Problemi di Fisica La Cinematica Moti unidimensionali Moti nel piano 1. Moti unidimensionali

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1 Problemi di Fisic Moti unidimensionli Moti nel pino. Moti unidimensionli Problem N. Rppresentre grficmente le seguenti leggi del moto rettilineo uniforme e commentrle: ) S 0 -t ) S 5t 3) S t 4) S 5 + 4t Procedur: il grfico dell legge del moto rettilineo uniforme è un rett, e per disegnrl bbimo bisogno di due punti che vengono così individuti: un punto è dto dll posizione inizile S 0, che è situto sull sse delle S in qunto rppresent l intersezione dell rett con l sse stesso, l ltro punto si individu ssegnndo rbitrrimente ll vribile tempo t un vlore positivo che v sostituito nell legge del moto per ricvre l vribile S. S 0 t t ;S 0 6 I due punti sono: (0; 0) B (; 6) S 5t t 3;S I due punti sono: (0 ; 0) B (3; 5) S 0 + 3t t 4;S I due punti sono: (0 ; -0) B (4; -8) S 5 + 4t t ;S I due punti sono: (0 ; 5) B (; 9)

2 S 0 t Si trtt di un punto mterile che si muove di moto rettilineo uniforme: prte dll posizione inizile di 0 m e percorre l triettori verso sinistr (ll indietro rispetto l punto di prtenz) con l velocità costnte di m/s S 5t Si trtt di un punto mterile che si muove di moto rettilineo uniforme: prte dll origine del sistem di riferimento e percorre l triettori verso destr (in vnti rispetto l punto di prtenz) con l velocità costnte di 5 m/s S 0 + 3t Si trtt di un punto mterile che si muove di moto rettilineo uniforme: prte dll posizione inizile di -0 m (ll sinistr dell origine del sistem di riferimento) e percorre l triettori verso destr (in vnti rispetto l punto di prtenz) con l velocità costnte di 3 m/s S 5 + 4t Si trtt di un punto mterile che si muove di moto rettilineo uniforme: prte dll posizione inizile di 5 m e percorre l triettori verso destr (in vnti rispetto l punto di prtenz) con l velocità costnte di 4 m/s

3 Problem N. nn e Luci, che bitno 5 km di distnz, decidono di incontrrsi. nn prte lle 6 h 8 m con l su biciclett ll velocità di 0 km/h; Luci prte lle 6 h 4 m e tiene un velocità di 5 km/h. che or s incontrno e in qule posizione? t t P B x L-x Indichimo con: P x il punto nel qule e B si incontrno Ovvimente, poiché il problem chiede di determinre l or di incontro, il tempo impiegto d e B per rggiungere il punto P è lo stesso, solo che bisogn tener presente che B prte con 6 minuti di ritrdo: ) t x ) L x t 0, B + x L x x 5 x t t B + 0, + 0, 5x 60 4x + 0 9x 70 x 7,8km 0 5 notre: le velocità sono espresse in km/h, le distnze in km per cui i 6 minuti di ritrdo vnno trsformti in ore (6 m 6/60 0, h ). Per trovre l or d incontro, possimo utilizzre indifferentemente l ) o l ): x 7,8 t 0, 39 0 h Trsformndo le ore in minuti: 0, m, ottenimo che: t incontro 6 h 8 m + 3 m 6 h 4 m

4 Problem N. 3 Nel grfico seguente (line blu) è mostrt l legge orri del moto di un punto mterile. Clcolre l velocità dell oggetto nei vri intervlli di tempo e l velocità medi ( pendenz line ross) su tutt l durt del moto. S (km) B C D E O, 3, 4,3 4,9 t (h) L velocità verrà clcolt ttrverso l su definizione: S S t t Finle Finle S t Inizile Inizile 0 Trtto O O 6,7km / h 4,6m / s Il punto mterile si muove in vnti con, cost 40 0 Trtto B B 5km / h 6,9m / s Il punto mterile si muove in vnti con, cost Trtto BC BC 0 Il punto mterile è fermo Trtto CD CD 5, 8km / h, 6m / s 4, 3 3, Il punto mterile torn indietro con cost Trtto DE DE 8,3km / h 7,9m / s Il punto mterile si muove in vnti 4,9 4,3 cost L velocità medi è quell velocità costnte (pendenz line blu) che il punto mterile dovrebbe tenere per percorrere il trtto S 50 km nel tempo t 4,9 h : S 50 medi 0,km / h t 4,9,8m / s

5 Problem N. 4 Un utomobile viggi per un certo tempo T ll velocità di 40 km/h e poi per lo stesso tempo ll velocità di 80 km/h. Trovre l velocità medi. nlizzimo il problem prim grficmente, riportndo sugli ssi crtesini le due velocità (40 km/h line blu; 80 km/h) e quindi quell medi (line verde): Spzio S 40 km/h S T T Tempo 80 km/h M 60 km/h L velocità medi si ottiene dll su definizione, tenendo presente che in ogni T lo spzio percorso è diverso : S T + t T + T T T/ ( + ) T/ M 60km / h Problem N. 5 Un utomobile viggi per un certo tempo T ll velocità di 40 km/h, percorrendo un cmmino S, e poi per lo stesso trgitto S ll velocità di 80 km/h. Trovre l velocità medi. nlizzimo il problem prim grficmente, riportndo sugli ssi crtesini le due velocità (40 km/h line blu; 80 km/h) e quindi quell medi (line verde): Spzio S 40 km/h S 80 km/h M 53.3 km/h T T Tempo

6 L velocità medi si ottiene dll su definizione, tenendo presente che in T e T l utomobile percorre lo stesso trgitto S : S t S + S S S + S/ S/ M 53.3km / h Problem N. 6 Un utomobile, durnte un frent uniforme, pss in un minuto dll velocità di 40 km/h quell di 8 km/h. Trovre il vlore dell ccelerzione e dello spzio percorso L mcchin pssndo d un velocità inizile di 40 km/h quell finle di 8 km/h, subisce un decelerzione dt d: t F t I ,055m / s 60 notre: 40 km/h. m/s 8 km/h 7.8 m/s minuto 60 secondi il vlore negtivo dell ccelerzione st d indicre che l mcchin deceler Poiché l decelerzione vviene in modo costnte, si trtt di un moto uniformemente ccelerto descritto dll seguente legge del moto: S 0 t + t. 60 0, m Problem N. 7 Un treno si muove tr due stzioni, poste,5 km di distnz. Percorre l prim metà del trgitto di moto uniformemente ccelerto e l second di moto uniformemente ritrdto. Dt l velocità mssim di 50 km/h, clcolre il vlore dell ccelerzione e il tempo totle di percorrenz. Bisogn risolvere un sistem di due equzioni formte dlle leggi del moto e dell velocità, che mmetterà come soluzione l ccelerzione ed il tempo totle di percorrenz T, tenendo presente che il tempo dell fse di ccelerzione è lo stesso di quello dell fse di decelerzione, così come i due trgitti: S Mx T T T 750 T 3,9

7 pplichimo il metodo di sostituzione, ricvndo T dll second equzione e sostituendol nell prim equzione: T T 7.8 T T / / s 0,3 0,3m / s Problem N. 8 Un utomobile viggi 0 km/h (33.3 m/s). isto un ostcolo, il conducente riesce fermrsi in 0 m. Qul è l ccelerzione e qunto tempo impieg? Tenendo presente che l mcchin deceler, quindi l ccelerzione è negtiv, e che l velocità finle è null, perché dopo 0 m l mcchin si ferm, le leggi d pplicre sono le seguenti: Ricvimo T dll second equzione: () S I T T () F I T (3) T I e sostituimol nell prim, ottenimo un equzione nell sol incognit : S I I / I I I / I I l cui soluzione è: I 33.3 S I I S I S 0 questo punto, utilizzndo l (3), clcolimo il tempo di rresto: 33.3 T s 5.04m / s

8 Problem N. 9 Un utomobile viggi 0 km/h (33.3 m/s). isto un ostcolo, il conducente riesce fermrsi in 0 m. Qul è l ccelerzione e qunto tempo impieg? Tenendo presente che l mcchin deceler, quindi l ccelerzione è negtiv, e che l velocità finle è null, perché dopo 0 m l mcchin si ferm, le leggi d pplicre sono le seguenti: () S I T T () F I T Ricvimo T dll second equzione: (3) T I e sostituimol nell prim, ottenimo un equzione nell sol incognit : S I I / I I I / I I l cui soluzione è: I 33.3 S I I S I S 0 questo punto, utilizzndo l (3), clcolimo il tempo di rresto: 5.04m / s 33.3 T s Problem N. 0 Un pll viene lncit d terr verso l lto con un velocità inizile i m/s.. Qunto tempo impieg rggiungere il punto più lto dell triettori?. Qunto vle l ltezz mssim rggiunt? 3. Dopo qunto tempo ricde terr? 4. Con che velocità tocc terr?. Poiché si trtt del moto di un grve, l legge d pplicre è l seguente: g F t I g t I t g I.s 9.8

9 NOTRE: Nel punto più lto rggiunto l pll si ferm, quindi Finle 0 Nel moto verso l lto l forz di grvit, quindi g, gisce nel verso opposto, per cui l g è negtiv. Per clcolre l mssim ltezz rggiunt, pplichimo l legge del moto di un grve: S I t g t m 3. Il tempo di cdut è ugule quello di slit (perché???) 4. Per clcolre l velocità con l qule l pll tocc terr, bst pplicre l stess legge l punto., tenendo presente che in questo cso l velocità inizile è null e l g è positiv: NOTRE: F g t 9.8. m / s L velocità finle coincide con quell inizile (perché???). Problem N. Un uomo lnci un ssso dl tetto di un plzzo verso l lto, con un velocità di.5m/s. Il ssso rggiunge il suolo dopo 4.5 s. Si clcoli:. L ltezz del plzzo. L mssim ltezz rggiunt dl ssso rispetto terr 3. L velocità con cui il ssso tocc il suolo Y S I y X h

10 Per clcolre lo spzio S percorso nell fse di slit, dobbimo prim clcolre il tempo impiegto per percorrerlo, tenendo presente che l velocità rggiunt nel punto più lto è null e che l g in quest fse è negtiv: F g T slit I g T I slit T slit g I.5.5s 9.8 quindi: S I Tslit g Tslit m questo punto simo in grdo di clcolre l mssim ltezz rggiunt dl ssso rispetto terr: y g Tcdut m dove: Tcdut Ttotle Tslit 4.5,5 3s Pertnto l ltezz del plzzo srà: h y S m In conclusione, l velocità di rrivo l suolo srà: F g Tcdut m / s Problem N. Due mcchin viggino di moto uniforme lungo due strde rettilinee formnti tr loro un ngolo retto. Clcolre qule distnz, in line d ri, si trovno dopo 0 minuti, supponendo che le mcchin sino prtire llo stesso istnte dll incrocio delle due strde con velocità, rispettivmente, di 90 km/h e 44 km/h. Schemtizzimo innnzitutto il problem: O B

11 ed osservimo che l mcchin B, essendo più veloce dell mcchin, in 0 minuti percorrerà un trtto più lungo, inftti: SO t 90 0,7 5,3km.t 44 0,7 4,5km dove: 0 minuti 0/600,7 ore SOB L distnz in line d ri tr le due mcchine non è ltro che l ipotenus B del tringolo rettngolo OB, che clcolimo con il teorem di Pitgor: B O + OB 5,3 + 4,5 8,9km Problem N. 3 Due tleti, e B, stnno fcendo un gr. prte 6 m dietro B correndo ll velocità di 9 m/s. Se B corre ll velocità di 8 m/s, clcolre dopo qunto tempo rggiungerà B e lo spzio percorso. Schemtizzimo il problem: B B C 6 m Punto nel qule rggiunge B Qundo rggiungerà B nel punto C, ovvimente le posizioni dei due punti srnno le stesse rispetto ll origine del sistem di riferimento, scelto in, per cui per clcolre il tempo del rggiungimento bst confrontre queste posizioni, tenendo presente che si trtt di un moto rettilineo uniforme : S S B t 6 + B S t S B t 6 + B t t B t 6 t ( B ) 6 6 t B 6 6s 9 8 Pertnto, lo spzio percorso d srà: S m

12 Problem N. 4 Un utomobilist st viggindo ll velocità di0 km/h ed il contchilometri segn 3640 km. d un certo istnte l utomobilist fren e qundo l mcchin è ferm, legge sul contchilometri 3644 km. Clcolre l decelerzione, suppost costnte ed il tempo di frent. Essendo un moto uniformemente decelerto, l legge del moto è: S Finle SInizile + Inizile t + t () Tenendo presente che ll fine dell frent l mcchin è ferm, ossi Finle 0, l ccelerzione srà: fin ini ini () t t per cui l () divent un equzione di grdo nell sol incognit tempo: 0 t/ / h t t 4 0 t 60t 60t 4 t 0,066 0, Il vlore dell decelerzione si ricv pplicndo l (): m 33,3m / s 40s 0,4m / s Problem N. 5 Un elettrone prte con velocità inizile di 5 cm/s muovendosi di moto rettilineo uniforme. Esso rggiunge un zon in cui è presente un ccelerzione costnte cm/s prodott d un cmpo elettrico fr due pistre come in figur. Supponendo che tle zon si lung d 30 cm, clcolre: qunto tempo impieg l elettrone rggiungere l second pistr; con qule velocità l rggiunge. i i F d

13 Le equzioni d utilizzre sono quelle del moto uniformemente ccelerto. Supponendo di fissre un sistem di riferimento con l origine degli ssi sull prim pistr, l legge orri del moto srà: x () 0 i t + t dove i è l velocità costnte con l qule l elettrone giunge sull prim pistr. Sostituendo i dti nell (), ottenimo un equzione di grdo nell incognit t: 0 ± ± 8,4 30 5t + t t + 0t 60 0 t t 4,s t 4,s dove per rgioni fisiche (un tempo negtivo non h senso) l soluzione negtiv viene scrtt. Per clcolre l velocità con l qule l elettrone rggiunge l second pistr, pplichimo l seguente legge orri dell velocità: v f v i + t 5 + 4, 9,cm / s Problem N. 6 Un elettrone prte con velocità inizile di 5 cm/s muovendosi di moto rettilineo uniforme. Esso rggiunge un zon in cui è presente un ccelerzione costnte -0,5 cm/s prodott d un cmpo elettrico fr due pistre come in figur. Clcolre: dopo qunto tempo l elettrone si ferm; il punto in cui si ferm; cos succede dopo che si è fermto. i i F 0 Punto in cui si ferm Le equzioni d utilizzre sono quelle del moto uniformemente ccelerto, tenendo presente che l ccelerzione è negtiv. Supponendo di fissre l origine del sistem di riferimento sull prim pistr, l legge orri dell velocità ci consente di trovre dopo qunto tempo l elettrone si ferm:

14 5 v f v i + t 0 5 0,5t t 0s 0,5 dove i è l velocità costnte con l qule l elettrone giunge sull prim pistr. pplicndo l legge orri del moto, troveremo il punto, rispetto ll origine, in cui si ferm l elettrone: x v i t + t 5 0 0,5 0 5cm L elettrone, nel punto in cui si ferm, srà sottoposto d un ccelerzione verso sinistr che lo porterà ripercorrere, con le stesse modlità, il percorso verso destr. dove i è l velocità costnte con l qule l elettrone giunge sull prim pistr. Problem N. 7 Un corpo prte, d un certo istnte e dll origine del sistem di riferimento, con velocità costnte m/s. Un secondo corpo prte sempre dll origine m dopo un tempo t 5 sec muovendosi di moto uniformemente ccelerto con 0, m/s e con velocità inizile null. Clcolre: dopo qunto tempo e dove i due corpi s incontrno; qul è l velocità del secondo corpo l momento dell incontro. Il primo corpo si muove di moto uniforme, per cui l distnz percors dopo il tempo t 5 s è dt d: d v t 5 0m Dopo il tempo t 5s il corpo continu muoversi di moto uniforme, mentre il corpo cominci il suo moto uniformemente ccelerto, per cui le leggi orrie del moto srnno: x d + v t x t Qundo i due corpi s incontrno, si trovernno nell stess posizione rispetto ll origine, per cui l condizione d imporre è l seguente: x x d + v t t dove sostituendo i vlori, osi ottiene un equzione di grdo nell incognit t: ± 4 + ±,4 0 + t 0, t 0,05t t 0 0 t t 44s t 4s 0, 0, dove per rgioni fisiche (un tempo negtivo non h senso) l soluzione negtiv viene scrtt. I due corpi s incontrno in: x m x L velocità con l qule il corpo incontr il corpo viene clcolt utilizzndo l legge orri dell velocità: v t 4,4m / s

15 . Moti nel Pino Problem N. Mentre un utomobile viggi velocità costnte M m/s un pll è lncit orizzontlmente dl finestrino perpendicolrmente ll direzione di moto dell mcchin con velocità p 5 m/s. Clcolre: l velocità dell pll, T, rispetto l suolo in modulo, direzione e verso in qule istnte toccherà terr, se il finestrino dell mcchin è h 80 cm dl suolo. α M P T L velocità dell pll rispetto l suolo è l risultnte dell somm vettorile tr M e P, cioè T, per cui il suo modulo e rgomento sono dti d: P M + P m / s tgα 0,4 α, 6 T M Dto che l pll viene lscit cdere con velocità inizile null, l istnte di tempo in cui tocc il suolo viene determinto dll equzione del moto lungo l sse di cdut (perpendicolre l pino dell figur), che è: h gt t h g 0,8 9,8 0,4s

16 Problem N. Un pilot vuole volre d un città d un ltr nord-est distnte 00 km. Se l velocità costnte dell ereo è 60 km/h ed il vento soffi verso sud-est con velocità costnte 00 km/h, clcolre: In qule direzione deve essere pilotto l ereo Qule srà l velocità T dell ereo rispetto terr Qunto tempo impiegherà l ereo rggiungere l second città. N C O α α 45 T E 45 B S Il pilot deve dirigere l ereo in modo che l su velocità effettiv, T, composizione vettorile di e di, risulti dirett verso l città desidert, ovvero inclint di 45 sull sse O-E. Dto che il tringolo BC è rettngolo in, deve essere: 00 senα senα 0, 385 α, 6 60 Il pilot deve perciò dirigere l ereo in un direzione che formi con O-E un ngolo pri : β α + 45, , 6 L velocità dell ereo rispetto terr srà: T km / h Tenendo conto che il moto dell ereo è rettilineo uniforme, il tempo impiegto srà: t S T 00 5h 40

17 Problem N. 3 Un uomo si trov sull riv di un fiume lrgo h km e vuole rggiungere un punto che si trov di fronte lui sull ltr riv. Egli può nuotre in un direzione inclint di un ngolo φ con l verticle in modo che per effetto dell corrente il suo moto risulti trsversle, oppure può ttrversre il fiume prtendo in direzione perpendicolre lle sponde e rggiungere piedi il punto B voluto cmminndo sull ltr riv. Spendo che l uomo può nuotre con velocità costnte N,5 km/h, può cmminre con velocità costnte P 4 km/h e che l velocità costnte dell corrente è C km/h, determinre: ) qule dei due trgitti è il più rpido B) l ngolo φ Rppresentimo il problem: Cso B Cso B P C h N ϕ eff h N eff α C C Cso Se l uomo vuole rggiungere l ltr spond nel punto B deve nuotre dirigendosi in un direzione inclint di un ngolo φ sull congiungente B in modo che componendo vettorilmente le velocità N e C, l velocità risultnte eff si dirett lungo B. Pertnto l ngolo φ srà dto d: C C Nsenϕ senϕ 0,80 ϕ 53,,5 N Il tempo impiegto rggiungere B si clcol spendo che il moto è rettilineo uniforme: h T 0,667h 40,0 min 40,s,5 eff dove: eff N C,5,5,5km / h

18 Cso Se l uomo si dirige verso il B l effetto dell corrente lo frà rrivre sull riv oppost in un punto C con velocità effettiv: per cui il tempo impiegto srà: eff N + C,5 + 0,5 3,km / h dove: C,8 T 0,4h 4 min 440s 3, eff h h C senα C,8km senα 0,78 con: N N,5 eff senα senα 0,78 α 5, 3 3, eff Or l uomo deve percorrere piedi il trtto CB e impiegherà un tempo pri : dove: ' CB 0,8 T 0,h m 70s 4 P CB C cos α,8 cos 5,3 0,8km Il tempo totle srà: ' T + T s In definitiv il secondo trgitto è più breve del primo.

19 Problem N. 4 Un rgzzo ttrvers nuoto un fiume lrgo L 500 m e ritorn indietro. Un secondo rgzzo nuot per un trtto S 500 m controcorrente e poi ritorn l punto di prtenz. Se l velocità dell corrente è costnte C 3 km/h e i due rgzzi nuotno con velocità costnte 5 km/h, clcolre i tempi d essi impiegti. Rppresentimo il problem dl punto di vist vettorile: Rgzzo Rgzzo L C C C S Il primo rgzzo si muoverà con un velocità effettiv che è l risultnte tr le velocità e C, il cui modulo e rgomento è dto d: tgα C + C ,67 α ,83km / h mentre il tempo d esso impiegto per compiere l intero trgitto è: L 0,5 T 0,h min 70s 5 Il secondo rgzzo, invece, percorrerà il trtto di ndt con velocità: e quello di ritorno con velocità: Il tempo totle impiegto srà: + C R C 5 3 8km / h km / h S S 0,5 0,5 T T + TB + + 0,3h 8,75 min 5s 8 R Problem N. 5

20 Un punto mterile si muove lungo un circonferenz di rggio 0 cm con frequenz di 5,0 Hz. Clcolre l velocità tngenzile ed il numero di giri compiuti in 0 s. R L velocità tngenzile l clcolimo ttrverso l su definizione: πrf π 0, 5,0 6,8m / s Dl concetto di frequenz (numero di giri compiuti in un secondo) ricvimo che il numero di giri compiuti in 0 s è dto d: N 0 f giri Problem N. 6 Supponendo che l Terr si muove intorno l Sole lungo un orbit circolre di rggio R km, determinre l velocità tngenzile in km/s e l ccelerzione centripet in m/s, tenendo presente che il periodo di rivoluzione è di 365 giorni. L velocità tngenzile e l ccelerzione centripet le clcolimo ttrverso le loro definizioni: πr T π , km / s C R 3 (30 0 ) m / s notre: 365 giorni 3,5 0 6 secondi 30 km/s m/s km m Problem N. 7 Secondo il modello tomico di Bohr Rutherford l elettrone di un tomo d idrogeno ruot intorno l nucleo su determinte orbite. In condizioni di non eccitzione l elettrone ruot con

21 elocità tngenzile,8 0 6 v m/s e con ccelerzione centripet c 8,97 0 m/s. Determinre il rggio dell orbit, l velocità ngolre e l frequenz. Il rggio dell orbit lo clcolimo come formul invers dell ccelerzione centripet: C R R C 6 (,8 0 ) 8,97 0 0, m L velocità ngolre l clcolimo come formul invers dell legge che l leg ll velocità tngenzile:,8 0 ωr ω R 0, , 0 6 rd / s L frequenz è dt dll formul invers dell definizione di velocità tngenzile: 6,8 0 πrf f πr π 0, , Hz Problem N. 8 Clcolre l velocità e l ccelerzione di un punto mterile situto sull superficie terrestre 30 di ltitudine Nord. Rppresentimo grficmente il problem: Il rggio R dell Terr form con il rggio r del pino dell orbit descritt dl punto mterile P un tringolo rettngolo, per cui utilizzndo l reltiv relzione trigonometric ottenimo: r R cos 30 6, ,866 5,5 0 6 m

22 Pertnto l velocità e l ccelerzione centripet del punto mterile P srnno dte d: 6 πr π 5,5 0 T C,9 0 6 r 5,5 0 40m / s m / s dove T 4 ore secondi Problem N. 9 Un pcco bbndonto d un eroplno in volo orizzontle 00 m/s, tocc terr dopo s. Clcolre l ltezz dell eroplno, l distnz orizzontle percors dl pcco e l velocità con cui esso tocc il suolo, trscurndo l resistenz dell ri. Rppresentimo il problem: Il moto del pcco è un moto prbolico, che è un moto risultnte di un moto uniformemente ccelerto e di un moto rettilineo uniforme: x y 0 t g t y g 0 x x Clcolimo l distnz orizzontle percors dl pcco utilizzndo l prim equzione: x m Per poter clcolre l ltezz dell eroplno ci servimo dell second equzione: 9,8 y m 00 L velocità con cui tocc il suolo l clcolimo come:

23 g t 9,8 8m / s Problem N. 0 Un proiettile è stto sprto orizzontlmente dll ltezz di 49 m e tocc il suolo ll distnz orizzontle di 000 m. Clcolre l velocità con cui è stto sprto. L velocità l ricvimo come incognit dll equzione dell prbol che descrive il moto prbolico: g y 0 x y 0 gx 0 gx y 0 gx y 9, m / s Problem N. Due corpi e B si trovno su un torre lt 490 m. Il corpo viene lscito cdere verso il bsso e, nello stesso istnte, B viene lncito con velocità orizzontle di 50 m/s. Qule dei due corpi tocc prim il suolo? Qunto vle l distnz tr e B qundo sono terr? Il moto verticle di un corpo, che cdendo si spost nche orizzontlmente, è identico l moto verticle di un corpo in cdut liber, per cui i due corpi e B toccno terr contempornemente. L distnz tr e B qundo sono terr l clcolimo dll equzione che descrive il moto prbolico di B: g y 0 x y gx 0 x 0 y x g 0 g y ,8 500m Problem N. un ereo d bombrdmento è ffidto è ffidto il compito di bombrdre un sommergibile d un quot di 7840 m. Clcolre il tempo che il sommergibile h disposizione per immergersi.

24 Il tempo che il sommergibile h disposizione per immergersi non è ltro che il tempo che impieg l bomb per colpirlo. Tenendo conto del principio di indipendenz dei movimenti simultnei, tle tempo è dto d: y gt t y g ,8 40s Problem N. 3 Un pll viene lncit orizzontlmente d un ltezz di 4,8 m con velocità inizile di 4,5 m/s. Si chiede: l pll riuscirà centrre un cnestro posto terr distnz orizzontle di 6, m? Il tempo di cdut dell pll è dto d: y gt t y g 4,8 9,8 0,990s I n questo tempo l pll può percorrere un distnz orizzontle pri : x 0 t 4,5 0,990 4,5m per cui non riuscirà centrre il cnestro che è posto ll distnz di 6, m. Problem N. 4 Un punto mterile si muove di moto rmonico con legge orri: Clcolre il periodo, l velocità e l ccelerzione dopo 0 secondi. π x 50 cos t 3 L legge orri del moto rmonico è l seguente: x R cos ωt che confrontt con quell del problem si ricv che: R 50m π ω rd/s 3 Quindi:

25 ω π π π T 64s T ω π 3 π π v ωr sin ωt 50 sin 0 4,m / s 3 3 ω π π x 50 cos 0 0,48m / s 04 3 Problem N. 5 Un punto mterile si muove di moto circolre uniforme con periodo di 48 s sopr un circonferenz di rggio 40 cm. Clcolre l equzione orri dei due moti rmonici, proiezioni del moto circolre uniforme su due dimetri perpendicolri, nell ipotesi che il punto l tempo t 0 si trovi d un estremo dei due dimetri. L equzione orri dei moti rmonici lungo l sse X e Y è l seguente: Di dti del problem si ricv che: quindi le leggi orrie diventno: x R cos ωt y R sin ωt ω π π π T 48 4 π π x 40 cos t y 40 sin t 4 4 Problem N. 6 Le proiezioni di un moto circolre uniforme sopr due dimetri ortogonli si muovono di moto rmonico secondo le leggi orrie: con x e y espressi in cm. π π x 5 cos t y 5 sin t 8 8 Determinre il vlore dell velocità e dell ccelerzione dopo 8 s ed il vlore dell ccelerzione centripet del moto circolre uniforme. Dlle leggi orrie del moto rmonico fornite dl problem si ricv che:

26 R 5cm π ω rd/s 8 Per determinre il vlore dell velocità e dell ccelerzione lungo i dimetri ortogonli, pplichimo le rispettive leggi orrie: π π x ωr sin ωt 5 sin y π ωr cos ωt 8 π 5 cos 8 8 9,8cm / s π π 64 8 x ω x 5 cos 8 3,9cm / s x ω x 5 sin 8 0 π 64 π 8 L ccelerzione centripet del moto circolre uniforme srà clcolt come segue: π 64 c ω R 5 3,9cm / s Problem N. 7 Un punto mterile descrive un triettori circolre di rggio R 0 m prtendo dl punto ed impieg 0 s per rggiungere il punto B: Y B X Clcolre: Il vettore spostmento e rppresentrlo grficmente Il cmmino percorso L velocità medi L rppresentzione grfic del vettore spostmento è l seguente: Y r r r S S B S S B

27 s S Mentre il modulo del vettore spostmento è dto d: S R + R ,4m Spostndosi d B il punto mterile percorre un qurto di circonferenz, pri π/ rd, per cui il cmmino percorso srà: π π L R 0 5,7m L velocità medi, tenendo sempre conto che il punto mterile percorre π/ rd, l determinimo ttrverso l su definizione: π π R 0,57m / s t 0 Problem N. 8 Due moti rmonici tr loro ortogonli hnno le seguenti leggi orrie: x 0 cos πt y 0 cos πt Determinre l triettori del moto risultnte. L equzione dell triettori sistem le due equzioni: del moto risultnte, ossi y f(x), l determinimo mettendo x 0 cos πt y 0 cos πt Ricvndo l t dll prim equzione: x t 0 cos π e sostituendol nell second ottenimo: x y 0 cos π x 0 cos π Dll equzione trovt si conclude che l triettori è un rett. Problem N. 9

28 Un pllone viene lncito con un ngolo α 30 dll sommità di un plzzo lto 0 m come. L velocità inizile si 0 0 m/sec. Nello stesso istnte, d un punto che si trov 40 m dll bse del plzzo, un uomo corre per cercre di prendere il pllone qundo questo tocc il suolo. Qule deve essere l velocità dell'uomo per poter prendere il pllone? Trscurre l resistenz dell'ri. y 0 α h d x Occorre clcolre il punto di imptto del pllone col suolo e il tempo di volo per poter clcolre l velocità dell' uomo. Dividimo il moto del pllone nelle sue componenti orizzontle e verticle. Il moto del pllone e' uniforme lungo l proiezione orizzontle con velocità: 0 0 x cos α 0 0,866 8,66m / s Il moto del corpo e' uniformemente ritrdto nel moto verso l'lto e uniformemente ccelerto nel moto verso il bsso nell su componente verticle. L velocità inizile lungo l verticle sr': 0 Nel moto verso l'lto l legge orri sr': 0 y sin α 0 0,5 y y 0 + 0y t gt 5m / s Nel punto di mssim ltezz il corpo si ferm per cui possimo clcolre il tempo di slit: e in questo tempo percorre un trtto: 0y 5 0 y g t S t S 0,5s g 9,8 y 0y t gt 5 0,5 9,8 0,5,3m

29 Il corpo rggiunge quindi un ltezz totle, rispetto l suolo pri : y h + y 0 +,3,3m D questo momento in poi il corpo si muove verso il bsso prtendo dll'ltezz y con velocità null. L su legge orri sr': y y gt Esso rggiunge il suolo qundo y 0, per cui il tempo impiegto srà: 0 y gt t y Il tempo di volo totle sr' quindi: t t + t 0,5 +,,6s In questo tempo l su proiezione orizzontle percorre un distnz: x 0 x t 8,7,6,6m Trovndosi l'uomo 40 m deve percorrere un distnz x ,4 m in un tempo t,6 s per cui l su velocità sr': Problem N. 0 x 7,4 t,6 6,7m / s Un corpo viene lncito, con un velocità inizile orizzontle 0 0 m/sec d un plzzo lto h 35 m come in figur. Determinre: ) Il tempo di volo; b) l distnz x, misurt dll bse del plzzo, del punto d'imptto del corpo col suolo; c) l'ngolo formto dll direzione dell velocità con l verticle l momento dell'imptto. y 0 X x Y α

30 Il tempo di volo viene clcolto tenendo presente che il moto verticle de l corpo è un moto uniformemente ccelerto: h gt t h g 35 9,8,7s Utilizzimo l legge del moto rettilineo unifo rme, che crtterizz il moto orizzontle del proiettile, per clcolre l distnz del punto d imptto del corpo col suolo: x 0 t 0,7 7m Per clcolre l ngolo formto dll velocità con l verticle, considerimo il tringolo rettngolo formto dll velocità e dlle sue componenti x e y. Possimo quindi scrivere: x x 0 tgα 0,4 α g t 9,8,7 y dove: y gt e x 0 Problem N. Un fucile è puntto orizzontlmente contro un bersglio ll distnz di 30 m. il proiettile colpisce il bersglio, 9 cm sotto il centro. Clcolre l velocità del proiettile. B C Il moto del proiettile è un moto prbolico, che è un moto risultnte di un moto uniformemente ccelerto e di un moto rettilineo uniforme: x t y gt Dll second equzione ricvimo il tempo di volo del proiettile: y 0,09 t 0,06s g 9,8 che sostituito nell prim equzione ci consente di clcolre l velocità del proiettile: Problem N. x 30 t 0,06 500m / s

31 Un fucile, distnte 45 m d un bersglio, spr un proiettile ll velocità di 450 m/s. Qunto più lto dl bersglio deve essere puntto il fucile per riuscire colpire il bersglio? h Il moto del proiettile è un moto prbolico, che è un moto risultnte di un moto uniformemente ccelerto e di un moto rettilineo uniforme: x t y gt Dll prim equzione ricvimo il tempo di volo del proiettile: x 45 t 0,s 450 che sostituito nell second equzione ci consente di clcolre l ltezz, rispetto l bersglio, del fucile: h 9,8 0, 0,049m 4,9cm Problem N. 3 Un elettrone, per effetto di un cmpo mgnetico, percorre un triettori circolre di rggio R 5 cm e ccelerzione centripet c 3,0 0 4 m/s. Clcolre il periodo del moto. Il periodo del moto viene clcolto prtendo dll definizione di velocità del moto circolre uniforme: πr T πr T Però mnc il vlore dell velocità, che clcolimo come formul invers dell ccelerzione centripet: C R C R 3, ,5 0, m / s In definitiv: π 0,5 7 T,4 0 s 0,4µ s 7 0,67 0 Problem N. 4

32 Un stellite terrestre viggi su un orbit circolre ll quot di 640 km sopr l superficie terrestre. Il periodo di rivoluzione è di 98 minuti. Clcolre:. l velocità del stellite. il vlore dell grvità quell quot. L velocità possedut dl stellite lungo l triettori circolre si clcol come: πr T π 7, ,5 0 m / s 7,5km / s dove: R R Terr , ,0 0 6 m 98 minuti 5880 s Il vlore dell grvità ll quot di 640 km non è ltro che l ccelerzione centripet: 3 (7,5 0 ) C 8m / s 6 R 7,0 0 Problem N. 5 Un person sle in 90 s un scl mobile ferm di 5 m di lunghezz. L stess person, stndo ferm sull scl mobile qundo è in funzione, impieg 60 s. Clcolre:. il tempo impiegto nel cso in cui sle con l scl mobile in funzione. l rispost dipende dll lunghezz dell scl? L velocità con cui l person sle l scl mobile qundo è ferm è dt d: L 5 90 person t person 0,7m / s L velocità dell person qundo è ferm sull scl mobile in funzione è dt d: L 5 e t sclmobiule 60 sclmobil 0,5m / s Il tempo impiegto dll person, nel cso in cui sle con l scl mobile in funzione, è dto d: t person L + sclmobile 5 36s 0,7 + 0,5 Per verificre se l rispost trovt dipende dll lunghezz dell scl mobile, esprimimo il tempo clcolto nell su form generle:

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