Consigli di Meccanica Razionale

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1 Consigli di Meccanica Razionale Enzo Tonti 3 dicembre 2009

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3 Indice 1 INTRODUZIONE Alcune semplici verità Forma tipica di un problema di meccanica Le principali leggi della meccanica Particella Sistema meccanico Configurazione di un sistema meccanico Coordinate libere Spostamenti reali e virtuali Gradi di libertà Come scegliere gli assi cartesiani Come scegliere gli angoli Vincoli Reazioni vincolari Classificazione dei vincoli Osservazioni sui vincoli fissi Forze Classificazione delle forze STATICA Equazioni cardinali della statica Principio dei lavori virtuali Lavoro virtuale Come si calcola il lavoro virtuale Attrito Statica del punto Punto materiale libero nel piano Punto materiale vincolato ad una linea liscia Statica del corpo rigido

4 4 INDICE Corpo rigido con asse fisso Corpo rigido con 1 grado di libertà (nel piano) Corpo rigido con 2 gradi di libertà (nel piano) Corpo rigido appoggiato ad un piano liscio Corpo rigido con asse fisso (nello spazio) Statica dei sistemi articolati Considerazioni generali Arco a tre cerniere Reazioni interne nelle cerniere Azioni interne nelle aste Diagramma delle azioni interne Statica dei fili Sollecitazione continua dei fili Osservazione sui fili Statica dei fili appoggiati su superficie liscia Determinazione del baricentro Calcolo dei momenti d inerzia CINEMATICA Il tempo: istanti ed intervalli Moto Moto uniforme Cinematica del punto Velocità e accelerazione Sistema di coordinate e base fisica Componenti della velocità e della accelerazione Come orientare la normale ad una curva piana Alcune grandezze in coordinate polari Moto centrale Cinematica del corpo rigido Atto di moto rototraslatorio Centro di istantanea rotazione Vincoli anolonomi Dinamica Equazioni cardinali della dinamica Calcolo del momento angolare Teorema dell energia Integrale dell energia Osservazioni sul teorema e sull integrale dell energia... 76

5 INDICE Calcolo dell energia cinetica Relazione simbolica della dinamica Principio di d Alembert Equazioni di Lagrange Punto materiale libero Particella vincolata a una linea fissa e liscia Dinamica della particella su una superficie fissa e liscia Dinamica del corpo rigido Corpo rigido con asse fisso Rotolamento nel moto piano L uso del centro di istantanea rotazione in dinamica Corpo rigido con un punto fisso Corpo rigido libero nello spazio Angoli nautici e angoli di Eulero Dinamica dei sistemi Consigli introduttivi Osservazione sulla velocità angolare nei problemi piani Osservazione sugli esseri animati e sui motori Osservazioni sui fili Conservazione delle quantità meccaniche Calcolo delle Q k Oscillazioni Piccole oscillazioni Fattore di amplificazione dinamica Modi normali di vibrazione Sistemi con massa variabile Dinamica impulsiva Meccanica relativa Statica relativa Dinamica relativa Dinamica relativa della particella Dinamica relativa del corpo rigido Dinamica relativa dei sistemi Unità di misura Come limitare gli integrali doppi Equazioni differenziali di uso frequente Equazione differenziale lineare Terna intrinseca funzioni circolari e iperboliche

6 6 INDICE 5 Esercizi risolti e commentati Consigli per risolvere gli esercizi Problema Problema Problema Problema Problema Problema Problema commiato A Programmi in Matlab 149 A.1 AAA A.2 AAA A.3 AAA A.4 AAA A.5 AAA A.6 AAA B RIMASUGLI 159 B.0.1 Punto materiale vincolato ad una superficie liscia B.0.2 Punto materiale vincolato ad una superficie scabra C Sistemi di forze 163 C.1 Forze su corpi rigidi C.1.1 Sistemi equivalenti C.1.2 Riduzione di un sistema di forze C.1.3 Come varia il momento al variare del polo C.1.4 Proprietà del momento C.1.5 Ricerca di un polo privilegiato C.1.6 Casi particolari: forze piane C.1.7 Casi particolari: forze parallele D Le diverse meccaniche 171 D.1 Le diverse meccaniche E Dizionario 173 E.1 bibliografia

7 Capitolo 1 INTRODUZIONE 1.1 Alcune semplici verità Facendo gli esercizi si capisce la teoria, si mette in evidenza ciò che si credeva di aver capito, si fissano le nozioni, si impara come utilizzarle. Un proverbio dice che tra il dire ed il fare c è di mezzo il mare. Questo proverbio si tocca con mano facendo gli esercizi. Le nozioni apprese a lezione o da un libro sembrano chiare ma al momento di metterle in pratica sono... appelli o sessioni d esame che passano! Da qui discende che teoria e problemi non devono essere separati nello studio di una materia, e tanto meno i problemi devono essere affrontati senza aver prima studiato la corrispondente teoria. Qualunque procedimento diverso si risolve in una devastante perdita di tempo, spreco di fatica e, fatto non trascurabile, porta all oblio di tutto: formule, procedimenti e concetti, nel giro di poche settimane. Lo studio ideale consiste delle seguenti fasi: posizione di alcuni problemi, studio della teoria corrispondente ed infine risoluzione dei problemi mediante la teoria appresa. Uno dei peccati capitali dell insegnamento sta nello spiegare una teoria senza aver prima dato alcuni esempi di problemi che potranno essere risolti. E bene partire facendo un elenco di esempi, facendosi molte domande, creando la necessità di una teoria. Quello di iniziare una esposizione con la classica parola Consideriamo... è altamente sconsigliabile. E bene dare una panoramica delle problematiche, esaminare una serie di esempi, stuzzicare la curiosità dell allievo mostrandogli dove si vuole arrivare, quello che si sarà in grado di fare a fine corso, mostrando immagini o fotografie o oggetti sui quali ci si pongono domande. 7

8 8 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE Forma tipica di un problema di meccanica Gli ingredienti della meccanica sono essenzialmente tre: 1. un sistema meccanico le forze che agiscono sul sistema cercando di metterlo in moto. 3. i vincoli a cui è sottoposto il sistema che ne ostacolano il movimento. Se il sistema meccanico permane nella stessa configurazione il problema è di statica. Se il sistema evolve da una configurazione ad un altra, cioè è in movimento, il problema è di dinamica. Le domande tipiche che si pongono in un problema di meccanica sono: determinare la configurazione di equilibrio del sistema; determinare le reazioni vincolari nella posizione di equilibrio; determinare le azioni interne nella configurazione di equilibrio; determinare il moto del sistema; determinare le reazioni vincolari durante il moto; determinare una forza che mantenga il sistema in una configurazione di equilibrio prefissata; determinare una forza che mantenga il sistema in un moto prefissato; determinare il periodo delle piccole oscilazioni di un sistema ad un grado di libertà; determinare le frequenze naturali di un sistema oscillante a più gradi di libertà; determinare il tempo che il sistema impiega a raggiunge una data configurazione; determinare il punto in cui un corpo in moto si distacca dal vincolo. I problemi della meccanica razionale, come quelli di tutta la fisica e della scienza in genere, sono semplificazioni di problemi reali. Noi ci facciamo un modello del fenomeno o del problema e a questo modello applichiamo le leggi della meccanica per studiarne il comportamento. Il modello è una semplificazione del problema reale. E qui vale il principio: Per comprendere occorre semplificare; ogni semplificazione ci allontana dalla realtà. 1 SONO STATO FEDELE? Ogni volta che useremo un termine non ancora presentato lo porremo fra virgolette: nel seguito esso sarà esplicitamente definito.

9 1.1. ALCUNE SEMPLICI VERITÀ 9 Sarebbe però ridicolo ritenere inutile, ad esempio, la meccanica dei corpi rigidi per il solo fatto che nessun corpo in natura è rigido. La schematizzazione di un corpo come rigido costituisce una prima fase nello studio di un problema di statica o di dinamica. Successivamente si potrà tener conto della sua deformabilità. Altrimenti il problema sarebbe di difficile soluzione. Anche nelle materie più pratiche, più aderenti alla realtà, come nella Scienza delle Costruzioni, nella Meccanica Applicata, lo stadio di corpo rigido costituisce la prima fase di ogni studio successivo Le principali leggi della meccanica Per poter studiare la quiete o il moto di un sistema meccanico, note che siano le forze che agiscono su di esso ed i vincoli a cui è sottoposto, occorrono delle leggi che mettano in relazione le forze, che sono causa del moto, con le grandezze che determinano la configurazione del sistema. Attraverso esperienze secolari si sono progressivamente scoperte le leggi del movimento. Di ciascuna di queste leggi sono stati indagati i limiti di validità, si è costruito un tessuto razionale fra di esse in modo che esse siano deducibili da pochi principi indotti dalle esperienze: l esposizione organica di queste leggi e delle loro conseguenze costituisce la meccanica razionale 2. statica: le equazioni cardinali della statica il principio dei lavori virtuali il teorema del minimo dell energia potenziale le equazioni cardinali della dinamica l equazione simbolica della dinamica il teorema dell energia dinamica: le equazioni di Lagrange le equazioni canoniche di Hamilton l equazione di Hamilton-Jacobi. Degli ultimi due metodi non parleremo in questa dispensa in quanto sono solitamente al di fuori di un corso di Meccanica Razionale. Alla base di queste relazioni stanno i tre principi fondamentali dovuti a New- 2 Un giorno lo scrivente ha avuto un incontro con Abdus Salam, premio Nobel per la fisica. Quando questi gli ha chiesto di cosa fosse docente la risposta è stata: docente di Meccanica razionale. A questo punto il premio Nobel ha fatto una interminabile risata in quanto l appellativo razionale gli aveva scatenato l ilarità. Salam, formatosi a Cambridge, non aveva mai sentito un tale appellativo. Purtroppo solo più tardi lo scrivente ha saputo che il termine razionale è stato introdotto da Newton che viveva a qualche secolo prima[27, prefazione].

10 10 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE ton: primo principio secondo principio terzo principio legge di inerzia legge di moto di una particella F = m a principio di azione e reazione Particella DEFINIZIONE: si chiama particella qualunque corpo le cui dimensioni siano trascurabili rispetto alle dimensioni in gioco. 3 Per quanto possa sembrare strano un aereo con 300 passeggeri a bordo può, in un certo contesto, essere considerato come una particella. Basta chiederlo ad un radarista: a lui è sufficiente la posizione del puntino luminoso che si rivela sullo schermo radar. Anche la Terra, che ha un raggio di circa 6000 km, può essere considerata come una particella nella determinazione dell orbita: questo avviene nello studio dei moti centrali. Quindi non è detto che la particella o particella debbano avere estensione nulla. E sufficiente che le sue dimensioni siano trascurabili nel contesto che si considera. 1.2 Sistema meccanico DEFINIZIONE: si chiama sistema meccanico un sistema fisico del quale ci interessa solo lo studio del moto, in particolare la sua configurazione in condizioni di quiete. Un sistema fisico viene chiamato sistema termodinamico o chimico o elettrico a seconda che di esso ci interessino gli aspetti termodinamici o chimici o elettrici Configurazione di un sistema meccanico Determinare il moto del sistema meccanico o il suo stato di equilibrio, significa conoscere la posizione di ogni punto del sistema ad un istante generico. DEFINIZIONE: si chiama configurazione di un sistema ad un dato istante l insieme delle posizioni di tutti i punti del sistema in quell istante. 3 Spesso si parla di punto materiale, ma il termine particella è più pertinente. L opposto di punto materiale sarebbe punto geometrico, ma non sembra il caso di aggiungere il termine geometrico ai punti da sempre usati in geometria.

11 1.2. SISTEMA MECCANICO Coordinate libere Per determinare la configurazione occorre fissare un sistema di riferimento e delle coordinate. In linea di principio occorrerebbero le coordinate di tutti i punti del sistema: ma l esistenza di parti rigide diminuisce il numero di coordinate necessarie per determinare la configurazione. Basti osservare che per individuare la configurazione di un corpo rigido libero nello spazio, formato da un numero enorme di molecole è sufficiente dare solamente 6 coordinate! DEFINIZIONE: si chiamano coordinate libere o lagrangiane o generalizzate un insieme di variabili indipendenti sufficienti a definire la configurazione di un sistema ad ogni istante. 4 Le coordinate libere si indicano con q k o con q k, essendo k = 1, 2,..., n ed n il numero dei gradi di libertà. OSSERVAZIONE. La posizione degli indici in alto è dovuta ad una convenzione generale e non deve essere confusa con un esponente. Molti autori non se la sentono di mettere gli indici in alto a motivo della possibile confusione con un esponente. All inizio di un problema occorre scegliere delle coordinate. Durante la fase di impostazione del problema si può fare uso di coordinate sovrabbondanti ma prima di iniziare la risoluzione sarà bene eliminare le coordinate sovrabbondanti esprimendole in funzione delle coordinate libere mediante relazioni geometriche. Le relazioni tra le coordinate cartesiane e le coordinate libere sono in generale espresse da equazioni non lineari: questo capita tutte le volte che si introducono angoli. Ne viene che le coordinate libere introducono la non linearità nelle equazioni della meccanica: si parla di non linearità geometriche. Un altra sorgente di non linearità sono le relazioni costitutive 5 cioè relazioni fra le variabili statiche e dinamiche da una parte (quali forze, momenti, quantità di moto, momenti delle quantità di moto, ecc.) e variabili geometriche e cinematiche dall altra (quali le coordinate, gli spostamenti, le velocità, le velocità angolari, ecc.). Queste equazioni prendono il nome di costitutive perché precisano la costituzione del sistema Spostamenti reali e virtuali DEFINIZIONE: si chiama spostamento virtuale del punto P e lo si indica con δp, il vettore infinitesimo che congiunge la posizione occupata 4 Nocilla, p Dette anche equazioni materiali o di comportamento.

12 12 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE dal punto P all istante generico t con un altra posizione, infinitamente vicina, che il punto P potrebbe occupare al medesimo istante nel rispetto dei vincoli, che, se mobili, si pensano congelati all istante considerato. 6 Lo spostamento virtuale è uno spostamento immaginato a titolo di prova, non è effettivamente compiuto. DEFINIZIONE: si chiama spostamento effettivo infinitesimo del punto P nel tempo dt lo spostamento dp(t) = Ṗ(t) dt subito dal punto P in conseguenza del suo movimento. dp P' t+dt P' t dp δp δp δp P δp δp P δp δp δp vincolo fisso vincolo mobile Figura 1.1. Spostamenti virtuali e spostamento effettivo di una particella. vincolo fisso t+dt vincolo mobile dp δp P spostamento effettivo P dp δp t δp irrev δp P δp spostamento non virtuale Figura 1.2. Esempi di spostamenti virtuali e reali In dinamica si hanno dunque due categorie di spostamenti: quelli reali dovuti al moto stesso del sistema e quelli virtuali che immaginiamo di far compiere ai 6 Sommerfeld, [30, p.53]; Lanczos, [20, pp.38-39]; Levi Civita-Amaldi, [48, v.i, p.299 ] precisano che il tempo deve essere congelato. Goldstein. [15, p.14] compie l errore di definire virtuale uno spostamento compatibile con le forze ed i vincoli imposti al sistema ad un dato istante t. Le forze non hanno nessun ruolo nella definizione di spostamento virtuale in quanto questo è un concetto puramente geometrico.

13 1.2. SISTEMA MECCANICO 13 punti fissando i vincoli. Se i vincoli sono fissi, tra gli innumerevoli spostamenti virtuali c è quello effettivo. In statica, in quanto non c è moto del sistema, non vi sono spostamenti reali compiuti dai suoi punti: gli unici spostamenti che hanno senso in statica sono quelli virtuali. Uno spostamento virtuale si dice reversibile se lo spostamento opposto è pure esso virtuale; si dice irreversibile se il suo opposto non è virtuale. dq k (t) = q k (t) dt è la variazione effettiva subita dalle q k (t) per effetto del movimento nell intervallo dt. E il differenziale della funzione. Indica la differenza tra i valori della q(t) in due istanti successivi. δq k (t) = variazione virtuale della coordinata q k (t) al medesimo istante t (detto sincrona). Le δq k non hanno nulla a che fare con l andamento effettivo del sistema, ma vengono immaginate a titolo di prova Gradi di libertà Gli spostamenti di un sistema meccanico si possono pensare ottenuti per composizione di un certo numero di spostamenti fondamentali indipendenti tra loro. Ogni spostamento fondamentale costituisce un grado di libertà del sistema. DEFINIZIONE. Si chiama numero dei gradi di libertà di un sistema meccanico il massimo numero di spostamenti virtuali indipendenti del sistema. Determinare il numero dei gradi di libertà di un sistema è fondamentale per fare il bilancio tra il numero di incognite del problema ed il numero di equazioni necessarie. Per determinare il numero dei gradi di libertà si può procedere in uno dei modi seguenti 8 : [@ non ho ancora classificato i vincoli] a) metodo dei congelamenti successivi. Si immagina di congelare successivamente i movimenti possibili del sistema bloccando rotazioni, traslazioni o punti del sistema. Ogni spostamento elementare impedito indica un grado di libertà che aveva il sistema. Il minimo numero di congelamenti elementari che porta il sistema al congelamento totale costituisce il numero dei gradi di libertà del sistema. 7 Alcuni autori trovano utile introdurre un intervallo di tempo δt infinitesimo dello stesso ordine di δp, peraltro arbitrario e introducono anche la nozione di velocità virtuale. L autore ritiene che questo sia certamente lecito, ma inopportuno. 8 Goldstein, [15, p.12] identifica i gradi di libertà con le coordinate libere, cosa non opportuna in quanto sono due nozioni diverse: la differenza risulterà evidente trattando i sistemi anolonomi.

14 y y 14 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE b) metodo del bilancio. Si assegna ad ogni vincolo un numero, che è il numero dei gradi di libertà che esso toglie al sistema. Così ad un vincolo semplice (appoggio, carrello) si assegna il numero 1; ad un vincolo doppio (cerniera, semicerniera, pattino, manicotto) si associa il numero 2; ad un vincolo triplo (incastro) il numero 3. Si sommano tutti i numeri relativi ai diversi vincoli. Si sommano i gradi di libertà delle singole parti del sistema supposte libere. Dal totale dei gradi di libertà si toglie la somma dei vincoli: quello che rimane è il numero dei gradi di libertà del sistema Ad esempio un asta nel piano ha 3 gradi di libertà in quanto ammette tre spostamenti indipendenti: le traslazioni lungo due direzioni prefissate e la rotazione. OSSERVAZIONE: questo secondo metodo è più rapido del precedente ma meno sicuro: vi possono essere parti in cui c è un eccesso di vincoli e parti in cui c è un difetto di vincoli. Inoltre nasconde eventuali labilità del sistema. DOMANDA: se il filo si avvolge sulle carrucole senza scorrimenti e se i tratti pendenti si suppongono sempre verticali, quanti gradi di libertà ha il sistema? RISPOSTA: Se congeliamo la ruota di sinistra basta abbassare il contrappeso di destra per far alzare e ruotare la ruota centrale. Successivamente se congeliamo la ruota di destra il sistema rimane completamente congelato. Conclusione: il sistema ha due gradi di libertà. 1 grado di libertà 2 gradi di libertà 3 gradi di libertà 2 gradi di libertà 1 grado di libertà Figura 1.3. Quando un moto si compone di diverse fasi, i gradi di libertà di un corpo possono variare da una fase all altra.

15 1.2. SISTEMA MECCANICO Come scegliere gli assi cartesiani Per impostare un problema è bene scegliere le coordinate più convenienti. Nel caso che si scelgano coordinate cartesiane è consigliabile scegliere l asse delle x e quello delle y diretti nel modo tradizionale. Quando questo non sia opportuno possono scegliersi comunque orientati, possibilmente in modo che il sistema venga a trovarsi nel primo quadrante e che gli angoli siano coerenti con le coordinate, cioé orientati da x ad y. Gli assi cartesiani devono essere fissi, non mobili con il sistema, salvo quando si studi un problema di meccanica relativa. Anche in tal caso gli assi devono essere scelti solidali con una parte del sistema, quella che si vuole che costituisca il sistema di riferimento. y y O A x O= A x assi fissi assi mobili con il triangolo: conviene solo se è noto il moto del triangolo Figura 1.4. La scelta della figura di destra è valida se è noto il moto del piano inclinato e si vuole usare la meccanica relativa y NO! y NO! x 0 0 x y y NO! NO! x 0 x 0 Figura 1.5. Scelte inopportune, gli assi devono essere fissi

16 16 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE y y y y y y ϑ x ϑ x x ϑ 0 scelta opportuna ϑ x ϑ 0 scelta opportuna ϑ x 0 x scelta inopportuna (è bene che l'asse x vada verso destra) y y y y 0 ϑ x ϑ ϑ x ϑ x scelta opportuna, ma x = -R ϑ 0 scelta inopportuna x ϑ ϑ x y x x x ϑ y ϑ y y x ϑ ϑ y scelta opportuna y x scelta inopportuna scelta opportuna (è bene che l'asse x vada verso destra) y y ϑ x scelta inopportuna 0 (il cinematismo si trova 0 nella parte negativa dell'asse y) y x scelta opportuna (l'asse y spesso si orienta verso il basso) Figura 1.6. (sopra) La terza scelta è lecita ma sconsigliata in quanto facilmente si commettono errori di segno nella valutazione delle ascisse. (al centro) Gli angoli devono essere presi in armonia con gli assi, positivi andando da x ad y. (sotto) E opportuno che la figura si trovi nel primo quadrante degli assi cartesiani. ϑ y x x Come scegliere gli angoli Ricordare innanzi tutto che anche gli angoli hanno un verso. Le velocità angolari, i momenti delle forze, i momenti angolari saranno positivi se concordi con il verso positivo degli angoli. Se sono state scelte in precedenza coordinate cartesiane il

17 1.3. VINCOLI 17 senso positivo degli angoli risulta automaticamente fissato come quello concorde con l asse z secondo la regola del cavatappi. y SI! NO! y ϑ x ϑ x Figura 1.7. A sinistra una scelta opportuna degli assi, a destra una scelta non opportuna. E opportuno che l angolo sia quello formato tra una direzione fissa nel riferimento considerato ed una direzione solidale con il corpo mobile. Quando non convenga sceglierli in tal modo, tener presente che la velocità angolare non è più la derivata rispetto al tempo dell angolo scelto. O x asta AB asta BC B. ω z = φ. ω z = ϑ ϑ C y y ϑ x attenzione: asse y verso il basso direzione mobile O x φ B asta AB asta BC ϑ C y φ ω z =.. ω z = ϑ direzione fissa y C ϑ ω z =. ϑ direzione mobile y ϑ x y C ϑ. ω z = ϑ direzione fissa O x Figura 1.8. Se l angolo non è misurato a partire da una direzione fissa la velocità angolare non è uguale alla derivata dell angolo. O x 1.3 Vincoli DEFINIZIONE : si chiama vincolo tutto ciò che limita la libertà di moto di un sistema. 9 9 Questa definizione è così generale che vi rientrano anche il vincolo contrattuale e il vincolo

18 18 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE I vincoli si classificano secondo quattro criterii: fissi o mobili; lisci o scabri; unilateri o bilateri; olonomi o anolonomi. Un vincolo si dice fisso se non varia la sua posizione nel tempo, in caso contrario si dice mobile. Un vincolo si dice scabro se esercita attrito, in caso contrario si dice liscio. Un vincolo si dice unilatero se ha fra i suoi spostamenti ve ne sono alcuni irreversibili, in caso contrario si dice bilatero. Per i vincoli olonomi e anolonomi si veda pag. 68 δp irrev δp irrev δp irrev P δp P δp P q vincolo unilatero: l'unico spostamento virtuale è irreversibile e il lavoro virtuale è nullo vincolo unilatero: alcuni spostamenti virtuali sono reversibili, altri irreversibili vincolo unilatero: tutti gli spostamenti virtuali sono irreversibili Figura 1.9. Esempi di vincoli con spostamenti reversibili e irreversibili Reazioni vincolari E chiaro che se tolgo un vincolo ad un sistema in equilibrio questo si muoverà e se lo tolgo ad un sistema in moto questo si muoverà in modo diverso. Ci si chiede allora quali forze sostituire al vincolo per mantenere lo stesso stato di quiete o di moto che il sistema aveva in precedenza. DEFINIZIONE : si chiama reazioni vincolare di un vincolo la forza e la coppia che occorre sostituire al vincolo per mantenere lo stesso stato di quiete o di moto che il sistema aveva in precedenza. Quando la reazione è costituita da una sola forza, interessa spesso sapere la direzione della reazione. Nel caso che il vincolo sia liscio (cioé privo di attrito) matrimoniale. Entrambi limitano la libertà di azione di una persona. Si potrebbe essere portati a dire: abbasso i vincoli! Ma cosa è l ingegneria se non l arte di saper vincolare dei componenti al fine di ottenere una macchina, un apparato, un dispositivo che debba perseguire un certo obiettivo? E l obiettivo da raggiungere che giustifica i vincoli, anche quello matrimoniale.

19 1.3. VINCOLI 19 l intuizione dice che la direzione della forza è perpendicolare alla direzione degli spostamenti concessi dal vincolo. Questo avviene nel caso di appoggio semplice, di carrelli e di cerniere scorrevoli. Quando il vincolo è una cerniera interessa sapere se la reazione ha una componente in una direzione assegnata, ad esempio orizzontale o verticale o normale ad un asta. In questo caso si sostituisce la cerniera con un carrello che conceda lo spostamento nella direzione assegnata e si vede se il sistema può muoversi in quella direzione. Poiché il compito di una reazione è, per definizione, quello di impedire un movimento, se il sistema può muoversi in quella direzione vuol dire che la reazione della cerniera ha una componente nella direzione assegnata. Mettere sempre le reazioni nei versi positivi, il loro giusto segno verrà da sè dalle equazioni. A? O si muove! A y O A HA y ϑ ϑ p p p durante il moto esiste una componente orizzontale della reazione in A? x proviamo a lasciare libero lo spostamento orizzontale: A si sposta orizzontalmente. x quindi per impedirlo occorre mettere una forza orizzontale. Dunque la componente orizzontale esiste! Figura Come convincersi che esiste una reazione orizzontale Grado di vincolo. Ad ogni vincolo si può assegnare un grado di vincolo costituito dal numero di spostamenti indipendenti che toglie al sistema. Faremo riferimento alla figura (1.11). I vincoli si distinguono dunque in: semplici quando tolgono un grado di libertà. Tali sono i carrelli, le cerniere scorrevoli, gli appoggi. doppi quando tolgono due gradi di libertà. Tali sono le cerniere, i piattelli, i manicotti. tripli quando tolgono tre gradi di libertà. Tali sono gli incastri a terra e le saldature. Cosa vuol dire rotolare? La ruota dell automobile sul terreno ghiacciato slitta, non rotola. Durante una frenata la ruota di un camion può strisciare: slitta e non rotola. Rotolare significa non slittare (=non strisciare= non scivolare).

20 20 CAPITOLO 1. INTRODUZIONE simbolo nome spostamenti concessi reazioni appoggio a terra vincoli semplici carrello a terra appoggio a terra semicerniera scorrevole cerniera scorrevole cerniera a terra vincoli doppi cerniera interna semicerniera piattello manicotto vincoli tripli incastro a terra incastro interno Figura I simboli più usati per indicare i vincoli. Le frecce chiare indicano gli spostamenti concessi, quelle scure le reazioni.