Strutture in stato di tensione piana

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1 Strutture in stato di tensione piana In questa condizione vanno esaminati i recipienti in essione, che sono tipicamente strutture realizzate in spessore sottile (rispetto alle altre dimensioni ~ r/t > 10) Per il calcolo, avendo all interno un surplus p di essione rispetto all esterno, si effettua l equilibrio tra la essione e le sollecitazioni sul bordo di una emisfera pπ r πr t int med SERBATOI SFERICI Possono contenere gas o liquidi in essione, ma anche cabine essurizzate per lo spazio o batiscafi Se la essione esterna è maggiore di quella interna occorre anche una verifica al buckling (instabilità a comessione) La forma sferica è la migliore dal punto di vista peso/resistenza.. ad es. si pensi alla naturale forma delle bolle di sapone int r t med t

2 L elementino posto all esterno del guscio sferico si trova in stato di tensione uniforme (la sua circonferenza di Mohr appoggiata alla direzione perpendicolare si riduce ad un punto) qualunque sia l orientazione, le nel piano risultano seme nulle t ma 3 1 Se invece si considera un elementino sulla superficie interna compare la III tensione incipale, per ragioni dimensionali ben più piccola delle altre 1 3 pp t ma 3 + p 1 La tensione equivalente varia a seconda se si consideri la sezione interna o quella esterna Tensione equivalente di Von Mises: r r 1 eq p + + 4t t Presente o no in superficie interna o esterna, rispettivamente La soluzione trovata è quella nominale, se sono esenti variazioni di forma dovuti a innesti, ispessimenti, la soluzioni si discosta dalla nominale. Ad esempio piccoli fori inducono la tensione massima ad amplificarsi di un fattore 3

3 SERBATOI CILINDRICI A SEZIONE CIRCOLARE Anche in questo caso si considera solo la essione interna, trascurando gli effetti del peso del fluido e del serbatoio stesso. Quindi orientazione e appoggio sono ininfluenti Sono forme molto comuni, si pensi a bombole, tubi essurizzati, sottomarini, razzi, Lo stato di tensione di un elementino del mantello sarà ancora incipale nelle direzioni assiale e circonferenziale, data la simmetria geometrica e di carico, ma le due tensioni incipali sono diseguali Equilibrio di una sezione diametrale (di nuovo confondendo raggio medio e interno) pbr bt t Equilibrio di una sezione assiale p r π πrt t 1

4 Superficie esterna t t Superficie interna 1 3 p t t ma Tensione equivalente di Von Mises: + ma 1 p 3r 3r eq p 1 4t + t + Presente o no in superficie interna o esterna, rispettivamente Anche qui la soluzione trovata è quella nominale, se sono esenti variazioni di forma dovuti a innesti, ispessimenti, la soluzioni si discosta dalla nominale Notare che il mantello cilindrico è sollecitato al massimo doppiamente rispetto mantello sferico

5 Esempio Si vuole realizzare un serbatoio cilindrico a fondo sferico che non esenti intensificazioni di tensioni al raccordo. Determinare il rapporto tra gli spessori dei due mantelli a tal fine Soluzione: L idea di base è di assicurare la medesima deformabilità circonferenziale ai due mantelli. In tal modo, deformandosi in ugual misura, non si avranno tensionamenti diversi da quelli nominali t sf 1 E ε c cil ( 1 cil ν cil) ε c sf ( 1 sf ν sf ) 1 ε c cil ν E tcil tcil ε c cil Et cil ν 1 ν tcil Per un acciaio coeff. Poisson 0.3 ν 1 E 1 ε c sf ν E tsf tsf ε c sf Et sf 1 ν 0.7 t t 0.41 t 1.7 sf cil cil In sostanza il fondo dovrebbe essere molto più sottile, vicino al 40% del mantello cilindrico Notare la necessità ad utilizzare anche ν per la risoluzione della deformazione D

6 Stati di tensioni interne nelle travi inflesse Nelle travi caricate trasversalmente, coesistono tensioni che si oppongono alla flessione ed altre che si oppongono al taglio M I z ( ) z z ( ) ( ) VQ ( ) Ib Generalmente flessione e taglio vengono considerate separatamente, in quanto la ima è massima al topbottom e nulla al centro, la seconda è nulla al topbottom e massima al centro Facendo riferimento alla figura, nei punti interni si è in esenza di entrambi i termini di sollecitazione per cui 1, ± + Tensioni incipali α 1 ar tan Direzione incipale + 3 eq VonMises - Rif. incipale Ma.

7 Tangenti alle due tensioni incipali massime ( trazione) e minime ( comessione) In esenza di travi a sezione generica, non si può seme stabilire a iori quale sia il punto più sollecitato, in teoria andrebbero verificati tutti i punti interni alla sezione, in atica non è difficile restringere la verifica a punti notevoli Combinazione di carichi nelle travi Ancora più in generale, elementi traviformi possono essere soggetti a molteplici combinazioni di carico: flessioni, trazioni, torsioni, tagli e quindi lo stato di tensione risultante ne risulta molto più complesso di quelli esaminati separatamente in ecedenza In elasticità lineare, e per piccoli spostamenti, si può disporre del incipio di sovrapposizione degli effetti, trovare separatamente i singoli contributi e sommarne poi gli effetti ossia le soluzioni

8 Scelto un riferimento, particolare attenzione va posta nell inserire le tensioni al posto giusto nel tensore onde poter sommare i contributi analoghi (ad es. flessione e trazione) z z z z z P P P z M P A z P P Jz ( ) ( ) PQ z Ib z z P z z P J ( ) ( ) PQ z z I b z M + z z P P IPol z z z z z z ( p, zp) P z P P M

9 Esempio

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12 Punti dove la sollecitazione è massima