Segmentazione e Registrazione delle Ossa della Mano da Immagini MR

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SIENA FACOLTÀ DI INGEGNERIA Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Segmentazione e Registrazione delle Ossa della Mano da Immagini MR Relatore Prof. Ing. Domenico Prattichizzo Correlatore Dott. Gabriel Baud Bovy Tesi di laurea di Laura Romano Anno accademico 2005/2006

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3 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI SIENA FACOLTÀ DI INGEGNERIA TESI DI LAUREA IN INGEGNERIA INFORMATICA 25 Settembre 2006 Segmentazione e Registrazione delle Ossa da Immagini MR Laura Romano Relatore Correlatore Prof. Ing. Domenico Prattichizzo... Dott. Gabriel Baud Bovy...

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5 Indice Indice Introduzione 1 Capitolo 1 - Le Articolazioni e i Gradi di Libertà Struttura della Mano Terminologia Anatomica Ossa della Mano Articolazioni Articolazioni della Mano Vincoli e Gradi di Libertà Capitolo 2 - Risonanza Magnetica Principi Fisici della Risonanza Magnetica Fenomeno di Risonanza Gradienti di Campo Magnetico Piano di Imaging Codifica di Fase Codifica in Frequenza Effetto dei Tre Gradienti Esempio Risonanza ad Alto Campo Protocolli d Acquisizione Osservazioni sui Protocolli d Acquisizione Capitolo 3 - Segmentazione e Registrazione delle Ossa Amira Segmentazione e Classificazione Amira Segmentation Mesh Poligonali

6 Indice Mesh Strutturato Mesh non Strutturato Mesh Ibrido Surface Reconstruction Classificazione dei Metodi di Registrazione Superfici in Matlab Iterative Closest Point Convergenza dell Algoritmo ICP Outlier Diagnostic Implementazione dell Algoritmo in Matlab Capitolo 4 - Risultati Sperimentali Descrizione dei Dati Acquisiti Acquisizione dei Dati con Campo Magnetico 1.5 Tesla Osservazioni e Confronti Acquisizione dei Dati con un Campo Magnetico 3 Tesla Registrazione delle Ossa Conclusioni 65 Elenco delle figure 67 Elenco delle tabelle 69 Bibliografia 71 Ringraziamenti 75

7 Introduzione 1 Introduzione L o scopo della tesi è definire una metodologia per la realizzazione di modelli della cinematica della mano. Da un punto di vista scientifico la ricerca in tale ambito si riferisce ad un numero ristretto di studi, nei quali le posizioni e le orientazioni degli assi di rotazione dei principali giunti della mano sono stati misurati sui cadaveri. Questi studi sono stati condotti alla fine degli anni settanta e all inizio degli anni ottanta, quando le tecniche di acquisizione delle immagini erano poco sviluppate. In questo lavoro le immagini sono state acquisite con la risonanza magnetica, e per lo stesso soggetto sono state acquisite immagini facenti riferimento a posture differenti della mano destra; certamente la scelta delle diverse posture della mano è l aspetto cruciale del lavoro, poichè esse determinano il range dei possibili movimenti. Software specializzati (AMIRA) hanno consentito la segmentazione e la ricostruzione 3D delle ossa per ogni postura della mano; algoritmi di sovrapposizione (implementati in Matlab) hanno permesso la sovrapposizione dello stesso osso in posture differenti, ottenendo le corrispondenti matrici di rotazione e vettori di traslazione. Lo studio e l attività di ricerca cominciati con questa tesi, sono tutt altro che conclusi; ancora molti sono gli aspetti che devono essere presi in esame:

8 2 Introduzione necessità di acquisire un notevole numero di immagini in posture differenti e per più di un soggetto; difficile segmentazione delle ossa utilizzando la risonanza magnetica; tempi lunghi nella fase di segmentazione poichè non automatica. La scelta della risonanza magnetica invece della tomografia computerizzata (che consentirebbe un ottima visualizzazione delle ossa) è legata al fatto che non è possibile giustificare l esposizione di un soggetto sano a raggi-x. Un limitato numero di immagini MR hanno dimostrato la fattibilità del lavoro, infatti la segmentazione di alcune ossa della mano ha mostrato in fase di registrazione un buon risultato; per tale ragione è importante, in futuro, implementare algoritmi di segmentazione automatica. Avremo bisogno di nuove acquisizioni per poter ottimizzare il protocollo di acquisizione stesso e di individuare un numero minimo di posture della mano sufficienti per la ricostruzione del modello della mano. I metodi sviluppati in questa tesi verranno in seguito estesi alla cinematica di mani affette da patologie, per verificare le differenze nell orientazione di un asse di rotazione, rispetto ad una mano non affetta da alcun tipo di patologia. La tesi può essere così schematizzata: Capitolo 1 - descrizione dello scheletro della mano, delle articolazioni e discussione sui gradi di libertà. Capitolo 2 - principi fisici della risonanza magnetica, utilizzata per l acquisizione delle immagini delle ossa della mano. Capitolo 3 - significato della segmentazione e della registrazione; software utilizzati e algoritmi implementati. Capitolo 4 - risultati sperimentali ottenuti applicando i principi illustrati nei capitoli precedenti. La tesi è stata sviluppata in collaborazione con la Facoltà di Psicologia dell Università San Raffaele, con il Dipartimento di Bioingegneria del Politecnico di Milano e con il Centro Studi Mano del Policlinico Multimedica di Sesto San Giovanni.

9 3 Capitolo 1 Le Articolazioni e i Gradi di Libertà

10 4 Capitolo 1 L obiettivo di questa tesi è ricostruire un modello cinematico della mano; in questo capitolo descriveremo i meccanismi strutturali della mano, partendo dallo scheletro, fino a giungere alle articolazioni e introducendo una discussione legata ai gradi di libertà di quest ultimi. Si mostreranno le difficoltà e la complessità nel derivare un modello cinematico per la mano. 1.1 Struttura della Mano La mano umana è una complessa struttura meccanica che comprende ossa, legamenti strettamente connessi alle ossa, muscoli, che servono come motori, tendini che agiscono come cavi di connessione tra muscoli ed ossa, ed una copertura di soffice tessuto protettivo e pelle. Le ossa sono congiunte tramite i giunti e non cambiano la loro lunghezza, i muscoli producono momenti torcenti e quindi generano il movimento dei giunti, inoltre per ogni muscolo esistono uno o più muscoli che servono per opporglisi tramite un momento torcente contrario [18]. Lo scheletro della mano [27],[28] e del polso è costituito da 27 ossa, 19 delle quali sono lunghe Terminologia Anatomica La posizione convenzionale dell intero corpo è detta posizione anatomica [31]: il soggetto è in piedi, braccia lungo il corpo, mani aperte e distese con il palmo delle mani rivolto in avanti (mani in supinazione). Si definiscono termini di posizione quelli che caratterizzano la situazione di una qualsiasi parte del corpo, termini di movimento quelli che indicano il tipo di spostamento e, contemporaneamente, la direzione nella quale esso si è svolto [31].

11 Capitolo 1 5 La posizione di qualsiasi parte del corpo umano può essere definita facendo riferimento ai seguenti piani: 1. piano mediano scorre attraverso il corpo, dalla testa ai piedi e divide il corpo in parte destra e parte sinistra. Ogni piano parallelo a questo e conosciuto come piano sagittale; tenendo conto della simmetria bilaterale del corpo umano, è il piano sagittale mediano o piano di simmetria, che decorre in senso anteroposteriore, verticalmente, dividendo il corpo in due metà simmetriche, o quasi, dette antimeri; 2. piano coronale o frontale è anch esso verticale, perpendicolare al precedente e parallelo alla fronte; corre dalla testa ai piedi e divide il corpo in due parti, quella anteriore e quella posteriore; 3. piano trasversale o assiale corre dalla testa ai piedi e divide il corpo in due parti, superiore ed inferiore; 4. piano obliquo scorre attraverso il corpo senza essere parallelo ai tre sopra descritti. Figura 1.1: Piano Sagittale, Frontale e Trasversale [31]

12 6 Capitolo 1 Per migliorare la comprensione della posizione e dell orientamento delle varie parti del corpo si utilizzano i seguenti termini [31]: laterale e mediale - rispettivamente più lontana o più vicina al piano mediale; superiore e inferiore - rispettivamente più vicina alla testa o più vicina ai piedi. Questi termini possono essere opportunamente sostituiti dai termini rostrale o craniale e caudale o podalico. Per quanto riguarda gli arti, invece di utilizzare i termini superiore e inferiore, si parla di prossimale e distale che si applicano alle porzioni di un organo più vicino o più lontano rispetto alla sua origine; anteriore e posteriore - parte frontale del corpo o parte opposta, rispettivamente. Spesso i termini anteriore e posteriore vengono più opportunamente sostituiti dai termini ventrale e dorsale che non indicano la localizzazione esatta di una struttura (nel ventre o nel dorso) ma la posizione relativa della struttura stessa, indicando la tangenza al ventre o la tangenza al dorso. Quindi essi sono frequentemente usati in rapporto alla faccia anteriore o alla faccia posteriore del corpo (nel piede però il termine dorsale si riferisce alla sua faccia superiore). Palmare e plantare si riferiscono al palmo della mano e alla pianta del piede; superficiale e profondo - le strutture superficiali sono più vicine alla pelle; quelle profonde, più lontane. La direzione dei movimenti è indicata dall asse intorno al quale essi hanno luogo. Gli assi di movimento [5],[28] sono individuati dall intersezione dei piani precedentemente considerati: flessione - riduzione dell angolo tra ossa o parti del corpo. Si applica solo al movimento lungo il piano sagittale o mediano; estensione - aumento dell angolo tra ossa o parti del corpo. Si applica solo al movimento lungo il piano sagittale o mediano ed è l opposto della flessione; adduzione - la parte mobile si avvicina al piano sagittale mediano;

13 Capitolo 1 7 abduzione - la parte mobile si allontana dal piano sagittale mediano e compie un movimento nel piano frontale, è un movimento opposto all adduzione; pronazione - movimento di rotazione diretto verso l interno (verso un piano frontale anteriore) dei due segmenti più distali dell arto superiore (avambraccio e mano); supinazione - movimento di rotazione diretto verso l esterno (verso un piano frontale posteriore) dei due segmenti più distali dell arto superiore (avambraccio e mano) circumduzione - combinazione dei movimenti di adduzione, flessione, estensione e abduzione. Il movimento risultante è una traiettoria circolare Ossa della Mano Possiamo distinguere tre gruppi di ossa [29] che, in senso prossimo distale sono: il carpo complesso osseo costituito da due fila di ossa brevi, ciascuna delle quali rappresentata da quattro ossa, per un totale di otto ossa carpali; sono convesse posteriormente e concave anteriormente e fra di esse, sulla superficie anteriore del polso, passa il tunnel carpale, sede di tendini, nervi e vasi sanguigni. Nell insieme ha aspetto quadrangolare, si articola prossimalmente con le ossa dell avambraccio, distalmente con le ossa metacarpali; procedendo dall esterno verso l interno e dalla fila prossimale a quella distale, rinveniamo: l osso scafoide, l osso semilunare, l osso piramidale e l osso pisiforme; l osso trapezio, l osso trapezoide, l osso capitano (grande osso) e l osso uncinato; il metacarpo segmento medio della mano, costituito da cinque ossa metacarpali lunghe, che vengono numerate in modo crescente dal lato laterale a quello mediale (dal pollice al mignolo). La base delle ossa metacarpali è slargata, a forma di piramide quadrangolare, la cui faccia prossimale

14 8 Capitolo 1 si articola con le ossa carpali, quella laterale con le metacarpali contigue; l estremità distale o capitello è invece arrotondata e presenta la faccetta articolare per la prima falange; le falangi formano lo scheletro delle dita e sono ossa lunghe, formate da due estremità, prossimale e distale, e da un corpo; in ciascun dito, eccetto il pollice, si individuano tre falangi, una prossimale, più lunga, una mediale e una distale, la più piccola di tutte, la cui estremità distale è detta tuberosità ungueale. Figura 1.2: Ossa della Mano [31] Articolazioni Le articolazioni [5] sono elementi giunzionali tra capi ossei, interconnessioni tramite i tessuti connettivi. Possono essere di tipo mobile (ad esempio l articolazione della spalla), semimobile (gomito) o fisso (come le articolazioni delle ossa del cranio); si dividono in sinartrosi, anfiartrosi e diartrosi [30]. Le sinartrosi sono dispositivi giunzionali immobili, non hanno una vera e propria meccanica giunzionale (es.: tra le ossa del cranio); a seconda se tra

15 Capitolo 1 9 le due ossa è interposto tessuto cartilagineo oppure tessuto connettivale semplice si dividono in sicondrosi e in suture. Le anfiartrosi sono articolazioni semimobili, costituite da superfici pianeggianti o quasi, con l interposizione di un disco cartilagineo (es.: tra le vertrebe); consentono piccoli movimenti in tutti le direzioni. Le diartrosi sono dispositivi giunzionali tra due capi ossei non congiunti, sono articolazioni mobili e possono avere diversa forma in maniera tale da effettuare diversi movimenti. Le diartrosi possono essere classificate come: artroide - le due superfici articolari sono pianeggianti e i movimenti consentiti sono la rotazione e lo scivolamento dei due capi articolari; enartrosi - i due capi ossei sono sferici uno concavo e l altro convesso e compiono movimenti angolari su tutti i piani (superficie sferica o testa entro una cavità); consentono movimenti di flessione, estensione, abduzione, adduzione, rotazione esterna e rotazione interna; candiloartrosi - i due capi ossei sono ellissoidali, uno concavo (condilo) e l altro convesso (cavità glenoidea) e permettono un movimento angolare su due piani (es.: tra il radio e il carpo, tra il metacarpo e le falangi); consentono movimenti di flessione, estensione, abduzione e adduzione; a sella - i due corpi sono biassiali concavi e convessi ad incastro reciproco e permettono una rotazione assiale (es.: tra il carpo ed il metacarpo del pollice); consentono movimenti di flessione, estensione, abduzione e adduzione; ginglimo laterale o trocoide - i due capi ossei sono cilindri con l asse del corpo parallelo all asse longitudinale delle ossa, consentono movimenti di pronazione e di supinazione (es.: tra il capitello del radio e l ulna); ginglimo angolare o trocleoartrosi - i due corpi ossei sono cilindri con l asse del cilindro perpendicolare all asse del capo longitudinale delle ossa, una gola concava (troclea) si inserisce su una faccia convessa a forma di rocchetto; consentono movimenti di flessione ed estensione.

16 10 Capitolo 1 Figura 1.3: Articolazioni Mobili - Diartrosi [30] Mezzi di connessione [31]: capsula articolare - manicotto di tessuto connettivo denso che si inserisce tra i segmenti ossei in connessione rivestendo completamente l articolazione; legamenti - cordoni fibrosi che uniscono un capo osseo con l altro all interno o all esterno della capsula articolare; tendini dei muscoli - permettono all articolazione, insieme alla capsula articolare ed ai legamenti, una maggiore stabilità; cartilagini articolari - generalmente cartilagine ialina o fibrosa, rivestono le superfici articolari; la cartilagine articolare è soffice, compressibile, estensibile e deformabile; membrana sinoviale - secerne un liquido vischioso che ha lo scopo di facilitare lo scorrimento delle due superfici a contatto.

17 Capitolo Articolazioni della Mano L articolazione radiocarpica è una condiloartrosi la cui superficie articolare è allungata in senso trasversale. La superficie articolare del carpo, si presenta come un condilo formato dalle facce prossimali dello scafoide, del semilunare e del piramidale; lo scafoide e parte del semilunare corrispondono al radio, parte del semilunare e del piramidale al disco articolare, la maggior parte del piramidale si mette a contatto del legamento collaterale ulnare. Le articolazioni intercarpiche tra le ossa della fila prossimale sono tutte artroide, come quelle tra le ossa della fila distale. L articolazione mediocarpica è la giustapposizione di due condiloartrosi che delimitano un interlinea articolare molto irregolare, a forma di S. Le articolazioni del carpo entrano in gioco quando si compiono movimenti della mano sull avambraccio; abbiamo movimenti di flessione ed estensione, l articolazione radiocarpica compie più flessione, mentre quella mediocarpica più estensione. Le articolazioni carpometacarpiche avvengono tra le ossa della fila distale del carpo e la base metacarpale, sono artrodie che permettono limitati movimenti, principalmente di scivolamento, flesso-estensione e inclinazione laterale; fa eccezione l articolazione del pollice che si presenta come una articolazione a sella con ampia libertà in tutti i movimenti, esclusa la rotazione. L articolazione carpometacarpica del pollice avviene tra trapezio e metacarpo, ha un ruolo fondamentale nei movimenti del pollice perchè permette di orientarlo in rapporto al resto della mano. La superficie articolare del trapezio guarda in basso ed un pò di fuori, è di forma grossolanamente ellittica, presenta un asse maggiore orientato in senso postero-anteriore, convesso e presenta una lieve concavità in senso trasversale; la superficie articolare del primo metacarpo è di forma grossolanamente ellittica, di dimensioni maggiori, presenta una concavità dall avanti all indietro e la convessità in senso trasversale è maggiore di quella del trapezio. Questo tipo di articolazione presenta due gradi di libertà di movimento della superficie superiore in rapporto all inferiore; però nella realtà solo la superficie inferiore è mobile, infatti il movimento della trapezio metacarpale è determinato dal movimento della base metacarpale nei due piani di libertà, mentre il trapezio è bloccato dall artrodia dello scafoide. L articolazione

18 12 Capitolo 1 trapezio metacarpale lavora in compressione assiale il che permette di orientare il metacarpo in tutte le direzioni dello spazio. Le articolazioni intermetacarpiche sono tre artrodie che congiungono la base delle ultime quattro ossa metacarpali. Le articolazioni metacarpofalangee sono condiloartrosi, tranne quella del pollice che è considerata un ginglimo angolare. Le articolazioni metacarpofalangee presentano ampi gradi di libertà soprattutto nei movimenti di flesso-estensione e più limitati in adduzione e abduzione e nella rotazione; fa eccezione il pollice in cui sono tutti più limitati. Le articolazioni interfalangee sono delle trocleoartrosi (ginglimo angolare) dotate di un solo movimento attivo di flesso-estensione. [5] 1.3 Vincoli e Gradi di Libertà Modellare il movimento della mano umana in maniera precisa [20], caratterizza un aspetto cruciale in diversi campi, quali la robotica, computer graphics e la biomeccanica. Analizzare la postura della mano, utilizzando immagini della stessa, acquisite, per esempio, con la risonanza magnetica o la tac, include dei problemi non solo legati all immagine (dati spuri, rumore), ma alla complessità strutturale della mano: la mano umana è una struttura articolare con circa trenta gradi di libertà (DOF=degree of freedom), e cambia forma in diversi modi in funzione del movimento dei suoi giunti [18]; inoltre le superfici intorno ai giunti vengono deformate in maniera significativa dal loro movimento, rendendo difficile una stima accurata della loro posizione nelle immagini. Nel modellare la mano umano sono sempre stati inseriti dei vincoli per ridurre in maniera significativa i gradi di libertà del modello e conseguentemente il range del movimento [1]. Esiste un trade-off tra questi due punti appena menzionati: un modello con sufficiente complessità incontra posture reali per la mano, un elevato numero di gradi di libertà e un ampio range di movimenti per i suoi giunti [6]. I parametri associati ad un modello di questo tipo sono maggiori rispetto a quelli con un minor numero di gradi di libertà e con una serie di vincoli sul range del movimento. Quest ultimo modello, soggetto a più vincoli, non è capace di riprodurre tutte le possibili posture ammesse per la mano, ma avendo

19 Capitolo 1 13 un numero inferiore di parametri è di gran lunga più semplice da studiare. I vincoli [6] si suddividono in due gruppi, statici, nel senso che descrivono le tipologie di movimenti possibili, e dinamici nel caso in cui introducano dipendenze tra i giunti; a loro volta quelli dinamici si suddividono in intra-finger, se riferiti a giunti dello stesso dito, inter-finger, se riferiti a giunti di dita diverse. Alcuni modelli, [6],[18] associano ad ogni dito (dal secondo al quinto) quattro gradi di libertà: 1 Dof per il giunto MC (carpo-metacarpo), 2 Dof per il giunto PP (metacarpo-falange prossimale), 1 Dof per il giunto MP (falange prossimale-falange intermedia) e 1 Dof per il giunto DP (falange intermedia-falange distale); ciascuno di questi giunti effettua il movimento di flessione-estensione e solo il giunto PP il movimento di adduzione-abduzione. Il pollice ha una struttura più complessa: 3 Dof per il giunto MC, 2 Dof per quello PP e infine 1 Dof per il giunto DP; il giunto MC effettua i movimenti di flessione-estensione, adduzione-abduzione, ed una rotazione lungo l asse del metacarpo, il giunto PP è simile a quello delle altre dita, consentendo quindi movimenti di flessione-estensione, adduzione-abduzione, infine il giunto DP esibisce solo il movimento di flessione-estensione. Figura 1.4: Gradi di Libertà nei Giunti della Mano [6]

20 14 Capitolo 1 Tra i vincoli statici imposti in tali modelli, si fa riferimento a delle limitazioni inferiori e superiori sul valore che l angolo del giunto, che rappresenta un parametro del modello, può assumere nei diversi movimenti. I vincoli intra-finger possono essere spiegati tramite due dipendenze lineari MP joint(f/e) = 2 P P joint(f/e) (1.1) DP joint(f/e) = 2 3 MP joint(f/e) (1.2) La prima equazione si riferisce ai movimenti di flessione-estensione del giunto PP di un dito, ai quali corrisponde una rotazione del giunto MP dello stesso dito; la seconda equazione è simile alla prima, ma esprime la dipendenza tra i giunti MP e DP; entrambe le equazioni riducono i gradi di libertà. Altri inter-finger riguardano il range dei movimenti di adduzioneabduzione: se il giunto PP non è nè in flessione nè in estensione, il range dei movimenti di adduzione-abduzione è massimizzato; se il giunto PP è in piena flessione, non è possibile avere adduzione-abduzione. Tali vincoli lasciano inalterati i gradi di libertà, ma riducono l effettivo movimento dei giunti. I vincoli inter-finger esprimono il fatto che non è possibile muovere alcune dita indipendentemente da altre in determinate configurazioni; un esempio è il movimento di flessione del dito anulare che induce un movimento nelle dita vicine; i vincoli in questo caso possono essere modellati in termini di minima distanza angolare che può essere mantenuta tra il giunto di un dito e il suo corrispondente su un altro dito. La difficoltà nel modellare il movimento della mano umana risiede in una profonda comprensione della cinematica della mano, i meccanismi bio-fisici della mano sono stati sempre studiati in due dimensioni e quindi molti aspetti, riferiti ad una realtà tridimensionale, sono ancora sconosciuti [21]; nella maggior parte dei modelli presentati in letteratura, i giunti MP e DP sono stati modellati utilizzando un solo grado di libertà per entrambi e si è supposto che ruotassero (nel movimento di flessione-estensione) intorno ad assi paralleli; Kapandji [17] ha invece dimostrato che gli assi rotazionali dei due giunti non sono paralleli, non rimangono costanti durante il movimento di flessione-estensione; questo implica una dipendenza geometrica inclinata tra i due giunti.

21 Capitolo 1 15 Figura 1.5: Assi di Rotazione per il Giunto MP e DP [11] Altri studi [21] hanno dimostrato il non parallelismo tra gli assi di rotazione dei due giunti MP e DP; in tali ricerche sono state analizzate immagini mediche tridimensionali in differenti posture statiche; per calcolare il movimento relativo dell osso distale rispetto al relativo osso adiacente (prossimale), tali ossa sono state ricostruite tramite superfici poligonali ed è stata effettuata una trasformazione rigida che esprimesse il movimento relativo dell osso distale da una postura 1 ad una postura N. Dopo la sovrapposizione delle due ossa prossimali (root link) è stato calcolato l asse elicoidale per descrivere il movimento relativo tra le due ossa distali (child link) e dimostrare quindi il non parallelismo non solo tra i giunti MP e DP, ma anche tra i giunti MP e PP [11]. Figura 1.6: Allineamento delle Ossa [11] Pochissimi articoli si riferiscono a quanto appena scritto, nella maggior parte dei casi la letteratura si riferisce a studi della mano effettuati sui cadaveri, o all utilizzo di marker esterni per risalire ai movimenti della

22 16 Capitolo 1 mano; nel primo caso è difficile riuscire a determinare le relazioni funzionali, nel secondo caso, invece, i problemi sono legati al movimento della pelle sulle ossa. Ciò significa che l analisi e lo studio delle immagini delle ossa della mano tramite risonanza magnetica, potrebbe chiarire diversi aspetti rimasti in sospeso, anche se è necessario acquisire un numero maggiore di dati per riuscire a comprendere le complessità legate alla cinematica della mano.

23 17 Capitolo 2 Risonanza Magnetica

24 18 Capitolo 2 Le immagini delle ossa della mano sono state acquisite con la risonanza magnetica, il capitolo, infatti, spiega i suoi principi fisici. La risonanza presenta il vantaggio di ottenere immagini bidimensionali statiche e dinamiche orientate su qualsivoglia piano dello spazio: di avere cioè, un largo campo di vista (Field Of View); la risonanza magnetica però, non riesce a visualizzare in maniera ottimale le ossa, pochè il range di intensità delle regioni dell osso varia in base alla dimensione dell osso e alcune volte si ha una sovrapposizione dello stesso con altri organi, quali la pelle; inoltre il contorno della regione è scuro in contapposizione con l alta intensità della parte interna [16] e ciò dipende dalla quantità di idrogeno presente. Al contrario la TAC consente una visualizzazione migliore, ma l esposizione a radiazioni è accettabile solo per scopi puramente clinici. 2.1 Principi Fisici della Risonanza Magnetica La Risonanza Magnetica Nucleare (RMN) [13],[15] è un principio fisico che permette di misurare la precessione dello spin di alcuni nuclei atomici sottoposti ad un campo magnetico. Nel modello classico lo spin del nucleo viene descritto come un momento magnetico rappresentato da un vettore m; se questo viene ad interagire con un campo magnetico uniforme rappresentato dal vettore B 0 (supposto lungo l asse z), m risentirà di una coppia data da L = m B 0 (2.3) che provocherà la rotazione (precessione) di m attorno alla direzione di B 0,

25 Capitolo 2 19 con una ben precisa frequenza angolare f 0, detta frequenza di Lamor, che dipende esclusivamente dal tipo di nucleo e dal campo magnetico B 0. Con questa tecnica non si osserva un singolo nucleo ma, l effetto combinato di più nuclei in un campione d interesse; si definisce allora il vettore magnetizzazione M come la risultante della somma di tutti i piccoli campi magnetici m. All equilibrio il campo magnetico esterno e il vettore di magnetizzazione risultante sono entrambi sull asse z e non c è magnetizzazione trasversale M x o M y. Nello specifico possiamo dire che i nuclei atomici sono masse cariche positivamente, composte da neutroni e da protoni, ed alcuni di essi sono dotati di un movimento rotazionale attorno al proprio asse, regolato da un numero quantico di spin. Questo movimento delle cariche produce un campo magnetico tale da poter assimilare questi nuclei a microscopici magneti con polarità nord-sud e orientati in tutte le direzioni. Nel corpo umano sono molti gli elementi che si prestano a questa visione, ma la scelta dell idrogeno è dovuta principalmente alla sua abbondanza sia sottoforma di acqua che legato chimicamente per formare zuccheri, grassi e proteine. All interno dei tessuti biologici, i nuclei di idrogeno sono orientati casualmente ma quando vengono sottoposti ad un campo magnetico statico di elevata intensità, costante nel tempo ed omogeneo nello spazio, si vanno ad orientare secondo tale campo nella direzione parallela (up) od antiparallela (down) a seconda della minore o maggiore energia dei nuclei. La differenza numerica tra questi due gruppi non è molta, così da poter considerare un unico vettore risultante di magnetizzazione macroscopica; oltre a tale magnetizzazione, i nuclei acquistano un moto di rotazione lungo la superficie di un cono ideale attorno al proprio asse, detto di precessione. 2.2 Fenomeno di Risonanza Affinchè si verifichi il fenomeno di risonanza è necessario perturbare il sistema applicando un campo magnetico B 1 che ruoti intorno a B 0 con frequenza pari a f = f 0. Cambiando il sistema di riferimento e ponendoci solidali con B 1, si osserva M che precede attorno a B 1 con frequenza f 1 e varia quindi la propria orientazione rispetto al campo B 0. La rotazione che M subisce rispetto al campo principale per effetto del campo B 1 dipende dal-

26 20 Capitolo 2 Figura 2.7: Moto di Precessione [15] l energia assorbita dai nuclei e quindi anche dai tempi di applicazione dell impulso a radio frequenza (RF). Quando l impulso a RF cessa, il sistema protonico cerca di ritornare nelle condizioni iniziali, eliminando l energia in sovrappiù accumulata durante l eccitazione. Questo riassetto energetico degli spin, detto rilassamento, comporta l emissione di un segnale chiamato free induction decay (FID). Figura 2.8: RF e FID [15] Essendo i nuclei protonici immersi in ambienti molecolari diversi, la cessione di energia avrà modalità diverse in relazione alla composizione chimica dei tessuti: alcuni ostacoleranno la cessione di energia (rilassamento più lungo), altri ne accetteranno il passaggio (rilassamento più breve). I principali parametri del segnale FID sono: la densità protonica (DP); il tempo di rilassamento T 1 ;

27 Capitolo 2 21 il tempo di rilassamento T 2. Il primo termine esprime la quantità di protoni di idrogeno risonanti per unità di volume di tessuto (voxel); il tempo T 1 o tempo di rilassamento longitudinale o spin-reticolo regola il ripristino della componente di magnetizzazione longitudinale (MML) dopo un impulso RF. Matematicamente esso rappresenta il tempo necessario al recupero del 63% del valore globale di MML. Il tempo T 2 o tempo di rilassamento trasversale o spin-spin regola l annullarsi della componente di magnetizzazione trasversale (MMT) creata da un impulso a RF, e matematicamente è esprimibile come il tempo necessario all annullamento del 63% della MMT. In realtà due fattori contribuiscono al decadimento della magnetizzazione trasversale: le interazioni molecolari (che portano ad un effetto molecolare detto T 2 puro) e le variazioni di B 0 (che portano ad un effetto detto T 2 inomogeneo). La combinazione di questi due fattori è quella che realmente si verifica nel decadimento della magnetizzazione trasversale. La costante di tempo combinata è chiamata T 2 star ed è contraddistinta dal simbolo T 2. La relazione tra il T 2 derivante dai processi molecolari e quello dovuto ad una non omogeneità è la seguente 1 T 2 = 1 T T 2 inhomo. (2.4) Riassumendo, al cessare dell impulso RF il sistema protonico si trova in situazione di instabilità e l energia viene ceduta attraverso i tessuti circostanti, che la rilasciano sottoforma di segnale FID. Tale segnale, rilevato tramite un antenna accordata sulla frequenza di risonanza, ha un ampiezza determinata dalla densità protonica ed una durata regolata da T 1 e T 2. Ogni liquido organico ed ogni tessuto, normale o patologico, emette un segnale diverso, dipendente dallo stato di aggregazione molecolare che lo compone, cioè S = DP e ( T E T 2 ) [1 e T R T 1 ] (2.5) TR è l intervallo tra l inizio di un oscillazione e l inizio della successiva; un

28 22 Capitolo 2 TR lungo consente alla magnetizzazione totale M di tornare in posizione parallela a B 0 accentuando l intensità del segnale acquisito; in caso contrario (TR non lungo), il segnale acquisito verrà attenuato poichè non si riuscirà a garantire l annullamento della componente trasversale di M parallela al campo statico, che risulta ovviamente attenuata rispetto a quella iniziale; questo determina perdita di informazione nell immagine. Un altra sequenza comunemente usata è la sequenza di impulsi Spin-Echo; in tale sequenza, ad un sistema di spin, viene prima applicato un impulso a 90, che ruota la magnetizzazione sul piano xy, la magnetizzazione trasversale comincia a perdere la fase ma se, dopo l impulso a 90, viene applicato un impulso a 180, la magnetizzazione ruoterà di 180 rispetto all asse x, in maniera tale che, la magnetizzazione ritorni in fase producendo un segnale chiamato echo. TE (tempo d echo) rappresenta il tempo che intercorre tra l impulso a 90 e la massima ampiezza dell echo. Figura 2.9: Echo [15] 2.3 Gradienti di Campo Magnetico Un gradiente di campo mono-direzionale, lungo l asse x in un campo magnetico B 0, indica che il campo magnetico va aumentando lungo la direzione x e la lunghezza dei vettori rappresenta l intensità del campo magnetico. I simboli per un gradiente di campo magnetico nelle direzioni x, y e z sono rispettivamente G x, G y e G z. Se oltre al campo magnetico principale B 0 ed a quello rotante B 1 viene applicato, ad una piccola zona del materiale in esame, un campo magnetico variabile linearmente nel volumetto, ma di intensità molto minore di quello polarizzante, la frequenza di risonanza di Larmor in quella zona cambia in

29 Capitolo 2 23 funzione della somma tra il campo principale ed il valore in quel punto dell intensità del campo secondario. Risulta quindi possibile (sapendo in quale area viene applicato il campo secondario) legare il segnale di ritorno a coordinate spaziali, e di conseguenza ottenere una misura della densità protonica in un ben preciso punto del materiale Piano di Imaging La selezione della fetta è la selezione degli spin in un piano che seziona l oggetto (piano di imaging). La selezione si realizza applicando un campo magnetico durante il periodo in cui viene applicato l impulso di RF. Un impulso a 90, applicato contemporaneamente ad un gradiente di campo magnetico, ruoterà gli spin localizzati in una fetta dell oggetto. Il gradiente di selezione della fetta è sempre applicato perpendicolarmente al piano della fetta Codifica di Fase La codifica di fase si utilizza per impartire al vettore di magnetizzazione trasversale un angolo di fase specifico che dipende dalla localizzazione del vettore di magnetizzazione trasversale. L angolo della fase è l angolo che il vettore di magnetizzazione forma con un asse di riferimento al tempo in cui il gradiente di codifica viene spento. Il gradiente di codifica di fase è applicato lungo uno dei lati del piano immagine Codifica in Frequenza Il campo magnetico al centro del magnete è B 0 e la frequenza di risonanza è f 0, se applichiamo un gradiente di campo magnetico, le regioni di spin subiranno campi magnetici diversi e avranno una frequenza di risonanza proporzionale alla posizione dello spin f = g (B 0 + x G x ) = f 0 + g x G x (2.6)

30 24 Capitolo 2 Il gradiente di codifica in frequenza è applicato lungo il rimanente lato del piano dell immagine Effetto dei Tre Gradienti Il primo evento che ha luogo è l attivazione del gradiente per la selezione della fetta ed è applicato nello stesso istante dell impulso di RF; al termine di quest ultimo, il gradiente per la selezione della fetta viene spento e viene attivato il gradiente per la codifica di fase. Quando questo viene spento, viene infine acceso il gradiente per la codifica in frequenza e viene registrato un segnale (FID). La codifica di frequenza e di fase suddividono il piano immagine in voxel. Figura 2.10: Azione dei Gradienti [15] Piano immagine Posizione fetta Fase Frequenza XY Z X o Y Y o X XZ Y X o Z Z o X YZ X Y o Z Z o Y Tabella 2.1: Combinazione dei Gradienti Esempio Supponiamo di voler creare l immagine di una fetta (piano xy) con un campo magnetico B 0, lungo l asse z; consideriamo un cubo di spin messo

31 Capitolo 2 25 in un campo magnetico, esso è composto da molti elementi di volume, ognuno col suo proprio vettore di magnetizzazione netta. Figura 2.11: Cubo di Spin [15] Il gradiente di selezione della fetta è applicato lungo l asse z e gli impulsi RF fanno ruotare solamente quei pacchetti di spin nel cubo che, soddisfano alla condizione di risonanza. Figura 2.12: Effetto del Gradiente di Selezione della Fetta nel Piano xy [15] Se il campo magnetico fosse uniforme, ognuna delle nove frequenze di precessione sarebbe uguale; nella sequenza per imaging, dopo il gradiente di selezione della fetta è applicato un gradiente di codifica di fase. Assumendo che questo sia applicato lungo l asse x, gli spin in diverse posizioni lungo l asse x cominciano a muoversi di moto di precessione a frequenze di Larmor diverse. Quando il gradiente di codifica di fase è spento, i vettori di magnetizzazione precedono con ugual frequenza ma possiedono fasi diverse. Terminato l impulso del gradiente di codifica di fase, viene attivato

32 26 Capitolo 2 un impulso del gradiente di codifica in frequenza; in questo caso il gradiente di codifica in frequenza è nella direzione y. Il gradiente di codifica in frequenza causa una precessione dei pacchetti di spin a velocità dipendenti dalla loro localizzazione su y. A questo punto ognuno dei nove vettori di magnetizzazione netta è caratterizzato da un unico angolo della fase e da un unica frequenza di precessione. Al fine di ottenere un immagine o mappa di localizzazione degli spin, i FID o i segnali sopra descritti, devono essere trasformati secondo Fourier nella direzione x per estrarre le informazioni nel dominio delle frequenze, e poi nella direzione di codifica di fase per estrarre le informazioni circa la localizzazione nella direzione di applicazione del gradiente di codifica di fase. Supponiamo di avere un singolo voxel con magnetizzazione netta, trasformando secondo Fourier, prima nella direzione di codifica della frequenza, si ottengono una serie di picchi alla frequenza corrispondente alla localizzazione lungo x del voxel contenente gli spin. Figura 2.13: Trasformata di Fourier in Direzione di Codifica della Frequenza [15]

33 Capitolo 2 27 Trasformando secondo Fourier nella direzione di codifica della fase si ottiene un singolo picco. Figura 2.14: Trasformata di Fourier in Direzione di Codifica della Fase [15] La frequenza e la fase di questo picco corrispondono alla localizzazione del voxel con gli spin. Figura 2.15: Voxel Localizzato [15]

34 28 Capitolo Risonanza ad Alto Campo L acquisizione di un apparecchiatura RM con magnete ad alta intensità di campo (3 Tesla) consente di potenziare sensibilmente l attività di un Dipartimento di Diagnostica per Immagini, con importanti ricadute positive sull attività clinica di tutti i reparti ad esso afferenti, ed in particolare sulle discipline dell area delle Neuroscienze. L elevata complessità della tecnologia utilizzata favorisce iniziative di ricerca applicata con il diretto coinvolgimento di ricercatori di settori non medici quali l Ingegneria, l Informatica, la Fisica, la Biochimica, la Farmacologia. Il principale beneficio legato all impiego di questo tipo di apparecchiature consiste nel miglioramento del rapporto segnale-rumore, con significativo miglioramento del contenuto informativo delle immagini RM, che passa dalla semplice rappresentazione morfologica, ad un analisi delle funzioni (normali od alterate) che può essere spinta fino al livello molecolare, indagando il substrato biochimico delle funzioni. Altri vantaggi della RM ad alto campo includono la minor durata dell esame, la possibilità di produrre immagini in altissima risoluzione spaziale, un più efficace uso dei mezzi di contrasto, l incremento della risoluzione della Spettroscopia RM, lo studio di nuclei diversi dall idrogeno e l effettuazione di esami di Risonanza Funzionale ad alta sensibilità. L utilizzazione di un tomografo per Risonanza Magnetica a 3 Tesla consente in generale di ottenere informazioni anatomo-strutturali di risoluzione dell ordine dei decimi di millimetro con tempi inferiori od equivalenti a quelli necessari per esame ordinario millimetrico a campo basso e medio. Per dare una stima quantitativa del miglioramento in risoluzione spaziale ottenibile con Risonanza Magnetica ad alto campo, basta considerare che nel passaggio da un intensità di campo 1.5 Tesla a 3 Tesla viene raddoppiato il rapporto segnale-rumore, e questo è in grado di compensare un dimezzamento del volume del voxel, con evidenti effetti positivi sulla risoluzione spaziale [9].

35 Capitolo Protocolli d Acquisizione In letteratura, sono presenti svariati protocolli di acquisizione, facenti riferimento alla risonanza magnetica, che hanno consentito lo studio delle ossa (non solo della mano [25]); è possibile elencare gli esperimenti di ricerca effettuati e schematizzare per ciascuno il protocollo d acquisizione, che rappresenta un punto chiave per tutti i processi di ricostruzione di un modello cinematico: 1. analisi di movimenti della pelle rispetto al movimento di flessione della mano [24]: immagini MR di sei differenti soggetti in tre diverse posture; 2. analisi della cinematica dei giunti in funzione del movimento di flessione delle dita [21]: immagini MR di dieci differenti soggetti in quattro posture diverse; analisi della posizione e dell orientazione delle ossa della mano utilizzando un modello per la registrazione dell osso: immagini MR dello stesso soggetto in quattro posture diverse; 3. analisi dell architettura geometrica del tarso del piede [32]: immagini MR di tre differenti soggetti; Number Time repetition/echo Flip angle Field of view Magnetic field strength /4.40 ms mm 1.5 T /4.40 ms mm 1.0 T 3 16/4 ms mm 3 T Tabella 2.2: Protocollo d Acquisizione Number XY matrix size (resolution) Slice Thickness Pixel spacing Bit per pixel mm mm 8 bits/pixel mm mm 8 bits/pixel mm mm - bits/pixel Tabella 2.3: Informazione sul Voxel

36 30 Capitolo Osservazioni sui Protocolli d Acquisizione Sono stati esposti tre protocolli d acquisizione, che permettono una buona visualizzazione delle ossa e che hanno dimostrato che è possibile lavorare con immagini acquisite tramite risonanza magnetica; l esposizione di tali protocolli dovrebbe aiutarci a formularne uno per le future acquisizioni. Il problema non è solo legato ad un giusto assetto dei parametri, ma è necessario ricavare un giusto compromesso tra una buona immagine e dei tempi di acquisizione non troppo lunghi per il soggetto; altre ricerche [26] si sono occupate semplicemente di trovare dei protocolli ottimali per acquisire immagini di ossa e di muscoli con la risonanza magnetica, essendo una procedura non invasiva; i risultati ottenuti con un campo magnetico pari a 0.17 T (che induce restrizioni sulla qualità dell immagine poichè la risoluzione dell immagine dipende dall intensità del campo magnetico), hanno dimostrato che si possono avere delle buone immagini con questi determinati valori associati ai parametri Time repetition/echo Flip angle Magnetic field strength 1080 ms/20 ms T Tabella 2.4: Protocollo d Acquisizione per Muscoli e Ossa Lo stesso studio ha evidenziato degli aspetti importanti: esisteva un inconsistenza nel riprodurre le stesse immagini in giorni diversi con un identica sequenza MRI; le cause possono dipendere da diversi fattori, quali fluttuazioni del sistema durante l acquisizione dei dati; per fluttuazioni si intendono, vibrazioni meccaniche, campi magnetici non omogenei, perdita di connessione, problemi di campionamento sui dati, rumore elettromagnetico, movimento del soggetto.

37 31 Capitolo 3 Segmentazione e Registrazione delle Ossa

38 32 Capitolo 3 L insieme dei dati ottenuti con la risonanza magnetica è un array tridimensionale di voxel; in questo capitolo verrà spiegata la fase di segmentazione, che consente di selezionare, utilizzando software specializzati, solo i voxel costituenti l osso, la ricostruzione 3D, tramite superfici triangolari, e infine la registrazione, cioè la sovrapposizione dello stesso osso, quando è espresso in sistemi di riferimento differenti. 3.1 Amira Amira (versione utilizzata 4.0) è un software modulare ed orientato agli oggetti, utilizzato per la visualizzazione in 3D e per la modellizzazione di sistemi; esso consente di interagire con set di dati scientifici in diverse aree applicative, quali la medicina, la biologia, la chimica, la fisica o l ingegneria. I moduli sono utilizzati per visualizzare gli oggetti o per eseguire operazioni su di essi; tali componenti sono rappresentati con piccole icone nel Pool; le icone sono connesse da linee che indicano la dipendenza tra i componenti, ovvero quali moduli sono stati applicati a determinati oggetti. Quest ultimi possono essere creati automaticamente dalla lettura di file in ingresso o come risultato computazionale di un modulo. I comandi possono essere letti da uno script file o inseriti manualmente nella Console. In Amira l interfaccia consiste di 5 parti principali: 3D Viewer, Pool, Properties Area, Console Window, Help Browser. Gli oggetti sono rappresentati con delle icone verdi e, cliccando su una di queste appariranno nella sezione Properties informazioni circa il set di dati, cliccando invece sull oggetto con il tasto destro del mouse è possibile collegare i diversi moduli.

39 Capitolo 3 33 Figura 3.1: Amira User Interface: 3D Viewer (1), Pool (2), Properties Area (3), Console Window (4), Help Browser (5) 3.2 Segmentazione e Classificazione Per classificazione si intende la suddivisione dell immagine in regioni tra di loro omogenee, secondo parametri che sono stabiliti da chi la esegue. Per fare un esempio che renda l idea del procedimento, si immagini di avere una fetta bidimensionale di un cranio, all interno dell immagine si possono riconoscere, in una situazione non patologica, una serie di tessuti che variano dalla pelle, alle ossa, al grasso, alla materia grigia ed alla materia bianca, per non parlare di tessuti che sono piú difficilmente classificabili, come i vasi sanguigni ed il tessuto connettivo, perché presenti in agglomerati di dimensioni molto piccole. Il procedimento di segmentazione è molto importante per almeno due motivi: in primo luogo, permettendo di individuare regioni omogenee, consente di effettuare con estrema facilitá delle misurazioni morfometriche altrimenti estremamente complesse, si pensi, ad esempio, alla possibilitá di calcolare, con ragionevole precisione, il volume di una massa tumorale a partire da dati tridimensionali ed a quanto ció possa essere di ausilio alla pianificazione della terapia radiante o di un intervento chirurgico, in secondo luogo consente di classificare i dati a disposizione in maniera tale che siano piú facilmente utilizzabili nel seguito. I metodi di segmentazione si possono suddividere in metodi semi-automatici (talvolta completamente manuali) ed automatici. Quelli piú utilizzati sono i semi-automatici che consentono di individuare contorni, valori di soglia o di assegnare valori ai singoli pixel interattivamente. Essi sono preferiti perché molto sicuri (è difficile per un programma fare errori se si richiede di colorare un pixel selezionato) e semplici da comprendere ed utilizzare. I metodi automatici sono ancora estremamente fragili, i risultati ottenu-

40 34 Capitolo 3 ti sono difficilmente utilizzati per il lavoro di routine, ma si sta tuttavia arrivando ad ottenere dei risultati soddisfacenti utilizzando dei criteri di segmentazione sia deterministici che statistici, che comunque, di solito, si basano su modelli precostruiti per il riconoscimento di regioni di interesse Amira Segmentation Lo strumento di Amira maggiormente utilizzato per lo sviluppo della tesi è l editor di segmentazione: la segmentazione è eseguita selezionando i voxel e assegnando a questi un particolare materiale. Il tutto è memorizzato in un Label Field dal quale si possono generare superfici poligonali, utilizzando il modulo SurfaceGen. Figura 3.2: Segmentation Editor Amira consente una segmentazione automatica (Threshold Segmentation) basata sul valore di grigi del set di dati, viene assegnato dall operatore un valore di soglia in maniera tale che, ogni voxel con un valore minore della soglia è assegnato al materiale Exterior, i restanti maggiori o uguali della soglia verranno invece assegnati al materiale Interior. Questa tecnica automatica, richiede senz altro poco tempo ma, non è applicabile alle ossa acquisite con risonanza magnetica, poichè abbiamo una distribuzione di intensità complicata nelle immagini MR. Le immagini acquisite sono state segmentate manualmente utilizzando gli strumenti (tools) messi a disposizione dall editor: Pick & Move, Brush, Lasso, Magic Wand, PropagatingContour, Blowtool e Crosshair. Ognuno di questi tools ha particolari caratteristiche, per esempio il Brush si comporta come un pennello, il Lasso genera curve chiuse e il Crosshair consente di visualizzare gli assi x, y

41 Capitolo 3 35 e z sulle tre immagini (si hanno tre immagini poichè Amira permette di visualizzare la stessa immagine sul piano assiale, coronale e sagittale). 3.3 Mesh Poligonali Le superfici a maglia poligonale [22] (chiamate mesh in gergo tecnico) sono costituite da un gran numero di facce poligonali piane. Nel caso più semplice, una mesh consiste di un elemento di superficie lineare contraddistinto da un insieme di vertici e un insieme di facce connesse tra loro tramite spigoli. Ogni vertice specifica le coordinate (x, y, z) di un punto nello spazio, e ogni faccia definisce un poligono collegando insieme un sottoinsieme ordinato di vertici. La descrizione di una geometria di superficie servendosi di una maglia poligonale è solitamente un processo d approssimazione; non esiste un metodo unico per costruire un modello a mesh poichè la densità e la distribuzione dei punti, oltre allo specifico modo con cui sono realizzati, il loro campionamento e la loro connessione a formare i poligoni, forniscono vari gradi di libertà. Il modo più immediato per creare una mesh poligonale è quello di utilizzare punti campionati su una data curva o superficie e la descrizione corrispondente, risultante dalla connessione di questi punti con linee o porzioni di piano. Per questo motivo, mesh poligonali possono essere viste come un caso estremo di rappresentazione formata da elementi semplici a forma libera nello spazio, in cui ad una funzione polinomiale di ricursione è sostituita un applicazione lineare. È pertanto possibile affermare che, per loro stessa natura, le mesh sono idonee a rappresentare ogni tipo d oggetto, dal solido delimitato da superfici piane fino alla più complessa geometria a forma libera. Mantenendo inalterate le condizioni di generalità, è possibile restringere il dominio delle mesh alle sole maglie a faccette triangolari, giacché mesh arbitrarie possono essere sempre convertite in mesh triangolari tramite suddivisione dei poligoni con un processo di ricursione. Una mesh di triangoli (cioè un insieme di triangoli che a due a due hanno in comune uno spigolo o un vertice e non lo intersecano o lo condividono) permette una completa generalità, facilità di rappresentazione, visualizzazione, manipolazione e presenta geometria e topologia uniformi. Sebbene siano state proposte innumerevoli altre tipologie di rappresentazione per i modelli digitali 3D, questa è una

42 36 Capitolo 3 soluzione che per semplicità algoritmica, robustezza numerica, possibilità di un efficiente visualizzazione, costituisce lo standard per scambiare e visualizzare insiemi di dati 3D in computergrafica. A partire da una sola forma-base assai compatta e limitandosi a variarne la densità, l utilizzo di mesh triangolari consente, infatti, sia descrizioni facilmente manipolabili e visualizzabili, sia descrizioni dotate d elevato dettaglio e approssimazione Mesh Strutturato Il mesh strutturato prende il nome dal fatto che la griglia si presenta con un disegno costituito da elementi regolari, omogenei e ripetitivi. Questo tipo di griglia utilizza, nei problemi bidimensionali, l elemento quadrilatero e, nei problemi tridimensionali, l elemento esaedrico. Poichè la forma degli elementi è fissata, la griglia deve essere adattata alla geometria in studio mediante operazioni di distorsione e allungamento (stretching and twisting) dei blocchi. Questo passaggio spesso è affidato al meshatore che, in automatico, definiti i blocchi in cui è suddivisa la geometria, applica appropriati algoritmi di calcolo (che sfruttano sofisticate equazioni ellittiche), ottimizzati al fine di conferire proprietà di ortogonalità e uniformità alla griglia. Le prime versioni di mesh strutturati erano composti da un solo blocco. Pertanto l utilizzatore era obbligato ad approssimare la geometria, variando la distribuzione delle celle ed eventualmente escludendo alcuni elementi, anche rilevanti. Successivamente sono state sviluppate le griglie strutturate multiblocco, le quali permettono l utilizzo di diversi blocchi, connessi tra loro, al fine di costruire e riprodurre al meglio l intero dominio. Nel corso degli anni anche i metodi di interconnessione dei blocchi hanno subito una forte evoluzione. Tra questi i più usati dai programmi di meshatura automatici sono il point to point e il many points to one point. Utilizzando il metodo point to point ci troviamo di fronte ad un dominio dove i blocchi sono topologicamente simili alla geometria, ma non ne hanno gli stessi contorni; utilizzando il metodo many points to one point i blocchi sono fisicamente simili ai contorni, ma hanno differenze topologiche anche rilevanti. Le griglie multiblocco danno all utente più libertà rispetto alle griglie monoblocco nella costruzione della mesh, ma presentano la limitazione del dover rispettare precise regole nella connessione dei blocchi e, di conseguenza, risultano difficili da costruire; inoltre permettono un ac-

43 Capitolo 3 37 curatezza maggiore nella rappresentazione del dominio e una maggiore robustezza numerica. Occorre citare anche un altro metodo utilizzato per la costruzione di griglie strutturate multiblocco, il quale tra l altro permette di risolvere i problemi derivanti dalle connessioni dei vari blocchi, il metodo Chimera detto anche Overset grid methods. Esso, permettendo ai vari blocchi della griglia di essere conformi ai contorni fisici del modello, consente maggiore libertà nell interconnessione dei vari blocchi. Le griglie strutturate presentano anche il vantaggio notevole, rispetto alle griglie non strutturate, di consentire un maggiore controllo della griglia stessa; l utente può controllare i vertici e i lati dei blocchi interattivamente, disponendo di totale libertà nel posizionamento della griglia. Le griglie strutturate usano, come già detto precedentemente, elementi quadrilateri o esaedrici, che risultano molto efficienti nel riempimento dei blocchi ed offrono maggiore possibilità di deformazione e di adattabilità al dominio, senza che la soluzione ne sia influenzata. E opportuno osservare tuttavia che, nel generare una meshatura di questo tipo, una volta effettuata la suddivisione in blocchi, non è possibile apportare modifiche locali al mesh senza che queste si propaghino anche nel resto della griglia. Infine il post processamento dei risultati di una griglia strutturata è tipicamente un compito semplice perché i piani logici, in cui il blocco e quindi la griglia sono suddivisi, sono un eccellente riferimento per esaminare il campo del flusso e visualizzare i risultati Mesh non Strutturato Le griglie non strutturate fanno uso di varie specie di elementi per riempire il dominio. Poichè la griglia non presenta un motivo regolare e ripetitivo, il mesh è denominato non strutturato. Questo tipo di griglia solitamente usa elementi triangolari in problemi bidimensionali ed elementi tetraedrici in problemi tridimensionali; come nel caso delle griglie strutturate, gli elementi possono essere allungati e deformati, per meglio rappresentare il dominio considerato. Questo metodo presenta il vantaggio di una più facile e rapida generazione in automatico. Gli algoritmi usati per creare mesh non strutturati tipicamente utilizzano due metodi: Advancing front e Delaunay. Il primo crea il mesh suddividendo inizialmente i contorni del modello e aggiungendo successivamente elementi a partire proprio dalle

44 38 Capitolo 3 celle confinanti con i bordi, fino a riempire l intera figura. Il secondo metodo, meshando il contorno del modello, aggiunge punti internamente e li collega successivamente mediante elementi. Il mesh è facilmente ottenibile, l utilizzatore non si deve preoccupare della forma dei blocchi e delle loro connessioni. Il mesh non strutturato si presta bene ad essere utilizzato da un utente non esperto, poiché bastano pochi input per generare un mesh valido, spesso adatto ad uno studio di primo approcio. Inoltre permette una rapida generazione di mesh, anche dettagliati, in brevissimo tempo, prestandosi perfettamente a studi di tipo parametrico (nei quali è richiesta una variazione frequente della geometria). Tuttavia presenta il grande svantaggio di mal controllare il mesh lontano dai contorni della geometria. Infatti l utente che utilizza un mesh non strutturato può facilmente controllare la suddivisione dei contorni, ma l interno del mesh è lasciato, salvo particolari casi, all algoritmo utilizzato e quindi è difficilmente controllabile, inoltre gli elementi utilizzati hanno problemi ad essere sensibilmente deformati; ne consegue che la griglia presenta un alto grado di anisotropia e tutto ciò rappresenta un inconveniente non trascurabile quando vogliamo rifinire il mesh localmente. In ultima istanza, ma non meno importante, si ricorda che i solutori che utilizzano un mesh non strutturato richiedono più memoria e maggiori tempi di esecuzione, a parità di geometria, rispetto a software che utilizzano mesh strutturati; questo perchè in un mesh strutturato ogni punto della griglia può essere identificato semplicemente mediante l utilizzo di due indici i,j (caso 2D), con risparmio di variabili e di quantità di dati da immagazzinare, a differenza di quello che succede in un mesh non strutturato Mesh Ibrido Le meshature ibride sono state sviluppate per beneficiare degli aspetti positivi, che possono derivare dall utilizzo congiunto di mesh di tipo strutturati e non. D altronde preme sottolineare che lo svantaggio più grosso, nell utilizzo di un mesh ibrido, consiste nella difficoltà e nell esperienza richiesta all utilizzatore, per portare a termine la procedura di generazione della griglia.

45 Capitolo Surface Reconstruction Amira è capace di creare, dopo la segmentazione dell immagine, il corrispondente modello di superficie poligonale triangolare utilizzando il modulo SurfaceGen; in genere il numero di triangoli creati è elevato ma con l ausilio del Surface Simplification Editor è possibile ridurli. Sono inoltre utili dei test che consentono di verificare che non ci siano state intersezioni tra i triangoli (Intersection Shape) e che l orientazione (Orientation Test) dei triangoli sia consistente; perchè una mesh sia consistente devono essere soddisfatte alcune condizioni: ogni lato ha 2 e solo 2 vertici incidenti ogni lato ha 2 e solo 2 facce incidenti se due facce incidono su uno stesso vertice, allora deve esserci un lato tale che le due facce vi incidono entrambe; inoltre il vertice di cui sopra deve incidere su tale lato. La verifica di consistenza dipende dal grafico (nel caso le mesh siano generate manualmente) o dal programma (nel caso siano generate proceduralmente). Queste condizioni non sono comunque sufficienti ad evitare casi patologici; sono però sufficienti per la maggior parte dei casi comuni. Il problema della consistenza delle mesh è particolarmente importante nelle applicazioni di grafica che trattano mesh dinamiche, ovvero mesh poligonali che cambiano durante il tempo, per esempio aumentando il numero di vertici o diminuendolo. Infine il modulo che consente la visualizzazione della superficie ricostruita è il SurfaceView.

46 40 Capitolo 3 Figura 3.3: Mesh triangolari in Amira 3.4 Classificazione dei Metodi di Registrazione Le tecniche di imaging nell ambito medico stanno assumendo un importanza sempre maggiore, non soltanto dal punto di vista diagnostico, ma anche nella valutazione e pianificazione delle procedure chirurgiche e terapeutiche. Le immagini mediche possono essere suddivise in due principali tipologie: anatomiche e funzionali; le prime rappresentano principalmente la morfologia degli organi, le seconde ci forniscono informazioni sul metabolismo e sul funzionamento degli organi stessi. Nella prima categoria rientrano, ad esempio, i raggi X, la TAC, la RMN, le tecniche ultrasoniche; nella seconda ricordiamo la SPECT e la PET. In generale, visto che l imaging medico considera una sequenza di eventi, ci aspettiamo di dover ricavare contenuto informativo da una serie temporale di immagini, che seguono l evoluzione di un dato fenomeno. In alternativa, è possibile che le immagini siano parte di una rappresentazione globale che deriva dalla fusione del loro contenuto informativo. Il processo che mira ad ottenere informazioni utili da due o più immagini complementari, nel senso che tutte le immagini rappresentano una parte dell informazione totale, si definisce integrazione. La modalità più comune di integrazione tra immagini consiste nella cosiddetta registrazione (traduzione letterale del termine registration): per registrazione si intende quella serie di procedure [3] che portano all allineamento spaziale delle immagini. Esistono vari criteri di classificazione degli algoritmi di registrazione [19], che brevemente possiamo elencare:

47 Capitolo 3 41 dimensionalità (2D, 3D, serie temporali); natura dell elemento base della registrazione: estrinseca (invasiva, non invasiva) intrinseca (segmentazione, landmarks, voxel) natura della trasformazione rigida (rotazioni e traslazioni). non rigida (deformazioni elastiche). interazione metodi interattivi metodi automatici (con o senza inizializzazione) metodi semiautomatici (inizializzazione, correzione) dominio della trasformazione procedure di ottimizzazione modalità soggetto monomodale multimodale intrapaziente interpaziente atlante Il criterio della dimensionalità riguarda le dimensioni del problema, cioè principalmente considera se le immagini da analizzare sono in 2D o 3D e se entra in gioco la variabile tempo. Potremo quindi avere il caso di immagini bi- o tridimensionali registrate spazialmente, cioè fuse per ottenere immagini complessive; oppure immagini 2D allineate spazialmente in maniera proiettiva (come nella TAC) per avere immagini 3D; o infine, sequenze temporali di immagini da allineare. La natura dell elemento base della registrazione può essere estrinseca od

48 42 Capitolo 3 intrinseca: la registrazione si definisce estrinseca quando si basa su elementi estranei inseriti nell area dell immagine, mentre si considera intrinseca se è basata su immagini rappresentanti informazioni derivanti dal solo soggetto. Solitamente la registrazione estrinseca si avvale di trasformazioni rigide (rotazioni e traslazioni), mentre per quella estrinseca si ha la possibilità di applicare anche trasformazioni geometriche non rigide. La registrazione estrinseca si realizza, a sua volta, con varie modalità: essa si può basare su un insieme limitato di punti salienti dell immagine (landmarks) o su sull allineamento di strutture segmentate (segmentazione) o su misure direttamente effettuate sui livelli di grigio dell immagine (voxel). Nella registrazione basata sui landmarks, l insieme dei punti utilizzati è molto ridotto rispetto all intera immagine, per cui questa è la procedura che dà i risultati migliori in termini di ottimizzazione dei tempi. Gli algoritmi [14] più comuni consistono nella minimizzazione delle distanze tra ogni landmark e il suo corrispettivo nelle diverse immagini. I metodi di registrazione basati sulla segmentazione prevedono l estrazione di determinate strutture anatomiche dalle immagini e l allineamento delle stesse; si può procedere per rototraslazioni rigide o definire modelli di deformazione elastica per le strutture. I metodi di registrazione basati sui voxel si dividono in metodi che riducono l immagine ed un insieme rappresentativo di scalari ed orientazioni e metodi che lavorano direttamente sull immagine. Nel primo caso consideriamo metodi come quelli basati sugli assi principali, si tratta di individuare il baricentro dell immagine e le sue principali orientazioni (assi principali) e successivamente, di allineare questi punti ed orientazioni nelle varie immagini. Nonostante sia un metodo poco accurato, viene largamente utilizzato per la semplicità implementativa e la rapidità. I metodi basati sull intero contenuto dell immagine sono quelli attualmente più utilizzati e testati. A differenza dei metodi di segmentazione, essi non utilizzano un sottoinsieme ridotto dell immagine, ma tutta l informazione disponibile per il processo di allineamento. L utilizzo è limitato soltanto dall elevato costo computazionale che, specialmente nei casi di immagini 3D, li rende troppo lenti per la maggior parte delle applicazioni; d altronde, l esigenza di registrazioni accurate e retrospettive, unita allo sviluppo di computer sempre più potenti, ha incrementato notevolmente la diffusione di queste metodiche. Se consideriamo i metodi basati sul contenuto dell intera im-

49 Capitolo 3 43 magine (full-image-content-based), possiamo rilevare una classificazione a seconda degli algoritmi utilizzati: Cross-correlation. Minimizzazione della varianza dei rapporti tra valori di intensità. Minimizzazione della varianza dei valori di intensità nei segmenti. Minimizzazione della differenza assoluta dei valori di intensità. Minimizzazione della dispersione dell istogramma. Massimizzazione dell entropia relativa dell istogramma. Utilizzo implicito della registrazione di superfici. Il metodo può essere definito interattivo, automatico o semi-automatico: i metodi interattivi comportano una registrazione effettuata dall utente col supporto del software, quelli automatici provvedono alla registrazione una volta acquisiti dati e parametri, quelli semi-automatici necessitano di inizializzazioni o correzioni da parte dell utente durante la registrazione. Vista la complessità computazionale della maggior parte delle procedure di registrazione, che rende difficile un intervento umano diretto, i metodi risultano quasi tutti automatici. La procedura di ottimizzazione indica l algoritmo mediante il quale il criterio di bontà dell allineamento viene ottimizzato. La trasformazione (dominio di transformazione) si definisce globale se è applicata all intera immagine, locale se si riferisce solo ad un sottoinsieme. La modalità indica gli strumenti mediante i quali sono acquisite le immagini (CT, MRI, PET, SPECT,...): si hanno registrazioni monomodali quando le immagini sono acquisite mediante lo stesso dispositivo (CT-CT), mentre si tratta di registrazione multimodale se le immagini sono acquisite tramite tecniche diverse. Infine si parla di intrasoggetto se le immagini fanno riferimento ad un singolo paziente, intersoggetto se si utilizzano due immagini di pazienti diversi, atlante se un immagine è acquisita da un singolo paziente e l altra immagine è ottenuta da un database di immagini usando immagini di più soggetti.

50 44 Capitolo Superfici in Matlab Il modulo di Amira SurfaceView consente la visualizzazione dell osso in 3D; è possibile esportare tale modulo e salvarlo in formato VRML; tale modalità permette di ottenere per ogni osso la matrice dei punti e quella dei triangoli utilizzate nella fase di mesh. Per poter utilizzare in Matlab queste matrici si è reso necessario implementare una function ReadVrml che caricasse direttamente in Matlab le due matrici; viene caricato il file VRML e in X viene memorizzata la matrice dei punti e in Y quella dei triangoli: function [X,Y]=ReadVrml(percorso); fin è un numero intero, associato al file che viene aperto: fin = fopen(percorso); found = 0; la funzione find word ricerca nel file VRML la parola point poichè prima della matrice dei punti compare la seguente scritta Transform { children [ Shape { geometry IndexedFaceSet { coord Coordinate { point : found = find word(fin, point ); vengono inseriti i vertici nella matrice X dal file VRML: vertices=[]; si scorrono gli elementi della matrice fino a quando non si incontra la parentesi ] : while (strcmp(fscanf(fin, %s,1 ), ] )) fscanf consente di leggere un elemento per volta dal file specificato: end v = fscanf(fin, %g, 3); vertices = [vertices; v ]; X=vertices; la funzione find word ricerca nel file VRML la parola point poichè prima della matrice dei triangoli compare la seguente scritta colorpervertex FALSE solid TRUE coordindex : found = find word(fin, coordindex );

51 Capitolo 3 45 vengono inseriti i triangoli nella matrice Y dal file VRML: faces=[]; while (strcmp(fscanf(fin, %s, 1 ), ] )) end f= fscanf(fin, %g, 4)+1; faces = [faces; f ]; B=faces; Y1=(reshape(B,4,length(B)/4)) ; Y=Y1(:,1:3); la funzione find word trova la parola word dalla posizione corrente del file: function f=find word(file, word) found = 0; while( found) posizione in bytes: old position = ftell(file); restituisce la linea successiva del file: line = fgetl(file); findstr cerca word in line e restituisce l indice iniziale della parola: end if found found = length(findstr(line, word)) fseek(file, old position + found, bof ); end f = found; Una volta caricate le due matrici in Matlab, è possibile visualizzare l osso in 3D con un altra funzione; la funzione tred prende in ingresso la matrice dei punti (A) e la matrice dei triangoli (B): function tred(a,b) X=A(:,1);

52 46 Capitolo 3 Y=A(:,2); Z=A(:,3); trisurf crea le mesh: trisurf(b,x,y,z, FaceColor,[0 0 1]) Figura 3.4: Visualizzazione di un Osso in Matlab Invece per visualizzare due ossa si utilizza la funzione two: function two(a,b,c,d) X=A(:,1); Y=A(:,2); Z=A(:,3); X1=C(:,1); Y1=C(:,2); Z1=C(:,3); hold on trisurf(d,x1,y1,z1, FaceColor,[0 0 1]) trisurf(b,x,y,z, FaceColor,[1 0 0]) grid hold

53 Capitolo 3 47 Figura 3.5: Visualizzazione di due Ossa in Matlab 3.6 Iterative Closest Point Per studiare la cinematica della mano è stato implementato un algoritmo per poter sovrapporre lo stesso osso in posture differenti, e ricavare conseguentemente, la rotazione e la traslazione di uno rispetto all altro; l algoritmo implementato è l Iterative Closest Point (ICP) [8],[10],[23] che venne proposto da Besl e McKay nel 1992 [4] per la registrazione di superfici 3D; inizialmente non venne utilizzato per immagini mediche e solo in seguito venne considerato valido in tale ambito, riscuotendo un notevole successo. L algoritmo funziona con le seguenti rappresentazioni di dati geometrici: insiemi di punti; insiemi di linee; curve implicite; curve parametriche; insiemi di triangoli; superfici implicite; superfici parametriche.

54 48 Capitolo 3 L algoritmo, per la registrazione delle ossa, è stato implementato per insiemi di punti; dati due insiemi di punti 3D, V i e V j, corrispondenti alla stessa figura ma espressi in sistemi di riferimento diversi, la registrazione consiste nel trovare una transformazione 3D che, applicata a V j, minimizza la distanza tra i due insiemi di punti. Per ogni punto y i appartenente all insieme V j, esiste un punto di V i che è più vicino ad y i rispetto a tutti gli altri. Esso rappresenta il closest point x i. L idea di base dell algoritmo ICP è che, sotto determinate condizioni, i closest points sono una ragionevole approssimazione dei corrispondenti punti veri. L algoritmo ICP può essere schematizzato nel seguente modo: 1. Per ogni punto appartenente all insieme V j, si calcola il closest point appartenente all insieme V i ; 2. Con le corrispondenze calcolate nello step 1, calcola la transformazione (R i,j matrice di rotazione e t i,j vettore di traslazione); 3. Si applica la trasformazione all insieme V j ; 4. Se l errore quadratico medio è minore di una certa soglia (imposta dall operatore e che specifica la precisione della registrazione), l algoritmo termina, altrimenti si ricomincia dallo step 1. Besl e McKay dimostrarono che l algoritmo convergeva in maniera monotonica al minimo locale dell errore quadratico medio Convergenza dell Algoritmo ICP Teorema L algoritmo ICP converge sempre monotonicamente al minimo locale rispetto alla distanza quadratica media della funzione oggetto [4]. Dimostrazione (P indica la forma che verrà allineata con la forma X, che rappresenta il modello; N p rappresenta il numero di punti appartenenti a P, N x quelli appartenenti ad X; Y k ={y ij } è l insieme dei closest point al passo k). L iterazione è inizializzata ponendo P 0 =P e considerando la trasformazione q 0 costituita dalla matrice di rotazione (R) uguale alla matrice identità e il vettore di traslazione (t) equivalente al vettore nullo con k=0; dati

55 Capitolo 3 49 P k ={ p ik }= q k (P 0 ) e X e calcolato Y k ={ y ik }, l errore quadratico medio e k di tale corrispondenza è dato da e k = 1 N p yik p ik 2 (3.7) Applicando la trasformazione si ottiene d k = 1 N p yik R k p i0 t k 2 (3.8) e viene sempre soddisfatta la condizione Supponiamo per assurdo che d k e k (3.9) d k > e k (3.10) se questo fosse vero, la trasformazione identità restituirebbe un errore quadratico medio minore rispetto a quello ottenuto applicando la trasformazione e ciò non è possibile; la trasformazione q k sull insieme di punti P 0, restituisce l insieme di punti P k+1. Se la corrispondenza con l insieme Y k è mantenuta, allora l errore quadratico medio è ancora d k, cioè d k = 1 N p yik p i,k+1 2. (3.11) Comunque, calcolando i closest points si ottiene il nuovo insieme Y k+1, ed è chiaro che y i,k+1 p i,k+1 y ik p i,k+1 (3.12)

56 50 Capitolo 3 per ogni i=1,n p. Poichè y ik rappresenta il closest point prima che venga applicata la trasformazione, se y i,k+1 avesse una distanza maggiore da p i,k+1 rispetto a y ik, ciò sarebbe in contraddizione con il calcolo dei closest point. Quindi e k e d k devono soddisfare le seguenti disuguaglianze: 0 d k+1 e k+1 d k e k (3.13) per ogni k. Il limite inferiore esiste poichè l errore quadratico medio non può essere negativo; esso è non crescente e sottolimitato e ciò implica la convergenza monotonica dell algoritmo al valore minimo Outlier Diagnostic L algoritmo ICP non restituisce buoni risultati nel caso in cui siano presenti outlier; supponiamo di avere delle misure della stessa quantità e che siano molto vicine e che ve ne sia una lontana. La procedura comune è quella di rifiutare l outlier, cioè di scartare il valore più distante e considerare solo i valori rimanenti. La decisione su cosa significa lontano può essere presa soggettivamente, cioè osservando i dati e prendendo una decisione arbitraria, oppure attraverso una formale regola oggettiva per il rifiuto degli outliers, utilizzando qualche test statistico. Uno dei modi per eseguire outlier diagnostic al fine di individuare outliers univariati in ogni singola variabile, sono le cosiddette regole di rifiuto (rejection rules). Esse fanno uso della mediana e della deviazione mediana piuttosto che della media e della deviazione standard, e consentono di identificare tutte le osservazioni che hanno un valore superiore ad una certa soglia. Una volta eliminate queste osservazioni, sarà poi possibile eseguire le stime di locazione (media) e di scala (varianza) nei modi classici sui dati ripuliti. Tali regole presentano il vantaggio di essere semplici e veloci computazionalmente, inoltre possiedono punto di breakdown elevato (il punto di breakdown è la percentuale di outliers che lo stimatore riesce a tollerare nei dati, senza perdere precisione nella stima). Un gruppo di rejection rules sono le Huber-type skipped means, di cui fa parte anche la X-84 [7], utilizzato per

57 Capitolo 3 51 implementare l algoritmo. La mediana è un robusto stimatore per la media e la Median Absolute Deviation (MAD), definita come MAD = med i { ɛ i med j ɛ j } (3.14) è un robusto stimatore per la scala [12]. La X-84 elimina tutti i punti che distano più di kmad dalla mediana. Sotto le ipotesi di distribuzione Gaussiana un valore di k=5.2 è adeguato poichè la soglia risultante conterrà più del 99.9% della distribuzione Implementazione dell Algoritmo in Matlab L ICP implementato in Matlab è costituito da quattro function: registration, closestpoint, transformation, rototranslation. Il corpo del programma è costituito dalla funzione registration; la funzione prende in ingresso le due matrici di punti riferiti allo stesso osso ma rappresentati in sistemi di riferimento diversi, e restituisce in uscita la matrice di rotazione, il vettore di traslazione e la distanza media tra i punti: function [dmean,r,t]=registration(x,y) cost=0.0001; maxiter=60; i=0; R=eye(3); viene imposta inizialmente una distanza infinita tra i punti: d=inf; dold=0; t=[0 0 0] ; i=0; dmean=zeros(maxiter,1); while((abs(d dold) > cost)&i < maxiter) i=i+1 viene aggiornato dold con il valore attuale dell errore:

58 52 Capitolo 3 dold=d; viene applicata la trasformazione [1] all insieme di punti Y: Y1= transformation(r,t,y); calcolo dei closest point: [d,x1,dist,dmax] =closestpoint(y1,x); calcolo della matrice di rotazione e del vettore di traslazione: [R1,t1]= rototranslation(x1,y1); aggiornamento della matrice di rotazione: R=R1*R; aggiornamento del vettore di traslazione: end t=r1*t+t1; dmean(i)=d; dmean=dmean(1:i); La funzione transformation, data una matrice A di punti di dimensione nx3, una matrice di rotazione R 3x3 e un vettore di traslazione 3x1, effettua una trasformazione rigida sulla matrice A restituendo una nuova matrice Art: function[art]=transformation(r,t,a) [m n]=size(a); Art=(R*A +t*ones(1,m)) ; La funzione closestpoint dati due insiemi di punti, calcola i punti di C più vicini a B memorizzandoli nella matrice A, restituisce un vettore contenente le distanze, la distanza massima e la distanza media per punti validi: function [res,a,d,dmax]=closestpoint(b,c) [m n]=size(c); [u v]=size(b); if(v = n) error( Le matrici B e C devono avere lo stesso numero di colonne );

59 Capitolo 3 53 end A=zeros(u,n); D=zeros(u,1); for i=1:u end [d2 j]=min(sum((ones(m, 1) B(i, :) C).ˆ 2)); A(i,:)=C(j,:); D(i)=sqrt(d2); dmax=max(d); X84 rejection rule reietta tutti i valori maggiori di K*MAD; median, stimatore di locazione: location=median(d); absolute deviation from the median: ad=abs(d-location); MEDIAN ABSOLUTE DEVIATION stimatore di scala: mad=median(ad); sotto le ipotesi di distribuzione gaussiana, K=5.2 contiene il 99.9% della distribuzione: scale=5.2*mad; i punti non validi sono rimpiazzati da NaN: A(ad > scale, :)=NaN; distanza media per punti validi: res=mean(d(ad < scale)); La funzione rototranslation calcola la matrce di rotazione R 3x3 e il vettore di traslazione t 3x1 per due matrici di punti X e Y aventi le stesse dimensioni: function [R,t]=rototranslation(X,Y) i punti uguali a NaN vengono scartati: i = find( isnan(x)); X=reshape(X(i),length(X(i))/3,3);

60 54 Capitolo 3 Y =reshape(y(i),length(y(i))/3,3); n=size(y,1); calcolo dei centroidi: centrx=mean(x); centry=mean(y); centri d osservazione: X1 = X-ones(n,1)*centrx; Y1 = Y-ones(n,1)*centry; calcolo della matrice di rotazione R tramite decomposizione in valori singolari della matrice H: H=X1 *Y1; [U,D,V]=svd(H); S = diag([1,1,det(u*v )]); R = U*S*V ; calcolo del vettore di traslazione: t=(centrx) -R*centry

61 55 Capitolo 4 Risultati Sperimentali

62 56 Capitolo 4 Dopo aver spiegato in dettaglio da un punto di vista teorico determinati concetti, in questo capitolo verranno illustrati i risultati ottenuti sperimentalmente, partendo dai protocolli di acquisizione delle immagini, mostrando i risultati della segmentazione e della ricostruzione 3D, fino a giungere alla fase di registrazione delle ossa. 4.1 Descrizione dei Dati Acquisiti In questa tesi sono state acquisite immagini di posture diverse della mano, prima con un campo magnetico pari a 1.5 T e poi con un campo magnetico pari a 3 T; il tutto è stato svolto in due fasi: un solo soggetto e due differenti posture della mano con un campo magnetico pari a 1.5 Tesla; i risultati ottenuti non sono stati soddisfacenti ed il problema riscontrato è di sicuro legato ai parametri della risonanza magnetica; per tale ragione abbiamo effettuato un confronto con delle acquisizioni fornite dal Politecnico di Milano; le immagini del Politecnico si riferiscono ad un ginocchio, per cui le dimensioni delle ossa sono notevolmente più grandi. Hand posture/series number Protocol name Rows and column Pixel spacing Slice tichkness/slice spacing Time of repetition/echo Acquisition type Flip angle open/5 T2 TS SAG DX mm 1.00/1.10 mm 10000/141 ms 2D 150 open/6 T1 TSE COR DX mm 1.30/1.30 mm 1270/13 ms 2D 150 open/7 T2 TSE SAG DX mm 1.00/1.10 mm 10000/141 ms 2D 150 key grasp/9 T1 TSE COR DX mm 1.30/1.30 mm 1270/13 ms 2D 150 key grasp/10 T1 TSE COR DX mm 1.30/1.30 mm 1270/13 ms 2D 150 key grasp/11 T1 TSE COR DX mm 1.30/1.30 mm 843/13 ms 2D 150 key grasp/12 T1 TSE COR DX mm 1.30/1.30 mm 885/13 ms 2D 150 key grasp/13 T1 TSE COR DX mm 1.30/1.30 mm 1270/13 ms 2D 150 politecnico/ mm 1.00/- mm 8.55/3.02 ms 3D 12 Tabella 4.5: Parametri della Risonanza Magnetica

63 Capitolo 4 57 I parametri che differiscono maggiormante, non solo dalle immagini del Politecnico, ma da tutti i protocolli esposti, sono: repetition time (TR), echo time (TE), acquisition time, flip angle (angolo tra M e B 0 ); un solo soggetto e due differenti posture della mano; le immagini sono state acquisite con un campo magnetico pari a 3 T, e nei seguenti capitoli si evidenzia un miglioramento nelle immagini per queste ultime acquisizioni. In base ai protocolli esposti, il miglioramento non dovrebbe dipendere dall intensità del campo magnetico, poichè campi magnetici pari a 1.5 T sono stati ampiamente utilizzati, con successo, nella letteratura. Una differenza fra i due protocolli risiede nel tipo d acquisizione, il primo è di tipo 2D, il secondo invece, di tipo 3D; nel caso 2D si ha una selezione delle slice bidimensionale, nel caso 3D, abbiamo un gradiente di codifica di fase in più che consente di selezionare slice più sottili e quindi di avere più informazioni sull osso, ma implica dei tempi di acquisizione più lunghi. Il secondo protocollo utilizzato non è ancora standardizzato, ciò significa che saranno necessarie nuove acquisizioni per poter esporre un vero e proprio protocollo. 4.2 Acquisizione dei Dati con Campo Magnetico 1.5 Tesla Le prime immagini di risonanza magnetica sono state effettuate presso il Centro Studi della Mano di Sesto San Giovanni; l apparecchiatura utilizzata è una Siemens-Vision con un campo magnetico esterno pari a 1.5 Tesla con sequenze di pulsazioni 2D. Le acquisizioni sono state fatte in due posture differenti open hand e key grasp; affinchè la mano mantenesse quella determinata posizione sono stati utilizzati dei calchi di gesso.

64 58 Capitolo 4 Figura 4.1: Posture della Mano: Open Hand (a sinistra), Key Grasp (a destra) Per la postura open hand sono stati acquisiti 3 set di immagini (5-7), per la key grasp 5 set di immagini ( 9-13); osservazioni relative alle acquisizioni: scarsa visibilità delle ossa carpali nei set 5, 6 e 7; buona visibilità delle ossa metacarpali e carpali nei set 9-13; difficile visualizzazione delle falangi prossimali e distali del pollice nei set La segmentazione è stata effettuata selezionando un unico insieme di dati per ciascuna postura; la scelta è ricaduta sul set 6 e 12 in base a considerazioni basate sul conseguente processo di segmentazione (ovvero sono state scelte le acquisizioni che potevano prestarsi meglio alla successiva fase di segmentazione). I risultati ottenuti sono mostrati nelle seguenti figure: Figura 4.2: SERIE 6. Risultato della Segmentazione e Visualizzazione Assiale, Coronale e Sagittale della Mano

65 Capitolo 4 59 Figura 4.3: SERIE 12. Risultato della Segmentazione e Visualizzazione Assiale, Coronale e Sagittale della Mano Osservazioni e Confronti Considerazioni sulla rappresentazione 3D delle ossa della mano per la serie 6: le ossa metacarpali, ad esclusione del pollice, non sono complete; le falangi prossimali del pollice, indice, medio e anulare presentano solo le estremità, la falange del mignolo non è completa; le falangi medie dell anulare, medio e mignolo presentano solo le estremità, la falange dell indice non è completa; le falangi distali del mignolo, anulare, medio e pollice non sono complete, la falange dell indice non è stata segmentata poichè poco visibile. Considerazioni sulla rappresentazione 3D delle ossa della mano per la serie 12: le ossa metacarpali, ad esclusione del pollice, non sono complete; le falange prossimale del pollice ha solo le estremità, le restanti quattro ossa non sono visibili; la falange media del medio ha solo le estremità, la falange dell indice non è completa, le rimanenti ossa non sono visibili; le falangi distali del mignolo e del pollice non sono complete, le altre ossa non sono visibili.

66 60 Capitolo Acquisizione dei Dati con un Campo Magnetico 3 Tesla Nuove acquisizioni sono state effettuate con campo magnetico ad elevata intensità (3 Tesla), con un apparecchiatura Philips Achieva (presso l Istituto Scientifico San Raffaele di Milano) ed una sequenza di pulsazioni 3D. Anche in queso caso il soggetto (diverso rispetto alle prime acquisizioni) ha assunto due posture differenti. Abbiamo acquisito quattro set di dati, 3 e 4 per una, 7 e 10 per l altra. La segmentazione delle ossa (effettuata per i set 4 e 10) ha consentito un ottima visualizzazione 3D delle ossa metacarpali e della falange prossimale del pollice in entrambe le prove. La falange prossimale dell indice e del medio sono visibili solo per la prova 4. Figura 4.4: SERIE 4. Risultato della Segmentazione e Visualizzazione Assiale, Coronale e Sagittale della Mano Figura 4.5: SERIE 10. Risultato della Segmentazione e Visualizzazione Assiale, Coronale e Sagittale della Mano

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