Definizioni fondamentali

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Definizioni fondamentali"

Transcript

1 Definizioni fondmentli Sistem scisse su un rett 1 Un rett si ce orientt qundo su ess è fissto un verso percorrenz Dti due punti qulsisi A e B un rett orientt r, il segmento AB che può essere percorso d A verso B si ce segmento orientto 3 Un segmento orientto un rett orientt è positivo se il segmento h l stess orientzione dell rett; negtivo se il segmento e l rett hnno orientzione scorde 4 Se A coincide con B il segmento AB si ce nullo 5 Qundo su un rett orientt si consider il segmento orientto AB non nullo, d esso viene ssocit un misur lgebric o misur reltiv o misur orientt rispetto d un segmento u ssunto come unità misur; se AB è un segmento positivo l su misur è un numero positivo, mentre se AB è un segmento negtivo l su misur è un numero negtivo L misur lgebric un segmento orientto AB si inc con AB, che si ce stnz lgebric o stnz reltiv o stnz orientt tr A e B 6 Si h AB BA, d cui AB + BA 7 Su r vle l identità Chrles: AB AC + CB essendo A, B, C tre punti qulsisi r e considerndo le misure in senso reltivo 8 Considert un rett orientt r, si fissi rbitrrimente un punto O si ess, detto punto origine o origine Il punto O vide l rett r in due semirette: un positiv che contiene i punti successivi O nel verso positivo, e l ltr negtiv che contiene i punti che precedono O 9 isst un unità misur u d ogni punto P r, il numero rele reltivo che è l misur lgebric, rispeto u, del segmento orientto OP si ce coornt sciss o sciss del punto P Per incre che è l sciss P, si us il simbolo P( 1 Qundo si fiss su un rett un punto O come origine, un verso positivo e un unità misur, si ce che si è fissto sull rett un sistem coornte scisse o semplicemente un sistem scisse 11 Un sistem scisse stbilisce un corrispondenz biunivoc tr i punti dell rett e l insieme dei numeri reli Quest corrispondenz biunivoc permette invidure i punti dell rett mente numeri 1 Su un rett in cui è fissto un sistem scisse, l stnz orientt tr due punti è ugule ll fferenz, nell orne, tr l sciss del secondo punto e quell del primo: A( 1 B( 1 ; l stnz ssolut tr i due punti è ugule l vlore ssoluto dell fferenz tr le scisse dei due punti 13 L sciss del punto meo un segmento è ugule ll semisomm, cioè ll me ritmetic, delle scisse degli estremi: 1 + M Coornte crtesine nel pino 1 Si ce che nel pino è stto fissto un sistem riferimento crtesino ortogonle O se sono stte fisste due rette perpencolri e ognun delle quli dott un sistem scisse in modo che il punto intersezione delle due rette e si l origine comune dei due sistemi scisse Normlmente il verso positivo dell rett viene scelto verso destr e quello dell rett verso l lto

2 Se l unità misur è l stess sulle due rette e, il sistem si ce monometrico; il cso contrrio il sistem srà metrico 3 A un generico punto P del pino si possono fr corrispondere due numeri e corrispondenti lle coornte scisse delle proiezioni sulle due rette e del punto P I due numeri prendono il nome coornte del punto P: il primo si ce sciss P e il secondo ornt P Gli ssi e si cono rispettivmente sse delle scisse e sse delle ornte 4 Un sistem riferimento ssi crtesini ortogonli stbilisce quin un corrispondenz biunivoc tr i punti del pino e le coppie ornte numeri reltivi Per incre che e sono le coornte del punto P si scrive P(, Quest corrispondenz biunivoc permette invidure i punti del pino mente coppie numeri 5 I due ssi e vidono il pino il quttro ngoli che si cono qudrnti Il primo qudrnte è convenzionlmente quello in lto destr e per l numerzione degli ltri si procede in verso ntiorrio 6 L stnz ssolut d due punti A( 1, 1 e B(, nel pino è dt dll rce qudrt dell som- m dei qudrti delle fferenz delle coornte omonime dei due punti: ( ( d Le coornte del punto meo un segmento è ugule ll semisomm, cioè ll me ritmetic, delle coornte degli estremi: 1 + M, 1 + M 8 Sino dti i due punti A( 1, 1 e B(, Le coornte del punto P(, che vide internmente il segmento AB in prti proporzionli i numeri m e n, cioè tle che si (m, n > sono AP m PB n n1 + m P n +, m n 1 + m P n + m 9 Sino dti i tre punti A( 1, 1, B(, e C( 3, 3 Le coornte del bricentro G(, del tringolo ABC sono G, G 3 3 Coornte crtesine nello spzio 1 Si ce che nello spzio è stto fissto un sistem riferimento crtesino ortogonle se sono stte fisste tre rette,, z uscenti d un punto O e ortogonli due due, ognun delle quli dott un sistem scisse in modo che il punto intersezione delle tre rette,, z si l origine comune dei sistemi scisse Le tre rette si cono ssi coornti e i tre pini che esse inviduno pini coornti A un generico punto P dello spzio si possono fr corrispondere tre numeri,, z corrispondenti lle coornte scisse delle proiezioni sulle tre rette,, z del punto P I tre numeri prendono il nome coornte crtesine del punto P: il primo si ce sciss P e il secondo ornt P, il terzo quot P 3 Un sistem riferimento ssi crtesini ortogonli stbilisce quin un corrispondenz biunivoc tr i punti dello spzio e le terne ornte numeri reltivi Per incre che,, z sono le coornte del punto P si scrive P(,, z Quest corrispondenz biunivoc permette invidure i punti dello spzio mente terne numeri 4 I tre ssi,, z vidono il pino il otto regioni (triedri trirettngoli 5 L stnz ssolut d due punti A( 1, 1, z 1 e B(,, z nel pino è dt dll rce qudrt dell somm dei qudrti delle fferenz delle coornte omonime dei due punti: ( + ( + ( z d 1 1 z1

3 Introduzione lle geometri nlitic pin 1 L geometri nlitic è quell prte dell mtemtic che stu e deduce le proprietà certi luoghi geometrici mente il clcolo lgebrico, cioè mente un metodo nlitico L geometri rzionle, l contrrio, us per indgre sulle figure geometriche un metodo sintetico che consiste nel dedurre tli proprietà prtire d lcune ipotesi, mente rgionmenti che si sviluppno ll interno dell geometri stess Si ce luogo geometrico pino l insieme tutti e soli i punti del pino che godono un dt proprietà 3 Ogni proprietà crtteristic dei punti un luogo geometrico può essere trdott in un relzione lgebric tr l sciss e l ornt dei punti P(, del luogo geometrico, ossi in un equzione del tipo (, che deve essere sodsftt dlle coornte dei punti del luogo e soltnto d esse L equzione (, si ce equzione del luogo Nei csi più comuni l equzione del luogo mmette infinite soluzioni e il luogo h infiniti punti che costituiscono il grmm o l curv rppresenttiv dell equzione 4 Un curv si ce curv lgebric se ess è rppresentt d un equzione lgebric 5 Se l equzione (, è un polinomio primo grdo in e : + b + c, esso rppresent un rett purché non si b 6 Se l equzione (, è un polinomio secondo grdo in e : + b + c + d + e + f, esso rppresent, se h soluzioni, un conic, ossi un circonferenz, un ellisse, un prbol, un iperbole o un form degenere queste curve 7 Tli curve si ottengono sezionndo un cono circolre rett due flde con un pino: si ottiene l ellisse tglindo l superficie conic con un pino che incontri, su un sol fld, tutte le genertrici dell superficie; se tle pino è perpencolre ll sse dell superficie conic si ottiene un circonferenz; b si ottiene l prbol tglindo l superficie conic con un pino che incontri, su un sol fld, tutte le genertrici dell superficie trnne un; c si ottiene l iperbole tglindo l superficie conic con un pino che incontri, su mbedue le flde, tutte le genertrici dell superficie trnne due 8 Se un curv è chius può essere rppresentt solmente d un funzione in form implicit 9 Si P(, un punto intersezione tr due curve 1 e rppresentte rispettivmente dlle equzioni 1(, e (, (, è soluzione del sistem 1(, Il sistem è: (, 1 grdo se 1 e sono rette; b grdo se 1 è un rett e un conic, o vicevers; c 4 grdo se 1 e sono coniche; Le curve 1 e vrnno tnti punti intersezioni qunte sono le soluzioni reli questo sistem, minori o uguli l grdo del sistem 1 In generle, un curv lgebric si ce orne n, se n è il mssimo numero punti che ess può vere in comune con un rett generic del pino

4 Trsformzioni geometriche nel pino crtesino 1 Si ce che un sistem XO Y è trslto rispetto l sistem O, se è stt effettut un trslzione τ che h portto l origine O nel punto O Se le coornte O nel sistem O sono O (, b, l relzione X + tr le coornte un generico punto P nel sistem O e nel sistem XOY è τ (trslzione Y + b 1 X rett, o, che è lo stesso, τ (trslzione invers Y b Si dt un curv rppresentt nel sistem O dll equzione in form esplicit f( o in form implicit (, L rppresentzione nel sistem trslto XOY quest curv si ottiene trsformndo X + l equzione nell form Y g(x o G(X, Y mente le formule τ Y + b 3 Si ce che un sistem XOY è ruotto rispetto l sistem O, se è stt effettut un rotzione ρ che h portto gli ssi e coincidere con le rette orientte X e Y pssnti con origine comune O ruotte dello stesso ngolo α rispetto e L relzione tr le coornte un generico punto P nel sistem X cosα Y senα O e nel sistem XOY è ρ (rotzione rett, o, che è lo stesso, X senα + Y cosα 1 X cosα + senα ρ (rotzione invers Y senα + cosα 4 Si dt un curv rppresentt nel sistem O dll equzione in form esplicit f( o in form implicit (, L rppresentzione nel sistem ruotto XOY quest curv si ottiene trsformndo X cosα Y senα l equzione nell form Y g(x o G(X, Y mente le formule ρ X senα + Y cosα 5 Considerimo un generic curv equzione (, Se l sostituzione ssocit ll simmetri rispetto ll sse lsci inltert l su equzione, cioè se (-, (,, llor l curv è simmetric rispetto ll sse L sse è l sse simmetri Nel cso in cui l equzione si esplicitbile nell form f(, llor è l curv è il grmm un funzione pri 6 Considerimo un generic curv equzione (, Se l sostituzione ssocit ll simmetri rispetto ll sse lsci inltert l su equzione, cioè se (, - (,, llor l curv è simmetric rispetto ll sse L sse è l sse simmetri In questo cso l equzione non è esplicitbile nell form f( 7 Considerimo un generic curv equzione (, Se l sostituzione ssocit ll simmetri rispetto ll sse lsci inltert l su equzione, cioè se (-, - (,, llor l curv è simmetric rispetto ll origine L origine O è il centro simmetri Nel cso in cui l equzione si esplicitbile nell form f(, llor è l curv è il grmm un funzione spri 8 Si σ C l simmetri centrle centro C(,, che trsform un punto P(, in un punto P (, in modo che C si il punto meo PP L espressione nlitic σ C è σ C 9 Considerimo un generic curv equzione (, Per ottenere l equzione dell curv C simmetric rispetto l punto C(, bst effetture nell equzione l sostituzione, che

5 è l sostituzione ssocit ll simmetri centro C(, : C C σ eq eq, (, ( Se quest sostituzione lsci inltert l equzione dell curv, ess è simmetric rispetto l punto C(,, che è detto centro simmetri dell curv 1 Si r un rett prllel ll sse i cui punti bbino tutti ornt q Si σ r l simmetri rispetto ll rett r, che trsform un punto P(, in un punto P (, L espressione nlitic σ r è q r σ 11 Considerimo un generic curv equzione (, Per ottenere l equzione dell curv r simmetric rispetto ll rett r prllel ll sse equzione q bst effetture nell equzione l sostituzione q, che è l sostituzione ssocit ll simmetri rispetto ll rett r: r r q q q σ eq eq, (, ( Se quest sostituzione lsci inltert l equzione dell curv, ess è simmetric rispetto ll rett r, che è dett sse simmetri dell curv 1 Si s un rett prllel ll sse i cui punti bbino tutti ornt p Si σ s l simmetri rispetto ll rett s, che trsform un punto P(, in un punto P (, L espressione nlitic σ s è p s σ 13 Considerimo un generic curv equzione (, Per ottenere l equzione dell curv s simmetric rispetto ll rett s prllel ll sse equzione p bst effetture nell equzione l sostituzione p, che è l sostituzione ssocit ll simmetri rispetto ll rett s: s s p p p σ eq eq, (, ( Se quest sostituzione lsci inltert l equzione dell curv, ess è simmetric rispetto ll rett s, che è dett sse simmetri dell curv L rett 1 L sse delle scisse è rppresentto dll equzione L sse delle ornte è rppresentto dll equzione 3 Un rett prllel ll sse delle scisse stnz q d esso h equzione q 4 Un rett prllel ll sse delle ornte stnz p d esso h equzione p 5 Un rett pssnte per l origine h equzione m, dove m si ce coefficiente ngolre dell rett (o prmetro rettivo ed è tnto mggiore qunto mggiore è l pendenz dell rett 6 L rett equzione è l bisettrice del primo-terzo qudrnte L rett equzione - è l bisettrice del secondo-qurto qudrnte 7 Un rett generic del pino h equzione in form esplicit m + q, dove m è il coefficiente ngolre dell rett e q è l ornt ll origine, intersezione dell rett con l sse delle ornte

6 8 Conzione necessri e sufficiente perché due rette, non prllele ll sse delle ornte, sino prllele, è che bbino ugule coefficiente ngolre 9 Conzione necessri e sufficiente perché due rette, non prllele gli ssi, sino perpencolri, è che i due coefficienti ngolri sino l uno l opposto del reciproco dell ltro 1 L equzione + b + c è tt rppresentre, l vrire dei coefficienti, b, c reli, qulsisi rett del pino, ed è dett equzione generle dell rett o nche equzione dell rett in form implicit Il coefficiente c è detto termine noto Per b si h coefficiente ngolre m e ornt ll origine b c c q Per b l equzione è, ossi un prllel dell sse delle ornte b 11 L equzione m + k, k R, rppresent un fscio improprio rette non prllele ll sse qulor pensi m fisso e k vribile L rett pssnte per l origine (k si ce rett bse del fscio Un fscio rette prllele ll sse h per equzione k 1 L equzione m(, dove m è il coefficiente ngolre vribile in R, rppresent un fscio proprio rette centro C(,, con esclusione dell prllel ll sse Per vere l totlità delle rette pssnti per C bst porre l equzione in form implicit, ( + b(,, b R 13 Se nell equzione del fscio rette proprio pssnte per un punto si consider m fisso, l stess equzione m( rppresent l rett pssnte per il punto (, e vente un ssegnto coefficiente ngolre m 14 Il coefficiente ngolre dell rett, non prllel ll sse, pssnte per due punti dti si ottiene come rpporto tr l fferenz delle ornte dei due punti e l fferenz delle corrispondenti scisse: 1 m 1 15 Sino P(1, 1 e Q(, due punti tli che l rett PQ non si prlell d lcuno degli ssi: 1 1 l equzione dell rett pssnte per i due punti dti è 16 Se un rett intersec rispettivmente gli ssi e nei punti P(p, e Q(, q, p e q si cono intercette ll origine rispettivmente sull sse e L equzione + p q 1 è dett equzione segmentri dell rett 17 L stnz un punto d un rett equzione + b + c si ottiene sostituendo nel primo membro dell equzione dell rett l posto e le coornte e del punto e videndo il vlore ssoluto del risultto ottenuto per l rce qudrt dell somm dei qudrti dei coefficienti e + b + c nell equzione stess: d + b 18 L sse un segmento estremi A( 1, 1 e B(,, cioè il luogo dei punti equistnti dgli estremi A e B, h equzione ( 1 + ( 1 ( + ( 19 L bisettrice degli ngoli formti d due rette incidenti equzioni rispettivmente + b + c e + b + c, cioè il luogo dei punti equistnti dlle due rette dte, h equzione + b + c + b + c ± + b + b b Dte due rette r e s equzione r + b + c e s + b + c,, incidenti nel b punto C(,, l loro combinzione linere + b + c + k( + b + c essendo k un prmetro 1 1

7 rele rppresent un fscio proprio rette centro C(,, generto d r e s, con esclusione dell rett s Le rette r e s sono dette rette bsi e si chimno, rispettivmente, prim genertrice e second genertrice Se si vogliono rppresentre tutte le rette pssnti per C, compres s, bisogn ricorrere due prmetri: k 1( + b + c + k ( + b + c Le coniche 1 Un qulsisi equzione lgebric grdo in e del tipo + b + c + d + e + f, se h soluzioni reli, rppresent un conic, eventulmente degenere, e in prticolre, detto b 4c il scriminnte dell conic, si h: per < un ellisse o un circonferenz; b per un prbol; c per > un iperbole L equzione un conic si ce in form normle o cnonic qundo gli ssi simmetri dell curv sono prlleli gli ssi e del sistem riferimento In questo cso l equzione mnce del termine rettngolre in 3 Per determinre l ngolo rotzione α degli ssi simmetri un generic conic rispetto gli ssi e è sufficiente pplicre ll equzione dell conic un rotzione 1 X cosα + senα ρ e determinre α in modo che il termine rettngolre risulti nullo Y senα + cosα L circonferenz 1 L circonferenz è il luogo dei punti del pino equistnti d un punto fisso detto centro L equzione un circonferenz centro C(, e rggio r è ( + ( r, che può nche essere scritt nell form normle o cnonic + + α + β +, dove α -, β -, + r α β 3 Vicevers, ogni equzione del tipo + + α + β + con + > rppresent un 4 4 α β circonferenz rele non degenere con centro C, e rggio α β r + Se 4 4 α 4 β + 4 l circonferenz h rggio nullo e si ce degenere nel suo centro 4 Per trovre le intersezioni un circonferenz con un rett del suo pino, bst risolvere il sistem + + α + β + secondo grdo formto dlle loro equzioni: Se le due soluzioni sono reli e + b + c stinte, l rett è secont l circonferenz; se le due soluzioni sono reli e coincidenti, l rett è tngente ll circonferenz; se le soluzioni non sono reli, l rett è estern ll circonferenz 5 Per trovre le intersezioni due circonferenze, bst risolvere il sistem qurto grdo formto dlle + + α + β + loro equzioni: Se le due circonferenze non sono concentriche (α α β + + α + β + β, sottrendo membro membro le due equzioni si ottiene il sistem equivlente

8 + + α + β + che rppresent le intersezioni dell prim circonferenz con l rett ( α α + ( β β + equzione (α α + (β β +, dett sse rcle delle due circonferenze Quest rett congiunge i due punti intersezione se le due circonferenze sono secnti, oppure è l tngente comune lle due circonferenze se sono tngenti (internmente o esternmente 6 Dte due circonferenze δ e δ non concentriche equzione δ + + α + β + e δ + + α + β +, l loro combinzione linere + + α + β + + k( + + α + β + essendo k un prmetro rele rppresent un fscio circonferenze, generto d δ e δ, con esclusione dell circonferenz δ Per k -1 l equzione si riduce ll equzione dell sse rcle δ e δ, che si conviene considerre come l equzione degenenere del fscio con rggio infinito Le intersezioni A e B delle circonferenze δ e δ genertrici del fscio sono dette punti bse del fscio Se si vogliono rppresentre tutte le circonferenze del fscio, compres δ, bisogn ricorrere due prmetri: k 1( + + α + β + + k ( + + α + β + L prbol 1 L prbol è il luogo geometrico dei punti del pino equistnti d un punto fisso (detto fuoco e d un rett dt d (dett rettrice L rett pssnte per il fuoco e perpencolre ll rettrice è l sse simmetri dell prbol 3 L intersezione dell prbol con il suo sse simmetri è il vertice dell prbol 4 L equzione un prbol vertice V(, e sse simmetri prllel ll sse è + b + c, dove b -, c + Se si consider vribile, quest equzione è quell un fscio prbole tutte con sse simmetri prllelo ll sse e vertice in V(, 5 Vicevers, ogni equzione secondo grdo del tipo + b + c rppresent un prbol con sse simmetri prllelo ll sse 6 Le coornte del vertice V un prbol equzione + b + c con sse simmetri prllelo ll sse sono b b 4c V, 4 7 Le coornte del fuoco un prbol equzione + b + c con sse simmetri prllelo ll sse sono b 1 b 4c, L equzione dell sse un prbol equzione + b + c con sse simmetri prllelo ll sse è b 9 L equzione dell rettrice d un prbol equzione + b + c con sse simmetri prllelo ll sse è 1 b 4c Il segno determin l concvità dell prbol: per > l prbol volge l concvità verso l lto; b per < l prbol volge l concvità verso il bsso; c per si h un prbol degenere (rett coincidente con l rettrice

9 11 Due prbole con sse simmetri prllelo ll sse sono congruenti se hnno ugule, nelle loro equzioni scritte nell form + b + c, il vlore ssoluto del coefficiente (coefficiente pertur 1 Per trovre le intersezioni un prbol con un rett del suo pino, bst risolvere il sistem + b + c secondo grdo formto dlle loro equzioni: Se le due soluzioni sono reli e stinte, m + q l rett è secont l prbol; se le due soluzioni sono reli e coincidenti, l rett è tngente ll prbol; se le soluzioni non sono reli, l rett è estern ll prbol Se l rett è prllel ll sse, cioè ll sse simmetri dell prbol ( h, l rett intersec l prbol in un solo punto 13 Dte due prbole e non concentriche equzione in form implicit b c e b c, l loro combinzione linere b c + k( b c essendo k un prmetro rele rppresent un fscio prbole, generto d e, con esclusione dell circonferenz Le intersezioni A e B delle prbole e genertrici del fscio sono dette punti bse del fscio Se si vogliono rppresentre tutte le circonferenze del fscio, compres, bisogn ricorrere due prmetri: k 1( b c + k ( b c Per k -1 l equzione si riduce ll equzione delle rette prllele ll sse pssnti per A e per B (l prbol degenere è costituit dll unione queste due rette, mentre per k l equzione si riduce ll equzione dell rett ' pssnte per A e B 14 Se A( 1, 1 e B(, sono due punti con 1 e m + q è l equzione dell rett che li congiunge, llor l equzione m + q + k( 1( rppresent il fscio prbole con sse simmetri prllelo ll sse vente A e B come punti bse L ellisse 1 L ellisse è il luogo dei punti un pino per i quli è costnte l somm delle stnze d due punti fissi detti fuochi Sino 1 e i due fuochi dell ellisse Il punto meo del segmento 1 si ce centro C dell ellisse L stnz tr i due fuochi si ce stnz focle (si chim semistnz focle l stnz c un vertice dl centro Le intersezioni A 1 e A dell ellisse con l rett che contiene i due fuochi 1 e si cono vertici dell ellisse Il segmento A 1A che congiunge i vertici si chim sse mggiore dell ellisse Il segmento B 1B congiungente le intersezioni B 1 e B dell ellisse con l sse dell sse mggiore pssnte per il centro dell ellisse si ce sse minore dell ellisse Le misure e b dei segmenti CA 1 e CB 1 si cono semissi dell ellisse L somm costnte delle stnze un punto dell ellisse due fuochi è pri l stnz tr uno dei fuochi e il centro si inc con c (semistnz focle 3 Si ce eccentricità e un ellisse il rpporto, minore dell unità, tr l semistnz focle c e il semisse c mggiore : e 4 L equzione in form normle o cnonic un ellisse con centro in C(, con sse mggiore ( ( prllelo ll sse è + 1 L equzione dell ellisse con sse mggiore prllelo b ll sse può essere sviluppt nell form m + n + p + q + r, con m b, n, p b, q -, r b + b p q 5 Ogni equzione del tipo m + n + p + q + r, con m e n non nulli e concor e s + r 4m 4n concorde con m e n, rppresent un ellisse con gli ssi simmetri prlleli gli ssi coornti e p q centro C, s s e semissi e b Se > b l sse mggiore è prllelo ll sse ; m n m n

10 per < b l sse mggiore è prllelo ll sse Per s l equzione rppresent un ellisse degenere nel suo centro 6 L semistnz focle c è legt i semissi dell ellisse dll relzione c b Per c si h un circonferenz rggio 7 Per le posizioni reciproche tr un rett e un ellisse vlgono le stesse considerzioni ftte per le posizioni reciproche tr un rett e un circonferenz L iperbole 1 L iperbole è il luogo dei punti del pino per i quli è costnte l fferenz delle stnze d due punti fissi detti fuochi Sino 1 e i due fuochi dell iperbole Il punto meo del segmento 1 si ce centro C dell iperbole L stnz tr i due fuochi si ce stnz focle (si chim semistnz focle l stnz c un vertice dl centro Le intersezioni A 1 e A dell iperbole con l rett che contiene i due fuochi 1 e si cono vertici dell iperbole Il segmento A 1A che congiunge i vertici si chim sse trsverso dell iperbole, come l rett cui esso pprtiene Si inc con l lunghezz del segmento CA 1 che congiunge il centro con uno dei vertici Le tngenti ll iperbole nei due vertici delimitno un strisci del pino lrghezz che non contiene punti dell iperbole L iperbole è quin costituit d due rmi 3 Esistono due rette pssnti per il centro dell iperbole che non intersecno l iperbole, m si vvicinno d ess indefinitmente mn mno che ci si llontn dll origine Tli rette si chimno sintoti dell iperbole L sse dell sse trverso pssnte per il centro, come il segmento B 1B che su esso congiunge le intersezioni B 1 e B delle congiungenti le intersezioni degli sintoti con le tngenti ll iperbole nei suoi vertici, si chim sse non trsverso dell iperbole Si inc con b l lunghezz del segmento CB 1 che congiunge il centro con il punto B 1 4 Si ce eccentricità e un iperbole il rpporto, mggiore dell unità, tr l semistnz focle c e il semisse trsverso : e c 5 L equzione in form normle o cnonic un iperbole con centro in C(, con ssi simmetri ( ( prlleli gli ssi coornti è ± 1 Se si prende il segno più l secondo membro b si h l equzione un iperbole con sse trsverso prllelo ll sse ; se si prende il segno meno l secondo membro si h l equzione un iperbole con sse trsverso prllelo ll sse L equzione dell ellisse con ssi simmetri prlleli gli ssi coornti può essere sviluppt nell form m + n + p + q + r 6 Ogni equzione del tipo m + n + p + q + r, con m e n non nulli e scor, rppresent p q un iperbole con gli ssi simmetri prlleli gli ssi coornti e centro C, e semissi m n s e m s b p q, dove s + r n 4m 4n Se s è concorde con m l sse trsverso è prllelo ll sse ; per s scorde d m l sse trsverso è prllelo ll sse Per s l equzione rppresent un ellisse degenere in un coppi rette coincidenti con i suoi sintoti 7 L semistnz focle c è legt i semissi dell iperbole dll relzione c + b 8 Le equzioni dei due sintoti dell iperbole centro C(, e semissi e b sono ( ± ( b 9 Per le posizioni reciproche tr un rett e un ellisse vlgono le stesse considerzioni ftte per le posizioni reciproche tr un rett e un prbol

11 1 Se le lunghezze e b dei due semissi dell iperbole sono uguli, l iperbole si ce equilter Gli sintoti un iperbole equilter sono perpencolri 11 L equzione un iperbole equilter con sintoti coincidenti con gli ssi crtesini è k + b 1 L funzione equzione dove, b, c, d sono numeri ssegnti, si ce funzione c + d omogrfic Per c e D d bc l funzione omogrfic rppresent un iperbole equilter con d centro C, e sintoti prlleli gli ssi coornti c c Coornte polri nel pino 1 issto un punto O nel pino detto polo; b un semirett O, dett sse polre, vente origine nel punto O; c un verso positivo delle rotzioni intorno l polo e d un unità misur U per i segmenti; risult stbilito un sistem coornte polri L stnz d un punto P del pino dl polo si ce modulo o rggio vettore P; l ngolo θ cui l sse polre deve ruotre per sovrpporsi l segmento OP si ce nomli o ngolo rezione P Il rggio vettore d e l nomli θ costituiscono le coornte polri P 3 Le trsformzioni dlle coornte polri un punto P lle sue coornte crtesine sono P d cos θ, P d sen θ 4 Le trsformzioni dlle coornte crtesine un punto P ll sue coornte polri sono d + cosθ, senθ + +, 5 Si dt un rett r; inchimo con α l ngolo che l normle r condott dl polo O form con l sse polre, e con l stnz del polo dll rett r L equzione dell rett r in coornte polri è llor d cos α θ ( 6 Si dt un circonferenz rggio r Se il polo del sistem coornte polri è un punto dell circonferenz, l equzione dell circonferenz in coornte polri è d r cos θ Se il polo del sistem coornte polri è il centro dell circonferenz, l equzione dell circonferenz in coornte polri è d r

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2002 Sessione straordinaria ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT 00 Sessione strordinri Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PRBLEMA Con riferimento un sistem monometrico

Dettagli

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica

Nome.Cognome classe 5D 18 Marzo 2014. Verifica di matematica Nome Cognome cls 5D 18 Mrzo 01 Problem Verific di mtemtic In un sistem di riferimento crtesino Oy, si consideri l funzione: ln f ( > 0 0 e si determini il vlore del prmetro rele in modo tle che l funzione

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio di dimetro OA,

Dettagli

Università degli studi di Cagliari CORSO ANALISI II A.A. 2007/2008. Rappresentazione delle CONICHE e QUADRICHE

Università degli studi di Cagliari CORSO ANALISI II A.A. 2007/2008. Rappresentazione delle CONICHE e QUADRICHE Università degli studi di Cgliri CORSO ANALISI II A.A. 007/008 Rppresentzione delle CONICHE e QUADRICHE Rppresentzione delle CONICHE Generlità Si definiscono coniche le curve pine risultto dell intersezione

Dettagli

Liceo Scientifico Sperimentale anno 2002-2003 Problema 1 Bernardo Pedone. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI anno 2002-2003

Liceo Scientifico Sperimentale anno 2002-2003 Problema 1 Bernardo Pedone. ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI anno 2002-2003 Liceo Scientifico Sperimentle nno - Problem Bernrdo Pedone ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE PNI nno - PROBLEMA Nel pino sono dti: il cerchio γ di dimetro OA =, l rett t tngente γ

Dettagli

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n.

AUTOVALORI ED AUTOVETTORI. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita n. AUTOVALORI ED AUTOVETTORI Si V uno spzio vettorile di dimensione finit n. Dicesi endomorfismo di V ogni ppliczione linere f : V V dello spzio vettorile in sé. Se f è un endomorfismo di V in V, considert

Dettagli

3. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (Ref p.14)

3. Funzioni iniettive, suriettive e biiettive (Ref p.14) . Funzioni iniettive, suriettive e iiettive (Ref p.4) Dll definizione di funzione si ricv che, not un funzione y f( ), comunque preso un vlore di pprtenente l dominio di f( ) esiste un solo vlore di y

Dettagli

30 quesiti. 1 Febbraio 2011. Scuola... Classe... Alunno... Copyright 2011 Zanichelli Editore SpA, Bologna

30 quesiti. 1 Febbraio 2011. Scuola... Classe... Alunno... Copyright 2011 Zanichelli Editore SpA, Bologna verso LA RILEVAZIONE INVALSI SCUOLA SECONDARIA DI secondo GRADO PROVA DI Mtemtic 30 quesiti Febbrio 0 Scuol... Clsse... Alunno... e b sono numeri reli che verificno quest uguglinz: Qunto vle il loro prodotto?

Dettagli

Maturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001

Maturità scientifica, corso di ordinamento, sessione ordinaria 2000-2001 Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone Mturità scientific, corso di ordinmento, sessione ordinri 000-001 PROBLEMA 1 Si consideri l seguente relzione tr le vribili reli x, y: 1 1 1 +

Dettagli

Esercizi della 8 lezione sulla Geomeria Linere ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA ESERCIZI SULLA PARABOLA ESERCIZI SULL' ELLISSE ERCIZI SULL' IPERBOLE

Esercizi della 8 lezione sulla Geomeria Linere ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA ESERCIZI SULLA PARABOLA ESERCIZI SULL' ELLISSE ERCIZI SULL' IPERBOLE Eserizi dell lezione sull Geomeri Linere ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA ESERCIZI SULLA PARABOLA ESERCIZI SULL' ELLISSE ES ERCIZI SULL' IPERBOLE ESERCIZI SULLA CIRCONFERENZA. Determinre l equzione dell ironferenz

Dettagli

COME SOPRAVVIVERE ALLA MATEMATICA. 1. La funzione matematica e la sua utilità in economia

COME SOPRAVVIVERE ALLA MATEMATICA. 1. La funzione matematica e la sua utilità in economia COME SOPRAVVIVERE ALLA MATEMATICA di Giuli Cnzin e Dominique Cppelletti Come potrete notre inoltrndovi nel corso di Introduzione ll economi, l interpretzione dell teori economic non presuppone conoscenze

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2005 Sessione suppletiva

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2005 Sessione suppletiva ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 005 Sessione suppletiv Il cndidto risolv uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si rticol il questionrio. PROBLEMA Sono dti un pirmide

Dettagli

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito.

Integrali de niti. Il problema del calcolo di aree ci porterà alla de nizione di integrale de nito. Integrli de niti. Il problem di clcolre l re di un regione pin delimitt d gr ci di funzioni si può risolvere usndo l integrle de nito. L integrle de nito st l problem del clcolo di ree come l equzione

Dettagli

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x).

Siano α(x), β(x) due funzioni continue in un intervallo [a, b] IR tali che. α(x) β(x). OMINI NORMALI. efinizione Sino α(), β() due funzioni continue in un intervllo [, b] IR tli che L insieme del pino (figur 5. pg. ) α() β(). = {(, ) [, b] IR : α() β()} si chim dominio normle rispetto ll

Dettagli

La parabola. Fuoco. Direttrice y

La parabola. Fuoco. Direttrice y L prol Definizione: si definise prol il luogo geometrio dei punti del pino equidistnti d un punto fisso detto fuoo e d un rett fiss dett direttrie. Un rppresentzione grfi inditiv dell prol nel pino rtesino

Dettagli

5 Geometria analitica

5 Geometria analitica 58 Formulrio di mtemtic 5 eometri nlitic 5.1 Punti e rett distnz di due punti d ( ) + ( y y ) 1 1 distnz tr due punti con ugule sciss d y y1 distnz tr due punti con ugule ordint d 1 punto medio di un segmento

Dettagli

VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE

VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE VERSO L ESAME DI STATO LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE Soluzioni di quesiti e prolemi trtti dl Corso Bse Blu di Mtemti volume 5 [] (Es. n. 8 pg. 9 V) Dell prol f ( ) si hnno le seguenti informzioni, tutte

Dettagli

APPLICAZIONI LINEARI e MATRICI ASSOCIATE

APPLICAZIONI LINEARI e MATRICI ASSOCIATE APPLICAZIONI LINEARI e MATRICI ASSOCIATE Dt un ppliczione f: V W con V e W spzi vettorili si dice che f è un ppliczione linere o omomorfismo f(v + v 2 ) = f(v ) + f(v 2 ) v, v 2 V f(αv) = α f(v) v V e

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile

Corso di Analisi Matematica Calcolo integrale per funzioni di una variabile Corso di Anlisi Mtemtic Clcolo integrle per funzioni di un vribile Lure in Informtic e Comuniczione Digitle A.A. 2013/2014 Università di Bri ICD (Bri) Anlisi Mtemtic 1 / 40 1 L integrle come limite di

Dettagli

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x

si definisce Funzione Integrale; si chiama funzione integrale in quanto il suo * x Appunti elorti dll prof.ss Biondin Gldi Funzione integrle Si y = f() un funzione continu in un intervllo [; ] e si 0 [; ]; l integrle 0 f()d si definisce Funzione Integrle; si chim funzione integrle in

Dettagli

Esercizi sulle curve in forma parametrica

Esercizi sulle curve in forma parametrica Esercizi sulle curve in form prmetric Esercizio. L Elic Cilindric. Dt l curv di equzioni prmetriche: xt cos t yt sin t t 0 T ] > 0 b IR zt bt trovre: versore tngente normle binormle vettore curvtur rggio

Dettagli

Equazioni parametriche di primo grado

Equazioni parametriche di primo grado Polo Sivigli Equzioni prmetriche di primo grdo Premess Come si s dll lgebr elementre, si chim equzione un uguglinz fr due espressioni letterli che si verific soltnto ttribuendo prticolri vlori lle lettere,

Dettagli

" Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6

 Osservazione. 6.1 Integrale indefinito. R Definizione (Primitiva) E Esempio 6.1 CAPITOLO 6 CAPITOLO 6 Clcolo integrle 6. Integrle indefinito L nozione fondmentle del clcolo integrle è quell di funzione primitiv di un funzione f (). Tle nozione è in qulche modo speculre ll nozione di funzione

Dettagli

Elementi grafici per Matematica

Elementi grafici per Matematica Elementi grfici per Mtemtic Sommrio: Sistemi di coordinte crtesine... Grfici di funzioni... 4. Definizione... 4. Esempi... 5.3 Verificre iniettività e suriettività dl grfico... 8.4 L rett... 9.5 Esempi

Dettagli

I Teoremi di Green, della divergenza (o di Gauss) e di Stokes

I Teoremi di Green, della divergenza (o di Gauss) e di Stokes I Teoremi di Green, dell divergenz o di Guss e di Stokes In R Si un sottoinsieme limitto di R semplice rispetto d entrmbi gli ssi crtesini con costituit dll unione di un numero finito di sostegni di curve

Dettagli

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma

INTEGRALI IMPROPRI. f(x) dx. e la funzione f(x) si dice integrabile in senso improprio su (a, b]. Se tale limite esiste ma INTEGRALI IMPROPRI. Integrli impropri su intervlli itti Dt un funzione f() continu in [, b), ponimo ε f() = f() ε + qundo il ite esiste. Se tle ite esiste finito, l integrle improprio si dice convergente

Dettagli

Macchine elettriche in corrente continua

Macchine elettriche in corrente continua cchine elettriche in corrente continu Generlità Può essere definit mcchin un dispositivo che convert energi d un form un ltr. Le mcchine elettriche in prticolre convertono energi elettric in energi meccnic

Dettagli

( x) a) La simmetrica della parabola rispetto all origine è tale che: La parabola di equazione y = x + ax a ha vertice V = = mentre la parabola y S

( x) a) La simmetrica della parabola rispetto all origine è tale che: La parabola di equazione y = x + ax a ha vertice V = = mentre la parabola y S Sessione ordinri 996 Liceo di ordinmento Soluzione di De Ros Nicol ) In un pino, riferito d un sistem di ssi crtesini ortogonli (O), sono ssegnte le prbole di equzione:, dove è un numero rele positivo.

Dettagli

Lezione 7: Rette e piani nello spazio

Lezione 7: Rette e piani nello spazio Lezione 7: Rette e pini nello spzio In quest lezione i metteremo in un riferimento rtesino ortonormle dello spzio. I primi oggetti geometrii he individuimo sono le rette e i pini. Per qunto rigurd le rette

Dettagli

lim lim lim + Nome.Cognome Classe 4D 7 Aprile 2011 Verifica di matematica Problema (punti 3) Sono date le funzioni: f ( x)

lim lim lim + Nome.Cognome Classe 4D 7 Aprile 2011 Verifica di matematica Problema (punti 3) Sono date le funzioni: f ( x) Nome.Cognome Clsse D 7 Aprile 0 Verific di mtemtic Problem (punti ) Sono dte le funzioni: f ( ) =, g ( ) = ( ) ) determinre il dominio di f() e di g() b) determinre, senz l uso dell clcoltrice f ( ) c)

Dettagli

Stabilità dei sistemi di controllo in retroazione

Stabilità dei sistemi di controllo in retroazione Stbilità dei sistemi di controllo in retrozione Criterio di Nyquist Il criterio di Nyquist Estensione G (s) con gudgno vribile Appliczione sistemi con retrozione positiv 2 Criterio di Nyquist Stbilità

Dettagli

( X, Y ) che danno un livello costante di utilità (curva di livello). Fissando per esempio il valore U 0 per

( X, Y ) che danno un livello costante di utilità (curva di livello). Fissando per esempio il valore U 0 per Funzioni di utilità (finlmente un po di geroglifici, dopo i grffiti) NB: non fte leggere queste pgine un mtemtico, ltrimenti mi msscr!. Definizione e proprietà Considerimo due eni e di interesse per un

Dettagli

Ing. Alessandro Pochì

Ing. Alessandro Pochì Dispense di Mtemtic clsse quint -Gli integrli Quest oper è distriuit con: Licenz Cretive Commons Attriuzione - Non commercile - Non opere derivte. Itli Ing. Alessndro Pochì Appunti di lezione svolti ll

Dettagli

L IPERBOLE. L iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi.

L IPERBOLE. L iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano per i quali è costante la differenza delle distanze da due punti fissi detti fuochi. prof.ss Cterin Vespi 1 Appunti di geometri nliti L IPERBOLE L iperole è il luogo geometrio dei punti del pino per i quli è ostnte l differenz delle distnze d due punti fissi detti fuohi. Sino F1 e F i

Dettagli

Problemi di massimo e minimo in Geometria Solida Problemi su poliedri. Indice dei problemi risolti

Problemi di massimo e minimo in Geometria Solida Problemi su poliedri. Indice dei problemi risolti Problemi di mssimo e minimo in Geometri olid Problemi su poliedri Indice dei problemi risolti In generle, un problem si riferisce un figur con crtteristice specifice (p.es., il numero dei lti dell bse)

Dettagli

1) In una equazione differenziale del tipo y (t)=a y(t), con a > 0, il tempo di raddoppio, cioè il tempo T tale che y(t+t)=2y(t) è:

1) In una equazione differenziale del tipo y (t)=a y(t), con a > 0, il tempo di raddoppio, cioè il tempo T tale che y(t+t)=2y(t) è: 1) In un equzione differenzile del tipo y (t)= y(t), con > 0, il tempo di rddoppio, cioè il tempo T tle che y(t+t)=y(t) è: A) T = B) 1 T = log e C) 1 T = log e ** D) 1 T = E) T = log e ) L equzione differenzile

Dettagli

Teoremi di geometria piana

Teoremi di geometria piana l congruenz teoremi sugli ngoli γ teorem sugli ngoli complementri Se due ngoli sono complementri di uno stesso ngolo α β In generle: Se due ngoli sono complementri di due ngoli congruenti α γ β teorem

Dettagli

Integrali curvilinei e integrali doppi

Integrali curvilinei e integrali doppi Integrli curvilinei e integrli doppi Integrli curvilinei di prim specie Prim di inizire l trttzione di questo rgomento dimo l definizione di curv. Per curv nello 3 3 spzio R intendimo un sottoinsieme di

Dettagli

-STRUTTURE DI LEWIS SIMBOLI DI LEWIS

-STRUTTURE DI LEWIS SIMBOLI DI LEWIS STRUTTURE DI LEWIS SIMBLI DI LEWIS ELETTRI DI VALEZA: sono gli elettroni del guscio esterno, i responsbili principli delle proprietà chimiche di un tomo e quindi dell ntur dei legmi chimici che vengono

Dettagli

Nome.Cognome. 18 Dicembre 2008 Classe 4G. VERIFICA di MATEMATICA

Nome.Cognome. 18 Dicembre 2008 Classe 4G. VERIFICA di MATEMATICA Nome.Cognome. 8 Dicembre 008 Clsse G VERIFICA di MATEMATICA A) Risolvi le seguenti disequzioni goniometriche sin ) sin + ) 0 6 tn cos + sin ) 0 (punti:0,5) ) tn + tn > 0 sin 5) sin > cos (punti: ) 6) sin

Dettagli

Appunti di Analisi Matematica 1

Appunti di Analisi Matematica 1 Appunti di Anlisi Mtemtic 1 MASTER IN ECONOMIA DIGITALE & e-business Centro per lo studio dei sistemi complessi Università di Sien Mrzo 2005 Prof. Polo Nistri Un funzione (o ppliczione) tr due insiemi

Dettagli

ELEMENTI GEOMETRIA ANALITICA SABO

ELEMENTI GEOMETRIA ANALITICA SABO ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA SABO COORDINATE CARTESIANE Ascisse dei Punti di un Rett Dt un rett orientt (verso di percorrenz positivo d sinistr verso destr per rette orizzontli; dl sso verso l lto per

Dettagli

Facoltà di Economia - Università di Sassari Anno Accademico 2004-2005. Dispense Corso di Econometria Docente: Luciano Gutierrez.

Facoltà di Economia - Università di Sassari Anno Accademico 2004-2005. Dispense Corso di Econometria Docente: Luciano Gutierrez. Fcoltà di Economi - Università di Sssri Anno Accdemico 2004-2005 Dispense Corso di Econometri Docente: Lucino Gutierrez Algebr Linere Progrmm: 1.1 Definizione di mtrice e vettore 1.2 Addizione e sottrzione

Dettagli

Introduciamo il concetto di trasformazione geometrica prendendo come esempio una rotazione.

Introduciamo il concetto di trasformazione geometrica prendendo come esempio una rotazione. Le trsformzioni geometriche ITL 7 TERI Letture llo specchio! Ingegni, ossesso, nilin: tre esempi di plindromi, ovvero di prole che si possono leggere si d sinistr verso destr, si d destr verso sinistr.

Dettagli

Titolazione Acido Debole Base Forte. La reazione che avviene nella titolazione di un acido debole HA con una base forte NaOH è:

Titolazione Acido Debole Base Forte. La reazione che avviene nella titolazione di un acido debole HA con una base forte NaOH è: Titolzione Acido Debole Bse Forte L rezione che vviene nell titolzione di un cido debole HA con un bse forte NOH è: HA(q) NOH(q) N (q) A (q) HO Per quest rezione l costnte di equilibrio è: 1 = = >>1 w

Dettagli

FUNZIONI MATEMATICHE. Una funzione lineare è del tipo:

FUNZIONI MATEMATICHE. Una funzione lineare è del tipo: FUNZIONI MATEMATICHE Le relzioni mtemtihe utilizzte per desrivere fenomeni nturli, in iologi ome in ltre sienze, possono ovvimente essere le più svrite. Per lo più si trtt di equzioni lineri, qudrtihe,

Dettagli

ESPONENZIALI E LOGARITMI

ESPONENZIALI E LOGARITMI ESPONENZIALI E LOGARITMI 1 se 0, per ogni R ; Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se >0: Sono definite: se >0: Non sono definite: Csi prticolri: Le proprietà delle

Dettagli

Salvatore Loris Pelella. Corso di. Matematica RCS LIBRI EDUCATION SPA

Salvatore Loris Pelella. Corso di. Matematica RCS LIBRI EDUCATION SPA Slvtore Loris Pelell Corso di Mtemtic RCS LIBRI EDUCATION SPA ISBN 88-45-084-3 004 RCS Libri S.p.A.- Milno Prim edizione: gennio 004 Ristmpe 004 005 006 3 4 5 Stmp: V. Bon, Torino Coordinmento editorile

Dettagli

ESPONENZIALI LOGARITMI

ESPONENZIALI LOGARITMI ESPONENZIALI LOGARITMI Prerequisiti: Conoscere e sper operre con potenze con esponente nturle e rzionle. Conoscere e sper pplicre le proprietà delle potenze. Sper risolvere equzioni e disequzioni. Sper

Dettagli

Vietata la pubblicazione, la riproduzione e la divulgazione a scopo di lucro.

Vietata la pubblicazione, la riproduzione e la divulgazione a scopo di lucro. Viett l pubbliczione, l riprouzione e l ivulgzione scopo i lucro. GA00001 Qul è l mpiezz ell ngolo che si ottiene ) 95 b) 275 c) 265 ) 5 b sottreno 85 un ngolo giro? GA00002 Due ngoli ll circonferenz che

Dettagli

La scelta di equilibrio del consumatore. Integrazione del Cap. 21 del testo di Mankiw 1

La scelta di equilibrio del consumatore. Integrazione del Cap. 21 del testo di Mankiw 1 M.Blconi e R.Fontn, Disense di conomi: 3) quilirio del consumtore L scelt di equilirio del consumtore ntegrzione del C. 21 del testo di Mnkiw 1 Prte 1 l vincolo di ilncio Suonimo che il reddito di un consumtore

Dettagli

Problemi di collegamento delle strutture in acciaio

Problemi di collegamento delle strutture in acciaio 1 Problemi di collegmento delle strutture in cciio Unioni con bulloni soggette tglio Le unioni tglio vengono generlmente utilizzte negli elementi compressi, quli esempio le unioni colonn-colonn soggette

Dettagli

www.scuolainweb.altervista.org Problemi di Fisica La Cinematica Moti unidimensionali Moti nel piano 1. Moti unidimensionali

www.scuolainweb.altervista.org Problemi di Fisica La Cinematica Moti unidimensionali Moti nel piano 1. Moti unidimensionali Problemi di Fisic Moti unidimensionli Moti nel pino. Moti unidimensionli Problem N. Rppresentre grficmente le seguenti leggi del moto rettilineo uniforme e commentrle: ) S 0 -t ) S 5t 3) S -0 + 3t 4) S

Dettagli

Equivalenza tra equazioni di Lagrange e problemi variazionali

Equivalenza tra equazioni di Lagrange e problemi variazionali Equivlenz tr equzioni di Lgrnge e problemi AM Cherubini 20 Aprile 2007 1 / 21 Problemi Mostrimo or come si possono ricvre sistemi di equzioni con struttur lgrngin in un mbito diverso: prim si er crtterizzt

Dettagli

8 Controllo di un antenna

8 Controllo di un antenna 8 Controllo di un ntenn L ntenn prbolic di un rdr mobile è montt in modo d consentire un elevzione compres tr e =2. Il momento d inerzi dell ntenn, Je, ed il coefficiente di ttrito viscoso, f e, che crtterizzno

Dettagli

Nome Cognome. Classe 1D 29 Novembre 2010 Verifica di Fisica formula Nome grafico

Nome Cognome. Classe 1D 29 Novembre 2010 Verifica di Fisica formula Nome grafico Noe Cognoe. Clsse D 9 Novebre 00 erific di Fisic forul Noe grfico Proporzionlità qudrtic invers = ) icordndo i possibili legi tr due grndezze,, coplet l seguente tbell ) Specific il significto dei prefissi

Dettagli

Teoria in sintesi ESPONENZIALI. Potenze con esponente reale. La potenza. Sono definite: Non sono definite: Casi particolari :

Teoria in sintesi ESPONENZIALI. Potenze con esponente reale. La potenza. Sono definite: Non sono definite: Casi particolari : Teori in sintesi ESPONENZIALI Potenze con esponente rele L potenz è definit: se >, per ogni R se, per tutti e soli gli R se

Dettagli

METTITI ALLA PROVA. b. Posto che a, b e c siano i valori trovati al punto precedente, calcola: lim fx ( ); lim fx ( ).

METTITI ALLA PROVA. b. Posto che a, b e c siano i valori trovati al punto precedente, calcola: lim fx ( ); lim fx ( ). Mettiti ll prov METTITI ALLA PROVA Limiti e continuità b - + c e, c Si dt l funzione f ( ) se $ 0! = * sin, con b,! R, c! R + se 0 Ricv i vlori di, b e c in modo tle che: f() si continu in = 0 ; lim f

Dettagli

Il lemma di ricoprimento di Vitali

Il lemma di ricoprimento di Vitali Il lemm di ricoprimento di Vitli Si I = {I} un fmigli di intervlli ciusi contenuti in R. Diremo ce l fmigli I ricopre l insieme E nel senso di Vitli (oppure ce I è un ricoprimento di Vitli di E) se per

Dettagli

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi

Il volume del cilindro è dato dal prodotto della superficie di base per l altezza, quindi Mtemtic per l nuov mturità scientific A. Bernrdo M. Pedone 3 Questionrio Quesito 1 Provre che un sfer è equivlente i /3 del cilindro circoscritto. r 4 3 Il volume dell sfer è 3 r Il volume del cilindro

Dettagli

Il Primo Principio della Termodinamica non fornisce alcuna indicazione riguardo ad alcuni aspetti pratici.

Il Primo Principio della Termodinamica non fornisce alcuna indicazione riguardo ad alcuni aspetti pratici. Il Primo Principio dell Termodinmic non fornisce lcun indiczione rigurdo d lcuni spetti prtici. l evoluzione spontne delle trsformzioni; non individu cioè il verso in cui esse possono vvenire. Pistr cld

Dettagli

I costi dell impresa. Litri di benzene per unità di tempo. Linea di isocosto

I costi dell impresa. Litri di benzene per unità di tempo. Linea di isocosto 7 I costi dell impres 7.1. Per l combinzione di equilibrio dei due input, si ved il grfico successivo. L pendenz dell line di isocosto e` pri ll opposto del rpporto tr i prezzi dei fttori: -10 = 2 = -5.

Dettagli

ACCADEMIA NAVALE. Syllabus POLIGRAFICO ACCADEMIA NAVALE LIVORNO

ACCADEMIA NAVALE. Syllabus POLIGRAFICO ACCADEMIA NAVALE LIVORNO ACCADEMIA NAVALE Sllbus POLIGRAFICO ACCADEMIA NAVALE LIVORNO PREFAZIIONE È noto che in tluni ordini dell scuol medi superiore l'insegnmento dell mtemtic non giunge sino ll'ultimo nno, in ltri, lo svolgimento

Dettagli

Il moto rettilineo uniformemente accelerato è un moto che avviene su una retta con accelerazione costante. a = costante

Il moto rettilineo uniformemente accelerato è un moto che avviene su una retta con accelerazione costante. a = costante Prof.. Di Muro Moto rettilineo uniformemente ccelerto ( m.r.u.. ) Il moto rettilineo uniformemente ccelerto è un moto che iene su un rett con ccelerzione costnte. Dll definizione di ccelerzione t t t t

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO A. S. 2014/ 2015

PROGRAMMA SVOLTO A. S. 2014/ 2015 A. S. 4/ Nome docente Borgn Giorgio Mteri insegnt Mtemtic Clsse Previsione numero ore di insegnmento IV G mnutenzione e ssistenz tecnic ore complessive di insegnmento settimne X 4 ore = ore Nome Ins. Tecn.

Dettagli

13. EQUAZIONI ALGEBRICHE

13. EQUAZIONI ALGEBRICHE G. Smmito, A. Bernrdo, Formulrio di mtemti Equzioni lgerihe F. Cimolin, L. Brlett, L. Lussrdi. EQUAZIONI ALGEBRICHE. Prinipi di equivlenz Si die identità un'uguglinz tr due espressioni ontenenti un o più

Dettagli

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) =

1 b a. f(x) dx. Osservazione 1.2. Se indichiamo con µ il valore medio di f su [a, b], abbiamo che. f(x) dx = µ(b a) = Note ed esercizi di Anlisi Mtemtic - (Fosci) Ingegneri dell Informzione - 28-29. Lezione del 7 novembre 28. Questi esercizi sono reperibili dll pgin web del corso ttp://utenti.unife.it/dmino.fosci/didttic/mii89.tml

Dettagli

ESERCIZI ESERCIZI. Test di autoverifica... 206 Prova strutturata conclusiva... 208 ESERCIZI

ESERCIZI ESERCIZI. Test di autoverifica... 206 Prova strutturata conclusiva... 208 ESERCIZI Indice cpitolo Insiemi ed elementi di logic... 7 8 Insiemi... Operzioni con gli insiemi... 8 Introduzione ll logic... 9 Connettivi e tvole di verità... Espressioni proposizionli... 0 Predicti e quntifictori...

Dettagli

Geometria analitica di base (prima parte)

Geometria analitica di base (prima parte) SAPERE Al termine di questo capitolo, avrai appreso: come fissare un sistema di riferimento cartesiano ortogonale il significato di equazione di una retta il significato di coefficiente angolare di una

Dettagli

MODALITA DIVALUTAZIONE DEGLI STUDENTI CON CARENZE NEL SECONDO QUADRIMESTRE ESITO SOSPESO MATEMATICA BIENNIO. Coordinatrice: Prof. ANTONINA CASTANIOTTO

MODALITA DIVALUTAZIONE DEGLI STUDENTI CON CARENZE NEL SECONDO QUADRIMESTRE ESITO SOSPESO MATEMATICA BIENNIO. Coordinatrice: Prof. ANTONINA CASTANIOTTO LICEO SCIENTICO STATALE LEONARDO DA VINCI GENOVA.s.04-5 MODALITA DIVALUTAZIONE DEGLI STUDENTI CON CARENZE NEL SECONDO QUADRIMESTRE ESITO SOSPESO MATEMATICA BIENNIO Coordintrice: Prof. ANTONINA CASTANIOTTO

Dettagli

Problemi e rappresentazione di problemi di geometria dello spazio - Claudio Cereda febbraio 2001 pag. 1

Problemi e rappresentazione di problemi di geometria dello spazio - Claudio Cereda febbraio 2001 pag. 1 Prolemi e rppresentzione di prolemi di geometri dello spzio - ludio ered ferio 00 pg. onvenzioni di disegno e di rppresentzione Nel corso dell trttzione si dotternno le seguenti convenzioni simoliche:

Dettagli

Febbraio 2014. PROGETTO: Studio di Architettura e Urbanistica Dott. Arch. Guido Leoni Via Affò, 4 - Parma - tel. 0521.233423

Febbraio 2014. PROGETTO: Studio di Architettura e Urbanistica Dott. Arch. Guido Leoni Via Affò, 4 - Parma - tel. 0521.233423 Comune di Poviglio Provinci di Reggio Emili Relzione illustrtiv dell Delierzione Consilire di pprovzione, dei coefficienti e prmetri di conversione che ssicurno l equivlenz tr le definizioni e le modlità

Dettagli

Introduzione all algebra

Introduzione all algebra Introduzione ll lgebr E. Modic ersmo@glois.it Liceo Scientifico Sttle S. Cnnizzro Corso P.O.N. Modelli mtemtici e reltà A.S. 2010/2011 Premess Codificre e Decodificre Nell vit quotidin ci cpit spesso di

Dettagli

CLASSI PRIME 2013/14

CLASSI PRIME 2013/14 LICEO SCIENTIFICO STATALE G.B. GRASSI CLASSI PRIME 2013/14 INDICAZIONI DI LAVORO PER LA SOSPENSIONE DEL GIUDIZIO IN FISICA Liceo scientifico e liceo delle scienze pplicte In relzione lle esigenze del secondo

Dettagli

Variazioni di sviluppo del lobo frontale nell'uomo

Variazioni di sviluppo del lobo frontale nell'uomo Istituto di Antropologi dell Regi Università di Rom Vrizioni di sviluppo del lobo frontle nell'uomo pel Dott. SERGIO SERGI Libero docente ed iuto ll cttedr di Antropologi. Il problem dei rpporti di sviluppo

Dettagli

La rappresentazione per elencazione consiste nell elencare tutte le coppie ordinate che verificano la relazione

La rappresentazione per elencazione consiste nell elencare tutte le coppie ordinate che verificano la relazione RELAZIONI E FUNZIONI Relzioni inrie Dti ue insiemi non vuoti e (he possono eventulmente oiniere), si ie relzione tr e un qulsisi legge he ssoi elementi elementi. L insieme A è etto insieme i prtenz. L

Dettagli

BOZZA. 1 2a S/2 S/2. Lezione n. 27. Le strutture in acciaio Le unioni bullonate Le unioni saldate

BOZZA. 1 2a S/2 S/2. Lezione n. 27. Le strutture in acciaio Le unioni bullonate Le unioni saldate Lezione n. 7 Le strutture in cciio Le unioni bullonte Le unioni sldte Unioni Le unioni nelle strutture in cciio devono grntire un buon funzionmento dell struttur e l derenz dell stess llo schem sttico

Dettagli

Acidi Deboli. Si definisce acido debole un acido con K a < 1 che risulta perciò solo parzialmente dissociato in soluzione. Esempi di acidi deboli:

Acidi Deboli. Si definisce acido debole un acido con K a < 1 che risulta perciò solo parzialmente dissociato in soluzione. Esempi di acidi deboli: Acidi Deboli Si definisce cido debole un cido con < 1 che risult perciò solo przilmente dissocito in soluzione. Esempi di cidi deboli: Acido cetico (H OOH) 1.75 1-5 Acido scorbico (vitmin ) 1 6.76 1-5.5

Dettagli

Antonella Greco, Rosangela Mapelli. E-Matematica. E-Book di Matematica per il triennio. Volume 1

Antonella Greco, Rosangela Mapelli. E-Matematica. E-Book di Matematica per il triennio. Volume 1 Antonell Greco, Rosngel Mpelli E-Mtemtic E-Book di Mtemtic per il triennio Volume COPIA SAGGIO Cmpione grtuito fuori commercio d esclusivo uso dei docenti Grmond 009 Tutti i diritti riservti Vi Tevere,

Dettagli

ELEMENTI DI STABILITA

ELEMENTI DI STABILITA tbilità Per stbilità di un nve si intende, in generle, l fcoltà di conservre l su posizione di equilibrio, cioè l su ttitudine resistere lle forze che tendono inclinrl e l cpcità di rddrizzrsi spontnemente

Dettagli

Il calcolo integrale: intro

Il calcolo integrale: intro Il clcolo integrle: intro Le ppliczioni del clcolo integrle sono svrite: esistono, inftti, molti cmpi, dll fisic ll ingegneri, dll iologi ll economi, in cui si f lrgo uso degli integrli. Per fornire l

Dettagli

Esercizi sulle serie di Fourier

Esercizi sulle serie di Fourier Esercizi sulle serie di Fourier Corso di Fisic Mtemtic,.. 3- Diprtimento di Mtemtic, Università di Milno Novembre 3 Sviluppo in serie di Fourier (esponenzile) In questi esercizi, si richiede di sviluppre

Dettagli

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008

ANALISI REALE E COMPLESSA a.a. 2007-2008 ANALISI REALE E COMPLESSA.. 2007-2008 1 Successioni e serie di funzioni 1.1 Introduzione In questo cpitolo studimo l convergenz di successioni del tipo n f n, dove le f n sono tutte funzioni vlori reli

Dettagli

CORSO DI RAGIONERIA A.A. 2013/2014

CORSO DI RAGIONERIA A.A. 2013/2014 CORSO DI RAGIONERIA A.A. 2013/2014 MODULO A LEZIONE N. 10 LE SCRITTURE CONTABILI Il lesing IL CONTRATTO DI LEASING Il lesing è un contrtto tipico (non previsto dl Codice Civile) per mezzo del qule l ziend

Dettagli

F (r(t)), d dt r(t) dt

F (r(t)), d dt r(t) dt Cmpi vettorili Un cmpo vettorile è un funzione vlori vettorili F : A R, con A R n, ove in questo cso l imensione el ominio e el coominio è l stess. F ( 1, 2,..., n ) (f 1 ( 1, 2,..., n ), f 2 ( 1, 2,...,

Dettagli

10. Completare la seguente tabella, in cui sono riportate le produzioni assolute e relative di tre colture altamente diffuse in Italia.

10. Completare la seguente tabella, in cui sono riportate le produzioni assolute e relative di tre colture altamente diffuse in Italia. ESERCIZI DI BASE 1. I soci proprietri di un piccol compgni gricol sono tre: i signori A, B, C. Mentre i signori A e C hnno l stess quot di prtecipzione ll ziend, il signor B h solo il 50% dell quot degli

Dettagli

Operazioni sulle Matrici

Operazioni sulle Matrici Corso di Lure in Disegno Industrile Corso di Metodi Numerici per il Design Lezione 9 Ottore Operzioni sulle Mtrici F. Cliò Addizione e Sottrzione Lezione 9 Ottore Operzioni sulle Mtrici Pgin Addizione

Dettagli

Teoria di Jourawski. 1. Sezione ad T. Lê2 L Lê2. à Soluzione

Teoria di Jourawski. 1. Sezione ad T. Lê2 L Lê2. à Soluzione eori di Jourwski ü [A.. 0-03 : ultim revisione 4 gennio 03] Si pplic l teori di Jourwski l fine di clcolre l distribuzione di tensioni tngenzili su lcune sezioni soggette sforzo di tglio.. Sezione d ê

Dettagli

I vettori. a b. 180 α B A. Un segmento orientato è un segmento su cui è stato fissato un verso. di percorrenza, da verso oppure da verso.

I vettori. a b. 180 α B A. Un segmento orientato è un segmento su cui è stato fissato un verso. di percorrenza, da verso oppure da verso. I vettor B Un segmento orentto è un segmento su cu è stto fssto un verso B d percorrenz, d verso oppure d verso. A A Il segmento orentto d verso è ndcto con l smolo. Due segment orentt che hnno l stess

Dettagli

Facoltà di Ingegneria

Facoltà di Ingegneria UNIVERSITA DEGLI STUDI DI CAGLIARI Fcoltà di Ingegneri Corso di Lure Specilistic in Ingegneri per l Ambiente e il Territorio TESINA DI CALCOLO NUMERICO Anlisi dell errore nei metodi di risoluzione dei

Dettagli

Conversione A/D e D/A. Quantizzazione

Conversione A/D e D/A. Quantizzazione Conversione A/D e D/A Per il trttmento dei segnli sempre più vengono preferite soluzioni di tipo digitle. È quindi necessrio, in fse di cquisizione, impiegre dispositivi che convertno i segnli nlogici

Dettagli

Oggetto: SOGGETTI IRES - LA RILEVAZIONE CONTABILE DELLE IMPOSTE DI ESERCIZIO

Oggetto: SOGGETTI IRES - LA RILEVAZIONE CONTABILE DELLE IMPOSTE DI ESERCIZIO Ai gentili Clienti Loro sedi Oggetto: SOGGETTI IRES - LA RILEVAZIONE CONTABILE DELLE IMPOSTE DI ESERCIZIO Al termine di ciscun periodo d impost, dopo ver effettuto le scritture di ssestmento e rettific,

Dettagli

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio.

b a 2. Il candidato spieghi, avvalendosi di un esempio, il teorema del valor medio. Domnde preprzione terz prov. Considert, come esempio, l funzione nell intervllo [,], il cndidto illustri il concetto di integrle definito. INTEGRALE DEFINITO, prendendo in esme un generic funzione f()

Dettagli

Le equazioni di grado superiore al secondo

Le equazioni di grado superiore al secondo Le equzioni di grdo superiore l secondo ITIS Feltrinelli nno scolstico 007-008 R. Folgieri 007-008 1 Teorem fondmentle dell lger Ogni equzione lgeric di grdo n h sempre n soluzioni, che possono essere

Dettagli

3. Il calcolo a scuola (2): l uso della calcolatrice 1

3. Il calcolo a scuola (2): l uso della calcolatrice 1 Didttic 3. Il clcolo scuol (2): l uso dell clcoltrice 1 Ginfrnco Arrigo 57 1. Clcoli con un sol operzione L prim cos d insegnre d un giovne llievo che voglimo educre ll uso corretto dei moderni mezzi di

Dettagli

IRRAGGIAMENTO: APPLICAZIONI ED ESERCIZI

IRRAGGIAMENTO: APPLICAZIONI ED ESERCIZI Elis Gonizzi N mtricol: 3886 Lezione del -- :3-:3 IRRAGGIAMENO: APPLICAZIONI ED EERCIZI E utile l fine di comprendere meglio le ppliczioni e gli esercizi ricordre cos si intend con i termini CORPI NERI

Dettagli

Geometria analitica +l piano cartesiano Le funzioni retta, parabola, iperbole Le trasformazioni sul piano cartesiano

Geometria analitica +l piano cartesiano Le funzioni retta, parabola, iperbole Le trasformazioni sul piano cartesiano Geometri nliti +l pino rtesino Le funzioni rett, prol, iperole Le trsformzioni sul pino rtesino SEZ. P +l pino rtesino Osserv le oorinte ei seguenti punti: (, 0), (, ), C(, +), D + +, E(+, 9)., Che os

Dettagli

Manuale Generale Sintel Guida alle formule di aggiudicazione

Manuale Generale Sintel Guida alle formule di aggiudicazione MANUALE DI SUPPOTO ALL UTILIZZO DELLA PIATTAFOMA SINTEL GUIDA ALLE FOMULE DI AGGIUDICAZIONE Pgin 1 di 21 AGENZIA EGIONALE CENTALE ACQUISTI Indice 1 INTODUZIONE... 3 1.1 Cso di studio... 4 2 FOMULE DI CUI

Dettagli

ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE STATALE "FERMI"

ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE STATALE FERMI ISTITUTO TECNICO INDUSTIALE STATALE "EMI" TEVISO GAA NAZIONALE DI MECCANICA 212 ropost di soluzione rim rov cur di Benetton rncesco (vincitore edizione 211 unzionmento: L gru bndier girevole sopr riportt

Dettagli