Verifica d Ipotesi. Se invece che chiederci quale è il valore di una media in una popolazione (stima. o falsa? o falsa?

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1 Verifica d Iotesi Se ivece che chiederci quale è il valore ua mea i ua oolazioe (stima utuale Se ivece e itervallo che chiederci cofideza) quale è il avessimo valore u idea ua mea su quello i ua che oolazioe otrebbe (stima esre il valore utuale icogito e itervallo ua mea? cofideza) Come avessimo otremmo u idea verificare su quello la che ostra otrebbe idea é esre vera il valore icogito ua mea? Come o falsa? otremmo verificare la ostra idea é vera o falsa? U IPOTESI STATISTICA è u assuto circa u arametro della fuzioe stribuzioe ua variabile casuale Il saggio u iotesi statistica (iotesi ulla H ) si basa sulla mostrazioe er cotradzioe Si arte da u assuto (Iotesi Nulla) si fao delle argometazioi logiche (alicazioe Si arte da u assuto u test), (Iotesi le argometazioi Nulla) si fao o delle cofermao argometazioi l assuto logiche arteza (alicazioe (risultato oco u test), robabile), le argometazioi allora si cotradce o cofermao (Rifiuto dell Iotesi l assuto arteza (risultato oco robabile), Nulla) allora si cotradce (Rifiuto dell Iotesi Nulla)

2 Procemeto: - Defiizioe u iotesi ulla e u alterativa (uilaterale o bilaterale) - Ividuazioe della statistica test e calcolo del valore umerico della stessa sui dati del camioe - Riferimeto della statistica test a ua stribuzioe ota quado l iotesi ulla è vera - Determiazioe della robabilità verificarsi (livello soglia) - Cofroto del valore emirico verso quello teorico e coclusioi Alla fie della rocedura u test coduce mre a due sole alterative: o si rifiuta l iotesi ulla H, oure si accetta (o si rifiuta) Se si rifiuta l iotesi ulla quado è falsa e o si rifiuta quado è vera, o si Se commettoo si rifiuta l iotesi errori. Dal ulla mometo quado che è falsa le decisioi e o si soo rifiuta re quado sulla ba è vera, u o si camioe commettoo uò accadere errori. Dal commettere mometo che errori: le decisioi rifiutare soo l iotesi re sulla ulla ba quado u è camioe vera (I uò tio), accadere o rifiutare commettere l iotesi errori: ulla rifiutare quado è l iotesi falsa (II ulla tio) quado è vera (I tio), o rifiutare l iotesi ulla quado è falsa (II tio) Come ogi volta che si ha a che fare co l icertezza, si defiiscoo delle robabilità commettere l errore I e II tio, a e b H vera H falsa No rifiuto H Nessu errore cofideza1-α Errore II tio (b) Rifiuto H Errore I tio (α) Nessu errore Poteza1-β α P(rifiutare H H è vera) ; 1- α P(o rifiutare H H è vera) β P(o rifiutare H H è falsa); 1- β P(rifiutare H H è falsa)

3 Test d iotesi sulla mea Se, X ~ N µ σ Caso σ ota H Dato u camioe estratto si calcola la statistica mea camioaria e ci si chiede la staza x µ Dato u camioe estratto si calcola la statistica mea camioaria e ci si chiede la staza è troo elevata, la staza è > u valore k si rifiuta l iotesi ulla a favore dell alterativa è troo elevata, la staza è > u valore k si rifiuta l iotesi ulla a favore dell alterativa Secificado l alterativa è ossibile fissare l errore I tio α Secificado l alterativa è ossibile fissare l errore I tio α : µ µ Se è vera H, Se è vera H, X ~ N, σ µ α/ α/ z α/ z 1-α/ Per la simmetria della Variabile Casuale Per la simmetria Normale della si ottiee Variabile Casuale Normale si ottiee σ k z 1 α α P(rifiutare H H è vera) P X µ > k H X µ k k P > H P Z > H σ σ σ k k P Z < e Z > α σ σ 1 dove x µ z > z α z σ Test d iotesi sulla mea Se, X ~ N µ σ Caso σ ota : µ > µ α P(rifiutare H H è vera) P X µ > k H X µ k k k P > H P Z > H P Z > σ σ σ σ α z 1-α Si rifiuta H x µ z> z1 α dove z σ : µ < µ α P(rifiutare H H è vera) P X µ < k H X µ k k k P < H P Z < H P Z < σ σ σ σ α z α x µ z< zα dove z σ

4 Test d iotesi sulla mea Se, X ~ N µ σ Caso σ igota variaza camioaria ( 1) i 1 1 s x x i : µ µ 1 dove x µ t > t α t s : µ > µ x µ t > t1 α dove t s : µ < µ x µ t < tα dove t s Test d iotesi sulla roorzioe ~ Se X Ber allora E X e V X ( 1 ) Se è vera H, (er >3) Se è vera H, (er >3) ˆ ) N(,1) 1 successi X ˆ Xi i 1 : : z > z1 α dove z ˆ ) : : > z> z dove z 1 α ˆ ) : : < z< zα dove z ˆ )

5 Test d iotesi er il cofroto tra mee t s x x s ( 1) + ( 1) 1 1 s s e 1 mea e variaza camioaria u camioe umersità 1 e mea e variaza camioaria u camioe umersità x s x s 1 : µ µ 1 g t > t 1 α g 1+ 1 : µ > µ 1 1 : µ < µ 1 g t > t 1 α g t < t α g 1+ g 1+ Test d iotesi er il cofroto tra roorzioi z ˆ ˆ ( 1 ˆ) ˆ x ˆ + x ˆ roorzioe favorevoli i u camioe umersità 1 1 ˆ roorzioe favorevoli i u camioe umersità : : 1 1 : : > 1 1 : : < 1 1 z > z1 α z> z1 α z< z α

6 Test d iotesi er verificare l iedeza X e Y soo feomei statistici rilevati cogiutamete h: umero modalità X k: umero modalità Y H H : X e Y soo stocasticamete iedeti : X e Y soo associate o coes χ * h k ij ij * i 1 j 1 ij H χ H χ > : : g χ > χ 1 α dove g h 1 k 1 P-value Tutti i software statistici o foriscoo i livelli sigificatività del test ma solo il valore del -value Il -value è il massimo livello α che avremmo otuto fissare che ci avrebbe ermesso rifiutare l iotesi ulla alla luce dei dati camioari P( Z > z) α α > Si accetta H Si rifiuta H

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