Ψ P si biforcano. Al crescere di x la funzione di corrente Ψ P ha asintoti orizzontali aventi coordinate: y = πx P ; θ 0 y = πx P ; θ π 11

13 P. Sammarco CAPITOLO 1. CINEMATICA DEI FLUIDI Esercizio n. 6 Dato il seguente campo di velocità v = x i x y i y 1. Derivare le espressioni della divergenza, del rotore, del gradiente e dell accelerazione.. Può essere determinato il potenziale delle velocità? Perché? 3. Ricavare le espressioni delle componenti tensoriali Ω e D; scomporre quindi D = L + S. Indicare il tipo di rotazione/deformazione connessa al campo di velocità. 4. Tracciare un grafico qualitativo delle linee di corrente e delle linee equipotenziali. 1. v = 0. v = 0. [ ] 1 0 v =. 0 1 a = Dv Dt = x i x + y i y.. Il campo di moto è irrotazionale ovunque, quindi esiste un potenziale scalare che vale: Imponendo Φ = 0 nell origine, si ha cost = 0 3. D = 1 ( ) [ ] v + v T 1 0 =. 0 1 Φ(x, y) = x y + cost. Ω = 1 ( v v T ) = 0. 1

14 P. Sammarco CAPITOLO 1. CINEMATICA DEI FLUIDI L = 1 ( v) I = 0. S = D L 0. Non esistono rotazioni rigide impresse (Ω = 0). La deformazione impressa è una distorsione. 4. La funzione di corrente Ψ(x, y), ha l espressione: Ψ(x, y) = xy + cost. imponendo Ψ = 0 in (0, 0), si ottiene cost = 0. Di conseguenza, le linee di corrente hanno asintoti coincidenti con gli assi x ed y, e la funzione di corrente ha valore nullo sugli stessi. Le linee equipotenziali invece, presentano due asintoti a 45 gradi. Sui suddetti asintoti, il potenziale ha valore nullo, infatti Φ(0, 0) = 0. Esercizio n. 7 Dato il seguente campo di velocità v = Ax i x + By i y + Cz i z 1. Derivare le espressioni della divergenza, del rotore, del gradiente, dell accelerazione e del potenziale di v.. Derivare le espressioni delle componenti tensoriali Ω e D; scomporre quindi D = L + S. Indicare il tipo di rotazione/deformazione connessa al campo di velocità. 3. Indicare se il moto descritto è di tipo isocoro e/o irrotazionale. 4. Valutare se il moto può essere realizzato con un fluido incomprimibile e spiegarne le motivazioni. 1. v = A + B + C. 13

15 P. Sammarco CAPITOLO 1. CINEMATICA DEI FLUIDI v = 0. A 0 0 v = 0 B C a = A x i x + B y i y + C z i z Φ = 1 ( Ax + By + Cz ).. D v, Ω = 0, L = distorsione. (A + B + C) 3 I, S = D L. Al campo di velocità sono collegate dilatazione e 3. Il moto è irrotazionale, A, B, C. 4. Solo se A + B + C = 0. In tal caso il campo di velocità è a divergenza nulla. Esercizio n.8 Dato il seguente campo di velocità v = A ln x i x + Be y i y 1. Derivare le espressioni della divergenza, del rotore, del gradiente, dell accelerazione e del potenziale di v.. Derivare le espressioni delle componenti tensoriali Ω e D; scomporre quindi D = L + S. Indicare il tipo di rotazione/deformazione connessa al campo di velocità. 3. Indicare se il moto descritto è di tipo isocoro e/o irrotazionale. 4. Valutare se il moto può essere realizzato con un fluido incomprimibile e spiegarne le motivazioni. 1. v = A x Be y. v = 0. A v = 0 x. 0 Be y a = A ln x x i x B e y i y i z Φ = Ax(ln x 1) Be y + c. A. D = 0 x Ω = 0. 0 Be y 14

16 P. Sammarco CAPITOLO 1. CINEMATICA DEI FLUIDI L = 1 1 S = ( ) A x Be y I. ( ) A x + Be y Dilatazione e distorsione. 3. Il moto è irrotazionale ( ) A x +. Be y 4. No (ad esclusione della soluzione banale A = B = 0), perché v = 0 non è verificata su tutto il dominio fluido (x, y, z). Esercizio n. 9 Per le onde superficiali di piccola ampiezza monodimensionali, l espressione del potenziale nel dominio fluido (x, y, z) è: Φ(x, z) = ga cosh(k(z + h)) sin(kx ωt), ω cosh(kh) con ω pulsazione dell onda, k numero d onda, A ampiezza dell onda, h profondità del fondale, tutte costanti da assumersi note. g è l accelerazione di gravità e cosh(x) = ex + e x, sinh(x) = ex e x. Si richiede: 1. Calcolare il laplaciano del potenziale, Φ.. Nell ipotesi di moto irrotazionale, calcolare le componenti del vettore velocità v. 3. Calcolare le componenti del vettore velocità in superficie (z = 0) e sul fondale (z = h). Commentare i risultati ottenuti. 4. Verificare che il rotore della velocità sia nullo su tutto il dominio fluido. 5. Calcolare la divergenza del vettore velocità. Che tipo di moto descrive v? 1. Φ = 0.. v x = ga ω k cosh(k(z + h)) cosh(kh) cos(kx ωt), v y = 0, v z = ga ω k sinh(k(z + h)) cosh(kh) sin(kx ωt). 3. Per z = 0, v = ga ω k [cos(kx ωt) i x + tanh(kh) sin(kx ωt) i z ]. Per z = h, v = ga ω k 1 cosh(kh) cos(kx ωt) i x. La componente orizzontale della velocità sul fondale si riduce di 1/ cosh(kh) rispetto al valore che assume in superficie. La componente verticale di velocità si annulla sul fondale. 4. v = v = 0, il moto è isocoro. 15

17 Statica dei fluidi Nozioni fondamentali Equazione indefinita della statica dei fluidi: ρf = p Equilibrio nel campo del geopotenziale: p z = ρg Distribuzione idrostatica delle pressioni in un fluido a densità costante p p 0 = γ(z z 0 ) ovvero la quantità h = z + p γ = cost. in tutti i punti della massa fluida. Forze idrostatiche contro superficie piana: F = γζ g Ω ζ g : affondamento del baricentro della superficie. Forze idrostatiche contro superfici gobbe: G + Π = 0 oppure: F n = (p x, p y ) n da F n : forza risultante della distribuzione idrostatica delle pressioni sulla superficie A di normale n. A 16

18 P. Sammarco CAPITOLO. STATICA DEI FLUIDI Esercizi svolti Esercizio n. 1 In un contenitore da laboratorio di profondità h è stato immesso un fluido la cui densità varia secondo la seguente legge: ( ρ = ρ α ζ ) h dove ζ è l affondamento a partire dalla superficie libera, α è un parametro noto, ρ 0 è la densità dell acqua in condizioni di riferimento, pari a 1000 kg m Partendo dall equazione indefinita della statica, derivare la distribuzione della pressione in seno al fluido.. L assetto del fluido può definirsi barotropico? 3. Un corpo a sezione rettangolare di altezza a, larghezza b e densità ρ b viene immesso nel contenitore. Derivare la profondità di affondamento d per la quale il corpo è in equilibrio 1. L equazione indefinita della statica ρ f p = 0 proiettata sugli assi x e y fornisce p x = p y = 0 p = p(z). La proiezione della stessa equazione indefinita sull asse z è pertanto: ( dp dz = ρg = ρ 0g 1 + α ζ ) = ρ 0 g (α z ) h h 1, in cui è stato usato z = ζ. La soluzione dell equazione differenziale tra z (ove p = p(z)) e 0 (ove p = p atm ), insieme con il cambio di coordinate sopra indicato, fornisce ( p p atm = ρ 0 gζ 1 + α ζ ). h 17

19 P. Sammarco CAPITOLO. STATICA DEI FLUIDI. Sì. Infatti le superfici isobare sono quelle per cui ζ = 0, ovvero piani orizzontali e coincidono con le superfici isopicnotiche. Pertanto, fissato ζ, risultano univocamente determinate p e ρ. Esiste quindi un legame diretto tra densità e pressione, f(ρ, p) = Per l equilibrio del corpo alla traslazione verticale, il peso P b = ρ b g a b dello stesso deve eguagliare il peso del volume fluido spostato: Dall eguaglianza P b = P V la cui radice positiva è. Esercizio n. P V = ρg dv = V z=0 z= d si ottiene quindi ρ 0 g (1 + α ζh ) ( b dz = ρ 0 g b d α d ) h + 1. d + h α d ρ b ρ 0 h α a = 0, d = h a [ ρ b α a ] ρ 0 h Una paratoia verticale difende un bacino di acqua dolce (altezza a, densità ρ), galleggiante su uno strato di acqua di mare (altezza b, densità ρ m ) dalle oscillazioni di marea. 1. Calcolare l altezza h del mare per la quale le spinte orizzontali lato mare e lato bacino sono in equilibrio.. Calcolare l altezza h per la quale i momenti delle spinte orizzontali rispetto al piede della paratoia sono in equilibrio. 1. Si consideri l equilibrio della paratoia a traslazione orizzontale. Con riferimento alla figura.1, l equilibrio alla traslazione in direzione x si scrive Π 1 = Π + Π 3 + Π 4, che fornisce: ρ m g h = ρ g a + ρ g a b + ρ m g b. Risolvendo l equazione rispetto ad h, si ottiene: ( ρ h = a ρ 1 + b ) + b m a. 18

20 P. Sammarco CAPITOLO. STATICA DEI FLUIDI Figura.1: Schema per il calcolo di forze e momenti agenti sulla paratoia. L equilibrio a rotazione intorno al polo O situato alla base della paratoia si scrive: b Π (b + a/3) + Π 3 + Π b 4 3 = Π h 1 3. Sostituendo le forze Π i, prima calcolate, nell espressione precedente e risolvendo rispetto ad h si ottiene: h = 3 3 ρ [a ρ b + 13 ] a + ab + b 3. m Esercizio n. 3 Lo schema in figura mostra un cassone di peso P e larghezza B che divide il piano in due regioni distinte. A sinistra sono presenti due strati di fluido di peso specifico diverso γ o e γ w rispettivamente di altezza h 1 e h. A destra è presente un unico fluido di densità γ w di altezza h 3. Il piano di imposta è costituito da materiale impermeabile per cui è possibile trascurare gli effetti di filtrazione al di sotto del cassone (assenza di sottospinte) caratterizzato da un elevato coefficiente di attrito (il cassone è stabile all traslazione orizzontale). Determinare: 1. La forza totale orizzontale F x agente sul cassone in funzione di γ o, γ w, h 1, h e h 3. il peso P min del cassone affinchè esso non si ribalti in funzione di γ o, γ w, h 1, h, h 3 e B Nel caso in cui h = h 1 = h, h 3 = h, γ o = 6/7 γ w, B = h, P = γ w Bh, il cassone si ribalta verso destra, verso sinistra oppure è stabile al ribaltamento? Perchè? 1. Utilizzando uno schema simile a quello dell Esercizio, la risultante orizzontale delle pressioni sul cassone per metro di profondità si scrive: [ F h = ρ 0 g h 1 + h + ρ ( ) w h ρ ( ) ] w h3. h 1 ρ 0 h 1 ρ 0 h 1 Oss. Se h = h 1 = h, h 3 = h e ρ 0 = ρ w, la forza F h, come ci si attende, è nulla. Si noti che, al variare dei dati iniziali, il vettore F h i x può puntare verso destra (F x > 0) oppure verso sinistra (F x < 0). 19

21 P. Sammarco CAPITOLO. STATICA DEI FLUIDI. Per l equilibrio a rotazione occorre distinguere tra i due casi F h > 0. In questo caso il ribaltamento, se c è, avviene rispetto al polo O situato nel vertice inferiore destro del cassone. Le forze agenti a sinistra del cassone generano pertanto un momento ribaltante M r, al quale si oppone il momento stabilizzante M s dato dal peso P O del cassone (con braccio B/) e dalla risultante delle pressioni agenti a sinistra dello stesso. Imponendo l equilibrio a rotazione intorno ad O (cfr. Esercizio ), si ottiene: { P O = ρ 0g h 3 1 B 3 + h ( ) [ h + + ρ (h ) 3 ( ) ]} 3 w h3. h 1 h 1 3ρ 0 h 1 h 1 F h < 0. In questo caso il ribaltamento, se c è, avviene rispetto al polo O situato nel vertice inferiore sinistro del cassone. Le forze agenti a sinistra del cassone generano pertanto un momento stabilizzante M s. Il momento dato dal peso P O del cassone (con braccio B/) è anch esso stabilizzante. Il momento ribaltante M r è dato invece soltanto dalla risultante delle pressioni agenti a sinistra del cassone. Imponendo l equilibrio a rotazione intorno ad O si ottiene: P O = ρ 0g h 3 B { h h 1 + ( h h 1 ) + ρ w 3ρ 0 [ (h ) 3 h 1 ( h3 h 1 ) 3 ]} Il peso P min del cassone deve garantire l equilibrio a rotazione in entrambi i casi, non essendo noti a priori i valori di h 1, h, h 3, ρ 0, ρ w e quindi neanche il verso di F h i x. Risulta quindi P min = max {P O, P O }. Oss. Se h = h 1 = h, h 3 = h e ρ 0 = ρ w, il peso minimo del masso per assicurare l equilibrio è nullo, essendo nulla l azione F h. 3. Con i dati assegnati, si ha F h = 3 14 ρ 0g h < 0, pertanto il ribaltamento, se c è, può avvenire solo intorno al polo O. Per evitare il ribaltamento, occorre che P P min = P O. Sostituendo i valori nei rispettivi campi, si ottiene 1 che è soddisfatta. Dunque non si verifica ribaltamento per i dati 9 assegnati. Esercizio n. 4 Si consideri la paratoia cilindrica a sezione circolare di tenuta di una diga artificiale (cfr. figura). La paratoia è costituita da un tubo di acciaio di raggio R, spessore s R e densità ρ s. Il contatto della paratoia con la. 0

22 P. Sammarco CAPITOLO. STATICA DEI FLUIDI diga avviene lungo la generatrice di traccia D così come indicato in figura. Il livello idrostatico dell acqua coincide con la generatrice di sommità di traccia A. Determinare 1. La spinta orizzontale per unità di larghezza che la paratoia esercita sulla diga.. Lo spessore s che rende la configurazione in figura di equilibrio idrostatico. 1. All equilibrio, l azione orizzontale F d della diga sulla paratoia uguaglia la risultante orizzontale delle pressioni esercitate dal fluido sulla superficie esterna della paratoia. Tale superficie si può suddividere in quattro spicchi cilindrici di profondità unitaria, rispettivamente AB, BC, CD, DA. Poichè sulla superficie DA agisce la pressione atmosferica, la risultante delle azioni su di essa è nulla. Si noti inoltre che le risultanti orizzontali sulle superfici BC e CD si annullano a vicenda, perché uguali in modulo ma opposte in verso. L azione F d equilibra quindi solamente la risultante orizzontale Π 1 delle pressioni sulla superficie AB. Quest ultima può essere calcolata considerando l equilibrio a traslazione orizzontale del volume fluido racchiuso in ABOA, che fornisce: Tornando all equilibrio della paratoia, si ha quindi Π 1 = 1 ρ g R. F d = Π 1 = 1 ρ g R.. Si studia ora l equilibrio alla traslazione verticale della paratoia. Il peso P della paratoia deve equilibrare la spinta netta S, risultante della distribuzione di pressioni sulla superficie laterale. Con la suddivisione della superficie laterale della paratoia descritta al punto precedente, è possibile calcolare le componenti verticali delle risultanti delle pressioni sulle singole facce, mediante l equilibrio dei volumi fluidi racchiusi rispettivamente in ABOA e BCDB. La somma vettoriale di tali azioni fornisce S = ρ g R ( π ). 1

23 P. Sammarco CAPITOLO. STATICA DEI FLUIDI Il peso della paratoia di spessore s è invece P = ρ acc g π R ρ acc g π(r s) ρ acc g π r s, dove l ultima approssimazione si ottiene trascurando i termini di ordine O(s ), essendo s R per ipotesi. Dall uguaglianza P = S si trova infine: s R ρ ( 1 ρ acc π + 3 ). 8 Esercizio n. 5 Una boa, assimilabile ad una sfera di raggio R e densità ρ b, galleggia in uno specchio acqueo (vedi figura). La posizione della boa è di equilibrio. In tale posizione emerge sopra la superficie libera un segmento sferico di altezza pari a R/. Calcolare la densità della boa ρ b. All equilibrio la spinta di galleggiamento S A eguaglia il peso del corpo P. La spinta vale S = γ V, dove V è il volume di fluido spostato dalla boa, pari a quello della sfera di raggio R meno il volume del segmento sferico di altezza h = R/: V = V sf V sg. Si ha: V sf = 4 3 πr3, mentre per il calcolo di V sg è necessario introdurre un sistema di riferimento in coordinate sferiche: x = r sin φ cos θ y = r sin φ sin θ, z = r cos φ con φ [0, /3 π] angolo di latitudine, θ [0, π] angolo di longitudine sul piano orizzontale (x, y). r è invece la coordinata radiale e varia tra R/( cos φ) (alla base del segmento sferico) ed R (sulla calotta). Detto J = r sin φ il determinante Jacobiano della trasformazione, il volume del segmento sferico è: /3 π π R V sg = R r sin φ dr dθ dφ. 0 0 cos φ

24 P. Sammarco CAPITOLO. STATICA DEI FLUIDI Risolvendo i due integrali in r e θ si ottiene: V sg = π /3 π 0 ( R 3 3 R 3 ) 4 cos 3 sin φ dφ. φ L ultimo integrale si risolve con la sostituzione u = cos φ, e fornisce il valore cercato: Il volume immerso è pertanto e la spinta di galleggiamento vale Il peso della boa è invece V = V sg = 5 4 π R3. ( ) π R 3 = π R3, S A = 9 8 ρ g π R3. P = 4 3 ρ b g π R 3. Dall equilibrio a traslazione verticale si ottiene quindi: Esercizio n. 6 S A = P ρ b = 0.84 ρ. Si consideri la configurazione piana in condizioni idrostatiche rappresentata in figura. Il cuneo triangolare, di peso trascurabile, è mantenuto in posizione dalla spinta verticale verso il basso che il fluido esercita lungo il tratto orizzontale di larghezza c. Calcolare il valore limite di a = a min, al diminuire di a, per il quale la forza netta esercitata dal fluido che tiene il cuneo in posizione si annulla. Le forze agenti sul cuneo in direzione verticale sono: La risultante Π 1 delle pressioni agenti sulla superficie orizzontale di base c, diretta verso il basso. 3

25 P. Sammarco CAPITOLO. STATICA DEI FLUIDI Le componenti verticali delle risultanti degli sforzi di pressione sulle superfici inclinate di sinistra e destra, rispettivamente Π e Π 3, dirette verso l alto. Data la simmetria del problema, queste forze hanno stesso modulo. Sulla superficie orizzontale la risultante (per metro di profondità del cuneo) è: Π 1 = ρ g a c. Sulla superficie inclinata di sinistra, la risultante delle pressioni vale in modulo ( S = ρ g ζ G Ω = ρ g a + b ) b cos θ, dove ζ G è l affondamento del baricentro della superficie bagnata rispetto al piano delle pressioni nulle, e Ω = b cos θ 1 è l area della superficie bagnata. La componente verticale di S è quindi Π = S sin θ = ρ g (ab tan θ + b ) tan θ. Come detto, analoga espressione si ha per l azione verticale sulla superficie inclinata di sinistra: Π 3 = Π. Il valore di a = a min in condizioni di equilibrio limite è quello per cui la somma vettoriale delle spinte verticali si annulla, cioè Π 1 Π Π 3 = Π 1 Π = 0. Sostituendo e svolgendo l algebra si ha: Esercizio n. 7 b a min = ( c ). tan θ 1 Un corpo galleggiante rettangolare di altezza a, larghezza b e profondità unitaria, viene tirato ad una profondità d dalla superficie libera di un fluido di densità ρ tramite un cavo di ancoraggio verticale (cfr. figura). La forza che bisogna applicare per mantenere il corpo a tale profondità vale T. Determinare la densità del corpo ρ b < ρ in funzione di ρ, a, b, d, T. 4

26 P. Sammarco CAPITOLO. STATICA DEI FLUIDI Il corpo è soggetto alle seguenti azioni: Peso proprio: P = ρ b a b g, diretto verso il basso. Spinta di galleggiamento: S A = ρ g b d, diretta verso l alto. Tiro T, diretto verso il basso. Per l equilibrio a traslazione verticale, da cui si ricava P + T = S A, ρ b = ρ d a T g a b. Esercizio n. 8 Una condotta sottomarina prefabbricata in calcestruzzo (densità ρ c = 300 kg /m 3 ) di diametro interno D e spessore s D viene collocata sul fondo del mare (densità ρ c = 1030 kg /m 3 ). Subito dopo la posa in opera la condotta, non ancora in uso, è vuota al suo interno. Calcolare il rapporto s/d minimo affinchè la condotta resti sul fondo. Le forze agenti sulla condotta sono: Peso proprio Spinta di galleggiamento [ (D ) P = ρ c π + s ( ) D S A = ρ gπ + s. ( ) ] D. All equilibrio S A = P, da cui si ricava, trascurando i termini O(s ): s D 1 ( ) ρ = 0.19 m. 4 ρ c ρ 5