Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 1/24

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 1/24"

Transcript

1 Contenuto Endomorfismi auto-aggiunti. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale Gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali. (Dimostrazione fatta usando i numeri complessi). Dimostrazione del teorema spettrale. Forme quadratiche. Riduzione a forma diagonale. Forme quadratiche definite, semidefinite, indefinite. Applicazioni geometriche: Riduzione di una conica agli assi principali. (Complementi) Decomposizione polare. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 1/24

2 Operatori auto-aggiunti. Matrici simmetriche Definizione V spazio vettoriale euclideo. Un endomorfismo F : V V si dice auto-aggiunto o simmetrico se, per ogni v, w V, (Fv) w = v (Fw) (1) Si dimostra facilmente il seguente: Teorema Se B = (v 1,..., v n ) è una base ortonormale, un endomorfismo F è auto-aggiunto se e solo se la sua matrice rispetto a B è simmetrica, cioè A = A t. Se A = A t è una matrice simmetrica, per ogni X, Y R n si ha AX Y = X AY (2) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 2/24

3 Il teorema spettrale Teorema (Teorema spettrale) Sia A = A t una matrice reale simmetrica n n. Allora: 1 Tutti gli autovalori λ 1,..., λ n di A sono reali. 2 Autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali. 3 A è ortogonalmente diagonalizzabile. Questo significa che esiste una base ortonormale B di R n che è formata da autovettori di A. Dunque, esiste una matrice invertibile P per la quale A = P 1 AP = diag (λ 1,..., λ n ) (3) P è ortogonale (P 1 = P t ), perché le sue colonne sono i vettori della base ortonormale B. Dunque si può scrivere anche A = P 1 AP = P t AP = diag (λ 1,..., λ n ) (4) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 3/24

4 Conseguenze della proprietà di simmetria Lemma 1 Gli autovalori di un operatore auto-aggiunto sono reali. Lemma 2 Autovettori di un operatore auto-aggiunto (o di una matrice simmetrica), relativi ad autovalori distinti, sono ortogonali. Lemma 3 Sia v un autovettore di un operatore auto-aggiunto F. Allora F trasforma il complemento ortogonale V 0 = v in sé. Dunque è definita la restrizione F V 0 F V 0 : V 0 V 0 In breve: il sottospazio V 0 = v è F-invariante. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 4/24

5 Lemma 1: Gli autovalori di una matrice simmetrica sono reali. (Uso dei numeri complessi). Per il teorema fondamentale dell algebra, esiste un numero complesso λ = α + iω per il quale P A (λ) = 0. Ora proviamo che λ è reale (cioè, ω = 0). Idea: pensiamo alla matrice A come a un endomorfismo C n A C n Il numero λ è autovalore di A. Dunque, esiste un autovettore Z = X + iy in C n (X, Y R n ), z 1 x 1 + iy 1 Z = = Cn z n x n + iy n Si ha AZ = λz, ossia A(X + iy ) = (α + iω)(x + iy ) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 5/24

6 Separando le parti reali e immaginarie, AX = αx ωy, AY = αy + ωx (5) Ricordare: la condizione di simmetria A = A t equivale a: AX Y = X AY (6) Allora, da (5) e (6) segue (αx ωy ) Y = X (αy + ωx) ossia ovvero α(x Y ) ω(y Y ) = α(x Y ) + ω(x X) ω ( X 2 + Y 2) = 0 Poiché X + iy = Z 0 (e quindi X 2 + Y 2 0), deve essere ω = 0. Conclusione: λ = α è un numero reale. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 6/24

7 Lemma 2: Autovettori relativi ad autovalori distinti di una matrice simmetrica, sono ortogonali Siano X 1, X 2 autovettori della matrice simmetrica A, AX 1 = λ 1 X 1, AX 2 = λ 2 X 2, con autovalori distinti: λ 1 λ 2. Poiché A è simmetrica, (AX 1 ) X 2 = X 1 (AX 2 ) Quindi (λ 1 X 1 ) X 2 = X 1 (λ 2 X 2 ) ossia (λ 1 λ 2 )(X 1 X 2 ) = 0 Poiché λ 1 λ 2 0, si deve avere X 1 X 2 = 0. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 7/24

8 Lemma 3: Se v è autovettore di F auto-aggiunto, il complemento ortogonale v è F-invariante Ipotesi: v V autovettore dell operatore autoaggiunto F, e w v, cioè Tesi: Fv = λv v w = 0 Fw appartiene a v, cioè La dimostrazione è semplice: (Fw) v = 0 (Fw) v = w (Fv) = w (λv) = λ(w v) = 0 Dunque, posto V 0 = v, la restrizione F V 0 trasforma V 0 in sé: F V 0 : V 0 V 0 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 8/24

9 Dimostrazione del teorema spettrale Teorema spettrale Ogni endomorfismo auto-aggiunto su uno spazio vettoriale euclideo V ha una base ortonormale di autovettori. In breve: Ogni endomorfismo auto-aggiunto è ortogonalmente diagonalizzabile. Dimostrazione (Per induzione sulla dimensione n di V ) Base dell induzione: caso n = 1. Banale. Un qualunque vettore non nullo è autovettore. Per ottenere una base ortonormale, basta normalizzarlo. Supponiamo l enunciato vero in dimensione n 1. Sia F : V V auto-aggiunto, dim V = n. Abbiamo dimostrato che F possiede un autovettore v (che possiamo pensare unitario). Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 9/24

10 Dimostrazione del teorema spettrale (Continuazione). Dimostrazione (Continuazione) Il complemento ortogonale V 0 = v ha dimensione n 1 ed è F-invariante (Fatto 3). Consideriamo allora la restrizione F V 0 di F a V 0 : F V 0 : V 0 V 0 Per l ipotesi induttiva, l operatore autoaggiunto F V 0 possiede una base ortonormale v 1,..., v n 1 di autovettori. Allora v 1,..., v n 1, v è una base ortonormale di V formata da autovettori di F. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 10/24

11 Operatore auto-aggiunto F Assi principali: V λ1, V λ2, (λ 1 λ 2 ) Fv 1 = λ 1 v 1 v 1 v 2 Base o.n. di autovettori Fv 2 = λ 2 v 2 S 1 F(S 1 ) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 11/24

12 Forme quadratiche in due variabili Forma quadratica in due variabili La forma quadratica associata alla matrice simmetrica (A t = A) A = a b b c è il polinomio omogeneo di secondo grado in x 1, x 2 q(x) = X t AX = (AX) X dove X = x 1 x 2. Esplicitamente: X t AX = x 1 x 2 a b b c x 1 x 2 = ax bx 1x 2 + cx 2 2 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 12/24

13 Forme quadratiche in n variabili Definizione (Forme quadratiche su R n ) La forma quadratica in n variabili associata alla matrice simmetrica A, n n, è il polinomio omogeneo di secondo grado: R n q R, q(x) = X t AX = i,j=1,...,n a ij x i x j In modo equivalente, si può anche scrivere: q(x) = (AX) X Esempio: q(x 1, x 2, x 3 ) = x x x 2 3 è una forma quadratica in tre variabili. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 13/24

14 Cambio di coordinate in una forme quadratica X = (x 1,..., x n ) t : Coordinate rispetto alla base canonica q(x) = X t AX: Forma quadratica. Cambio di variabili: X = PX. Il polinomio X t AX diventa (PX ) t A(PX ) = X t (P t AP) X Quindi la matrice A che rappresenta la forma quadratica, si trasforma in A = P t AP Una matrice A si dice congruente a A se esiste una P invertibile per la quale A = P t AP. (E una relazione di equivalenza). Dunque, la matrice A rappresentativa di una forma quadratica si trasforma per congruenza. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 14/24

15 Diagonalizzazione di forme quadratiche Se A è una matrice diagonale diag (λ 1,..., λ n ), la forma quadratica q(x) = X t AX si scrive nella forma diagonale q(x 1,..., x n ) = λ 1 x λ n x 2 n Teorema (Ogni forma quadratica può essere scritta in forma diagonale) Sia q una forma quadratica su R n. Allora esiste una base ortonormale B di R n che diagonalizza q. Questo significa che, dette (x 1,..., x n) le coordinate rispetto a tale base, si ha q(x 1,..., x n) = λ 1 (x 1 )2 + + λ n (x n) 2 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 15/24

16 Dimostrazione Per il teorema spettrale, esiste una matrice ortogonale P (di cambio di base) che diagonalizza A: A = P 1 AP = P t AP = diag (λ 1,..., λ n ) (7) Con il cambio di coordinate X = PX, la matrice rappresentativa della forma quadratica q si trasforma proprio nella matrice diagonale A = P t AP. Dunque, nelle coordinate X la forma quadratica si scrive in forma diagonale. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 16/24

17 Classificazione: forme quadratiche definite e indefinite Definizione Una forma quadratica q(x) si dice: Definita positiva, se q(x) > 0 per ogni X 0. Esempio: q(x 1, x 2 ) = λ 1 x λ 2x 2 2, λ 1, λ 2 > 0 Definita negativa, se q(x) < 0 per ogni X 0. Esempio: q(x 1, x 2 ) = λ 1 x λ 2x 2 2, λ 1, λ 2 < 0 Indefinita, se assume sia valori positivi che valori negativi. Esempio: q(x 1, x 2 ) = λ 1 x λ 2x 2 2, λ 1 > 0, λ 2 < 0 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 17/24

18 Classificazione: forme quadratiche semidefinite Definizione Una forma quadratica q(x) si dice: Semidefinita positiva, se q(x) 0. Esempio: q(x 1, x 2 ) = λ 1 x 2 1, λ 1 > 0, λ 2 = 0 Semidefinita negativa, se q(x) 0. Esempio: q(x 1, x 2 ) = λ 1 x 2 1, λ 1 < 0, λ 2 = 0 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 18/24

19 Segnatura di una forma quadratica Una riduzione in foma diagonale di q sia: q(x 1,..., x n ) = λ 1 x λ n x 2 n, La segnatura di q(x) è la sequenza (+,.., +,,..,, 0,.., 0), dove i segni + (risp., i segni ) sono quanti i λ positivi (risp., negativi), e gli zeri quanti i λ nulli. Esempi: q(x 1, x 2, x 3 ) = x1 2 x 2 2 (+,, 0). q(x 1, x 2, x 3 ) = x1 2 + x 2 2 x 3 2 (+, +, ). La segnatura non dipende dalla particolare scrittura in forma diagonale (Teorema di inerzia, di Sylvester) e determina il tipo della forma quadratica q: Se i segni sono tutti +, è definita positiva; Se i segni sono tutti, è definita negativa; Se ci sono sia segni + che segni, è indefinita; Se ci sono solo segni + (o solo ) e almeno uno 0, è semidefinita. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 19/24

20 Applicazione: studio di coniche Problema Classificare la conica (del piano) di equazione 3x x 1x 2 + 3x2 2 = 1 ( ) La matrice di q(x 1, x 2 ) = 3x x 1x 2 + 3x è A =. 1 3 Gli autovalori sono entrambi positivi: λ 1 = 2, λ 2 = 4. Con una opportuna rotazione degli assi, la forma quadratica si trasforma nella forma diagonale 2x x 2 = 1, o Si tratta di un ellisse. x 1 2 (1/ 2) + x (1/2) 2 = 1 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 20/24

21 Riduzione di una conica agli assi principali y y v 2 x v 1 Assi principali di simmetria x ( ) 3x 2 + 2xy + 3y = 1, A =. λ = 2, λ 2 = 4, P = [ ( ) ] 2/2 2/2 v 1, v 2 = 2/2, (P t = P 1 ), X = PX. 2/2 Forma canonica: 2x 2 + 4y 2 = 1, ossia x 1 2 (1/ 2) + x (1/2) 2 = 1 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 21/24

22 Applicazione: studio di quadriche Problema Classificare la quadrica (dello spazio) di equazione 2x x x x 2x 3 = 1 La matrice di q(x 1, x 2, x 3 ) = 2x x x x 2x 3 è A = Gli autovalori sono tutti positivi: λ 1 = 2, λ 2 = 4, λ 3 = 6. Con una opportuna rotazione degli assi, la forma quadratica si trasforma nella forma diagonale 2x x x 3 2 = 1, o x 2 1 (1/ 2) + x (1/2) 2 + x1 2 (1/ 6) = 1 2 È un ellissoide. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 22/24

23 Decomposizione polare Teorema (Decomposizione polare) Sia T un operatore lineare invertibile di uno spazio vettoriale euclideo. Allora esistono, e sono unici, un operatore autoaggiunto S positivo (cioè, con autovalori positivi) e un operatore ortogonale Q (cioè, una isometria lineare), per i quali T = QS (8) Esistono anche, e sono unici, un operatore autoaggiunto positivo S e un operatore ortogonale Q, per i quali Si ha Q = Q e S = QSQ 1. T = S Q (9) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 23/24

24 Decomposizione polare (Idea della dimostrazione) La dimostrazione si basa sul seguente fatto notevole (n = 2): Per ogni operatore lineare invertibile R 2 T R 2, esistono sempre due vettori unitari v 1, v 2 ortogonali tra loro, tali che i loro trasformati T (v 1 ), T (v 2 ) siano anch essi ortogonali tra loro. v 1 T v2 T v 1 v 2 T S 1 T (S 1 ) S: Operatore simmetrico che dilata gli assi di v 1, v 2, portando questi vettori a essere lunghi quanto T v 1, T v 2 ; Q: Isometria lineare che porta Sv 1, Sv 2 su T v 1, T v 2, rispettivamente. Allora, si ha T = QS. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 24/24

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Terzo Appello del corso di Geometria e Algebra II Parte - Docente F. Flamini, Roma, 7/09/2007 SVOLGIMENTO COMPITO III APPELLO

Dettagli

Prova scritta di Geometria 2 Prof. M. Boratynski

Prova scritta di Geometria 2 Prof. M. Boratynski 10/9/2008 Es. 1: Si consideri la forma bilineare simmetrica b su R 3 associata, rispetto alla base canonica {e 1, e 2, e 3 } alla matrice 3 2 1 A = 2 3 0. 1 0 1 1) Provare che (R 3, b) è uno spazio vettoriale

Dettagli

Forme bilineari e prodotti scalari. Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione. b :

Forme bilineari e prodotti scalari. Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione. b : Forme bilineari e prodotti scalari Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione b : { V V K ( v, w) b( v, w), si dice forma bilineare su V se per ogni u, v, w V e per ogni k K:

Dettagli

1 Regole generali per l esame. 2 Libro di Testo

1 Regole generali per l esame. 2 Libro di Testo FACOLTÀ DI INGEGNERIA Corso di GEOMETRIA E ALGEBRA (mn). (Ing. per l Ambiente e il Territorio, Ing. Informatica - Sede di Mantova) A.A. 2008/2009. Docente: F. BISI. 1 Regole generali per l esame L esame

Dettagli

Grazie ai Colleghi di Geometria del Dipartimento di Matematica dell Università degli Studi di Torino per il loro prezioso contributo. Grazie al Prof.

Grazie ai Colleghi di Geometria del Dipartimento di Matematica dell Università degli Studi di Torino per il loro prezioso contributo. Grazie al Prof. A01 178 Grazie ai Colleghi di Geometria del Dipartimento di Matematica dell Università degli Studi di Torino per il loro prezioso contributo. Grazie al Prof. S.M. Salamon per tanti utili suggerimenti e

Dettagli

LEZIONI DI ALGEBRA LINEARE PER LE APPLICAZIONI FINANZIARIE

LEZIONI DI ALGEBRA LINEARE PER LE APPLICAZIONI FINANZIARIE LEZIONI DI ALGEBRA LINEARE PER LE APPLICAZIONI FINANZIARIE FLAVIO ANGELINI Sommario Queste note hanno lo scopo di indicare a studenti di Economia interessati alla finanza quantitativa i concetti essenziali

Dettagli

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto.

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto. 29 giugno 2009 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola

Dettagli

Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari

Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari CAPITOLO 9 Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari Esercizio 9.1. Verificare che v = (1, 0, 0, 1) è autovettore dell applicazione lineare T così definita T(x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (2x 1 2x 3, x

Dettagli

x 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0.

x 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0. Problema. Sia W il sottospazio dello spazio vettoriale R 4 dato da tutte le soluzioni dell equazione x + x 2 + x = 0. (a. Sia U R 4 il sottospazio dato da tutte le soluzioni dell equazione Si determini

Dettagli

RICHIAMI SULLE MATRICI. Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come

RICHIAMI SULLE MATRICI. Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come RICHIAMI SULLE MATRICI Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n............ a m1 a m2... a mn dove m ed n sono le dimensioni di A. La matrice A può

Dettagli

Algebra Lineare e Geometria

Algebra Lineare e Geometria Algebra Lineare e Geometria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica A.A. 2013-2014 Prova d esame del 16/06/2014. 1) a) Determinare la matrice associata all applicazione lineare T : R 3 R 4 definita da

Dettagli

Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esame di Geometria (Prof. F. Tovena) Argomenti: Proprietà di nucleo e immagine di una applicazione lineare. dim V = dim

Dettagli

LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0

LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0 LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi

Dettagli

Autovalori e Autovettori

Autovalori e Autovettori Daniela Lera Università degli Studi di Cagliari Dipartimento di Matematica e Informatica A.A. 2008-2009 Autovalori e Autovettori Definizione Siano A C nxn, λ C, e x C n, x 0, tali che Ax = λx. (1) Allora

Dettagli

LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE

LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE Sia f:a B una funzione tra due insiemi. Se y appartiene all immagine di f si chiama fibra di f sopra y l insieme f -1 y) ossia l insieme di tutte le controimmagini

Dettagli

ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di Laurea Ingegneria Edile-Architettura

ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di Laurea Ingegneria Edile-Architettura Cognome Nome Matricola ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di Laurea Ingegneria Edile-Architettura (Primo appello/ii prova parziale 15/6/15 - Chiarellotto-Urbinati) Per la II prova: solo esercizi

Dettagli

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte)

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte) Corso di Geometria I (seconda parte) anno acc. 2009/2010 Cambiamento del sistema di riferimento in E 3 Consideriamo in E 3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R, ed un punto P (x, y, z) in R. Lo

Dettagli

Università degli Studi di Roma La Sapienza Laurea in Ingegneria Energetica A.A. 2014-2015 Programma del corso di Geometria Prof.

Università degli Studi di Roma La Sapienza Laurea in Ingegneria Energetica A.A. 2014-2015 Programma del corso di Geometria Prof. Università degli Studi di Roma La Sapienza Laurea in Ingegneria Energetica A.A. 2014-2015 Programma del corso di Geometria Prof. Antonio Cigliola Prerequisiti Logica elementare. Principio di Induzione.

Dettagli

f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) f(x, y, z) = (x + 2y z, x + y z, x + 2y) F (f(x)) = (f(0), f(1), f(2))

f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) f(x, y, z) = (x + 2y z, x + y z, x + 2y) F (f(x)) = (f(0), f(1), f(2)) Algebra Lineare e Geometria Analitica Politecnico di Milano Ingegneria Applicazioni Lineari 1. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) per ogni (x,

Dettagli

Matrice rappresent. Base ker e img. Rappresentazione cartesiana ker(f) + im(f).

Matrice rappresent. Base ker e img. Rappresentazione cartesiana ker(f) + im(f). Due Matrici A,B. Ker f = ker g. 1- Ridurre a scala A e B e faccio il sistema. 2 Se Vengono gli stessi valori allora, i ker sono uguali. Cauchy 1 autovalore, 1- Metto a matrice x1(0),x2(0),x3(0) e la chiamo

Dettagli

3. SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE

3. SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE 3 SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE 31 Prodotti scalari Definizione 311 Sia V SV(R) Un prodotto scalare su V è un applicazione, : V V R (v 1,v 2 ) v 1,v 2 tale che: i) v,v = v,v per ogni v,v V ; ii)

Dettagli

TEMA 1. 1. Della seguente matrice, calcolare i complementi algebrici e il determinante: a + b 1 a 2 S = a + b + 3 a + 2b. x = t. f = x 2 + 2xy 3y 2,

TEMA 1. 1. Della seguente matrice, calcolare i complementi algebrici e il determinante: a + b 1 a 2 S = a + b + 3 a + 2b. x = t. f = x 2 + 2xy 3y 2, Prova scritta di MATEMATICA B1 Vicenza, 17 marzo 008 TEMA 1 1 1 A = 1 0 1. 3 0 1. Stabilire se il seguente sottoinsieme di M(, R): {( ) a + b 1 a S = a, b R}, a + b + 3 a + b è un sottospazio di M(, R).

Dettagli

CORSO DI LAUREA INF TWM ANNO DI IMMATRICOLAZIONE MATRICOLA

CORSO DI LAUREA INF TWM ANNO DI IMMATRICOLAZIONE MATRICOLA COGNOME NOME CORSO DI LAUREA INF TWM ANNO DI IMMATRICOLAZIONE MATRICOLA SIMULAZIONE SCRITTO DI MATEMATICA DISCRETA, SECONDA PARTE Per ottenere la sufficienza bisogna rispondere in modo corretto ad almeno

Dettagli

Tutorato di GE110. Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica

Tutorato di GE110. Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Tutorato di GE110 A.A. 2014-2015 - Docente: Prof. Angelo Felice Lopez Tutori: Federico Campanini e Giulia Salustri Soluzioni Tutorato 13

Dettagli

Parte 6. Applicazioni lineari

Parte 6. Applicazioni lineari Parte 6 Applicazioni lineari A Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Applicazioni fra insiemi, 2 Applicazioni lineari tra spazi vettoriali, 2 3 Applicazioni lineari da R n a R

Dettagli

2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione

2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione Capitolo 2 MATRICI Fra tutte le applicazioni su uno spazio vettoriale interessa esaminare quelle che mantengono la struttura di spazio vettoriale e che, per questo, vengono dette lineari La loro importanza

Dettagli

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile-Architettura

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile-Architettura Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile-Architettura Primo Esonero del corso di Geometria Docente F. Flamini, Roma, 2//28 SOLUZIONI COMPITO I ESONERO Esercizio.

Dettagli

Corso di Analisi Numerica

Corso di Analisi Numerica Corso di Laurea in Ingegneria Informatica Corso di Analisi Numerica 8 - METODI ITERATIVI PER I SISTEMI LINEARI Lucio Demeio Dipartimento di Scienze Matematiche 1 Norme e distanze 2 3 4 Norme e distanze

Dettagli

Applicazioni lineari

Applicazioni lineari Applicazioni lineari Esempi di applicazioni lineari Definizione. Se V e W sono spazi vettoriali, una applicazione lineare è una funzione f: V W tale che, per ogni v, w V e per ogni a, b R si abbia f(av

Dettagli

Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016

Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Esercizi di Complementi di Matematica (L-Z) a.a. 2015/2016 Prodotti scalari e forme bilineari simmetriche (1) Sia F : R 2 R 2 R un applicazione definita da F (x, y) = x 1 y 1 + 3x 1 y 2 5x 2 y 1 + 2x 2

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Francesco Bottacin Padova, 24 febbraio 2012 Capitolo 1 Algebra Lineare 1.1 Spazi e sottospazi vettoriali Esercizio 1.1. Sia U il sottospazio di R 4 generato dai

Dettagli

Siano V e W due spazi vettoriali. La definizione seguente é è tra quelle basilari per il corso di Matematica B. L : V W

Siano V e W due spazi vettoriali. La definizione seguente é è tra quelle basilari per il corso di Matematica B. L : V W Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Siano V e W due spazi vettoriali. La definizione seguente é è tra quelle basilari per il corso di Matematica B. Definizione 1. La funzione L : V W si dice una applicazione

Dettagli

Soluzione. (a) L insieme F 1 e linearmente indipendente; gli insiemi F 2 ed F 3 sono linearmente

Soluzione. (a) L insieme F 1 e linearmente indipendente; gli insiemi F 2 ed F 3 sono linearmente 1. Insiemi di generatori, lineare indipendenza, basi, dimensione. Consideriamo nello spazio vettoriale R 3 i seguenti vettori: v 1 = (0, 1, ), v = (1, 1, 1), v 3 = (, 1, 0), v 4 = (3, 3, ). Siano poi F

Dettagli

Geometria I A. Algebra lineare

Geometria I A. Algebra lineare UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Geometria I A. Algebra lineare Prof.ssa Silvia Pianta Anno Accademico 22/23 Indice Spazi vettoriali 7 Definizione

Dettagli

Appunti di Algebra Lineare e Matrici

Appunti di Algebra Lineare e Matrici Appunti di Algebra Lineare e Matrici Basilio Bona Dipartimento di Automatica e Informatica Politecnico di Torino Internal Report: DAUIN/BB-2003-09-01 Capitolo 1 Matrici e vettori Il lettore interessato

Dettagli

ESERCIZI APPLICAZIONI LINEARI

ESERCIZI APPLICAZIONI LINEARI ESERCIZI APPLICAZIONI LINEARI PAOLO FACCIN 1. Esercizi sulle applicazioni lineari 1.1. Definizioni sulle applicazioni lineari. Siano V, e W spazi vettoriali, con rispettive basi B V := (v 1 v n) e B W

Dettagli

Numeri complessi e polinomi

Numeri complessi e polinomi Numeri complessi e polinomi 1 Numeri complessi L insieme dei numeri reali si identifica con la retta della geometria: in altri termini la retta si può dotare delle operazioni + e e divenire un insieme

Dettagli

Appunti di Algebra Lineare

Appunti di Algebra Lineare Appunti di Algebra Lineare Indice 1 I vettori geometrici. 1 1.1 Introduzione................................... 1 1. Somma e prodotto per uno scalare....................... 1 1.3 Combinazioni lineari e

Dettagli

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1 LEZIONE 14 141 Dimensione di uno spazio vettoriale Abbiamo visto come l esistenza di una base in uno spazio vettoriale V su k = R, C, permetta di sostituire a V, che può essere complicato da trattare,

Dettagli

Le trasformazioni geometriche

Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni affini del piano o affinità Le similitudini Le isometrie Le traslazioni Le rotazioni Le simmetrie assiale e centrale Le omotetie

Dettagli

Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A ESERCIZI DA CONSEGNARE prof.

Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A ESERCIZI DA CONSEGNARE prof. Sapienza Università di Roma Corso di laurea in Ingegneria Energetica Geometria A.A. 2015-2016 ESERCIZI DA CONSEGNARE prof. Cigliola Consegna per Martedì 6 Ottobre Esercizio 1. Una matrice quadrata A si

Dettagli

2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio Φ di coniche di equazione. determinando in particolare le sue coniche spezzate ed i suoi punti base.

2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio Φ di coniche di equazione. determinando in particolare le sue coniche spezzate ed i suoi punti base. DPARTMENTO D MATEMATCA E NFORMATCA Corso di Laurea in ngegneria Telematica Prova scritta di Elementi di Algebra e Geometria assegnata il 18/7/02 È assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni

Dettagli

3 Applicazioni lineari e matrici

3 Applicazioni lineari e matrici 3 Applicazioni lineari e matrici 3.1 Applicazioni lineari Definizione 3.1 Siano V e W dei K spazi vettoriali. Una funzione f : V W è detta applicazione lineare se: i u, v V, si ha f(u + v = f(u + f(v;

Dettagli

Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali.

Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. CAPITOLO 7 Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. Esercizio 7.1. Determinare il rango delle seguenti matrici al variare del parametro t R. 1 4 2 1 4 2 A 1 = 0 t+1 1 A 2 = 0 t+1 1

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)

Dettagli

GRUPPI E LORO AZIONI

GRUPPI E LORO AZIONI GRUPPI E LORO AZIONI 1. Azioni e rappresentazioni Siano G un gruppo e S un insieme. Si dice che G agisce a sinistra su S se vi è una applicazione σ : G S S dove, per semplicità si scriverà sempre σ((g,

Dettagli

PROBLEMI DI GEOMETRIA

PROBLEMI DI GEOMETRIA PROBLEMI DI GEOMETRIA Lucio Guerra 1994 v. 1 2001 v. 2.7 Dipartimento di Matematica e Informatica - Università di Perugia Indice 1. EQUAZIONI LINEARI 1 2. SPAZI VETTORIALI 2 3. APPLICAZIONI LINEARI 4 4.

Dettagli

Forme quadratiche e coniche. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni.

Forme quadratiche e coniche. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni. Forme quadratiche e coniche. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni. Argomenti: Prodotto scalare. Matrici simmetriche e forme quadratiche. Diagonalizzazione

Dettagli

Metodi iterativi per sistemi lineari

Metodi iterativi per sistemi lineari Metodi iterativi per sistemi lineari Dario A. Bini, Università di Pisa 30 ottobre 2013 Sommario Questo modulo didattico contiene risultati relativi ai metodi iterativi per risolvere sistemi di equazioni

Dettagli

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI

METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI METODI ITERATIVI PER SISTEMI LINEARI LUCIA GASTALDI 1. Metodi iterativi classici Sia A R n n una matrice non singolare e sia b R n. Consideriamo il sistema (1) Ax = b. Un metodo iterativo per la soluzione

Dettagli

Stabilità di Lyapunov

Stabilità di Lyapunov Stabilità di Lyapunov Flaviano Battelli Dipartimento di Scienze Matematiche Università Politecnica delle Marche Ancona Introduzione. In queste note presentiamo i primi elementi della teoria della stabilità

Dettagli

LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO. Liceo G. GALILEI - Verona Venerdì 10 Aprile 2015 CONVEGNO MATHESIS VERONA

LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO. Liceo G. GALILEI - Verona Venerdì 10 Aprile 2015 CONVEGNO MATHESIS VERONA LA GEOMETRIA ANALITICA DELLO SPAZIO CONVEGNO MATHESIS Liceo G. GALILEI - Verona Venerdì 10 Aprile 2015 Perché Assenza di ogni riferimento alla geometria analitica dello spazio nel quadri di Mondrian La

Dettagli

Esercizi di Geometria - 2

Esercizi di Geometria - 2 Esercizi di Geometria - 2 Samuele Mongodi - s.mongodi@sns.it La prima sezione contiene alcune domande aperte e alcune domande verofalso, come quelle che potrebbero capitare nel test. E consigliabile, nel

Dettagli

Applicazioni lineari

Applicazioni lineari CAPITOLO 8 Applicazioni lineari Esercizio 8.. Sia T : R 3 R 3 l applicazione definita da T(x,x,x 3 ) = (x,x,x 3 ). Stabilire se T è lineare. Esercizio 8.. Verificare che la funzione determinante definita

Dettagli

REGISTRO DELLE LEZIONI

REGISTRO DELLE LEZIONI UNIVERSITA DEGLI STUDI DI GENOVA FACOLTA DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI REGISTRO DELLE LEZIONI del Corso UFFICIALE di GEOMETRIA B tenute dal prof. Domenico AREZZO nell anno accademico 2006/2007

Dettagli

Facoltà di Ingegneria anno accademico 2007/08 Registro dell'attività didattica. Calcolo 2 [40214]

Facoltà di Ingegneria anno accademico 2007/08 Registro dell'attività didattica. Calcolo 2 [40214] Facoltà di Ingegneria anno accademico 2007/08 Registro dell'attività didattica Calcolo 2 [40214] Attività didattica: Attività didattica [codice] Corso di studio Facoltà Calcolo 2 [40214] Ingegneria delle

Dettagli

Lezioni di Geometria e Algebra. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio

Lezioni di Geometria e Algebra. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio Lezioni di Geometria e Algebra Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio CAPITOLO 4 Applicazioni lineari 1. Definizioni ed esempi. In questo capitolo ci proponiamo di studiare le funzioni tra spazi

Dettagli

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio 2013 - A)

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio 2013 - A) Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio 23 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Nello spazio R 3, siano dati il piano e i punti P = (, 2, ), Q = (2,, ). π : x + 2y 3

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva

Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Esercizi per Geometria II Geometria euclidea e proiettiva Filippo F. Favale 8 aprile 014 Esercizio 1 Si consideri E dotato di un riferimento cartesiano ortonormale di coordinate (x, y) e origine O. Si

Dettagli

LEZIONE 16. Proposizione 16.1.2. Siano V e W spazi vettoriali su k = R, C. Se f: V W

LEZIONE 16. Proposizione 16.1.2. Siano V e W spazi vettoriali su k = R, C. Se f: V W LEZIONE 16 16.1. Applicazioni lineari iniettive e suriettive. Ricordo le seguenti due definizioni valide per applicazioni di qualsiasi tipo ϕ: X Y fra due insiemi. L applicazione ϕ si dice iniettiva se

Dettagli

(P x) (P y) = x P t (P y) = x (P t P )y = x y.

(P x) (P y) = x P t (P y) = x (P t P )y = x y. Matrici ortogonali Se P è una matrice reale n n, allora (P x) y x (P t y) per ogni x,y R n (colonne) Dim (P x) y (P x) t y (x t P t )y x t (P t y) x (P t y), CVD Ulteriori caratterizzazioni delle matrici

Dettagli

Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari

Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari Versione ottobre novembre 2008 Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari Contenuto 1. Applicazioni lineari 2. L insieme delle

Dettagli

Lezioni del corso di Geometria e Algebra. prof. Michele Mulazzani dott. Alessia Cattabriga

Lezioni del corso di Geometria e Algebra. prof. Michele Mulazzani dott. Alessia Cattabriga Lezioni del corso di Geometria e Algebra prof Michele Mulazzani dott Alessia Cattabriga AA 20001/2002 Indice 1 Equazioni e sistemi lineari 4 11 Alcune strutture algebriche 4 12 Operazioni standard su K

Dettagli

Esercizi e Complementi di Geometria Analitica 2003/2004

Esercizi e Complementi di Geometria Analitica 2003/2004 Dipartimento di Matematica Guido Castelnuovo Università degli Studi di Roma La Sapienza Esercizi e Complementi di Geometria Analitica 2003/2004 Domenico Fiorenza e Marco Manetti Premessa Queste note sono

Dettagli

3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici

3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici 3. Vettori, Spazi Vettoriali e Matrici Vettori e Spazi Vettoriali Operazioni tra vettori Basi Trasformazioni ed Operatori Operazioni tra Matrici Autovalori ed autovettori Forme quadratiche, quadriche e

Dettagli

1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali

1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali 1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali Definizione 1 (Applicazioni lineari) Si chiama applicazione lineare una applicazione tra uno spazio vettoriale ed uno spazio vettoriale sul campo tale che "!$%!

Dettagli

Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione

Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI CAGLIARI FACOLTÀ DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI CORSO DI LAUREA MAGISTRALE IN MATEMATICA Algebre di Lie semisemplici, sistemi di radici e loro classificazione Relatore

Dettagli

Esercizi di Algebra Lineare. Claretta Carrara

Esercizi di Algebra Lineare. Claretta Carrara Esercizi di Algebra Lineare Claretta Carrara Indice Capitolo 1. Operazioni tra matrici e n-uple 1 1. Soluzioni 3 Capitolo. Rette e piani 15 1. Suggerimenti 19. Soluzioni 1 Capitolo 3. Gruppi, spazi e

Dettagli

Geometria nel piano complesso

Geometria nel piano complesso Geometria nel piano complesso Giorgio Ottaviani Contents Un introduzione formale del piano complesso 2 Il teorema di Napoleone 5 L inversione circolare 6 4 Le trasformazioni di Möbius 7 5 Il birapporto

Dettagli

Corrado Zanella. Modelli Geometrici. applicabili in Meccanica dei Solidi, Robotica, Visione Computazionale

Corrado Zanella. Modelli Geometrici. applicabili in Meccanica dei Solidi, Robotica, Visione Computazionale Corrado Zanella Modelli Geometrici applicabili in Meccanica dei Solidi, Robotica, Visione Computazionale ii Versione del 23 settembre 2010 www.corradozanella.it Questo lavoro è diffuso sotto licenza Creative

Dettagli

Esercizi di GEOMETRIA I - Algebra Lineare B = , calcolare A A t A + I

Esercizi di GEOMETRIA I - Algebra Lineare B = , calcolare A A t A + I Esercizi di GEOMETRIA I - Algebra Lineare. Tra le seguenti matrici, eseguire tutti i prodotti possibili: 2 ( ) A = 0 3 4 B = 2 0 0 2 D = ( 0 ) E = ( ) 4 4 2 C = 2 0 5 F = 4 2 6 2. Data la matrice A = 0

Dettagli

Autovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti)

Autovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti) Autovalori e autovettori, matrici simmetriche e forme quadratiche (cenni) (prof. M. Salvetti) April 14, 2011 (alcune note non complete sugli argomenti trattati: eventuali completamenti saranno aggiunti)

Dettagli

II Spazi vettoriali ed applicazioni lineari

II Spazi vettoriali ed applicazioni lineari II Spazi vettoriali ed applicazioni lineari Nel capitolo precedente abbiamo visto come assumano un ruolo importante nello studio dello Spazio Euclideo la sua struttura di spazio affine e quindi di spazio

Dettagli

Equazioni alle differenze finite (cenni).

Equazioni alle differenze finite (cenni). AL 011. Equazioni alle differenze finite (cenni). Sia a n } n IN una successione di numeri reali. (Qui usiamo la convenzione IN = 0, 1,,...}). Diremo che è una successione ricorsiva o definita per ricorrenza

Dettagli

Chiusura lineare. N.B. A può essere indifferentemente un insieme, finito o no, o un sistema. Es.1. Es.2

Chiusura lineare. N.B. A può essere indifferentemente un insieme, finito o no, o un sistema. Es.1. Es.2 Chiusura lineare Def. Sia A V (K) con A. Si dice copertura lineare (o chiusura lineare) di A, e si indica con L(A), l insieme dei vettori di V che risultano combinazioni lineari di un numero finito di

Dettagli

Parte 2. Metodi Matematici per la Meccanica Quantistica. Spazi di pre-hilbert e spazi di Hilbert. Gianpiero CATTANEO

Parte 2. Metodi Matematici per la Meccanica Quantistica. Spazi di pre-hilbert e spazi di Hilbert. Gianpiero CATTANEO Parte Metodi Matematici per la Meccanica Quantistica Spazi di pre-hilbert e spazi di Hilbert Gianpiero CATTANEO 10 giugno 008 Indice I - Spazi con Prodotto Interno e Spazi di Hilbert 5 1 Spazi con Prodotto

Dettagli

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO Una trasformazione geometrica è una funzione che fa corrispondere a ogni punto del piano un altro punto del piano stesso Si può pensare come MOVIMENTO di punti e

Dettagli

Alcuni complementi sulle successioni

Alcuni complementi sulle successioni Alcuni complementi sulle successioni 1 (Teorema del confronto) Siano {a n } e {b n } due successioni regolari tali che si abbia a n b n n N. (1) Allora: a n b n. (2) Dim. Sia L = a n ed L = b n. Se L =

Dettagli

LEZIONE 17. B : kn k m.

LEZIONE 17. B : kn k m. LEZIONE 17 17.1. Isomorfismi tra spazi vettoriali finitamente generati. Applichiamo quanto visto nella lezione precedente ad isomorfismi fra spazi vettoriali di dimensione finita. Proposizione 17.1.1.

Dettagli

Esercitazione di Geometria I 13 dicembre Esercizio 1. Esercizio 2. Esercizio 3

Esercitazione di Geometria I 13 dicembre Esercizio 1. Esercizio 2. Esercizio 3 Esercitazione di Geometria I 13 dicembre 2008 a. Completa la seguente definizione: i vettori v 1, v 2,..., v n del K-spazio vettoriale V si dicono linearmente dipendenti se... b. Siano w 1, w 2, w 3 vettori

Dettagli

Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica

Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica Esercizi di Geometria e Algebra Lineare C.d.L. Ingegneria Meccanica 1) Dati i vettori a = (2, 4), b = (1, 2), c = ( 1, 1), d = (3, 6), stabilire se c e d appartengono a Span(a, b}). 2) Nello spazio vettoriale

Dettagli

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015

Compito di SISTEMI E MODELLI. 19 Febbraio 2015 Compito di SISTEMI E MODELLI 9 Febbraio 5 Non é ammessa la consultazione di libri o quaderni. Le risposte vanno giustificate. Saranno rilevanti per la valutazione anche l ordine e la chiarezza di esposizione.

Dettagli

1.1. Spazi metrici completi

1.1. Spazi metrici completi SPAZI METRICI: COMPLETEZZA E COMPATTEZZA Note informali dalle lezioni 1.1. Spazi metrici completi La nozione di convergenza di successioni è centrale nello studio degli spazi metrici. In particolare è

Dettagli

Esercizi su lineare indipendenza e generatori

Esercizi su lineare indipendenza e generatori Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v

Dettagli

ANALISI NUMERICA. Elementi finiti bidimensionali. a.a. 2014 2015. Maria Lucia Sampoli. ANALISI NUMERICA p.1/23

ANALISI NUMERICA. Elementi finiti bidimensionali. a.a. 2014 2015. Maria Lucia Sampoli. ANALISI NUMERICA p.1/23 ANALISI NUMERICA Elementi finiti bidimensionali a.a. 2014 2015 Maria Lucia Sampoli ANALISI NUMERICA p.1/23 Elementi Finiti 2D Consideriamo 3 aspetti per la descrizione di elementi finiti bidimensionali:

Dettagli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1. EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti 1. Determinare la soluzione dell equazione differenziale (x 2 + 1)y + y 2 =. y + x tan y = 2. Risolvere il problema di Cauchy y() = 1 2 π. 3. Risolvere il problema

Dettagli

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Avvertenze In quanto segue tutti i vettori hanno il medesimo punto d origine O l origine dello spazio cartesiano. Possiamo

Dettagli

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola

Analisi 2. Argomenti. Raffaele D. Facendola Analisi 2 Argomenti Successioni di funzioni Definizione Convergenza puntuale Proprietà della convergenza puntuale Convergenza uniforme Continuità e limitatezza Teorema della continuità del limite Teorema

Dettagli

Appunti dalle lezioni di Calcolo Numerico

Appunti dalle lezioni di Calcolo Numerico Appunti dalle lezioni di Calcolo Numerico A.A. 2012/2013 ii Indice 1 La soluzione di equazioni nonlineari 1 1.1 Prime prove................................ 2 1.2 Lo schema delle iterazioni successive (o

Dettagli

Quadriche Maurizio Cornalba 7/6/2016

Quadriche Maurizio Cornalba 7/6/2016 Quadriche Maurizio Cornalba 7/6/2016 Sia K un campo. Informalmente, una ipersuperficie (algebrica) nello spazio proiettivo P n K è il luogo dei punti [t 0 : t 1 : : t n ] tali che (t 0, t 1,..., t n )

Dettagli

Formulario sui Prodotti Hermitiani Marcello Mamino Pisa, 24 v 2010

Formulario sui Prodotti Hermitiani Marcello Mamino Pisa, 24 v 2010 Formulario sui Prodotti Hermitiani Marcello Mamino Pisa, 24 v 2010 In quetsa dispensa: V è uno spazio vettoriale di dimensione d sul campo complesso C generato dai vettori v 1,..., v d. Le variabili m,

Dettagli

UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE. Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali

UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE. Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali APPROFONDIMENTI DI ALGEBRA M. Chiara Tamburini Anno Accademico 2013/2014 Indice Prefazione iii I Moduli su un anello

Dettagli

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE

ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE ALGEBRA: LEZIONI DAL 13 OTTOBRE AL 3 NOVEMBRE 1 DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE Se ho alcuni vettori v 1, v 2,, v n in uno spazio vettoriale V, il sottospazio 1 W = v 1,, v n di V da loro generato è

Dettagli

Capitolo 2. Algebra Lineare numerica 79. a ij x i x j

Capitolo 2. Algebra Lineare numerica 79. a ij x i x j Capitolo 2. Algebra Lineare numerica 79 Se c 0 e c sono nulli, allora la funzione q (x) = x Ax = n i=1 j=1 n a ij x i x j è detta comunemente forma quadratica (omogenea) ed è omogenea di grado 2. 3 A partire

Dettagli

2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 1 INTRODUZIONE

2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 1 INTRODUZIONE 2/4 OPERATORI NEGLI SPAZI DI HILBERT INFINITODIMENSIONALI 08/09 INTRODUZIONE Il problema agli autovalori di un operatore La trattazione del problema agli autovalori di un operatore fatta negli spazi finitodimensionali

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

Ferruccio Orecchia. esercizi di GEOMETRIA 1

Ferruccio Orecchia. esercizi di GEOMETRIA 1 A01 102 Ferruccio Orecchia esercizi di GEOMETRIA 1 Copyright MCMXCIV ARACNE editrice S.r.l. www.aracneeditrice.it info@aracneeditrice.it via Raffaele Garofalo, 133 A/B 00173 Roma (06) 93781065 ISBN 978

Dettagli

DOMINI A FATTORIZZAZIONE UNICA

DOMINI A FATTORIZZAZIONE UNICA DOMINI A FATTORIZZAZIONE UNICA CORSO DI ALGEBRA, A.A. 2012-2013 Nel seguito D indicherà sempre un dominio d integrità cioè un anello commutativo con unità privo di divisori dello zero. Indicheremo con

Dettagli

appuntiofficinastudenti.com 1. Strutture algebriche e polinomi

appuntiofficinastudenti.com 1. Strutture algebriche e polinomi 1. Strutture algebriche e polinomi Cenni su linguaggio di Teoria degli Insiemi: appartenenza, variabili, quantificatori, negazione, implicazione, equivalenza, unione, intersezione, prodotto cartesiano,

Dettagli