Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 1/24

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1 Contenuto Endomorfismi auto-aggiunti. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale Gli autovalori di una matrice simmetrica sono tutti reali. (Dimostrazione fatta usando i numeri complessi). Dimostrazione del teorema spettrale. Forme quadratiche. Riduzione a forma diagonale. Forme quadratiche definite, semidefinite, indefinite. Applicazioni geometriche: Riduzione di una conica agli assi principali. (Complementi) Decomposizione polare. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 1/24

2 Operatori auto-aggiunti. Matrici simmetriche Definizione V spazio vettoriale euclideo. Un endomorfismo F : V V si dice auto-aggiunto o simmetrico se, per ogni v, w V, (Fv) w = v (Fw) (1) Si dimostra facilmente il seguente: Teorema Se B = (v 1,..., v n ) è una base ortonormale, un endomorfismo F è auto-aggiunto se e solo se la sua matrice rispetto a B è simmetrica, cioè A = A t. Se A = A t è una matrice simmetrica, per ogni X, Y R n si ha AX Y = X AY (2) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 2/24

3 Il teorema spettrale Teorema (Teorema spettrale) Sia A = A t una matrice reale simmetrica n n. Allora: 1 Tutti gli autovalori λ 1,..., λ n di A sono reali. 2 Autovettori relativi ad autovalori distinti sono ortogonali. 3 A è ortogonalmente diagonalizzabile. Questo significa che esiste una base ortonormale B di R n che è formata da autovettori di A. Dunque, esiste una matrice invertibile P per la quale A = P 1 AP = diag (λ 1,..., λ n ) (3) P è ortogonale (P 1 = P t ), perché le sue colonne sono i vettori della base ortonormale B. Dunque si può scrivere anche A = P 1 AP = P t AP = diag (λ 1,..., λ n ) (4) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 3/24

4 Conseguenze della proprietà di simmetria Lemma 1 Gli autovalori di un operatore auto-aggiunto sono reali. Lemma 2 Autovettori di un operatore auto-aggiunto (o di una matrice simmetrica), relativi ad autovalori distinti, sono ortogonali. Lemma 3 Sia v un autovettore di un operatore auto-aggiunto F. Allora F trasforma il complemento ortogonale V 0 = v in sé. Dunque è definita la restrizione F V 0 F V 0 : V 0 V 0 In breve: il sottospazio V 0 = v è F-invariante. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 4/24

5 Lemma 1: Gli autovalori di una matrice simmetrica sono reali. (Uso dei numeri complessi). Per il teorema fondamentale dell algebra, esiste un numero complesso λ = α + iω per il quale P A (λ) = 0. Ora proviamo che λ è reale (cioè, ω = 0). Idea: pensiamo alla matrice A come a un endomorfismo C n A C n Il numero λ è autovalore di A. Dunque, esiste un autovettore Z = X + iy in C n (X, Y R n ), z 1 x 1 + iy 1 Z = = Cn z n x n + iy n Si ha AZ = λz, ossia A(X + iy ) = (α + iω)(x + iy ) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 5/24

6 Separando le parti reali e immaginarie, AX = αx ωy, AY = αy + ωx (5) Ricordare: la condizione di simmetria A = A t equivale a: AX Y = X AY (6) Allora, da (5) e (6) segue (αx ωy ) Y = X (αy + ωx) ossia ovvero α(x Y ) ω(y Y ) = α(x Y ) + ω(x X) ω ( X 2 + Y 2) = 0 Poiché X + iy = Z 0 (e quindi X 2 + Y 2 0), deve essere ω = 0. Conclusione: λ = α è un numero reale. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 6/24

7 Lemma 2: Autovettori relativi ad autovalori distinti di una matrice simmetrica, sono ortogonali Siano X 1, X 2 autovettori della matrice simmetrica A, AX 1 = λ 1 X 1, AX 2 = λ 2 X 2, con autovalori distinti: λ 1 λ 2. Poiché A è simmetrica, (AX 1 ) X 2 = X 1 (AX 2 ) Quindi (λ 1 X 1 ) X 2 = X 1 (λ 2 X 2 ) ossia (λ 1 λ 2 )(X 1 X 2 ) = 0 Poiché λ 1 λ 2 0, si deve avere X 1 X 2 = 0. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 7/24

8 Lemma 3: Se v è autovettore di F auto-aggiunto, il complemento ortogonale v è F-invariante Ipotesi: v V autovettore dell operatore autoaggiunto F, e w v, cioè Tesi: Fv = λv v w = 0 Fw appartiene a v, cioè La dimostrazione è semplice: (Fw) v = 0 (Fw) v = w (Fv) = w (λv) = λ(w v) = 0 Dunque, posto V 0 = v, la restrizione F V 0 trasforma V 0 in sé: F V 0 : V 0 V 0 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 8/24

9 Dimostrazione del teorema spettrale Teorema spettrale Ogni endomorfismo auto-aggiunto su uno spazio vettoriale euclideo V ha una base ortonormale di autovettori. In breve: Ogni endomorfismo auto-aggiunto è ortogonalmente diagonalizzabile. Dimostrazione (Per induzione sulla dimensione n di V ) Base dell induzione: caso n = 1. Banale. Un qualunque vettore non nullo è autovettore. Per ottenere una base ortonormale, basta normalizzarlo. Supponiamo l enunciato vero in dimensione n 1. Sia F : V V auto-aggiunto, dim V = n. Abbiamo dimostrato che F possiede un autovettore v (che possiamo pensare unitario). Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 9/24

10 Dimostrazione del teorema spettrale (Continuazione). Dimostrazione (Continuazione) Il complemento ortogonale V 0 = v ha dimensione n 1 ed è F-invariante (Fatto 3). Consideriamo allora la restrizione F V 0 di F a V 0 : F V 0 : V 0 V 0 Per l ipotesi induttiva, l operatore autoaggiunto F V 0 possiede una base ortonormale v 1,..., v n 1 di autovettori. Allora v 1,..., v n 1, v è una base ortonormale di V formata da autovettori di F. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 10/24

11 Operatore auto-aggiunto F Assi principali: V λ1, V λ2, (λ 1 λ 2 ) Fv 1 = λ 1 v 1 v 1 v 2 Base o.n. di autovettori Fv 2 = λ 2 v 2 S 1 F(S 1 ) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 11/24

12 Forme quadratiche in due variabili Forma quadratica in due variabili La forma quadratica associata alla matrice simmetrica (A t = A) A = a b b c è il polinomio omogeneo di secondo grado in x 1, x 2 q(x) = X t AX = (AX) X dove X = x 1 x 2. Esplicitamente: X t AX = x 1 x 2 a b b c x 1 x 2 = ax bx 1x 2 + cx 2 2 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 12/24

13 Forme quadratiche in n variabili Definizione (Forme quadratiche su R n ) La forma quadratica in n variabili associata alla matrice simmetrica A, n n, è il polinomio omogeneo di secondo grado: R n q R, q(x) = X t AX = i,j=1,...,n a ij x i x j In modo equivalente, si può anche scrivere: q(x) = (AX) X Esempio: q(x 1, x 2, x 3 ) = x x x 2 3 è una forma quadratica in tre variabili. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 13/24

14 Cambio di coordinate in una forme quadratica X = (x 1,..., x n ) t : Coordinate rispetto alla base canonica q(x) = X t AX: Forma quadratica. Cambio di variabili: X = PX. Il polinomio X t AX diventa (PX ) t A(PX ) = X t (P t AP) X Quindi la matrice A che rappresenta la forma quadratica, si trasforma in A = P t AP Una matrice A si dice congruente a A se esiste una P invertibile per la quale A = P t AP. (E una relazione di equivalenza). Dunque, la matrice A rappresentativa di una forma quadratica si trasforma per congruenza. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 14/24

15 Diagonalizzazione di forme quadratiche Se A è una matrice diagonale diag (λ 1,..., λ n ), la forma quadratica q(x) = X t AX si scrive nella forma diagonale q(x 1,..., x n ) = λ 1 x λ n x 2 n Teorema (Ogni forma quadratica può essere scritta in forma diagonale) Sia q una forma quadratica su R n. Allora esiste una base ortonormale B di R n che diagonalizza q. Questo significa che, dette (x 1,..., x n) le coordinate rispetto a tale base, si ha q(x 1,..., x n) = λ 1 (x 1 )2 + + λ n (x n) 2 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 15/24

16 Dimostrazione Per il teorema spettrale, esiste una matrice ortogonale P (di cambio di base) che diagonalizza A: A = P 1 AP = P t AP = diag (λ 1,..., λ n ) (7) Con il cambio di coordinate X = PX, la matrice rappresentativa della forma quadratica q si trasforma proprio nella matrice diagonale A = P t AP. Dunque, nelle coordinate X la forma quadratica si scrive in forma diagonale. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 16/24

17 Classificazione: forme quadratiche definite e indefinite Definizione Una forma quadratica q(x) si dice: Definita positiva, se q(x) > 0 per ogni X 0. Esempio: q(x 1, x 2 ) = λ 1 x λ 2x 2 2, λ 1, λ 2 > 0 Definita negativa, se q(x) < 0 per ogni X 0. Esempio: q(x 1, x 2 ) = λ 1 x λ 2x 2 2, λ 1, λ 2 < 0 Indefinita, se assume sia valori positivi che valori negativi. Esempio: q(x 1, x 2 ) = λ 1 x λ 2x 2 2, λ 1 > 0, λ 2 < 0 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 17/24

18 Classificazione: forme quadratiche semidefinite Definizione Una forma quadratica q(x) si dice: Semidefinita positiva, se q(x) 0. Esempio: q(x 1, x 2 ) = λ 1 x 2 1, λ 1 > 0, λ 2 = 0 Semidefinita negativa, se q(x) 0. Esempio: q(x 1, x 2 ) = λ 1 x 2 1, λ 1 < 0, λ 2 = 0 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 18/24

19 Segnatura di una forma quadratica Una riduzione in foma diagonale di q sia: q(x 1,..., x n ) = λ 1 x λ n x 2 n, La segnatura di q(x) è la sequenza (+,.., +,,..,, 0,.., 0), dove i segni + (risp., i segni ) sono quanti i λ positivi (risp., negativi), e gli zeri quanti i λ nulli. Esempi: q(x 1, x 2, x 3 ) = x1 2 x 2 2 (+,, 0). q(x 1, x 2, x 3 ) = x1 2 + x 2 2 x 3 2 (+, +, ). La segnatura non dipende dalla particolare scrittura in forma diagonale (Teorema di inerzia, di Sylvester) e determina il tipo della forma quadratica q: Se i segni sono tutti +, è definita positiva; Se i segni sono tutti, è definita negativa; Se ci sono sia segni + che segni, è indefinita; Se ci sono solo segni + (o solo ) e almeno uno 0, è semidefinita. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 19/24

20 Applicazione: studio di coniche Problema Classificare la conica (del piano) di equazione 3x x 1x 2 + 3x2 2 = 1 ( ) La matrice di q(x 1, x 2 ) = 3x x 1x 2 + 3x è A =. 1 3 Gli autovalori sono entrambi positivi: λ 1 = 2, λ 2 = 4. Con una opportuna rotazione degli assi, la forma quadratica si trasforma nella forma diagonale 2x x 2 = 1, o Si tratta di un ellisse. x 1 2 (1/ 2) + x (1/2) 2 = 1 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 20/24

21 Riduzione di una conica agli assi principali y y v 2 x v 1 Assi principali di simmetria x ( ) 3x 2 + 2xy + 3y = 1, A =. λ = 2, λ 2 = 4, P = [ ( ) ] 2/2 2/2 v 1, v 2 = 2/2, (P t = P 1 ), X = PX. 2/2 Forma canonica: 2x 2 + 4y 2 = 1, ossia x 1 2 (1/ 2) + x (1/2) 2 = 1 Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 21/24

22 Applicazione: studio di quadriche Problema Classificare la quadrica (dello spazio) di equazione 2x x x x 2x 3 = 1 La matrice di q(x 1, x 2, x 3 ) = 2x x x x 2x 3 è A = Gli autovalori sono tutti positivi: λ 1 = 2, λ 2 = 4, λ 3 = 6. Con una opportuna rotazione degli assi, la forma quadratica si trasforma nella forma diagonale 2x x x 3 2 = 1, o x 2 1 (1/ 2) + x (1/2) 2 + x1 2 (1/ 6) = 1 2 È un ellissoide. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 22/24

23 Decomposizione polare Teorema (Decomposizione polare) Sia T un operatore lineare invertibile di uno spazio vettoriale euclideo. Allora esistono, e sono unici, un operatore autoaggiunto S positivo (cioè, con autovalori positivi) e un operatore ortogonale Q (cioè, una isometria lineare), per i quali T = QS (8) Esistono anche, e sono unici, un operatore autoaggiunto positivo S e un operatore ortogonale Q, per i quali Si ha Q = Q e S = QSQ 1. T = S Q (9) Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 23/24

24 Decomposizione polare (Idea della dimostrazione) La dimostrazione si basa sul seguente fatto notevole (n = 2): Per ogni operatore lineare invertibile R 2 T R 2, esistono sempre due vettori unitari v 1, v 2 ortogonali tra loro, tali che i loro trasformati T (v 1 ), T (v 2 ) siano anch essi ortogonali tra loro. v 1 T v2 T v 1 v 2 T S 1 T (S 1 ) S: Operatore simmetrico che dilata gli assi di v 1, v 2, portando questi vettori a essere lunghi quanto T v 1, T v 2 ; Q: Isometria lineare che porta Sv 1, Sv 2 su T v 1, T v 2, rispettivamente. Allora, si ha T = QS. Federico Lastaria. Analisi e Geometria 2. Matrici simmetriche. Il teorema spettrale. 24/24

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