Domande di teoria. Esercizi

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1 Chiorri, C. (04. Fodmei di psicomeri - Rispose e soluzioi Cpiolo 5 Domde di eori. Vedi p Vedi pp Vedi pp Vedi p Vedi pp Vedi pp Vedi pp Vedi p Vedi pp Vedi pp Esercizi Esercizio Puo ( Per rppresere grficmee i di uilizzimo il digrmm dispersioe, che si relizz come u ormle riferimeo cresio, per cui, se cosiderimo Performce come e Verle come Y vremo: Verle Performce Puo ( Per rispodere lle due domde occorre idividure le ree di regressioe i cui QI Verle Y e QI Performce (prim domd e QI Verle e QI Performce Y (secod domd. I ermi i csi vlueremo l sigificivià del coefficiee di regressioe e dell ierce, e clcoleremo l errore ole di predizioe. Coprigh 04 The McGrw-Hill Compies S.r.l., Pulishig Group Ili

2 Chiorri, C. (04. Fodmei di psicomeri - Rispose e soluzioi Cpiolo 5 Oieivo: idividure l re di regressioe per predire il pueggio di QI Verle (Y i se l pueggio di QI di Performce ( Ipoesi H 0 : α 0 ell popolzioe, l ierce, ossi il vlore medio eso i Y qudo è ugule zero, è ugule zero H : α 0 ell popolzioe, l ierce, ossi il vlore medio eso i Y qudo è ugule zero, è divers d zero H 0 : β 0 ell popolzioe, il coefficiee di regressioe, ossi l vrizioe medi es i Y per u vrizioe uiri i, è ugule zero H : β 0 ell popolzioe, il coefficiee di regressioe, ossi l vrizioe medi es i Y per u vrizioe uiri i, è divers d zero Fccimo riferimeo ll disriuzioe di proilià di Sude, che i queso cso h grdi di lierà uguli l umero di soggei meo due (5 3. Per α,05 e ipoesi leriv idireziole, il criico per 3 grdi di lierà è,60. L regol di decisioe srà: se clcolo > criico è roppo improile che i di osservi sio il risulo del fo che H 0 è ver, per cui l rifiuimo se clcolo < criico o è così improile che i di osservi sio il risulo del fo che H 0 è ver, per cui l cceimo Clcolimo i se i di dell ell l puo ( i vlori di e di : Soggeo QI Performce QI Verle Y Y Y s s s s s s s s s s s s s s s Somm x x i i i i i i i xi xi i i , ( 4 Coprigh 04 The McGrw-Hill Compies S.r.l., Pulishig Group Ili

3 Chiorri, C. (04. Fodmei di psicomeri - Rispose e soluzioi Cpiolo 5 3 i i i x i 45 0,9 4,047 5 Per clcolre gli errori sdrd dei coefficiei, imo isogo dell errore ole di predizioe, che si clcol co l formul: ( Y Yˆ s e I ques formul Ŷ è il vlore di Y simo i se l modello di regressioe. Clcolimo quidi per ogi vlore di il vlore di Y, clcolimo gli scri fr vlori Y osservi e simi, elevimo l qudro gli scri e sommimoli: Y Ŷ, ,9 Ŷ Y (Ŷ Y 5 6 5,60-0,398 0, ,44,44 5,876 9,068,068 4,77 3,068 -,93 3,733 4,869 -,3, ,7,7,93 0 0,57 -,843 3, ,57-4,843 3,455 5,979 6,979 48, ,80-0,99 0, ,047 -,953 8,70 3,890,890 3,57 5,089-3,9 5,96 3 3,780,780 3, ,44 0,44 0,80 Σ 4,787 4,787 L errore sdrd di predizioe è duque: s e 3, Per clcolre gli errori sdrd imo isogo che dell medi (M e dell deviz [Σ( M ] degli, i quo: ; ( Y Yˆ M + ( ( ( Y Yˆ ( ( L medi degli è 4 / 5 9,47, mere l deviz può essere clcol di di disposizioe moliplicdo l vriz per ( s 796 9, ,79 Coprigh 04 The McGrw-Hill Compies S.r.l., Pulishig Group Ili

4 Chiorri, C. (04. Fodmei di psicomeri - Rispose e soluzioi Cpiolo 5 4 Adesso s sosiuire i di elle formule:,047 0,9,5 ; 0, 99 9,47 3, , ,79 450,79 Coclusioe: poiché clcolo < criico per l ierce (,5 <,60 e clcolo > criico (0,99 >,60 per il coefficiee di regressioe, possimo ccere l ipoesi ull el cso di e rifiurl el cso di. Quesi risuli suggeriscoo che l ierce, ossi il vlor medio eso ell popolzioe qudo è ugule zero, o è sisicmee divers d zero, mere il coefficiee di regressioe, ossi il cmimeo medio eso i Y per u cmimeo uirio i, è sisicmee diverso d zero. I pricolre possimo scrivere u equzioe di predizioe per Y del ipo Ŷ, ,9, che ci suggerisce che per u cmimeo uirio el pueggio di QI di Performce possimo sperci u cmimeo di 0,9 pui el vlore del QI Verle. Per rppresere l re di regressioe clcolimo due pui e poi fccimo pssre u lie re per quesi due pui. Ad esempio, sppimo che se 0, Ŷ,047, mere se 3 (come richieso dll domd dell esercizio, Ŷ, ,9 3,89 (pui ichi del grfico: 30 5 Ŷ, ,9 R,750 0 Verle Performce Se il pueggio di QI di Performce è 3, quidi, il pueggio eso di QI Verle è,89. Dimesioe dell effeo L dimesioe dell effeo dell regressioe può essere clcol prire dl vlore di R, che è,750. Clcolimo l dimesioe dell effeo f come: f R R,750 3,00,750 che i se lle liee guid dell Tvol 0 i Appedice ierpreimo come grde. Coprigh 04 The McGrw-Hill Compies S.r.l., Pulishig Group Ili

5 Chiorri, C. (04. Fodmei di psicomeri - Rispose e soluzioi Cpiolo 5 5 Se dovessimo iverire il ruolo di e Y delle due vriili, vremmo il seguee schem: Oieivo: idividure l re di regressioe per predire il pueggio di QI di Performce (Y i se l pueggio di QI Verle ( Ipoesi H 0 : α 0 ell popolzioe, l ierce, ossi il vlore medio eso i Y qudo è ugule zero, è ugule zero H : α 0 ell popolzioe, l ierce, ossi il vlore medio eso i Y qudo è ugule zero, è divers d zero H 0 : β 0 ell popolzioe, il coefficiee di regressioe, ossi l vrizioe medi es i Y per u vrizioe uiri i, è ugule zero H : β 0 ell popolzioe, il coefficiee di regressioe, ossi l vrizioe medi es i Y per u vrizioe uiri i, è divers d zero Fccimo riferimeo ll disriuzioe di proilià di Sude, che i queso cso h grdi di lierà uguli l umero di soggei meo due (5 3. Per α,05 e ipoesi leriv idireziole, il criico per 3 grdi di lierà è,60. L regol di decisioe srà: se clcolo > criico è roppo improile che i di osservi sio il risulo del fo che H 0 è ver, per cui l rifiuimo se clcolo < criico o è così improile che i di osservi sio il risulo del fo che H 0 è ver, per cui l cceimo e vremmo l seguee ell per i clcoli: Soggeo QI Verle QI Performce Y Y Y s s s s s s s s s s s s s s s Somm x x i i i i i i i xi xi i i , ( 45 Coprigh 04 The McGrw-Hill Compies S.r.l., Pulishig Group Ili

6 Chiorri, C. (04. Fodmei di psicomeri - Rispose e soluzioi Cpiolo 5 6 i i i x i 4 0,84 45,50 5 Si oi come le sime dei coefficiei dell re di regressioe cmio rispeo l cso precedee. Per clcolre gli errori sdrd dei coefficiei, imo isogo dell errore ole di predizioe, che si clcol co l formul: ( Y Yˆ s e I ques formul Ŷ è il vlore di Y simo i se l modello di regressioe. Clcolimo quidi per ogi vlore di il vlore di Y, clcolimo gli scri fr vlori Y osservi e simi, elevimo l qudro gli scri e sommimoli: Y Ŷ,50 + 0,84 Ŷ Y (Ŷ Y 6 5 6,45 -,45, ,6,38,90 9 8,9,08 4,34 3, -,,47 4 4,80 -,80 7,8 3 5,,79 7,77 0,39 -,39, ,86-3,86 4,9 5 5,6 6,38 40, ,04 0,96 0, ,80-4,80 3,0 3 0,57,44 5,93 5,0-0,0 0,0 3 3,5-0,5 0, ,7-0,7 0,07 Σ,89,89 L errore sdrd di predizioe è duque: s e, Per clcolre gli errori sdrd imo isogo che dell medi (M e dell deviz [Σ( M ] degli, i quo: ; ( Y Yˆ M + ( ( ( Y Yˆ ( ( L medi degli è 45 / 5 9,67, mere l deviz può essere clcol di di disposizioe moliplicdo l vriz per ( s 90 9, ,79 Coprigh 04 The McGrw-Hill Compies S.r.l., Pulishig Group Ili

7 Chiorri, C. (04. Fodmei di psicomeri - Rispose e soluzioi Cpiolo 5 7 Adesso s sosiuire i di elle formule:,50 0,84,80 ;, 3 9,67,947 +, ,79 555,79 Coclusioe: poiché clcolo < criico per l ierce (,80 <,60 e clcolo > criico (,3 >,60 per il coefficiee di regressioe, possimo ccere l ipoesi ull el cso di e rifiurl el cso di. Quesi risuli suggeriscoo che l ierce, ossi il vlor medio eso ell popolzioe qudo è ugule zero, o è sisicmee divers d zero, mere il coefficiee di regressioe, ossi il cmimeo medio eso i Y per u cmimeo uirio i, è sisicmee diverso d zero. I pricolre possimo scrivere u equzioe di predizioe per Y del ipo Ŷ,50 + 0,84, che ci suggerisce che per u cmimeo uirio el pueggio di QI Verle possimo sperci u cmimeo di 0,84 pui el vlore del QI di Performce. Per rppresere l re di regressioe clcolimo due pui e poi fccimo pssre u lie re per quesi due pui. Ad esempio, sppimo che se 0, Ŷ,50, mere se 30 (come richieso dll domd dell esercizio, Ŷ,50 + 0, , (pui ichi del grfico: 30 5 Ŷ,50 + 0,84 R,750 Performce Verle Se il pueggio di QI Verle è 30, quidi, il pueggio eso di QI di Performce è 6,. Si oi come, differeemee dl cso precedee, il vlore d predire o cd ell gmm dell osserve, cosrigedoci d esrpolre i di (e o d ierpolrli. Nel mule imo viso come l esrpolzioe si sempre u operzioe rischios, i quo o simo i grdo di verificre che l relzioe fr e Y si liere che l di fuori dell gmm delle osserve. Nodimeo, l predizioe di Y i se ll re di regressioe è comuque possiile. Dimesioe dell effeo L dimesioe dell effeo è l sess del cso precedee i quo il vlore di R dipede dll relzioe fr le due vriili, e o d qule ssume il ruolo di e qule il ruolo di Y. Coprigh 04 The McGrw-Hill Compies S.r.l., Pulishig Group Ili

8 Chiorri, C. (04. Fodmei di psicomeri - Rispose e soluzioi Cpiolo 5 8 Esercizio U'degu rppresezioe grfic di due se di vlori misuri su scl meric sugli sessi soggei si oiee medie il digrmm dispersioe [puo (], che ci permeerà di verificre se l'ssuzioe di lierià è rispe. Clcoleremo poi il coefficiee di regressioe r di Perso per vlure l sigificivià di ques relzioe. Al puo ( pplicheremo le formule per l verific delle ipoesi sui prmeri del modello di regressioe, mere per risolvere il puo (c dovremo elevre l qudro il coefficiee di correlzioe r e clcolre l errore sdrd dell sim s e. Al puo (d clcoleremo l idice f, mere per rispodere ll domd del puo (e uilizzeremo le sime oeue l puo (. Puo ( Il digrmm dispersioe si relizz come u ormle riferimeo cresio, per cui, se cosiderimo l Vulerilià Nrcisisic come e l Auosim come Y vremo: 5 0 Auosim Vulerilià rcisisic L ue di pui semr idicre che l relzioe fr le due vriili si liere. Iolre, o semro essere vlori esremi li d suggerire l presez di ouliers. Do che il digrmm dispersioe h mosro l plusiilià dell esisez di u relzioe liere fr i due pueggi di vulerilià rcisisic e uosim, procedimo co il clcolo del coefficiee di correlzioe r e co l verific delle ipoesi d esso ssoci. Oieivo: verificre se esise u relzioe liere fr pueggio di vulerilià rcisisic e uosim Vriili Vriile : Pueggio di vulerilià rcisisic (iervlli Vriile : Pueggio di uosim (iervlli No c è moivo di pesre che u delle due vriili poss essere cus dell lr, i quo soo due dimesioi di persolià per le quli soo plusiili più spiegzioi cusli Coprigh 04 The McGrw-Hill Compies S.r.l., Pulishig Group Ili

9 Chiorri, C. (04. Fodmei di psicomeri - Rispose e soluzioi Cpiolo 5 9 Ipoesi H 0 : ρ 0 ell popolzioe o esise u relzioe liere fr pueggio di vulerilià rcisisic e pueggio di uosim il coefficiee di correlzioe ρ è ugule zero H : ρ < 0 ell popolzioe esise u relzioe liere egiv fr pueggio di vulerilià rcisisic e pueggio di uosim il coefficiee di correlzioe ρ è miore di zero Per sooporre verific l ipoesi ull, uilizzimo u es sisico che f riferimeo ll disriuzioe di Sude. I queso cso i grdi di lierà soo uguli l umero di soggei meo due, quidi 9 7. Il vlore di criico per α,05, ipoesi leriv moodireziole e 7 grdi di lierà è,740. L regol di decisioe srà: se clcolo > criico è roppo improile che i di osservi sio il risulo del fo che H 0 è ver, per cui l rifiuimo se clcolo < criico o è così improile che i di osservi sio il risulo del fo che H 0 è ver, per cui l cceimo xi i xi i i i i Per pplicre l formul per il clcolo di r r imo xi xi i i i i i i isogo di clcolre il qudro si delle che delle Y, i prodoi Y soggeo per soggeo, e le relive somme: Y Vulerilià Soggeo rcisisic Auosim Y Y s s s s s s s07 44 s s s s s s s s s s s s Somm Coprigh 04 The McGrw-Hill Compies S.r.l., Pulishig Group Ili

10 Chiorri, C. (04. Fodmei di psicomeri - Rispose e soluzioi Cpiolo 5 0 Iserimo i di ecessri ell formul e clcolimo r r ( ( ,774 Verifichimo che r poss essere cosidero sisicmee diverso d zero: r r,774 9,774 5,04 Coclusioe: poiché clcolo > criico (5,04 >,740, è roppo improile che quo osservo si il risulo di u ipoesi ull ver, per cui l rifiuimo. Quesi risuli suggeriscoo che molo proilmee esise u relzioe liere egiv fr vulerilià rcisisic e uosim. A livello di soszilià dell relzioe, ques è fore do che, i vlore ssoluo, r >,50 (Tvol 0 i Appedice. Puo ( Per spere se le sime del modello di regressioe soo sigificive doimo iziuo clcolre le sime di e di. Si presi ezioe l fo che ci edimo che l relzioe si egiv, quidi l ipoesi leriv di è moodireziole, mere quell di è idireziole. Oieivo: idividure l re di regressioe per predire il pueggio di uosim (Y i se l pueggio di vulerilià rcisisic ( Ipoesi H 0 : α 0 ell popolzioe, l ierce, ossi il vlore medio eso i Y qudo è ugule zero, è ugule zero H : α 0 ell popolzioe, l ierce, ossi il vlore medio eso i Y qudo è ugule zero, è divers d zero H 0 : β 0 ell popolzioe, il coefficiee di regressioe, ossi l vrizioe medi es i Y per u vrizioe uiri i, è ugule zero H : β < 0 ell popolzioe, il coefficiee di regressioe, ossi l vrizioe medi es i Y per u vrizioe uiri i, è miore di zero Fccimo riferimeo ll disriuzioe di proilià di Sude, che i queso cso h grdi di lierà uguli l umero di soggei meo due (9 7. Per α,05 e ipoesi leriv idireziole, il criico per 7 grdi di lierà è,0 [ierce]. Per α,05 e ipoesi leriv moodireziole, il criico per 7 grdi di lierà è,740 [coefficiee di regressioe]. L regol di decisioe srà: se clcolo > criico è roppo improile che i di osservi sio il risulo del fo che H 0 è ver, per cui l rifiuimo se clcolo < criico o è così improile che i di osservi sio il risulo del fo che H 0 è ver, per cui l cceimo Coprigh 04 The McGrw-Hill Compies S.r.l., Pulishig Group Ili

11 Chiorri, C. (04. Fodmei di psicomeri - Rispose e soluzioi Cpiolo 5 I se i vlori dell ell del puo ( vremo: x x i i i i i i i xi xi i i i i i x i , ( ( 0, ,87 9 Per clcolre gli errori sdrd dei coefficiei, imo isogo dell errore ole di predizioe, che si clcol co l formul: ( Y Yˆ s e I ques formul Ŷ è il vlore di Y simo i se l modello di regressioe. Clcolimo quidi per ogi vlore di il vlore di Y, clcolimo gli scri fr vlori Y osservi e simi, elevimo l qudro gli scri e sommimoli: Y Ŷ 6,87 0,756 Ŷ Y (Ŷ Y 7 3,58 -,4, ,87-3,3 9, ,6 0,6 0, ,3 6,3 39,83 5 5,53-5,47 9,9 8 7,80-0,0 0,04 6, 4, 6, ,78 0,77 0, ,60 -,40 5, ,09 -,9 3,64 0,75-0,5 0, ,07-4,93 4,33 9 8,56-0,45 0, ,85 -,5 4,64 8 0,8 -,8, ,04 -,96 3,83 4 6,9 5,9 7,95 6 4,34 8,34 69,47 5 5,36 0,36 0,3 Σ 40,580 40,580 L errore sdrd di predizioe (o errore sdrd dell sim è duque: s e 3, 76 9 Coprigh 04 The McGrw-Hill Compies S.r.l., Pulishig Group Ili

12 Chiorri, C. (04. Fodmei di psicomeri - Rispose e soluzioi Cpiolo 5 Per clcolre gli errori sdrd imo isogo che dell medi (M e dell deviz [Σ( M ] degli, i quo: ; ( Y Yˆ M + ( ( ( Y Yˆ ( ( L medi degli è 74 / 9 9,6, mere l deviz può essere clcol di di disposizioe moliplicdo l vriz per ( s 0 9, ,79 Adesso s sosiuire i di elle formule: 6,87 0,756 0,838 ; 9, 75 9,6 3,76 + 3, ,79 65,79 Coclusioe: poiché clcolo < criico per l ierce (0,838 <,0 e clcolo > criico (9,75 >,740 per il coefficiee di regressioe, possimo ccere l ipoesi ull el cso di e rifiurl el cso di. Quesi risuli suggeriscoo che l ierce, ossi il vlor medio eso ell popolzioe qudo è ugule zero, o è sisicmee divers d zero, mere il coefficiee di regressioe, ossi il cmimeo medio eso i Y ell popolzioe per u cmimeo uirio i, è sisicmee diverso d zero. I pricolre possimo scrivere u equzioe di predizioe per Y del ipo Ŷ 6,87 0,756, che ci suggerisce che per u cmimeo uirio el pueggio di vulerilià rcisisic possimo sperci u dimiuzioe medi ell popolzioe di 0,756 pui el vlore di uosim Puo (c Il coefficiee di deermizioe vle (,774,599, che idic che le due vriili codividoo qusi il 60% di vriilià. Possimo che dire, i se l modello di regressioe, che il 60% dell vriilià del pueggio di uosim è spiegile i se ll su relzioe liere co il pueggio di vulerilià rcisisic. L errore sdrd dell sim lo imo clcolo l puo ( e imo viso che vle 3,76. Puo (d Dimesioe dell effeo L dimesioe dell effeo dell regressioe può essere clcol prire dl vlore di R, che è,599. Clcolimo l dimesioe dell effeo f come: f R R,599,49,599 che i se lle liee guid dell Tvol 0 i Appedice ierpreimo come grde. Coprigh 04 The McGrw-Hill Compies S.r.l., Pulishig Group Ili

13 Chiorri, C. (04. Fodmei di psicomeri - Rispose e soluzioi Cpiolo 5 3 Puo (e Poiché sppimo che Ŷ 6,87 0,756, se il pueggio di vulerilià rcisisic ( è 7, quello di uosim srà Ŷ 6,87 0, ,09. Spedo iolre che Ŷ 6,87 qudo 0, rccimo l re di regressioe: 5 0 Ŷ 6,87-0,756 R,599 Auosim Vulerilià rcisisic L sim di Y per 7 è ediile i quo il vlore di cde ll iero dell gmm di vlori osservi (che è 0 0. Coprigh 04 The McGrw-Hill Compies S.r.l., Pulishig Group Ili