Analisi statistiche bivariate

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1 Aals statstche bvarate Aals coguta d due caratter (varabl) osservat per ua utà statstca (ad es. peso ed altezza d studet) Rappresetazoe de dat tabelle elecazoe completa delle modaltà a doppa etrata grafc stogramm dagramm d dspersoe

2 Tabelle Se l umero d dat è pccolo, ess possoo essere rappresetat ua tabella che rporta modo dettaglato tutt valor delle due varabl relatvamete a cascua utà statstca Se l umero d osservazo è grade, s rcorre ad ua tabella a doppa etrata, detta tabella d cotgeza, cu ad og coppa d modaltà rlevate s fa corrspodere la sua frequeza assoluta Tabelle (umero d dat rdotto) utà 3 carattere X 3 carattere Y 3

3 Tabelle Esempo: grado d dolcezza e quattà (ppm) d pecta rlevat su 4 succh d araca Campoe Sweetess Pecta (ppm) Campoe Sweetess Pecta (ppm) Tabelle a doppa etrata (umero d dat elevato) Y p somme X coloe frequeza della coppa (, ) : : per p. p m m m p m. m somme per rghe j : frequeze cogute.... p.

4 frequeza delle coppe (, j ) Tabelle a doppa etrata Y somme (umero d dat elevato) : : p X coloe per.. j p. m j p p j. j m m p m m. m, K,p somme per rghe j, K,m.. p. frequeza delle coppe (, ) Y somme Tabelle a doppa etrata (umero d dat elevato) : : p X coloe per p. p m m m p m. m somme per rghe. }. p. frequeze margal

5 Tabelle a doppa etrata sweetess pecta j Tabelle a doppa etrata (raggruppameto per class) Sweetess Pecta j

6 Tabelle a doppa etrata Esempo: dmeso ( µm) della prma e della secoda placca rlevate su 45 amal presumblmete della stesso gruppo Macrobotus hufelad,,,,,,,,,,.,.,.... p p m m Y X L L L L Dstrbuzo Margal.. ) ( m m σ.. ) ( j p j j p j j j σ mede geeral

7 Rappresetazoe grafca stogramm s rportao le frequeze de raggruppamet class dagramm d dspersoe (scatter plot) le sgole coppe d msure osservate soo rappresetate come put u pao cartesao. S ottee ua uvola d put che descrve modo vsvo la relazoe tra le due varabl. Istogramm Esempo: dmeso ( mm) della prma e della secoda placca rlevate su 45 amal presumblmete della stesso gruppo Macrobotus hufelad

8 Istogramm per dstrbuzo doppe Problem: Istogramm per dstrbuzo doppe E possble costrure dvers stogramm co gl stess valor, vsvamete dfferet tra loro, partedo da agolazo dfferet (ell esempo precedete è stata vertta la scala per la Ι placca). S deve sceglere u agolo d vsuale, che mostra dat prma lea ma ascode quell collocat detro gl stogramm pù alt. Rappresetazoe da evtare se, partedo dagl stess dat, è possble forre mpresso dfferet sulle loro caratterstche statstche.

9 Dagramm d dspersoe dm II placca dm I placca Dagramm d dspersoe Nel caso d rappresetazoe d dat rportat orgaramete tabella d frequeza, el dagramma d dspersoe l dverso umero d rcorreze può essere dcato da smbol covezoal (es: pù cerch cocetrc o co superfc dfferet, cu l umero d cerch e/o le loro dmeso soo proporzoal al umero d dat che s vuole rappresetare) dm II placca dm I placca

10 Dagramm d dspersoe Esempo: lughezza (mm) e larghezza (mm) d 333 fogle d Camela # LUNGH LARGH larghezza (mm) lughezza (mm) Dagramm d dspersoe: grafco degl scostamet dalla meda Calcolamo per cascua varable la meda artmetca Il puto (, ), dvduato dalle mede delle due varabl, s chama barcetro Rcostruamo l grafco a dspersoe, prededo come uova orge degl ass l barcetro stesso.

11 Dagramm d dspersoe: grafco degl scostamet dalla meda ~ ~ I scostamet dalla meda larghezza (mm) lughezza (mm)

12 Dall esame del grafco a dspersoe s capsce charamete che o esste u legame fuzoale esatto fra le due varabl statstche, tuttava s può otare che put s dspogoo sul pao secodo ua uvola allugata posta oblquamete sull asse delle ascsse.

13 I partcolare s può dre che al crescere del peso la lughezza tedezalmete cresce. Cò sgfca che campo che hao u peso elevato tedezalmete hao ache ua lughezza elevata metre campo che hao u peso pccolo hao tedezalmete ua lughezza pccola.

14 La forma della uvola permette d stablre, prma aals, se fra le due varabl esste terdpedeza, mete la sua poszoe permette d stablre l verso d tale legame. Cocordaza e dscordaza Assocazoe tra caratter d ua v.s. doppa (X,Y) Cocordaza all aumetare delle modaltà d X le modaltà d Y tedoo ad aumetare. Grafcamete, gl scostamet cocord (I e III quadrate) prevalgoo su quell dscord Dscordaza all aumetare delle modaltà d X le modaltà d Y tedoo a dmure. Grafcamete, gl scostamet dscord (II e IV quadrate) prevalgoo su quell cocord.

15 scostamet dalla meda I larghezza (mm) lughezza (mm)

16 Covaraza dce smmetrco che msura la cocordaza o la dscordaza tra due varabl quattatve X e Y è defta come la meda de prodott degl scostamet d X e d Y dalle rspettve mede: Cov( X, Y ) N N [ ( )( ) ] Propretà della covaraza Formula d calcolo: Cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y) Campo d varazoe: σ X σ Y Cov(X,Y) +σ X σ Y Ivaraza rspetto a traslazo: Cov(X+a,Y) Cov(X,Y) Effetto d cambameto d scala: Cov(bX,Y) bcov(x,y)

17 Covaraza e relazoe leare perfetta Se le varabl X ed Y soo legate da ua relazoe leare Y a + bx, co b 0, l coeffcete agolare è legato alla covaraza: Cov(X,Y) Cov(X,a+bX) E[X(a+bX)]-E(X)E(a+bX) ae(x)+be(x )-ae(x)-be (X) be(x )-be (X) bd(x) b Cov(X,Y)/D(X) l sego della covaraza dvdua l tpo d relazoe determstca leare (dretta o versa) tra X e Y. Questo vale ache se dat soo tedezalmete alleat ossa caso d relazoe statstca. Covaraza Postva - prevaleza d scostamet cocord (legame dretto fra X e Y) Negatva - prevaleza d scostamet dscord (legame verso fra X e Y) Nulla - o prevalgoo é gl scostamet cocord é quell dscord (varabl statstche soo correlate)

18 Esempo lughezza (X) e larghezza (Y) d 333 fogle d Camela Cov(X,Y)46,5 Esempo peso (X) e altezza (Y) d 00 bamb d 3 a Cov(X,Y),8 Esempo d covaraza postva: Cov(X,Y)> peso

19 Esempo d covaraza egatva: Cov(X,Y)< Esempo d covaraza massma (postva):

20 Esempo d covaraza quas ulla: Cov(X,Y) Passo Poteza La covaraza ha l dfetto d dpedere dall utà d msura co la quale vegoo rlevate le varabl statstche X e Y forsce formazo sul verso del legame fra X e Y o forsce formazo sull testà del legame fra X e Y dce ormalzzato

21 Coeffcete d correlazoe leare Cov( X, Y ) ρ σ σ X Y ρ massma correlazoe postva XkY k>0 (relazoe determstca dretta tra X e Y) ρ massma correlazoe egatva XkY k<0 (relazoe determstca versa tra X e Y) ρ0 correlazoe Msura della correlazoe leare ρ(x,y) elevato quado: Y dpede learmete da X (o vceversa) (es. relazoe cosumo-reddto) X e Y dpedoo da Z (es. relazoe tra esame appl. mod. e mat.: dpede da capactà dvdual, ore d studo, ecc.) Correlazoe spura: cocordaza o dscordaza tra X e Y seza u esso logco (es. due sere storche co tred crescete)

22 ρ Poteza ρ Prezzo lre ρ Gr coppa ρ 0.057

23 Correlazoe leare Esemp: la crcofereza C ed l raggo r d og cercho soo perfettamete correlat, essedo Cπ r (ρ ) tra put de due dad lacat smultaeamete 00 volte o c è alcua relazoe, qud soo correlat (ρ 0.03) Esemp: Correlazoe leare le varabl lughezza e larghezza delle fogle d camela e le varabl altezza e peso soo qualche msura correlate: lughezza (X) e larghezza (Y) d 333 fogle d Camela ρ 0,5 peso (X) e altezza (Y) d 00 bamb d 3 a ρ 0,93

24 Propretà del coeffcete d correlazoe leare è u umero puro admesoale o rsete dello scambo delle varabl o rsete dell agguta d ua stessa quattà a tutt valor d ua varable o rsete della moltplcazoe per ua stessa quattà d tutt valor d ua varable Propretà del coeffcete d correlazoe leare o msura l assocazoe geerale ma solo quella leare: dspersoe de put toro ad ua retta ρ

25 Propretà del coeffcete d correlazoe leare o defsce ua relazoe causa-effetto: la relazoe d causa-effetto o ha ua drezoe logca o precsa: potrebbe essere ugualmete applcata e due ses, da ua varable all'altra (es. le coppe d gemell hao strutture fsche sml e quella d uo può essere stmata sulla base dell'altro) Esempo: l attvtà fotostetca delle fogle (quattà d CO fssata per cm d superfce) d 5 pate d mas è msurata co due metod. S vuole verfcare che msura due metod dao formazo cocordat pate X X , totale m e t o d o : X 4,00 3,00 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 5,50 metodo : X

26 pate X X totale ( ( ( ρ j j j )( ) ) j ) Propretà del coeffcete d correlazoe leare o defsce ua relazoe causa-effetto: la causa può essere dvduata u terzo fattore, che agsce smultaeamete su prm due, modo dretto oppure dretto, determado valor d etramb e le loro varazo (es. la quattà d polver sospese ell ara e la cocetrazoe d bezee, etramb dpedet dall testà del traffco)

27 Esempo: Vedta d gelat e mort per aegameto durate u ao mese vedta mort per gelat aegameto geao 0 febbrao 8 marzo 9 aprle 5 maggo 0 4 gugo 30 5 luglo 50 8 agosto 80 9 settembre 60 9 ottobre 50 5 ovembre 0 dcembre 5 mort per aegameto vedta gelat ρ 0.95 No esste ua relazoe causa-effetto tra le due varabl le due varabl soo correlate perché soo etrambe correlate co le codzo clmatche: quado fa caldo aumeta l cosumo d gelat e pù persoe vao a mare

28 ATTENZIONE La preseza d correlazoe o sgfca preseza d u legame causa effetto tra le varabl Regressoe Permette d esamare e descrvere la relazoe quattatva tra ua varable, detta dpedete, ed dvduata come l'effetto, sulla base de valor dell'altra varable, detta dpedete o esplcatva, dvduata come la causa

29 Obettv della regressoe cooscedo l lvello d ua certa popolazoe temp fssat, valutare l lvello della popolazoe cert temp termed: terpolazoe determare la relazoe () che esste fra due varabl, cooscedo l tpo d legge che govera l feomeo (ad es. leare, espoezale, logartmca..): detfcazoe d parametr Obettv della regressoe prevedere valor che ua certa varable assumerà ad u state futuro a partre dalla sua stora passata (ad esempo, prevedere l umero d dvdu ua certa popolazoe, cooscedo la tabella d crescta della popolazoe egl ultm 0 a): estrapolazoe (predzoe)

30 Modello statstco della regressoe Y f(x) + f(x) compoete sstematca e compoete casuale - errore che compeda gl effett che mpedscoo l essteza d u legame determstco fra le due varabl, come: error ell equazoe (s approssma f(x,z, ) co f(x)) elemet d casualtà o prevedbl el feomeo d studo error d osservazoe o d msura e Modello statstco della regressoe Y f(x) + e la forma f(.) è suggerta da: teore specfche o da stud d settore dat dspobl ecesstà d facle terpretazoe

31 Regressoe leare semplce Idvduo Altezza Peso Peso Cov(X,Y) 5.44 ρ Altezza esste ua relazoe fuzoale tra la varable altezza (X) e la varable peso (Y)? Regressoe leare semplce guardado l grafco s può potzzare che tra le due varabl c sa ua relazoe d tpo leare Y a + bx corrspodeza d, osservato sulla varable X (dpedete), dovremmo osservare l valore ˆ a + b per la varable Y (dpedete) valor teorc o prevst della varable Y

32 Retta d regressoe Peso ˆ Altezza Equazoe mglore a dat d ua retta che s adatt el modo (, ),, 3, L, ( ˆ ) m m Retta d regressoe ( ˆ ) m ( ( a + b )) g( a, b) g( a, b) g( a a, b) b 0 0 b a cov( X, Y ) σ b

33 Calcolo d a e b formula alteratva a ( ) b ( ) a Retta d regressoe Idvduo Altezza Peso Cov( X, Y ) b 5.44 Cov( X, Y ) b σ σ

34 Regressoe leare semplce 80,48-4, Peso (, ),,3, Altezza La rcerca della retta d regressoe presuppoe che la rsposta del sstema dpeda learmete dalla varable Propretà della retta de mm quadrat. è uca. passa per l puto medo (, ) 3. è tale che ˆ dove ˆ a + b Posto e ˆ la propretà 3 c dce che e 0

35 Botà d adattameto Aals de resdu e ˆ valor osservat valor prevst Botà d adattameto 00 Esempo: altezza e peso d 30 dvdu peso ,0869-3, altezza Grafco de resdu resdu

36 Botà d adattameto Adamet come quest dcao che l modello leare o è adatto a spegare l legame tra le varabl Scomposzoe della varaza d Y ( ) ( ) ± ˆ σ ( ) ( ) + ˆ ˆ ˆ e σ σ + varaza spegata (varaza dovuta alla regressoe) varaza resdua varaza dovuta a resdu

37 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ± ( )( ) ( ) ( ) ( ) b b ˆ ˆ rcordado che ) ( ˆ b + ( )( ) ( ) b b ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 ˆ ˆ b b essedo ( ) b ˆ devazoe dovuta alla relazoe leare devazoe dovuta a cause accdetal Coeffcete d determazoe ) ( ) ˆ ( ˆ R σ σ msura la dspersoe delle osservazo attoro alla retta d regressoe rappreseta la porzoe della varazoe Y spegata dalla regressoe su X cosete d valutare l utltà dell equazoe d regressoe a f della prevsoe su valor della Y devaza spegata devaza totale

38 Coeffcete d determazoe Se c'è ua perfetta relazoe leare tra X e Y tutte le osservazo cadoo sulla retta d regressoe ˆ σ σ, coè essu errore vee commesso ella predzoe d Y a partre da X R Coeffcete d determazoe Se o c'è relazoe leare tra X e Y la dspersoe delle osservazo attoro alla retta d regressoe è massma e la retta d regressoe ha pedeza 0 ˆ R 0 e σ 0, σ σ 0 R

39 Coeffcete d determazoe Esempo ( ˆ ( ) ) R Regressoe leare: esempo Esempo: larghezza e lughezza d 333 fogle d camela larghezza (mm) R lughezza (mm)

40 Regressoe vs correlazoe Uo studo codotto e paes ordc ha evdezato che durate mes veral, elle case cu è presete u eoato la temperatura vee mateuta pù alta della orma, passado dcatvamete da 6 a 0 grad cetgrad. Soprattutto e perod pù rgd, le ccoge soo attratte dal maggor calore emesso da cam e dfcao pù faclmete su d ess o v s soffermao pù a lugo. E semplce suddvdere u ampa area rurale zoe co ua popolazoe equvalete e cotare per ogua l umero de cam co ccoge (X) e quello de bamb eoat (Y). Regressoe vs correlazoe Rcorrere all'aals della regressoe su queste due varabl mplca ua relazoe d causa-effetto tra preseza d ccoge e ascte d bamb. U tetatvo d spegazoe d tale legame, gà mplcto ella regressoe ache se o dcharato, coduce ache volotaramete alla coclusoe che bamb (se dcat co Y) soo portat dalle ccoge (quado dcate co X). Addrttura co b s arrva ad dcare quat bamb soo portat medamete da og ccoga.

41 Regressoe vs correlazoe Co la correlazoe s afferma solamete che le due varabl varao modo coguto, evetualmete per aals successve alla rcerca delle cause. Effetto degl outler X Y Y Y ,5 - ρ -0,7 R 0,5, ,784 ρ 0,90 0 R 0, X - X

42 Cambameto d scala Esempo: dage epdemologca codotta a seguto della sommstrazoe d ua uovo tpo d vacco rteuto effcace ella cura del cotago da febbre tfodea 5,0 ao cas 975, ,5 977, , , 980 8,9 98 8,0 cdeza 0,0 5,0 0,0 5,0 0, a adameto o leare 5,0 0,0 -, ,3 R 0,837 ρ 0.9 cdeza 5,0 0,0 5,0 0, a grafco de resdu 4,0 3,0,0 resdu,0 0,0 -,0 -,0-3,

43 L adameto che lega Y ad X sembra pù prossmo ad u adameto d tpo espoezale egatvo X Y e log( Y ) log ( X e ) X log( Y ) a + b modello d regressoe leare pù approprato scala semlogartmca ρ cdeza (log) 3, 3,8,6,4 30,34-0,56 R 0,937, a retta d regressoe: log( Y ) 0.5X Y e log( Y ) 0.5X e

44 5,0 0,0 cdeza 5,0 0,0 5,0 0, a Cambameto d scala: prevsoe A partre da due modell d regressoe otteut s vuole prevedere l umero d cas d tfo per l 985: e e Il prmo modello leare fallsce, l secodo è attedble

45 Regressoe o leare espoezale ae b logartmca αl+β polomale α 0 + α + α +..+ α m m Regressoe espoezale: esempo dage epdemologca codotta a seguto della sommstrazoe d ua uovo tpo d vacco rteuto effcace ella cura del cotago da febbre tfodea 5,0 ao cas 975, ,5 977, , , 980 8,9 98 8,0 cdeza 0,0 5,0 0,0 E+3e -0,56 R 0,937 5,0 0, a

46 Regressoe logartmca: esempo processo d levtazoe d ua pagotella d pae baco tempo (m) volume (cm3) Levtazoe 9,837+0,87 R 0, ,4375,5984 3,859 39, ,530 44,87 45, 45,36 45,97 46,00 volume ,8L() - 5,94 R 0, tempo Regressoe polomale: esempo growth rate data for epermetal rats fed varous doses of a detar supplemet amout of supplemet (grams) growth rate (coded uts) , ,436 R 0,0345-0,77 + 5, ,657 R 0,

47 Regressoe: approcco matrcale Esempo: Su 5 utà soo stat rlevat seguet caratter Y: lbbre d vapore utlzzate u mese X : temperatura meda mesle grad F X : umero d gor d operatvtà u mese X 3 : umero d ravvamet (startup) u mese Problema: capre qual varabl e come fluscoo sul cosumo d vapore Y X X X 3 0,98 35,3 0 4,3 9,7 0 5,5 30, ,4 58, ,7 6,4 5 8,73 7,3 4 6,36 74,4 8,5 76, ,8 70,7 4 9,4 57, ,4 46,4 0 4,9 8,9 4,88 8, 5 9,57 39, 9 5 0,94 46, ,58 48, ,09 59,3 6 8, , ,88 74, ,68 7, 0 4 8,47 58, 6 8,86 44, ,36 33,4 0 4,08 8,6 5 Qual varabl utlzzare ella regressoe? matrce d correlazoe Y X X X 3 Y,00-0,85 0,54 0,38 X,00-0, -0,4 X,00 0,60 X 3,00 S scelgoo le varabl maggormete correlate co la varable da spegare e meo correlate tra loro.

48 X 0 Y Y X 0 Y ,5,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 X3 Modello leare co ua varable esplcatva S vuole spegare la varable Y come fuzoe della X suppoedo che l legame sa leare Y a + bx qud s vogloo determare a e b tal che e a + b, L,5 ˆ, 5 ( ˆ ) m σ Facedo cot s ottee b 0.08 e a b 3. 6 σ

49 Possamo rscrvere le 5 equazo u uca equazoe matrcale, ovvero ˆ Xα co b a α,, ˆ ˆ ˆ,5, 5 M M M X determamo α(a,b) mmzzado ( ) ( ) ( ) ( ) α α ˆ ˆ ), ( X X ' ' b a g la soluzoe dell equazoe matrcale è ( ) X' X'X α Da dat dell esempo s ottee b a α

50 X'X X' ( X'X) ( ) X'X X' ( X'X) 5 3 3,63-0,0798 R 0,744 0 Y X

51 S vuole spegare la varable Y fuzoe della varable X S ottee α , ,897 R 0,874 0 Y X S vuole spegare la varable Y fuzoe della varable X 3 S ottee α ,73 + 6,66 R 0,46 0 Y ,5,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 X3

52 Modello leare co due varabl esplcatve S vuole spegare la Y come fuzoe leare d X (varable maggormete correlata co Y) e X (varable meo correlata co X ) l modello potzzato è Y a + bx + cx S vuole, qud, determare l pao che pass l pù vco possble a put del grafco s vogloo determare a, b e c tal che a + b + c, ˆ,, L,5 Possamo rscrvere le 5 equazo u uca equazoe matrcale, ovvero co ˆ Xα ˆ ˆ ˆ M 5, X M, M,5, M,5, α a b c

53 la soluzoe otteuta co l metodo de mm quadrat è α ( X'X) X' Da dat dell esempo otteamo 9.3 α Yˆ X R X

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