Corso di Progetto di Strutture. POTENZA, a.a Serbatoi e tubi

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1 Corso di Progetto di Strutture POTENZA, a.a Serbatoi e tubi Dott. Marco VONA Scuola di Ingegneria, Università di Basilicata marco.vona@unibas.it htt://

2 CONSIDEAZIONI INTODUTTIVE Consideriamo un tubo rettilineo, molto lungo di sezione circolare costante, disosto orizzontalmente, ieno di un fluido in ressione La ressione al centro del tubo vale γ Le areti del tubo sono soggette a una sollecitazione di trazione nella direzione trasversale ovvero nella direzione degli infiniti anelli di cui uò considerarsi comosto N

3 CONSIDEAZIONI INTODUTTIVE Pertanto er effetto della ressione il raggio del tubo aumenta e la deformazione vale: ε σ E N Es s sessore del tubo Ovviamente ciò è valido soltanto ad una certa distanza dalle sezioni d estremità

4 CONSIDEAZIONI INTODUTTIVE Studiamo ora il tratto d estremità del tubo nell iotesi che sia incastrato erfettamente l w ε N Es Es Da una certa sezione in oi effetto del vincolo sarà trascurabile e l aumento del raggio sarà ari a: ε

5 CONSIDEAZIONI INTODUTTIVE Nel tratto comreso tra l incastro d estremità e tale sezione l aumento del raggio sarà minore di ε e la generatrice del tubo assumerà una forma curva Lontano dal vincolo di estremità la ressione si scarica integralmente sugli anelli mentre in rossimità del vincolo stesso la ressione assorbita dagli anelli sarà ari a: a < La ressione residua s a Viene assorbita dalle strisce longitudinali che si inflettono

6 COMPOTAMENTO DEI TUBI In conseguenza di questi semlici ragionamenti sembra evidente oter distinguere nei tubi due diversi tii di comortamento A membrana: ovvero senza effetti flessionali ad una distanza sufficiente dai vincoli Flessionale: ovvero in rossimità dei vincoli

7 COMPOTAMENTO DEI TUBI Consideriamo ora un tubo di lunghezza l incastrato in corrisondenza delle sezioni d estremità l Se è il diametro d del tubo, se questo ha una lunghezza minore di d, il comortamento a membrana (uramente membranale) non si verifica in alcuna sezione ma si avrà un comortamento di tio flessionale

8 COMPOTAMENTO DEI TUBI Tubo rivo di vincoli di estremità. Immaginiamo il tubo rivo di vincoli di estremità In tal caso, sotto l azione della ressione interna, subirà er tutta la sua lunghezza la deformazione ε In tal caso il suo comortamento sarà ovunque di tio membranale l Per risettare la congruenza occorre alicare alla estremità del tubo i tagli Q 1 e Q e i momenti M 1 e M

9 Tubo rivo di vincoli di estremità COMPOTAMENTO DEI TUBI Per ragioni di simmetria sarà: Q 1 Q e M 1 M l M 1 M Q 1 Q In questa condizione di carico la ressione è ovunque nulla e dunque il comortamento del tubo sarà ovunque flessionale

10 COMPOTAMENTO DEI TUBI In generale, il comortamento di un tubo uò essere considerato come la sovraosizione di un comortamento a membrana dovuto alla ressione alicata al tubo rivo dei vincoli e di un comortamento flessionale dovuto alle reazioni dei vincoli, alicate sul tubo non soggetto alla ressione agionamenti analoghi ossono essere condotti nel caso di serbatoi cilindrici ad asse verticale

11 COMPOTAMENTO DEI SEBATOI Il serbatoio si comorta come un tubo incastrato alla base, libero in sommità, soggetto ad una ressione variabile linearmente con la rofondità

12 COMPOTAMENTO DEI TUBI Sotto la ressione interna gli anelli si dilatano e, in assenza di vincoli, il loro raggio aumenta linearmente con la rofondità (comortamento di tio membranale) Al contrario il vincolo da luogo ad un comortamento flessionale che si smorza con la distanza dal vincolo stesso

13 L EQUAZIONE DEI TUBI Nell iotesi che il carico alicato sia normale lungo un qualsiasi anello del tubo risultano in generale diverse da zero le caratteristiche di sollecitazione M, M θ, N e Q Tutte le caratteristiche della sollecitazione non nulle diendono solo dall ascissa x lungo le generatrici del tubo M Q Le equazioni di equilibrio non identicamente soddisfatte sono due dθ M θ N

14 L EQUAZIONE DEI TUBI 1. Equilibrio delle forze nella direzione della normale alla suerficie media del tubo M Q d d ( Qd ) Nd 0. Equilibrio dei momenti intorno alla direttrice dθ M θ N Qd d ( Md ) 0

15 L EQUAZIONE DEI TUBI Semlificando si ottiene M N dq + dm Q Q Ovvero sostituendo Q M θ N N d M + dθ

16 Dall equazione di equilibrio N L EQUAZIONE DEI TUBI d M + È evidente che il carico si suddivide in due arti dalle quali la comonente: a N È assorbita dagli anelli (comortamento a membrana) mentre la arte: s d M È assorbita dalle strisce (comortamento flessionale)

17 L EQUAZIONE DI COLLEGAMENTO DEI TUBI Le equazioni di collegamento sono tre ed esrimono le sollecitazioni M, M θ, N in funzione delle caratteristiche di deformazione Tali deformazioni, er le iotesi fatte e lontano dai vincoli, si riducono al solo sostamento radiale Consideriamo lo sostamento normale alla suerficie media w La deformazione circonferenziale vale ε w w

18 L EQUAZIONE DI COLLEGAMENTO DEI TUBI Ne consegue il valore della tensione normale in direzione longitudinale z σ x Ez w w + ν 1 ν x y σ x E oiché risulta: w y σ x 0 Ez d ν 1 w x w d w w y

19 L EQUAZIONE DI COLLEGAMENTO DEI TUBI La sollecitazione flessionale conseguente si determina er integrazione tra i due estremi definiti dallo sessore del tubo δ δ Ez d w 1 Ez d w M σ x zdz zdz 1 ν 1 1 ν δ δ D d w Definiamo ora la tensione in direzione circonferenziale σ θ ε 1 E ( ) σ νσ x σ w ν d w Eε + νσ x E + z 1 ν

20 L EQUAZIONE DI COLLEGAMENTO DEI TUBI Definiamo ora la tensione in direzione circonferenziale θ σ z σ θ ( ) x E νσ σ ε w d z w E E x ν ν νσ ε σ

21 L EQUAZIONE DI COLLEGAMENTO DEI TUBI La tensione in direzione circonferenziale uò essere vista come la somma di due differenti contributi: uno costante ed uno variabile w ν d w E z 1 ν E σ θ z z z Termine assiale Termine flessionale

22 L EQUAZIONE DI COLLEGAMENTO DEI TUBI Tensione in direzione circonferenziale δ N σ dz M δ δ Es w zdz 3 1 Es σ zdz 1 1 ν δ d w νm Sostituendo le esressioni di N ed M nell equazione di equilibrio si ottiene N d M + Es w d D d w +

23 L EQUAZIONE DI COLLEGAMENTO DEI TUBI Nel caso di tubo a sessore costante (D cost) si ottiene Es w 4 d w + D 4 Equazione dei tubi L equazione dei tubi è formalmente analoga all equazione della linea elastica della trave su suolo elastico con k costante di sottofondo e soggetta ad un carico 4 d w kw + EJ 4 EJ

24 STUDIO DEI TUBI Lo studio dei tubi si riconduce allo studio di elementi solidi geometricamente assialsimmetrici di forma cilindrica, sessore costante, soggetti a carichi agenti arallelamente al iano ortogonale all asse di simmetria Per tali ragioni la geometria si resta ad essere descritta in coordinate cilindriche r, θ e l Generalmente il roblema viene studiato come iano, iotesi che si uò ritenere valida soltanto er elementi sottili ( h/r iccolo) Le equazioni rinciali in coordinate cilindriche si ottengono da quelle in coordinate cartesiane

25 STUDIO DEI TUBI Nell iotesi che il carico esterno alicato sia normale alla SM e costante lungo un qualsiasi anello del tubo risultano in generale diverse da zero le caratteristiche di sollecitazione in direzione radiale ed in direzione normale alla suerficie laterale del generico elemento di dimensioni dr ed altezza h

26 STUDIO DEI TUBI Le equazioni di equilibrio non identicamente soddisfatte sono due Equilibrio delle forze lungo la normale alla SM d d ( Qd ) N d 0 Equilibrio dei momenti intorno alla direttrice della SM Qd d ( Md ) 0

27 L INTEGALE GENEALE DELL EQUAZIONE DEI TUBI L equazione dei tubi trasformata in forma canonica: 4 d w 4 Es D + w Es D D 1 1 ν s 4 Si one: ( ) 4 α α ( ν ) s 1.3 s (il numeratore varia tra er ν 0 e 1.85 er ν 0.3 ) L equazione dei tubi diventa: 4 d w α w D

28 L INTEGALE GENEALE DELL EQUAZIONE DEI TUBI Si iotizza che il carico esterno sia esresso da un olinomio in x di grado non sueriore a 3 (nei casi ratici è costante oure lineare) Quindi un integrale articolare (soluzione) dell equazione non omogenea è data da: w 4 4 α D Es Il termine di membrana dovuto al carico non è altro che l integrale articolare della equazione non omogenea Si deduce che è il termine di membrana oiché la sua derivata 4 corrisonde al carico s delle strisce e cioè al comortamento flessionale