Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 1/24

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 1/24"

Transcript

1 Contenuto Endomorfismi auto-aggiunti. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale Gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali. (Dimostrazione fatta usando i numeri complessi). Dimostrazione del teorema spettrale. Forme quadratiche. Riduzione a forma diagonale. Forme quadratiche definite, semidefinite, indefinite. Applicazioni geometriche: Riduzione di una conica agli assi principali. (Complementi) Decomposizione polare. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 1/24

2 Operatori auto-aggiunti. Matrici simmetriche Definizione V spazio vettoriale euclideo. Un endomorfismo F : V V si dice auto-aggiunto o simmetrico se, per ogni v, w V, (Fv) w = v (Fw) (1) Si dimostra facilmente il seguente: Teorema Se B = (v 1,..., v n ) è una base ortonormale, un endomorfismo F è auto-aggiunto se e solo se la sua matrice rispetto a B è simmetrica, cioè A = A t. Se A = A t è una matrice simmetrica, per ogni X, Y R n si ha AX Y = X AY (2) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 2/24

3 Il teorema spettrale Teorema (Teorema spettrale) Sia A = A t una matrice reale simmetrica n n. Allora: 1 Tutti gli autovalori λ 1,..., λ n di A sono reali. 2 Autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali. 3 A è ortogonalmente diagonalizzabile. Questo significa che esiste una base ortonormale B di R n che è formata da autovettori di A. Dunque, esiste una matrice invertibile P per la quale A = P 1 AP = diag (λ 1,..., λ n ) (3) P è ortogonale (P 1 = P t ), perché le sue colonne sono i vettori della base ortonormale B. Dunque si può scrivere anche A = P 1 AP = P t AP = diag (λ 1,..., λ n ) (4) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 3/24

4 Conseguenze della proprietà di simmetria Lemma 1 Gli autovalori di un operatore auto-aggiunto sono reali. Lemma 2 Autovettori di un operatore auto-aggiunto (o di una matrice simmetrica), relativi ad autovalori distinti, sono ortogonali. Lemma 3 Sia v un autovettore di un operatore auto-aggiunto F. Allora F trasforma il complemento ortogonale V 0 = v in sé. Dunque è definita la restrizione F V 0 F V 0 : V 0 V 0 In breve: il sottospazio V 0 = v è F-invariante. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 4/24

5 Lemma 1: Gli autovalori di una matrice simmetrica sono reali. (Uso dei numeri complessi). Per il teorema fondamentale dell algebra, esiste un numero complesso λ = α + iω per il quale P A (λ) = 0. Ora proviamo che λ è reale (cioè, ω = 0). Idea: pensiamo alla matrice A come a un endomorfismo C n A C n Il numero λ è autovalore di A. Dunque, esiste un autovettore Z = X + iy in C n (X, Y R n ), z 1 x 1 + iy 1 Z = = Cn z n x n + iy n Si ha AZ = λz, ossia A(X + iy ) = (α + iω)(x + iy ) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 5/24

6 Separando le parti reali e immaginarie, AX = αx ωy, AY = αy + ωx (5) Ricordare: la condizione di simmetria A = A t equivale a: AX Y = X AY (6) Allora, da (5) e (6) segue (αx ωy ) Y = X (αy + ωx) ossia ovvero α(x Y ) ω(y Y ) = α(x Y ) + ω(x X) ω ( X 2 + Y 2) = 0 Poiché X + iy = Z 0 (e quindi X 2 + Y 2 0), deve essere ω = 0. Conclusione: λ = α è un numero reale. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 6/24

7 Lemma 2: Autovettori relativi ad autovalori distinti di una matrice simmetrica, sono ortogonali Siano X 1, X 2 autovettori della matrice simmetrica A, AX 1 = λ 1 X 1, AX 2 = λ 2 X 2, con autovalori distinti: λ 1 λ 2. Poiché A è simmetrica, (AX 1 ) X 2 = X 1 (AX 2 ) Quindi (λ 1 X 1 ) X 2 = X 1 (λ 2 X 2 ) ossia (λ 1 λ 2 )(X 1 X 2 ) = 0 Poiché λ 1 λ 2 0, si deve avere X 1 X 2 = 0. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 7/24

8 Lemma 3: Se v è autovettore di F auto-aggiunto, il complemento ortogonale v è F-invariante Ipotesi: v V autovettore dell operatore autoaggiunto F, e w v, cioè Tesi: Fv = λv v w = 0 Fw appartiene a v, cioè La dimostrazione è semplice: (Fw) v = 0 (Fw) v = w (Fv) = w (λv) = λ(w v) = 0 Dunque, posto V 0 = v, la restrizione F V 0 trasforma V 0 in sé: F V 0 : V 0 V 0 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 8/24

9 Dimostrazione del teorema spettrale Teorema spettrale Ogni endomorfismo auto-aggiunto su uno spazio vettoriale euclideo V ha una base ortonormale di autovettori. In breve: Ogni endomorfismo auto-aggiunto è ortogonalmente diagonalizzabile. Dimostrazione (Per induzione sulla dimensione n di V ) Base dell induzione: caso n = 1. Banale. Un qualunque vettore non nullo è autovettore. Per ottenere una base ortonormale, basta normalizzarlo. Supponiamo l enunciato vero in dimensione n 1. Sia F : V V auto-aggiunto, dim V = n. Abbiamo dimostrato che F possiede un autovettore v (che possiamo pensare unitario). Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 9/24

10 Dimostrazione del teorema spettrale (Continuazione). Dimostrazione (Continuazione) Il complemento ortogonale V 0 = v ha dimensione n 1 ed è F-invariante (Fatto 3). Consideriamo allora la restrizione F V 0 di F a V 0 : F V 0 : V 0 V 0 Per l ipotesi induttiva, l operatore autoaggiunto F V 0 possiede una base ortonormale v 1,..., v n 1 di autovettori. Allora v 1,..., v n 1, v è una base ortonormale di V formata da autovettori di F. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 10/24

11 Operatore auto-aggiunto F Assi principali: V λ1, V λ2, (λ 1 λ 2 ) Fv 1 = λ 1 v 1 v 1 v 2 Base o.n. di autovettori Fv 2 = λ 2 v 2 S 1 F(S 1 ) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 11/24

12 Forme quadratiche in due variabili Forma quadratica in due variabili La forma quadratica associata alla matrice simmetrica (A t = A) A = a b b c è il polinomio omogeneo di secondo grado in x 1, x 2 q(x) = X t AX = (AX) X dove X = x 1 x 2. Esplicitamente: X t AX = x 1 x 2 a b b c x 1 x 2 = ax bx 1x 2 + cx 2 2 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 12/24

13 Forme quadratiche in n variabili Definizione (Forme quadratiche su R n ) La forma quadratica in n variabili associata alla matrice simmetrica A, n n, è il polinomio omogeneo di secondo grado: R n q R, q(x) = X t AX = i,j=1,...,n a ij x i x j In modo equivalente, si può anche scrivere: q(x) = (AX) X Esempio: q(x 1, x 2, x 3 ) = x x x 2 3 è una forma quadratica in tre variabili. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 13/24

14 Cambio di coordinate in una forme quadratica X = (x 1,..., x n ) t : Coordinate rispetto alla base canonica q(x) = X t AX: Forma quadratica. Cambio di variabili: X = PX. Il polinomio X t AX diventa (PX ) t A(PX ) = X t (P t AP) X Quindi la matrice A che rappresenta la forma quadratica, si trasforma in A = P t AP Una matrice A si dice congruente a A se esiste una P invertibile per la quale A = P t AP. (E una relazione di equivalenza). Dunque, la matrice A rappresentativa di una forma quadratica si trasforma per congruenza. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 14/24

15 Diagonalizzazione di forme quadratiche Se A è una matrice diagonale diag (λ 1,..., λ n ), la forma quadratica q(x) = X t AX si scrive nella forma diagonale q(x 1,..., x n ) = λ 1 x λ n x 2 n Teorema (Ogni forma quadratica può essere scritta in forma diagonale) Sia q una forma quadratica su R n. Allora esiste una base ortonormale B di R n che diagonalizza q. Questo significa che, dette (x 1,..., x n) le coordinate rispetto a tale base, si ha q(x 1,..., x n) = λ 1 (x 1 )2 + + λ n (x n) 2 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 15/24

16 Dimostrazione Per il teorema spettrale, esiste una matrice ortogonale P (di cambio di base) che diagonalizza A: A = P 1 AP = P t AP = diag (λ 1,..., λ n ) (7) Con il cambio di coordinate X = PX, la matrice rappresentativa della forma quadratica q si trasforma proprio nella matrice diagonale A = P t AP. Dunque, nelle coordinate X la forma quadratica si scrive in forma diagonale. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 16/24

17 Classificazione: forme quadratiche definite e indefinite Definizione Una forma quadratica q(x) si dice: Definita positiva, se q(x) > 0 per ogni X 0. Esempio: q(x 1, x 2 ) = λ 1 x λ 2x 2 2, λ 1, λ 2 > 0 Definita negativa, se q(x) < 0 per ogni X 0. Esempio: q(x 1, x 2 ) = λ 1 x λ 2x 2 2, λ 1, λ 2 < 0 Indefinita, se assume sia valori positivi che valori negativi. Esempio: q(x 1, x 2 ) = λ 1 x λ 2x 2 2, λ 1 > 0, λ 2 < 0 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 17/24

18 Classificazione: forme quadratiche semidefinite Definizione Una forma quadratica q(x) si dice: Semidefinita positiva, se q(x) 0. Esempio: q(x 1, x 2 ) = λ 1 x 2 1, λ 1 > 0, λ 2 = 0 Semidefinita negativa, se q(x) 0. Esempio: q(x 1, x 2 ) = λ 1 x 2 1, λ 1 < 0, λ 2 = 0 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 18/24

19 Segnatura di una forma quadratica Una riduzione in foma diagonale di q sia: q(x 1,..., x n ) = λ 1 x λ n x 2 n, La segnatura di q(x) è la sequenza (+,.., +,,..,, 0,.., 0), dove i segni + (risp., i segni ) sono quanti i λ positivi (risp., negativi), e gli zeri quanti i λ nulli. Esempi: q(x 1, x 2, x 3 ) = x1 2 x 2 2 (+,, 0). q(x 1, x 2, x 3 ) = x1 2 + x 2 2 x 3 2 (+, +, ). La segnatura non dipende dalla particolare scrittura in forma diagonale (Teorema di inerzia, di Sylvester) e determina il tipo della forma quadratica q: Se i segni sono tutti +, è definita positiva; Se i segni sono tutti, è definita negativa; Se ci sono sia segni + che segni, è indefinita; Se ci sono solo segni + (o solo ) e almeno uno 0, è semidefinita. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 19/24

20 Applicazione: studio di coniche Problema Classificare la conica (del piano) di equazione 3x x 1x 2 + 3x2 2 = 1 ( ) La matrice di q(x 1, x 2 ) = 3x x 1x 2 + 3x è A =. 1 3 Gli autovalori sono entrambi positivi: λ 1 = 2, λ 2 = 4. Con una opportuna rotazione degli assi, la forma quadratica si trasforma nella forma diagonale 2x x 2 = 1, o Si tratta di un ellisse. x 1 2 (1/ 2) + x (1/2) 2 = 1 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 20/24

21 Riduzione di una conica agli assi principali y y v 2 x v 1 Assi principali di simmetria x ( ) 3x 2 + 2xy + 3y = 1, A =. λ = 2, λ 2 = 4, P = [ ( ) ] 2/2 2/2 v 1, v 2 = 2/2, (P t = P 1 ), X = PX. 2/2 Forma canonica: 2x 2 + 4y 2 = 1, ossia x 1 2 (1/ 2) + x (1/2) 2 = 1 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 21/24

22 Applicazione: studio di quadriche Problema Classificare la quadrica (dello spazio) di equazione 2x x x x 2x 3 = 1 La matrice di q(x 1, x 2, x 3 ) = 2x x x x 2x 3 è A = Gli autovalori sono tutti positivi: λ 1 = 2, λ 2 = 4, λ 3 = 6. Con una opportuna rotazione degli assi, la forma quadratica si trasforma nella forma diagonale 2x x x 3 2 = 1, o x 2 1 (1/ 2) + x (1/2) 2 + x1 2 (1/ 6) = 1 2 È un ellissoide. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 22/24

23 Decomposizione polare Teorema (Decomposizione polare) Sia T un operatore lineare invertibile di uno spazio vettoriale euclideo. Allora esistono, e sono unici, un operatore autoaggiunto S positivo (cioè, con autovalori positivi) e un operatore ortogonale Q (cioè, una isometria lineare), per i quali T = QS (8) Esistono anche, e sono unici, un operatore autoaggiunto positivo S e un operatore ortogonale Q, per i quali Si ha Q = Q e S = QSQ 1. T = S Q (9) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 23/24

24 Decomposizione polare (Idea della dimostrazione) La dimostrazione si basa sul seguente fatto notevole (n = 2): Per ogni operatore lineare invertibile R 2 T R 2, esistono sempre due vettori unitari v 1, v 2 ortogonali tra loro, tali che i loro trasformati T (v 1 ), T (v 2 ) siano anch essi ortogonali tra loro. v 1 T v2 T v 1 v 2 T S 1 T (S 1 ) S: Operatore simmetrico che dilata gli assi di v 1, v 2, portando questi vettori a essere lunghi quanto T v 1, T v 2 ; Q: Isometria lineare che porta Sv 1, Sv 2 su T v 1, T v 2, rispettivamente. Allora, si ha T = QS. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 24/24

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Terzo Appello del corso di Geometria e Algebra II Parte - Docente F. Flamini, Roma, 7/09/2007 SVOLGIMENTO COMPITO III APPELLO

Dettagli

Prova scritta di Geometria 2 Prof. M. Boratynski

Prova scritta di Geometria 2 Prof. M. Boratynski 10/9/2008 Es. 1: Si consideri la forma bilineare simmetrica b su R 3 associata, rispetto alla base canonica {e 1, e 2, e 3 } alla matrice 3 2 1 A = 2 3 0. 1 0 1 1) Provare che (R 3, b) è uno spazio vettoriale

Dettagli

Forme bilineari e prodotti scalari. Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione. b :

Forme bilineari e prodotti scalari. Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione. b : Forme bilineari e prodotti scalari Definizione Dato lo spazio vettoriale V (K) sul campo K, una funzione b : { V V K ( v, w) b( v, w), si dice forma bilineare su V se per ogni u, v, w V e per ogni k K:

Dettagli

Algebra Lineare e Geometria

Algebra Lineare e Geometria Algebra Lineare e Geometria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica A.A. 2013-2014 Prova d esame del 16/06/2014. 1) a) Determinare la matrice associata all applicazione lineare T : R 3 R 4 definita da

Dettagli

Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari

Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari CAPITOLO 9 Diagonalizzazione di matrici e applicazioni lineari Esercizio 9.1. Verificare che v = (1, 0, 0, 1) è autovettore dell applicazione lineare T così definita T(x 1,x 2,x 3,x 4 ) = (2x 1 2x 3, x

Dettagli

x 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0.

x 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0. Problema. Sia W il sottospazio dello spazio vettoriale R 4 dato da tutte le soluzioni dell equazione x + x 2 + x = 0. (a. Sia U R 4 il sottospazio dato da tutte le soluzioni dell equazione Si determini

Dettagli

LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0

LEZIONE 23. Esempio 23.1.3. Si consideri la matrice (si veda l Esempio 22.2.5) A = 1 2 2 3 3 0 LEZIONE 23 231 Diagonalizzazione di matrici Abbiamo visto nella precedente lezione che, in generale, non è immediato che, data una matrice A k n,n con k = R, C, esista sempre una base costituita da suoi

Dettagli

RICHIAMI SULLE MATRICI. Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come

RICHIAMI SULLE MATRICI. Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come RICHIAMI SULLE MATRICI Una matrice di m righe e n colonne è rappresentata come A = a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n............ a m1 a m2... a mn dove m ed n sono le dimensioni di A. La matrice A può

Dettagli

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto.

(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto. 29 giugno 2009 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola

Dettagli

Parte 6. Applicazioni lineari

Parte 6. Applicazioni lineari Parte 6 Applicazioni lineari A Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Applicazioni fra insiemi, 2 Applicazioni lineari tra spazi vettoriali, 2 3 Applicazioni lineari da R n a R

Dettagli

Applicazioni lineari

Applicazioni lineari Applicazioni lineari Esempi di applicazioni lineari Definizione. Se V e W sono spazi vettoriali, una applicazione lineare è una funzione f: V W tale che, per ogni v, w V e per ogni a, b R si abbia f(av

Dettagli

1 Regole generali per l esame. 2 Libro di Testo

1 Regole generali per l esame. 2 Libro di Testo FACOLTÀ DI INGEGNERIA Corso di GEOMETRIA E ALGEBRA (mn). (Ing. per l Ambiente e il Territorio, Ing. Informatica - Sede di Mantova) A.A. 2008/2009. Docente: F. BISI. 1 Regole generali per l esame L esame

Dettagli

Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica

Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Università degli Studi di Roma Tor Vergata. Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esame di Geometria (Prof. F. Tovena) Argomenti: Proprietà di nucleo e immagine di una applicazione lineare. dim V = dim

Dettagli

LEZIONI DI ALGEBRA LINEARE PER LE APPLICAZIONI FINANZIARIE

LEZIONI DI ALGEBRA LINEARE PER LE APPLICAZIONI FINANZIARIE LEZIONI DI ALGEBRA LINEARE PER LE APPLICAZIONI FINANZIARIE FLAVIO ANGELINI Sommario Queste note hanno lo scopo di indicare a studenti di Economia interessati alla finanza quantitativa i concetti essenziali

Dettagli

CORSO DI LAUREA INF TWM ANNO DI IMMATRICOLAZIONE MATRICOLA

CORSO DI LAUREA INF TWM ANNO DI IMMATRICOLAZIONE MATRICOLA COGNOME NOME CORSO DI LAUREA INF TWM ANNO DI IMMATRICOLAZIONE MATRICOLA SIMULAZIONE SCRITTO DI MATEMATICA DISCRETA, SECONDA PARTE Per ottenere la sufficienza bisogna rispondere in modo corretto ad almeno

Dettagli

LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE

LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE LE FIBRE DI UNA APPLICAZIONE LINEARE Sia f:a B una funzione tra due insiemi. Se y appartiene all immagine di f si chiama fibra di f sopra y l insieme f -1 y) ossia l insieme di tutte le controimmagini

Dettagli

ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di Laurea Ingegneria Edile-Architettura

ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di Laurea Ingegneria Edile-Architettura Cognome Nome Matricola ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di Laurea Ingegneria Edile-Architettura (Primo appello/ii prova parziale 15/6/15 - Chiarellotto-Urbinati) Per la II prova: solo esercizi

Dettagli

Equazioni alle differenze finite (cenni).

Equazioni alle differenze finite (cenni). AL 011. Equazioni alle differenze finite (cenni). Sia a n } n IN una successione di numeri reali. (Qui usiamo la convenzione IN = 0, 1,,...}). Diremo che è una successione ricorsiva o definita per ricorrenza

Dettagli

2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione

2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione Capitolo 2 MATRICI Fra tutte le applicazioni su uno spazio vettoriale interessa esaminare quelle che mantengono la struttura di spazio vettoriale e che, per questo, vengono dette lineari La loro importanza

Dettagli

ESERCIZI APPLICAZIONI LINEARI

ESERCIZI APPLICAZIONI LINEARI ESERCIZI APPLICAZIONI LINEARI PAOLO FACCIN 1. Esercizi sulle applicazioni lineari 1.1. Definizioni sulle applicazioni lineari. Siano V, e W spazi vettoriali, con rispettive basi B V := (v 1 v n) e B W

Dettagli

f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) f(x, y, z) = (x + 2y z, x + y z, x + 2y) F (f(x)) = (f(0), f(1), f(2))

f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) f(x, y, z) = (x + 2y z, x + y z, x + 2y) F (f(x)) = (f(0), f(1), f(2)) Algebra Lineare e Geometria Analitica Politecnico di Milano Ingegneria Applicazioni Lineari 1. Sia f : R 3 R 3 l applicazione lineare definita da f(x, y, z) = (x + ky + z, x y + 2z, x + y z) per ogni (x,

Dettagli

Tutorato di GE110. Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica

Tutorato di GE110. Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Universitá degli Studi Roma Tre - Corso di Laurea in Matematica Tutorato di GE110 A.A. 2014-2015 - Docente: Prof. Angelo Felice Lopez Tutori: Federico Campanini e Giulia Salustri Soluzioni Tutorato 13

Dettagli

Grazie ai Colleghi di Geometria del Dipartimento di Matematica dell Università degli Studi di Torino per il loro prezioso contributo. Grazie al Prof.

Grazie ai Colleghi di Geometria del Dipartimento di Matematica dell Università degli Studi di Torino per il loro prezioso contributo. Grazie al Prof. A01 178 Grazie ai Colleghi di Geometria del Dipartimento di Matematica dell Università degli Studi di Torino per il loro prezioso contributo. Grazie al Prof. S.M. Salamon per tanti utili suggerimenti e

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)

Dettagli

Autovalori e Autovettori

Autovalori e Autovettori Daniela Lera Università degli Studi di Cagliari Dipartimento di Matematica e Informatica A.A. 2008-2009 Autovalori e Autovettori Definizione Siano A C nxn, λ C, e x C n, x 0, tali che Ax = λx. (1) Allora

Dettagli

Le trasformazioni geometriche

Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni geometriche Le trasformazioni affini del piano o affinità Le similitudini Le isometrie Le traslazioni Le rotazioni Le simmetrie assiale e centrale Le omotetie

Dettagli

1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali

1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali 1 Applicazioni Lineari tra Spazi Vettoriali Definizione 1 (Applicazioni lineari) Si chiama applicazione lineare una applicazione tra uno spazio vettoriale ed uno spazio vettoriale sul campo tale che "!$%!

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Francesco Bottacin Padova, 24 febbraio 2012 Capitolo 1 Algebra Lineare 1.1 Spazi e sottospazi vettoriali Esercizio 1.1. Sia U il sottospazio di R 4 generato dai

Dettagli

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte)

GEOMETRIA I Corso di Geometria I (seconda parte) Corso di Geometria I (seconda parte) anno acc. 2009/2010 Cambiamento del sistema di riferimento in E 3 Consideriamo in E 3 due sistemi di riferimento ortonormali R e R, ed un punto P (x, y, z) in R. Lo

Dettagli

15 febbraio 2010 - Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 2009-2010 COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...

15 febbraio 2010 - Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 2009-2010 COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... 15 febbraio 010 - Soluzione esame di geometria - 1 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 009-010 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura

Dettagli

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile-Architettura

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile-Architettura Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile-Architettura Primo Esonero del corso di Geometria Docente F. Flamini, Roma, 2//28 SOLUZIONI COMPITO I ESONERO Esercizio.

Dettagli

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio 2013 - A)

Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio 2013 - A) Esame di Geometria - 9 CFU (Appello del 28 gennaio 23 - A) Cognome: Nome: Nr.matricola: Corso di laurea: Esercizio. Nello spazio R 3, siano dati il piano e i punti P = (, 2, ), Q = (2,, ). π : x + 2y 3

Dettagli

Chiusura lineare. N.B. A può essere indifferentemente un insieme, finito o no, o un sistema. Es.1. Es.2

Chiusura lineare. N.B. A può essere indifferentemente un insieme, finito o no, o un sistema. Es.1. Es.2 Chiusura lineare Def. Sia A V (K) con A. Si dice copertura lineare (o chiusura lineare) di A, e si indica con L(A), l insieme dei vettori di V che risultano combinazioni lineari di un numero finito di

Dettagli

2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio Φ di coniche di equazione. determinando in particolare le sue coniche spezzate ed i suoi punti base.

2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio Φ di coniche di equazione. determinando in particolare le sue coniche spezzate ed i suoi punti base. DPARTMENTO D MATEMATCA E NFORMATCA Corso di Laurea in ngegneria Telematica Prova scritta di Elementi di Algebra e Geometria assegnata il 18/7/02 È assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni

Dettagli

Esercizi su lineare indipendenza e generatori

Esercizi su lineare indipendenza e generatori Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v

Dettagli

LEZIONE 16. Proposizione 16.1.2. Siano V e W spazi vettoriali su k = R, C. Se f: V W

LEZIONE 16. Proposizione 16.1.2. Siano V e W spazi vettoriali su k = R, C. Se f: V W LEZIONE 16 16.1. Applicazioni lineari iniettive e suriettive. Ricordo le seguenti due definizioni valide per applicazioni di qualsiasi tipo ϕ: X Y fra due insiemi. L applicazione ϕ si dice iniettiva se

Dettagli

Università degli Studi di Roma La Sapienza Laurea in Ingegneria Energetica A.A. 2014-2015 Programma del corso di Geometria Prof.

Università degli Studi di Roma La Sapienza Laurea in Ingegneria Energetica A.A. 2014-2015 Programma del corso di Geometria Prof. Università degli Studi di Roma La Sapienza Laurea in Ingegneria Energetica A.A. 2014-2015 Programma del corso di Geometria Prof. Antonio Cigliola Prerequisiti Logica elementare. Principio di Induzione.

Dettagli

TEMA 1. 1. Della seguente matrice, calcolare i complementi algebrici e il determinante: a + b 1 a 2 S = a + b + 3 a + 2b. x = t. f = x 2 + 2xy 3y 2,

TEMA 1. 1. Della seguente matrice, calcolare i complementi algebrici e il determinante: a + b 1 a 2 S = a + b + 3 a + 2b. x = t. f = x 2 + 2xy 3y 2, Prova scritta di MATEMATICA B1 Vicenza, 17 marzo 008 TEMA 1 1 1 A = 1 0 1. 3 0 1. Stabilire se il seguente sottoinsieme di M(, R): {( ) a + b 1 a S = a, b R}, a + b + 3 a + b è un sottospazio di M(, R).

Dettagli

Siano V e W due spazi vettoriali. La definizione seguente é è tra quelle basilari per il corso di Matematica B. L : V W

Siano V e W due spazi vettoriali. La definizione seguente é è tra quelle basilari per il corso di Matematica B. L : V W Matematica B - a.a 2006/07 p. 1 Siano V e W due spazi vettoriali. La definizione seguente é è tra quelle basilari per il corso di Matematica B. Definizione 1. La funzione L : V W si dice una applicazione

Dettagli

Dimensione di uno Spazio vettoriale

Dimensione di uno Spazio vettoriale Capitolo 4 Dimensione di uno Spazio vettoriale 4.1 Introduzione Dedichiamo questo capitolo ad un concetto fondamentale in algebra lineare: la dimensione di uno spazio vettoriale. Daremo una definizione

Dettagli

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1

LEZIONE 14. a 1,1 v 1 + a 1,2 v 2 + a 1,3 v 3 + + a 1,n 1 v n 1 + a 1,n v n = w 1 LEZIONE 14 141 Dimensione di uno spazio vettoriale Abbiamo visto come l esistenza di una base in uno spazio vettoriale V su k = R, C, permetta di sostituire a V, che può essere complicato da trattare,

Dettagli

Parte 2. Determinante e matrice inversa

Parte 2. Determinante e matrice inversa Parte. Determinante e matrice inversa A. Savo Appunti del Corso di Geometria 013-14 Indice delle sezioni 1 Determinante di una matrice, 1 Teorema di Cramer (caso particolare), 3 3 Determinante di una matrice

Dettagli

Matrice rappresent. Base ker e img. Rappresentazione cartesiana ker(f) + im(f).

Matrice rappresent. Base ker e img. Rappresentazione cartesiana ker(f) + im(f). Due Matrici A,B. Ker f = ker g. 1- Ridurre a scala A e B e faccio il sistema. 2 Se Vengono gli stessi valori allora, i ker sono uguali. Cauchy 1 autovalore, 1- Metto a matrice x1(0),x2(0),x3(0) e la chiamo

Dettagli

ESERCIZI DI GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE (II PARTE) In ogni sezione gli esercizi sono tendenzialmente ordinati per difficoltà crescente.

ESERCIZI DI GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE (II PARTE) In ogni sezione gli esercizi sono tendenzialmente ordinati per difficoltà crescente. ESERCIZI DI GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE (II PARTE) versione: 24 maggio 27 In ogni sezione gli esercizi sono tendenzialmente ordinati per difficoltà crescente Autovettori e autovalori Esercizio Trova gli

Dettagli

Esempio. Approssimazione con il criterio dei minimi quadrati. Esempio. Esempio. Risultati sperimentali. Interpolazione con spline cubica.

Esempio. Approssimazione con il criterio dei minimi quadrati. Esempio. Esempio. Risultati sperimentali. Interpolazione con spline cubica. Esempio Risultati sperimentali Approssimazione con il criterio dei minimi quadrati Esempio Interpolazione con spline cubica. Esempio 1 Come procedere? La natura del fenomeno suggerisce che una buona approssimazione

Dettagli

I tre concetti si possono descrivere in modo unitario dicendo che f e iniettiva, suriettiva, biiettiva se e solo se per ogni b B l equazione

I tre concetti si possono descrivere in modo unitario dicendo che f e iniettiva, suriettiva, biiettiva se e solo se per ogni b B l equazione Lezioni del 29 settembre e 1 ottobre. 1. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Sia f : A B una funzione da un insieme A ad un insieme B. Sia a A e sia b = f (a) B l elemento che f associa ad a, allora

Dettagli

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme

Proof. Dimostrazione per assurdo. Consideriamo l insieme complementare di P nell insieme G Pareschi Principio di induzione Il Principio di Induzione (che dovreste anche avere incontrato nel Corso di Analisi I) consente di dimostrare Proposizioni il cui enunciato è in funzione di un numero

Dettagli

Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali.

Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. CAPITOLO 7 Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. Esercizio 7.1. Determinare il rango delle seguenti matrici al variare del parametro t R. 1 4 2 1 4 2 A 1 = 0 t+1 1 A 2 = 0 t+1 1

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE (II PARTE) In ogni sezione gli esercizi sono tendenzialmente ordinati per difficoltà crescente.

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE (II PARTE) In ogni sezione gli esercizi sono tendenzialmente ordinati per difficoltà crescente. ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE (II PARTE) versione: 4 maggio 26 In ogni sezione gli esercizi sono tendenzialmente ordinati per difficoltà crescente Autovettori e autovalori Esercizio Trova gli autovalori

Dettagli

DOMINI A FATTORIZZAZIONE UNICA

DOMINI A FATTORIZZAZIONE UNICA DOMINI A FATTORIZZAZIONE UNICA CORSO DI ALGEBRA, A.A. 2012-2013 Nel seguito D indicherà sempre un dominio d integrità cioè un anello commutativo con unità privo di divisori dello zero. Indicheremo con

Dettagli

LEZIONE 17. B : kn k m.

LEZIONE 17. B : kn k m. LEZIONE 17 17.1. Isomorfismi tra spazi vettoriali finitamente generati. Applichiamo quanto visto nella lezione precedente ad isomorfismi fra spazi vettoriali di dimensione finita. Proposizione 17.1.1.

Dettagli

Lezioni di Geometria e Algebra. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio

Lezioni di Geometria e Algebra. Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio Lezioni di Geometria e Algebra Fulvio Bisi, Francesco Bonsante, Sonia Brivio CAPITOLO 4 Applicazioni lineari 1. Definizioni ed esempi. In questo capitolo ci proponiamo di studiare le funzioni tra spazi

Dettagli

Richiami di algebra lineare e geometria di R n

Richiami di algebra lineare e geometria di R n Richiami di algebra lineare e geometria di R n combinazione lineare, conica e convessa spazi lineari insiemi convessi, funzioni convesse rif. BT.5 Combinazione lineare, conica, affine, convessa Un vettore

Dettagli

Alcuni complementi sulle successioni

Alcuni complementi sulle successioni Alcuni complementi sulle successioni 1 (Teorema del confronto) Siano {a n } e {b n } due successioni regolari tali che si abbia a n b n n N. (1) Allora: a n b n. (2) Dim. Sia L = a n ed L = b n. Se L =

Dettagli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6

EQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6 EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)

Dettagli

Applicazioni lineari

Applicazioni lineari CAPITOLO 8 Applicazioni lineari Esercizio 8.. Sia T : R 3 R 3 l applicazione definita da T(x,x,x 3 ) = (x,x,x 3 ). Stabilire se T è lineare. Esercizio 8.. Verificare che la funzione determinante definita

Dettagli

Spazi euclidei, endomorfismi simmetrici, forme quadratiche. R. Notari

Spazi euclidei, endomorfismi simmetrici, forme quadratiche. R. Notari Spazi euclidei, endomorfismi simmetrici, forme quadratiche R. Notari 14 Aprile 2006 1 1. Proprietà del prodotto scalare. Sia V = R n lo spazio vettoriale delle n-uple su R. Il prodotto scalare euclideo

Dettagli

Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI

Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI Capitolo I STRUTTURE ALGEBRICHE ELEMENTARI In matematica, per semplificare la stesura di un testo, si fa ricorso ad un linguaggio specifico. In questo capitolo vengono fornite in maniera sintetica le nozioni

Dettagli

( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali

( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza

Dettagli

Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari

Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari Versione ottobre novembre 2008 Lezioni di Algebra Lineare III. Applicazioni lineari e matrici Struttura algebrica delle soluzioni dei sistemi lineari Contenuto 1. Applicazioni lineari 2. L insieme delle

Dettagli

STRUTTURE ALGEBRICHE

STRUTTURE ALGEBRICHE STRUTTURE ALGEBRICHE Operazioni in un insieme Sia A un insieme non vuoto; una funzione f : A A A si dice operazione binaria (o semplicemente operazione), oppure legge di composizione interna. Per definizione

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito. INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati

Dettagli

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2. FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di

Dettagli

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria: Elettronica. Corso di Geometria ed Algebra Docente F. Flamini

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria: Elettronica. Corso di Geometria ed Algebra Docente F. Flamini Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria: Elettronica Corso di Geometria ed Algebra Docente F. Flamini Capitolo IV - 3: Teorema Spettrale degli operatori autoaggiunti e Teorema

Dettagli

EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti. y = xy. y(2) = 1. EQUAZIONI DIFFERENZIALI Esercizi svolti 1. Determinare la soluzione dell equazione differenziale (x 2 + 1)y + y 2 =. y + x tan y = 2. Risolvere il problema di Cauchy y() = 1 2 π. 3. Risolvere il problema

Dettagli

L espressione torna invece sempre vera (quindi la soluzione originale) se cambiamo contemporaneamente il verso: 1 < 0.

L espressione torna invece sempre vera (quindi la soluzione originale) se cambiamo contemporaneamente il verso: 1 < 0. EQUAZIONI E DISEQUAZIONI Le uguaglianze fra espressioni numeriche si chiamano equazioni. Cercare le soluzioni dell equazione vuol dire cercare quelle combinazioni delle lettere che vi compaiono che la

Dettagli

LEZIONE 31. B i : R n R. R m,n, x = (x 1,..., x n ). Allora sappiamo che è definita. j=1. a i,j x j.

LEZIONE 31. B i : R n R. R m,n, x = (x 1,..., x n ). Allora sappiamo che è definita. j=1. a i,j x j. LEZIONE 31 31.1. Domini di funzioni di più variabili. Sia ora U R n e consideriamo una funzione f: U R m. Una tale funzione associa a x = (x 1,..., x n ) U un elemento f(x 1,..., x n ) R m : tale elemento

Dettagli

Analisi Complessa. Prova intermedia del 7 novembre 2002 - Soluzioni. (z 11 1) 11 1 = 0.

Analisi Complessa. Prova intermedia del 7 novembre 2002 - Soluzioni. (z 11 1) 11 1 = 0. Analisi Complessa Prova intermedia del 7 novembre 2002 - Soluzioni Esercizio. Si consideri l equazione z 0. Quante soluzioni distinte esistono in C? Quante di esse sono contenute all interno del disco

Dettagli

Nel seguito, senza ulteriormente specificarlo, A indicherà un anello commutativo con identità.

Nel seguito, senza ulteriormente specificarlo, A indicherà un anello commutativo con identità. 1 ANELLI Definizione 1.1. Sia A un insieme su cui sono definite due operazioni +,. (A, +, ) si dice Anello se (A, +) è un gruppo abeliano è associativa valgono le leggi distributive, cioè se a, b, c A

Dettagli

3 Applicazioni lineari e matrici

3 Applicazioni lineari e matrici 3 Applicazioni lineari e matrici 3.1 Applicazioni lineari Definizione 3.1 Siano V e W dei K spazi vettoriali. Una funzione f : V W è detta applicazione lineare se: i u, v V, si ha f(u + v = f(u + f(v;

Dettagli

Richiami sulle derivate parziali e definizione di gradiente di una funzione, sulle derivate direzionali. Regola della catena per funzioni composte.

Richiami sulle derivate parziali e definizione di gradiente di una funzione, sulle derivate direzionali. Regola della catena per funzioni composte. PROGRAMMA di Fondamenti di Analisi Matematica 2 (che sarà svolto fino al 7 gennaio 2013) A.A. 2012-2013, Paola Mannucci e Claudio Marchi, Canali 1 e 2 Ingegneria Gestionale, Meccanica-Meccatronica, Vicenza

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

Spazi lineari - PARTE II - Felice Iavernaro. Dipartimento di Matematica Università di Bari. 9 e 16 Marzo 2007

Spazi lineari - PARTE II - Felice Iavernaro. Dipartimento di Matematica Università di Bari. 9 e 16 Marzo 2007 Spazi lineari - PARTE II - Felice Iavernaro Dipartimento di Matematica Università di Bari 9 e 16 Marzo 2007 Felice Iavernaro (Univ. Bari) Spazi lineari 9-16/03/2007 1 / 17 Condizionamento dei sistemi lineari

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

Rette e curve, piani e superfici

Rette e curve, piani e superfici Rette e curve piani e superfici ) dicembre 2 Scopo di questo articolo è solo quello di proporre uno schema riepilogativo che metta in luce le caratteristiche essenziali delle equazioni di rette e curve

Dettagli

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE210 - Geometria 2 a.a Prova scritta del TESTO E SOLUZIONI

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE210 - Geometria 2 a.a Prova scritta del TESTO E SOLUZIONI UNIVERSITÀ DEGLI STUDI ROMA TRE Corso di Laurea in Matematica GE0 - Geometria a.a. 08-09 Prova scritta del 0--09 TESTO E SOLUZIONI Svolgere tutti gli esercizi.. Sia V uno spazio vettoriale reale di dimensione

Dettagli

Matematica generale CTF

Matematica generale CTF Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione

Dettagli

Geometria I A. Algebra lineare

Geometria I A. Algebra lineare UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE Facoltà di Scienze Matematiche, Fisiche e Naturali Geometria I A. Algebra lineare Prof.ssa Silvia Pianta Anno Accademico 22/23 Indice Spazi vettoriali 7 Definizione

Dettagli

ESERCITAZIONE (7-11-13) Ing. Stefano Botelli

ESERCITAZIONE (7-11-13) Ing. Stefano Botelli FONDAMENTI di AUTOMATICA ESERCITAZIONE (7-11-13) Ing. Stefano Botelli NB in presenza di matrici 3x3 bisogna intuire che esiste un metodo risolutivo particolare perchè non verrà mai richiesto a lezione

Dettagli

4. Operazioni elementari per righe e colonne

4. Operazioni elementari per righe e colonne 4. Operazioni elementari per righe e colonne Sia K un campo, e sia A una matrice m n a elementi in K. Una operazione elementare per righe sulla matrice A è una operazione di uno dei seguenti tre tipi:

Dettagli

Lezione 9: Cambio di base

Lezione 9: Cambio di base Lezione 9: Cambio di base In questa lezione vogliamo affrontare uno degli argomenti piu ostici per lo studente e cioè il cambio di base all interno di uno spazio vettoriale, inoltre cercheremo di capire

Dettagli

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A

Dettagli

L anello dei polinomi

L anello dei polinomi L anello dei polinomi Sia R un anello commutativo con identità. È possibile costruire un anello commutativo unitario, che si denota con R[x], che contiene R (come sottoanello) e un elemento x non appartenente

Dettagli

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO

LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO LE TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO Una trasformazione geometrica è una funzione che fa corrispondere a ogni punto del piano un altro punto del piano stesso Si può pensare come MOVIMENTO di punti e

Dettagli

0 1 k. k k k +4. b) Posto k = 0, si calcoli l inversa di A e l inversa di T.

0 1 k. k k k +4. b) Posto k = 0, si calcoli l inversa di A e l inversa di T. Esercizi per il Parziale 2, Prof. Fioresi, 2018 1. Cambi di base, determinante e inversa 1. Si trovino le coordinate del vettore v = (1, 1,2) espresso nella base canonica, rispetto alla base B = {(1, 4,3),(5,3,

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI

APPLICAZIONI LINEARI APPLICAZIONI LINEARI Esercizi Esercizio 1. Sia f: R 3 R 2 (x, y, z) (x + 2y + z, y + z). (1) Verificare che f è lineare. (2) Determinare una base di ker(f) e stabilire se f è iniettiva. (3) Calcolare w

Dettagli

Rappresentazione dei numeri in un calcolatore

Rappresentazione dei numeri in un calcolatore Corso di Calcolatori Elettronici I A.A. 2010-2011 Rappresentazione dei numeri in un calcolatore Lezione 2 Università degli Studi di Napoli Federico II Facoltà di Ingegneria Rappresentazione dei numeri

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli

Il luogo delle radici (ver. 1.0)

Il luogo delle radici (ver. 1.0) Il luogo delle radici (ver. 1.0) 1 Sia dato il sistema in retroazione riportato in Fig. 1.1. Il luogo delle radici è uno strumento mediante il quale è possibile valutare la posizione dei poli della funzione

Dettagli

1 Convessità olomorfa

1 Convessità olomorfa 1 Convessità olomorfa Esercizio 1 Sia f O(C n ) e sia X = {f = 0}; dimostrare che, per ogni K compatto di X, l inviluppo K O(Cn ) è contenuto in X. Esercizio 2 Fissato un reale δ (0, 2π), consideriamo

Dettagli

3. SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE

3. SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE 3 SPAZI VETTORIALI CON PRODOTTO SCALARE 31 Prodotti scalari Definizione 311 Sia V SV(R) Un prodotto scalare su V è un applicazione, : V V R (v 1,v 2 ) v 1,v 2 tale che: i) v,v = v,v per ogni v,v V ; ii)

Dettagli

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue.

10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. 10. Insiemi non misurabili secondo Lebesgue. Lo scopo principale di questo capitolo è quello di far vedere che esistono sottoinsiemi di R h che non sono misurabili secondo Lebesgue. La costruzione di insiemi

Dettagli

Algebra e Geometria. Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2)

Algebra e Geometria. Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2) Algebra e Geometria Ingegneria Meccanica e dei Materiali Sez (2) Ingegneria dell Automazione Industriale Sez (2) Traccia delle lezioni che saranno svolte nell anno accademico 2012/13 I seguenti appunti

Dettagli

METODI MATEMATICI PER LA FISICA

METODI MATEMATICI PER LA FISICA Si svolgano cortesemente i seguenti esercizi ESERCIZIO (6 PUNTI) METODI MATEMATICI PER LA FISICA PROVA SCRITTA - 2 GENNAIO 25 Una volta identificato, nel piano complesso α, il dominio di convergenza della

Dettagli

Numeri complessi e polinomi

Numeri complessi e polinomi Numeri complessi e polinomi 1 Numeri complessi L insieme dei numeri reali si identifica con la retta della geometria: in altri termini la retta si può dotare delle operazioni + e e divenire un insieme

Dettagli

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.

MATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni. MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un

Dettagli

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:

Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione

Dettagli

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esercizi x + z = Esercizio. Data la curva x, calcolare l equazione del cilindro avente γ y = 0 come direttrice e con generatrici parallele al vettore v = (, 0, ).

Dettagli