UNIVERSITA DEL SANNIO CORSO DI FISICA 1 ESERCIZI DINAMICA I

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1 UNIVERSITA DEL SANNIO CORSO DI FISICA 1 ESERCIZI DINAMICA I 1. La tensione alla quale una lenza si spezza è comunemente detta resistenza della lenza. Si vuole calcolare la resistenza minima T min che deve avere una lenza tesa in verticale alla quale è attaccato un pesce di massa m = 8.5 kg, che tenta di sganciarsi con una velocità v o =.8 m/s, per essere in grado di bloccare nella distanza d=11 cm il pesce, con decelerazione costante. Il pesce cerca di spingersi verso il basso e il pescatore tira la lenza con una tensione T che si oppone alla spinta del pesce e al suo peso. Quindi la tensione T da applicare deve essere tale da dare in totale una accelerazione verso l alto, che chiameremo a, e opporsi alla forza peso verso il basso. Attraverso la tensione applicata alla lenza quindi si applica l accelerazione a tale da frenare nel suo moto verso il basso il pesce, fino a fermarlo. Scegliamo l asse z positivo verso il basso (vedi figura). Il pesce si muove di moto uniformemente accelerato (o decelerato, se si preferisce) e percorre la distanza d nel verso positivo dell asse z. Secondo le relazioni del moto uniformante accelerato è d = v 0 t d -1/ g t d dove t d è il tempo in cui la velocità si annulla dal valore iniziale v 0. Dalla relazione per la velocità in funzione del moto uniformemente decelerato (come nel nostro caso) abbiamo v(t) = v 0 a t. Per t = t d otteniamo il valore dell accelerazione t d = v 0 / a e sostituendo nella legge oraria ricaviamo il valore dell accelerazione da imprimere al pesce: a = v 0 / ( d) = ms -. Per calcolare a questo punto il valore della tensione T, basta impostare la seconda legge di Newton per le forze agenti. Le forze agenti sono l incognita tensione T, verso l alto, e la forza peso, orientata verso il basso, nel senso positivo dell asse z. Quindi: - T + m g = - m a. Pertanto T = m (a - g) = 0 N.. Una automobile avente peso p = 1.30 x 10 4 N sta viaggiando ad una velocità v o = 40km/h e deve frenare fino ad arrestarsi in uno spazio d = 15m. Ammettendo una forza frenante costante, trovare l intensità di questa forza ed il tempo impiegato per fermarsi. Se la velocità iniziale fosse v o = 80Km/h e la forza

2 frenante fosse la stessa trovata precedentemente, trovare qual e la distanza di arresto e qual è la durata della frenata. Anche in questo caso si ha un moto decelerato con accelerazione costante. Infatti si ammette che l automobile si stia muovendo in orizzontale, per cui la sua forza peso viene equilibrata in verticale dalle forza di reazione del piano stradale. Si suppone che non vi sia attrito e che dall interno della macchina si freni con una pressione sui freni a cui corrisponde una forza frenante orizzontale costante nel tempo e nello spazio, e che questa sia l unica forza agente. Ad una forza costante corrisponde un accelerazione costante, che è da trovare, in base alle leggi del moto uniformemente accelerato (o decelerato, visto che la velocità e l accelerazione hanno versi contrari). Ancora come nell esercizio precedente sappiamo che la macchina dotata di velocità iniziale data, deve fermarsi in una determinata distanza d, per cui l accelerazione che deve essere impressa è pari a A questa accelerazione corrisponde una forza F = m a. Nel testo è dato il peso della macchina, p, che è pari a m g, con g accelerazione di gravità (9.8m/s). Quindi L intervallo di tempo in cui si ferma, considerando zero il tempo in cui ha la velocità iniziale vo si trova dalla relazione v(t) = vo a t, considerando che all istante di tempo t 0 si deve avere v(t 0 ) = 0. Quindi t 0 = v 0 / a =.7 s. Nella seconda parte dell esercizio si richiede la distanza percorsa a parità di forza frenante se la velocità iniziale è il doppio della precedente. Quindi la decelerazione è quella trovata precedentemente e considerando la relazione che lega velocità iniziale, accelerazione e distanza percorsa durante il processo di frenata, si ha (gli indici 1 indicano le quantità nuove) : Si ricava facilmente che il tempo di frenata invece raddoppia rispetto al caso precedente, considerando al solito la relazione v 1 (t) = v 01 a t con v 01 velocità iniziale in questo caso e che il tempo cercato corrisponde al tempo in cui v 1 (t) si annulla. 3. State tirando una scatola su un pavimento incerato (attrito trascurabile), mediante una fune legata alla scatola e nel farlo applicate una forza costante F r orizzontale. Un vostro amico sta tirando la stessa scatola con la stessa forza F r ma inclina la fune di un angolo θ verso l alto. Trovare il rapporto tra le velocità

3 scalari dopo un certo tempo t e dopo avere tirato la scatola per una certa distanza d. La situazione è quella raffigurata in figura per le forze che agiscono sulla scatola nei due casi. Le forze agenti nel primo caso ( sinistra) sono il peso della scatola (in verticale verso il basso), la reazione del piano (N), la forza orizzontale F; dalla seconda legge di Newton la somma vettoriale delle forze è uguale a massa per accelerazione : F + m g + N = m a. Scomponendo sugli assi coordinati si ha caso 1 : Nella prima equazione l accelerazione lungo l asse y è evidentemente nulla, la scatola non si alza dal pavimento né scade verso il basso, ma si sposta solo orizzontalmente. Nel secondo caso (a destra) ancora l equazione è F + m g + N = m a, ma ora scomponendo sugli assi si trova: caso Quindi la reazione del piano è diminuita rispetto al caso precedente (in parte è la forza applicata dall amico che sostiene in verticale la cassa), ma anche l accelerazione in orizzontale è diminuita: a parità di valore di F, poiché cosθ, per angoli minori di π/, è minore di 1. Le accelerazioni sono comunque costanti, e quindi il moto impresso è uniformemente accelerato e la velocità ad ogni istante è data da v(t)=a t, con a l accelerazione e t il tempo, essendo in questi due casi la velocità iniziale nulla. Si ha quindi La velocità nel primo caso è quindi sempre maggiore della velocità del secondo caso, a parità di intensità della forza applicata. Dopo aver percorso la distanza d, in un moto uniformemente accelerato con velocità iniziale nulla, la velocità è data dalla relazione v d = (ad) 1/, con a accelerazione e d distanza percorsa, per cui ora si ha

4 4. Una sferetta di massa 3 mg è appesa ad un filo in estensibile ed è in equilibrio. Soffia una brezza orizzontale costante che fa spostare il sistema in modo che la nuova posizione d equilibrio del sistema formi una angolo di α = 30 con la verticale. Trovare il valore della tensione del filo e della forza orizzontale della brezza La situazione è quella raffigurata in figura per le forze che agiscono sulla pallina spostata dalla posizione di equilibrio verticale. Sono segnate le forze che agiscono, ovvero la tensione T della corda in estensibile, la forza F del vento in orizzontale e la forza peso dovuta all attrazione della pallina da parte della terra. Poiché il sistema è in equilibrio deve essere: F + m g + T = 0. Scomponendo su gli assi x e y in figura (questa è una possibile scelta di assi, si può anche considerare l asse y lungo la corda verso il punto di sospensione e l asse a lui perpendicolare) si ha: Suggerimento: provare a rifare il calcolo scegliendo un sistema di riferimento diverso, per esempio quello suggerito sopra. 5. Uno sciatore la cui massa è m = 70 kg scende lungo una pista innevata (si trascura quindi l attrito) inclinata di α = 0 rispetto all orizzontale. Percorre partendo da fermo una distanza d = 300 m su questo pendio. Trovare di quanto è sceso di quota e la velocità alla fine della discesa. Lo stesso sciatore rifà la stessa pista, ma ora soffia un vento costante forte parallelo alla pista. Se lo sciatore parte con velocità iniziale di modulo v o, calcolare modulo e verso della

5 forza se la sua velocità rimane costante lungo la discesa e se la sua velocità aumenta costantemente di a = 1m/s. Lo sciatore è assimilabile a un corpo di massa m che scende lungo un piano inclinato di un angolo α. In assenza di attrito, le uniche forze che agiscono sullo sciatore sono la forza peso m g verticale verso il basso, e la reazione del piano N perpendicolare alla pendenza La prima domanda chiede di quanto è sceso di quota lo sciatore se scende lungo la discesa (ovvero lungo il piano inclinato) di una distanza D: D è l ipotenusa del triangolo in cui il cateto verticale h rappresenta la discesa di quota. Applicando la trigonometria si ottiene che h = D senα = 300 m 0.34 = 10.6 m Per quanto riguarda il moto dello sciatore, si è già detto delle forze che agiscono sullo sciatore, se l asse x viene considerato lungo il piano inclinato e l asse y perpendicolare all asse x e con verso positivo verso l alto e scomponendo la legge di Newton lungo questi assi: m g + N = m a si ha ovvero il moto è solo accelerato lungo l asse x e l accelerazione è costante pari a g senα. Il moto è uniformemente accelerato e applicando le relazioni che danno la velocità in funzione della distanza percorsa e della velocità iniziale (nulla in questo caso) si ha Nel caso in cui agisce anche la forza orizzontale F dovuta al vento il diagramma delle forze si modifica come mostrato nel disegno:

6 la legge di Newton diventa m g + N + F = m a. Un ulteriore informazione è che lo sciatore si dà inizialmente una spinta e scende quando c e il vento con la velocità iniziale: questo significa che né lungo x né lungo y c è accelerazione a x = a y = 0 a = 0. Allora scomponendo lungo gli assi m g + N + F = m a si ottiene Quindi F = 70 kg 9.8 m s - sen 0 = 34.6 N. L ultima domanda dice che lo sciatore scende contro vento aumentando costantemente la sua velocità di 1 metro ogni secondo, il che significa che l accelerazione lungo l asse x è ax = 1 m/s. Si ha allora, per quanto riguarda il moto lungo il piano inclinato: 6. Due blocchi, di massa rispettivamente m 1 = 5 kg e m = 3 kg, sono in contatto su una superficie orizzontale senza attrito, a uno dei due blocchi è applicata una forza orizzontale costante F = 3. N. Trovare l accelerazione dei due blocchi e la forza di contatto tra i due blocchi. Se la forza è applicata in senso contrario al blocco di destra di massa m come cambia il modulo dell accelerazione dei due blocchi? Quale è la forza di contatto tra i due blocchi in questo caso?

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8 7. Si deve spostare una cassa di massa m = 50 kg che giace in orizzontale su un pavimento con coefficiente di attrito statico f s = 0.5 e attrito dinamico f d = 0.3. Si cerca di spostarla tirando con una fune che è legata alla cassa e applicando una forza orizzontale F. Trovare il valore della forza per cui la cassa incomincia a muoversi. Se si applica la stessa forza durante il movimento, quale è l accelerazione della cassa e dopo quanto tempo si è spostata di d = 4 m? La stessa cassa viene invece spostata inclinando la corda di un angolo α = 30 rispetto l orizzontale e tirando. Rispondere alle due domande precedenti in questo caso. Se la cassa fosse invece spinta con una forza la cui direzione è inclinata di un angolo α = 30 rispetto l orizzontale, come cambierebbero le risposte alle domande precedenti?

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10 8. Un blocco di massa m = 6 kg, inizialmente fermo, scende strisciando lungo un piano inclinato di un angolo α = 40 rispetto l orizzontale. Il coefficiente d attrito dinamico tra piano e blocco è f d = 0.4. Determinare la velocità del blocco dopo T = 10 secondi di discesa e lo spazio percorso lungo il piano. Lo stesso blocco viene spinto verso l alto sullo stesso piano con una velocità iniziale v 0 =10 m/s. Determinare il tempo che impiega per percorrere questa distanza e la distanza percorsa prima che la sua velocità si annulli. Descrivere il moto successivo: il corpo ricade verso il basso o rimane fermo in quella posizione, se il coefficiente di attrito statico è f s = 0.7? Se ricade con che velocità arriva alla fine del piano inclinato?

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12 9. Un automobile percorre una curva in piano di raggio R = 150m. L attrito tra i pneumatici e la strada è f d = 1.4. Trovare quale è la massima velocità che può avere la macchina per non slittare. L attrito è di tipo statico o dinamico? Serve aumentare la massa della macchina per non slittare? Per eliminare sbandamenti, se l attrito diminuisce per pneumatici lisci o presenza di acqua, le curve sono sopraelevate (o inclinate). Determinare l angolo di sopraelevazione α per la curva in caso di attrito nullo se la velocità dell automobile è quella determinata precedentemente.

13 10. Un blocchetto di massa m = 00 g è fatto girare, da una corda ancorata nel centro della circonferenza, su una circonferenza orizzontale di raggio R = 0 cm. Il piano su cui ruota è ruvido ed è presente attrito tra la massa e il piano. La velocità iniziale della massa è v 0 = 10 m/s e diminuisce costantemente di a = 0.5 m/s.. Determinare il coefficiente di attrito dinamico tra blocco e piano. Determinare quanti giri fa il blocchetto prima di fermarsi. Calcolare la tensione nel filo all inizio del moto (t = 0 s) e dopo un tempo t = 3 s dall inizio del moto. Scrivere l equazione oraria per l angolo descritto durante il moto.

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15 UNIVERSITA DEL SANNIO CORSO DI FISICA 1 ESERCIZI DINAMICA II 1. Un blocco assimilabile ad un punto materiale di massa m = Kg partendo da fermo scivola da un altezza h = 4 m lungo una guida priva di attrito. Alla base della guida il blocco colpisce e comprime una molla ideale di costante elastica k = 00 N/m. Calcolare la massima compressione della molla, l energia potenziale della massa alla quota di h = m e l energia cinetica prima di cominciare a comprimere la molla. Rispetto alla base della guida, l energia potenziale del blocco è E = m g h = 78.4 J. Alla base della guida, il blocco possiede un energia cinetica uguale a quella potenziale iniziale. Mentre il blocco comprime la molla, questa energia cinetica si trasforma in energia potenziale elastica della molla e la trasformazione è completa quando la molla è compressa al massimo. Quindi: m g h = ½ k x x = 0.89 m. All altezza di m l energia potenziale vale la metà di quella posseduta a 4 m ed infine l energia cinetica prima di comprimere la molla sul piano orizzontale non può non essere uguale a quella potenziale gravitazionale iniziale oppure a quella potenziale elastica alla massima compressione della molla.. Un cane rincorre un gatto. La massa del cane è doppia di quella del gatto, la loro energia cinetica è uguale ed è costante. Inoltre la distanza tra il cane ed il gatto aumenta di 3 m ogni secondo. Calcola la velocità dei due animali. L energia cinetica del gatto e del cane valgono rispettivamente E g = ½ m g v g e E c = ½ m c v c = m g v c. Quindi dato che le energie cinetiche devono essere uguali: v g = v c. Ma la velocità del gatto è tale da essere v g = v c + v 0, con v 0 = 3 m/s. Risolvendo il sistema di due equazioni in due incognite v c = (1 + ½ ) v 0 = 7,4 m/s e v g = ( + ½ ) v 0 = 10,4 m/s. 3. Un blocco di massa m = 3,57 Kg è trascinato a velocità costante su un piano orizzontale per un tratto d = 4,06 m da una fune che esercita una forza costante di modulo F = 7,68 N incrinata di una angolo θ = 15 sull orizzontale. Calcolare il lavoro totale compiuto sul blocco, il lavoro fatto dalla fune sul blocco, il lavoro fatto dalle forze di attrito sul blocco, il coefficiente di attrito dinamico tra blocco e piano.

16 Poiché il blocco si muove con velocità costante, anche la sua energia cinetica è costante. Non essendovi variazione di energia cinetica, il lavoro totale compiuto sul blocco è zero, per il teorema dell energia cinetica. Il lavoro computo dalla forza F che è costante e forma un angolo di 15 con al direzione dello spostamento è dato dalla formula L = f d cos θ = 30,1 J. Essendo nullo il lavoro totale, le forze di attrito compiono un lavoro eguale e contrario a quello compiuto dalla fune: L a = - L = - 30,1 J. Essendo nulla la forza risultante, come si deduce dal punto precedente, valgono per le proiezioni sugli assi x e y due relazioni: F cos θ - F c = 0 e F sin θ - mg + N = 0 Poiché d altra parte la forza di attrito è legata alla reazione normale della superficie otteniamo μ = F cos θ / N = 0,5. 4. Un blocco di ghiaccio di 50 Kg è posto su un piano inclinato lungo 1,5 m ed alto 90 cm. Un uomo spinge il blocco di ghiaccio in su parallelamente al piano inclinato cosicché il blocco scivola giu con velocità costante. Il coefficiente di attrito tra il ghiaccio ed il paino è 0,1. Trovare la forza esercita dall uomo, il lavoro fatto dall uomo sul blocco, il lavoro fatto dalla forza di gravità sul blocco, il lavoro fatto dalla superficie del piano sul blocco, il lavoro fatto dalla risultante delle forse sul blocco e la variazione di energia cinetica del blocco. Poiché il moto del blocco di ghiaccio è uniforme, la risultante delle forze ad esso applicato deve essere zero. Tenuto conto dei dati del problema e del fatto che l attrito cinetico ha sempre verso opposto alla velocità, detta F la forza applicata dall uomo ed F c la forza d attrito, si ha: F + F c mg sin θ = 0. Quindi F = mg (sin θ mu cos θ). Tenuto conto dei dati del problema si ottiene F = 55 N. Tale forza è opposta allo spostamento, quindi il lavoro compiuto vale L 1 = - F l = J. Per il lavoro della forza peso abbiamo con un calcolo analogo il valore di L = mg l sin θ = 441 J. La forza di attrito equilibra la risultante delle altre due forze; quindi il lavoro che essa compie è opposto al lavoro complessivo fatto dalle altre due forze: L 3 = -(L 1 + L ) = - 58 J. Infine essendo nulla la risultante delle forze applicate sul blocco, si annullano sia il lavoro che la variazione di energia cinetica. 5. Da quale altezza dovrebbe cadere una macchina per acquistare un energia cinetica eguale a quella che avrebbe se viaggiasse alla velocità di 100 Km/h. In un moto uniformemente accelerato la velocità raggiunta da un corpo che parte da fermo dopo aver percorso un tratto d è dato da v = g d. Quindi d = v / ( g) = 39,4 m. 6. Un oggetto è appeso ad una molla verticale e abbassato lentamente fino alla posizione di equilibrio. Esso allunga la molla di un tratto d. Se lo stesso oggetto, attaccato alla stessa molla verticale, viene lasciato cadere, di quanto si allunga la molla?

17 Sia k la costante elastica della molla. In condizioni di equilibrio la forza applicata alla molla è uguale al peso dell oggetto, quindi: m g = k d ossia d = mg / k. Se l oggetto viene lasciato cadere, possiamo applicare la conservazione dell energia meccanica. Scelta la posizione iniziale dell oggetto come origine delle coordinate in tale punto si annullano sia l energia cinetica che l energia potenziale della forza elastica e quella della forza peso. L energia totale vale E = K + U e + U p che inizialmente vale zero. Questo valore deve rimanere costante durante il moto. Quando la molla raggiunge il massimo allungamento D, la velocità dell oggetto è istantaneamente nullo e quindi l energia cinetica è zero. L energia potenziale della forza elastica ha il valore U e = ½ k D e quella della forza peso U p = - m g D. Dalla conservazione dell energia meccanica si ottiene E = K + U e + U p = ½ k D m g D = 0. Quindi D = m g / k = d. 7. Il cavo di un ascensore di massa 000 Kg si spezza quando l ascensore è fermo al primo paino a distanza d = 4,0 m da una molla di attenuazione di costante elastica K = 1, N/m. Un dispositivo di sicurezza agisce sulle guide in modo da far loro sviluppare una forza di attrito costante di 500 Kgf che si oppone al moto dell ascensore. Calcolare la velocità dell ascensore prima che urti la molla. Trovare di quale tratto s è compressa la molla. Calcolare a quale distanza risale l ascensore lungo le guide. Assumiamo come configurazione di riferimento, in cui l energia potenziale del sistema ha un valore nullo, quella in cui l ascensore entra in contatto con la molla. Nella posizione inziale l ascensore possiede energia cinetica K i = 0 ed energia potenziale U i = m g d = 78,4 KJ. Nel momento in cui l ascensore urta la molla, l energia potenziale è nulla, l energia cinetica è K = ½ m v, dove v è la velocità incognita. Essendo presente durante il moto una forza di attrito, applicheremo la conservazione dell energia meccanica tenendo conto del lavoro delle forze non conservative: ΔE = ΔK + ΔU = K K i + U U i = - Fa d = - 19,6 KJ. Sostituendo le espressioni trovate si ha allora ½ m v m g d = - Fa d da cui v = ( d / m (m g - Fa)) ½ = 7,67 m/s. La compressione massima della molla corrisponde all annullamento della velocità dell ascensore. In questo caso l energia potenziale della molla è data da U = ½ k s dove s è la deformazione della molla. Il lavoro della forza di attrito e della forza peso si compie su una distanza d + s, cosicché possiamo scrivere: E = ½ k s - mg (d + s) = - Fa (d + s). Risolvendo rispetto ad s otteniamo quanto cercato: s = 1 m. La molla alla massima compressione possiede un energia potenziale U = ½ k s = 75 KJ. Parte di questa energia si trasforma in energia potenziale gravitazionale, parte viene dissipata dalle forze d attrito: ½ k s = mg h + F a dove h è la distanza di cui risale l ascensore. Quindi h = 3 m. L ascensore arriva ad un livello di m sopra il livello della molla.

18 8. Una sferetta di massa 0.40 Kg, posta ad un altezza di 1,4 m da terra viene lasciata cadere su una molla posta verticalmente. La molla, di massa trascurabile è lunga 0,35 m ed ha una costante elastica di 1400 N/m. Di quanto si comprime la molla prima che inizi il rimbalzo? Risolvi il problema dapprima trascurando la variazione di energia potenziale dovuta all abbassamento della molla, poi tenendone conto. Sia l la lunghezza della molla, h l altezza da cui cade la sferetta ed x la compressione della molla. Nel caso generale abbiamo che m g h = ½ k x + m g (l - x) da cui m g( h l) = ½ k x - m g x. Nel caso in cui trascuriamo la variazione di energia potenziale gravitazionale abbiamo m g h = ½ k x + m g (h - l) da cui k x - m g l. Quindi si ottengono i valori della compressione nelle due ipotesi. 9. Un ragazzo si tuffa in mare da 5 m di altezza. La sua velocità di caduta viene ridotta a zero per l attrito con l acqua quando egli si trova a, 5 m sotto acqua. La massa del ragazzo è di 75 Kg. Qual è l energia media dissipata per attrito con l acqua per ogni metro? Ponendo a zero l energia potenziale nel punto in cui si arresta il moto nell acqua abbiamo che le forze di attrito devono compiere un lavoro negativo pari a m g (h + d) dove h è l altezza da cui avviene il tuffo rispetto al livello dell acqua e d lo spazio percorso nell acqua. Quindi l energia dissipata per unità di lunghezza è data da m g (h + d) / d = m g (1 + h/d). Quindi otteniamo:,9 x 10 3 J/m. 10. Un automobile viaggia su una strada orizzontale a 50 Km/h e si arresta frenando in 8 m. Supponendo che i freni applichino la stessa forza anche su una strada in discesa con la pendenza del 9 %, quale sarebbe la distanza di arresto dell auto? Sia v 0 la velocità iniziale della macchina, d 1 lo spazio percorso ed a 1 l accelerazione necessaria per fermare la macchina nel tratto orizzontale. Si ottiene in questo caso che a 1 = ½ v 0 / d 1. Quindi a tale accelerazione dobbiamo associare una forza frenante pari a f = m a 1 = ½ m v 0 / d 1. Nel caso in cui vi sia un piano inclinato con un angolo α, lungo il piano inclinato bisogna avere: f m g sin α = m a, dove a = ½ v 0 / d 1 - g sin α è l accelerazione necessaria per fermare la macchina avente sempre velocità iniziale v 0. Lo spazio necessario sarà dunque d = ½ v 0 / a = ½ v 0 /(½ v 0 / d 1 - g sin α). N.B. Se α = 0 troviamo che d = d 1!!! Ovvio!!!

19 UNIVERSITA DEL SANNIO CORSO DI FISICA 1 ESERCIZI DINAMICA III 1. Una canoa percorre un tratto rettilineo di fiume lungo l = 1 Km una volta contro corrente impiegando 0 minuti ed una volta a favore di corrente impiegando 15 minuti. Calcolare la velocità della corrente rispetto alla riva. Si suppongano costanti la velocità della corrente e la velocità con cui la canoa si muove rispetto alla corrente. Detta v la velocità rispetto al sistema fisso, solidale con la riva, e detta v la velocità della canoa rispetto ad un sistema mobile solidale con la corrente, si ha: v = v v t e v = v + v t dove v t è la velocità di trascinamento, cioè la velocità rispetto a riva di un punto solidale con il sistema mobile che si trovi sovrapposto alla canoa (punto mobile). v t è l incognita del problema e può essere determinata scrivendo le equazioni orarie dei due moti di andata e di ritorno. Andata: v 1 = v v t ; ritorno: v = v + v t da cui si ottiene v v 1 = v t. D altra parte v 1 = l/t 1 v = l/t. Infine v t = ½( l/t - l/t 1 ) = 0.14 m/s.. Un automobile di lunghezza l = 4 m si muove di moto rettilineo uniforme alla velocità v = 100 Km/h e sorpassa un autotreno che si muove nella stessa direzione e con velocità V = 60 Km/h. Se l autotreno è lungo L = 15 m, quanto tempo dura il sorpasso, cioè quanto tempo occorre perché si passi dalla situazione in cui il fronte dell auto è allineato con la coda dell autotreno, alla situazione in cui la coda dell auto è allineata con il fronte dell autotreno? Scegliendo un sistema di riferimento fisso solidale con l autotreno, perché il sorpasso sia completo, il fronte dell auto, che si muove con velocità v V rispetto all autotreno, deve percorrere il tratto L + l. Trattandosi di moto rettilineo ed uniforme, il tempo necessario è t = (L + l) / (v V) = 1,7 s. 3. Due aerei viaggiano sullo stesso piano con velocità v 1 = 500 Km/h e v = 800 Km/h rispettivamente. Le direzioni di moto formano un angolo θ = 30, mentre gli aerei si allontanano l uno rispetto all altro. Calcolare la velocità relativa dl secondo aereo rispetto al primo (modulo e direzione). Rispetto ad un sistema fisso solidale con la Terra, un sistema di riferimento mobile solidale con il primo aereo ha velocità di trascinamento costante v t = v 1. In questo sistema mobile, in cui l aereo 1 è fermo, il secondo aereo ha velocità relativa v = v - v t = v v 1 essendo v la velocità del secondo aereo rispetto al sistema fisso. Proiettando sugli assi x ed y del sistema mobile (scelti paralleli

20 ai corrispondenti assi x e y del sistema fisso) si ha: L angolo è dato da tan θ ' = v' y v' x = v v' x y ed il modulo di v è dato da v = v 1 y = v cosθ v = v sinθ v' x v' y v ' = +. v' x Numericamente abbiamo 4. Un treno si muove di moto rettilineo uniforme con velocità V. All interno del treno, un punto materiale viene lanciato verso l alto, rispetto al treno, con velocità v 0. Determinare il tipo di traiettoria del punto nel riferimento solidale al treno e nel riferimento fisso solidale alle rotaie. Siano v e v le velocità del punto rispetto al sistema fisso Oxy ed a quello mobile O x y, rispettivamente. Essendo V la velocità di trascinamento si ha v = v + V. In modo analogo, per l accelerazione si ha a = a. Nel riferimento v' x = 0 mobile O x y abbiamo un moto rettilineo verticale. Nel sistema di v' y = v' 0 gt riferimento Oxy abbiamo a = - g e v = v + V; quindi le leggi orarie sono vx = V (moto parabolico). vy = v' y = v' 0 gt 5. Durante la fase di frenamento, con accelerazione negativa costante A, di un vagone che si muove su traiettoria rettilinea orizzontale, un corpo viene lanciato, internamente al vagone, con velocità v 0 verticalmente verso l alto, rispetto al vagone in moto. A che distanza dal punto di lancio il corpo ricadrà sul pavimento del vagone? Nel sistema fisso (inerziale) Oxy si ha a = - g (corrispondente al fatto che è presente soltanto la forza reale dovuta la peso). Nel sistema mobile O x y (non inerziale, nel quale oltre alla forza peso è presente la forza di inerzia m A) si ha: a = a A. Dunque l accelerazione relativa a è uniforme nel riferimento mobile ed inclinata rispetto alla verticale. Conviene risolvere il 1 a' = x' = x' 0 At x A problema ponendoci nel sistema mobile:. Il tempo a' = 1 y g y' = v' 0 t gt v 0 necessario per toccare terra è dato da t = t* = '. La distanza dal punto di g Av' lancio (x = x 0 ) del punto di ricaduta sarà: Δ x' = x'(*) x' = 0. g 6. Una pallina si trova ferma alla base di un piano inclinato di 45 rispetto all orizzonte e di altezza h = 1,1 m, montato sopra un carrello. Il carrello viene messo in movimento con accelerazione costante A per un intervallo di tempo τ, dopodichè il carrello prosegue con moto uniforme. Si determini il valore di A per i quali la pallina, scivolando senza attrito lungo il paino inclinato, ne raggiunge la sommità. 1.

21 Si consideri un sistema di riferimento solidale con il piano inclinato, con l asse x nella direzione di moto della pallina e l origine alla base del piano: per t τ tale sistema di riferimento non è inerziale e la sua accelerazione di trascinamento vale A. Rispetto al sistema di riferimento considerato, il modulo dell accelerazione della pallina risulta a = Acosα g sinα per t τ e a = g sinα per t > τ. Ora la velocità per t τ vale v( t) = ( Acosα g sinα )t e per t > τ vale v( t) = ( Acosα ) τ ( g sinα )t, mentre lo spazio percorso per t τ vale 1 x( t) = ( A cos α g sin α ) t e per t > τ vale 1 1 x( t) = ( Acosα ) τt ( Acosα ) τ ( g sinα ) t. La pallina si arresterà in un tempo pari a t = τ + t *, dove t* è il tempo di inversione del moto uniformemente A decelerato per t > τ: t * = cot α. Lo spazio percorso sarà, dunque, dato dalla gτ somma degli spazi percorsi nelle due modalità di moto: x tot ( A cos α g sin α ) τ =. Quindi l altezza massima raggiunta è g sinα ( A cos α g sin α ) τ htot = xtot sinα =. Sia h 0 l altezza da raggiungere. Quindi g otteniamo la seguente relazione da soddisfare per l accelerazione A: gh0 ( A cos α g sin α ) =. τ 7. Una sbarra di massa trascurabile e lunghezza l è posta con un angolo α rispetto alla verticale. Alla sua estremità libera è applicata una forza verso il basso pari in modulo ad f. Calcolare il momento della forza scegliendo come polo l altra estremità della sbarra fissa alla verticale. Tra il raggio vettore e la forza vi è un angolo pari a α, quindi il modulo vale l f sin α. 8. Calcolare il momento angolare associato al moto di un corpo di massa m su una guida circolare di raggio r. La quantità di moto vale m v = m r ω. In questo caso il vettore posizione (scelto come polo il centro della circonferenza) vale in modulo r ed è sempre ortogonale alla quantità di moto. Quindi otteniamo un momento angolare pari a m r ω. 9. Calcolare il momento della forza peso, agente su un corpo di massa m in rotazione nel giro della morte, rispetto al centro dell anello ed il punto più basso dell anello. Il modulo del momento della forza vale m g l sin α, nel caso del polo coincidente con il centro della circonferenza, dove α è l angolo formato dalla direzione verticale e dal raggio vettore (α compreso tra e 180 ). Nel

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