Per migliorare la trasmissione tra satellite e Terra, emerge la necessità di portare il satellite ad un orbita circolare diversa.

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1 1 Esecizio (tatto dagli esempi 5.3 e 5.4 del cap. V del Mazzoldi-Nigo-Voci) Un satellite atificiale di massa m 10 3 Kg uota attono alla Tea descivendo un obita cicolae di aggio Km. 1. Calcolae il peiodo T 1 dell obita del satellite Pe miglioae la tasmissione ta satellite e Tea, emege la necessità di potae il satellite ad un obita cicolae divesa. La pima opzione è quella di potae il satellite su un obita cicolae di aggio Km. calcolae di quanti minuti e secondi il peiodo dell obita vaia ispetto a quello oiginaia; 3. calcolae il lavoo che è necessaio fonie pe eseguie tale opeazione; Una seconda opzione è quella di potae il satellite a descivee un obita cicolae di aggio e di peiodo T più lungo di 4 minuti ispetto a T calcolae la diffeenza di aggio ta le due obite; 5. calcolae il lavoo che è necessaio fonie pe eseguie tale opeazione, e stabilie quale opzione è enegeticamente più conveniente. 1 (costante di gavitazione G m3 ; massa della Tea M Kg) Kg s

2 SOLUZIONE Dati iniziali: Km m Km m m 10 3 Kg G m 3 Kg s M Kg Consideiamo un obita cicolae geneica di aggio. Applicando le equazioni della dinamica al caso della foza gavitazionale, e indicando con u il vesoe adiale, otteniamo dove: F è la foza di attazione gavitazionale F m a (1) F G M m u () a è l acceleazione che, essendo il moto obitale del satellite cicolae unifome, ha solo componente adiale centipeta a a v u Petanto G M m m v (3) G M v (4) Questa elazione vale pe una qualunque obita cicolae, e lega la velocità tangenziale al aggio di tale obita. Ricodando che nel moto cicolae unifome vale v ω π T dove T è il peiodo dell obita, e sostituendo nell Eq.(4), si icava (5) e dunque G M T π (π) T (6) 3 Anche questa elazione vale pe una qualunque obita cicolae, e lega il peiodo al aggio di tale obita. G M (7)

3 3 1. Applicando la fomula (7) al caso dell obita di aggio 1 si ottiene 3 T 1 π 1 G M ( π 6 m) m Kg s 4 Kg 5334 s (8). OPZIONE 1: La nuova obita ha un aggio. Applicando la fomula (7) al caso dell obita di aggio si ottiene e quindi la diffeenza ta i peiodi è 3 T π G M ( π 6 m) m Kg s 4 Kg 595 s (9) T T T s 5334 s 618 s (10) T 10 min 18s (11) 1 3. L enegia meccanica di un copo m su un obita di aggio è Ricodando l Eq.(4) abbiamo che E m 1 mv }{{} cinetica K G Mm }{{} pot. gavit. U (1) v G M K 1 GMm l enegia cinetica del satellite dipende dal aggio dell obita. L enegia meccanica totale elativa ad un satellite su obita di aggio vale dunque K 1 GMm U G Mm E m K + U 1 GMm (13) (14)

4 4 NOTA BENE: Dalla (14) si nota che: in un obita cicolae l enegia cinetica K (positiva) è in valoe assoluto la metà dell enegia potenziale U (negativa). Petanto l enegia meccanica E m (data dalla somma algebica delle due) è negativa e pai alla metà di U. L enegia meccanica (14) dipende dal aggio dell obita. Pe cambiae obita è duqnue necessaio vaiae l enegia meccanica del satellite. Infatti, pe il teoema dell enegia cinetica il lavoo W è pai alla vaiazione dell enegia cinetica (non meccanica). Tuttavia tale lavoo W si ifeisce alle foze totali, che compendono sia le foze estene che quelle gavitazionali. Dato che queste ultime sono consevative, il lavoo W gav dovuto ad esse è pai alla vaiazione dell enegia potenziale gavitazionale (con un segno -). Esplicitamente W K (15) W ext + W gav K K 1 (16) con da cui Petanto W gav U (U U 1 ) (17) W ext K + U E m E m, E m,1 (18) W ext E E 1 G Mm ( 1 1 ) m 3 Kg s Kg 10 3 ( ) Kg m m 9 Kg m s J (19) 4. OPZIONE : la nuova obita ha un peiodo più lungo. Invetendo la fomula (7) in favoe del aggio si ottiene ( ) GMT 1/3 (π) (0) Un obita con un peiodo di 4 minuti più lungo, ha dunque un aggio T T s 5574 s (1) ( m 3 Kg s Kg (5574 s) m (π) )1/ Km ()

5 5 e dunque la diffeenza ta i aggi è Km Km Km (3) 5. Calcoliamo il lavoo come diffeenza ta le enegie meccaniche che competono alle due obite, utilizzando l Eq.(14), W ext E E 1 G Mm ( 1 1 ) m 3 Kg s Kg 10 3 ( ) Kg m m 9 Kg m s J (4) Questa seconda opzione è enegeticamente più conveniente.

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