Lezione 20: Stima dello stato di un sistema dinamico

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1 ELABORAZIONE dei SEGNALI nei SISTEMI di CONTROLLO Lezione 20: Stima dello stato di un sistema dinamico Motivazioni Formulazione del problema Osservazione dello stato Osservabilità Osservatore asintotico Sintesi dell osservatore mediante assegnazione degli autovalori L osservatore ottimo (Filtro di Kalman) Filtro di Kalman stazionario 20-1

2 Motivazioni Il problema della stima dello stato di un sistema dinamico ha numerose applicazioni nella scienza e nell ingegneria: Determinazione delle orbite dei pianeti Tracciamento (determinazione della traiettoria) nei sistemi di controllo del traffico aereo Navigazione (tracciamento della traiettoria delle piattaforma sulla quale è collocato il sensore) Sistemi di controllo (piloti automatici; controllo di assetto; puntamento di sensori; processi chimici, nucleari e industriali etc.) Sistemi di generazione e distribuzione di energia Rivelazione e diagnosi di guasti Elaborazione dei segnali 20-2

3 Elaborazione delle immagini Telecomunicazioni Ingegneria biomedica Ricerca operativa Geofisica Deconvoluzione sismica (esplorazioni petrolifere) Misurazione di portata di fluidi Sistemi econometrici (modelli micro- e macro-economici) Sistemi demografici

4 Formulazione del problema Si consideri il sistema LTI TD { x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t) + Dw(t) con y(t) = Cx(t) + v(t) x(t) R n : stato u(t) R m : ingresso deterministico (noto) w(t) R l : disturbo di processo y(t) R p : uscita osservata v(t) R p : disturbo di misura A, B, C, D : matrici di stato (note) l obiettivo è di determinare una stima, ˆx(t), dello stato x(t) sulla base dei dati osservati y t = {y(t), y(t 1),... } e u t 1 = {u(t 1), u(t 2),... }. Il problema è reso difficile dalla presenza di due sorgenti di incertezza: incertezza sullo stato iniziale x(0) disturbi w(t) e v(t) 20-4

5 Osservazione dello stato In primo luogo ci si chiede quali sono le condizioni strutturali sul sistema (matrici A e C) affinché sia possibile determinare x(t) in condizioni ideali (con un numero arbitrario di osservazioni ed in assenza di rumore). A tale proposito si ipotizza: { x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t) w(t) 0, v(t) 0 = y(t) = Cx(t) In questo caso, per determinare x(t) (t 0) è sufficiente conoscere x(0). Questo giustifica la seguente definizione. Definizione - Il sistema dicesi osservabile se è possibile, in assenza di rumore, determinare univocamente lo stato iniziale x(0) da osservazioni {y(k), u(k)} k 0. Terminologia: Il suddetto problema della determinazione di x(0) prende il nome di osservazione dello stato. L osservabilità del sistema equivale alla possibilità di risolvere senza ambiguità tale problema. 20-5

6 Osservabilità (1/2) Risolvendo le equazioni di stato, in assenza di rumore, si ottengono le seguenti equazioni lineari (da risolvere rispetto a x(0)): C y(0) CA y(1) CBu(0) CA 2 x(0) = y(2) CABu(0) CBu(1).. CA N 1 } {{ } Θ N Nota y(n 1) } CA N 2 Bu(0) CA N 3 Bu(1) {{ CBu(N 2) } Y N Assumendo Y N Im Θ N, il sistema Θ N x(0) = Y N ha soluzione. Tale soluzione è unica se e solo se ker Θ N = {0}, ovvero rank Θ N = dim x = n. rank Θ N = rank Θ n, N n ( Θ = Θ n : matrice di osservabilità) 20-6

7 Osservabilità (2/2) Teorema - Il sistema è osservabile se e solo se la matrice di osservabilità ha rango pieno, cioè rank Θ = rank Si dice anche che la coppia (A, C) è osservabile. C CA. CA n 1 = n Se (A, C) è osservabile, si può determinare lo stato iniziale x(0), anche se Y N Im Θ N, risolvendo il problema ai minimi quadrati: x(0) = argmin x Y N Θ N x 2 = x(0) = ( Θ NΘ N ) 1Θ N Y N 20-7

8 Osservatore asintotico (1/2) Osservatore del sistema dinamico S: sistema dinamico che, avendo in ingresso l ingresso u(t) e l uscita y(t) del sistema S, fornisce in uscita, ad ogni istante t, una stima ˆx(t) dello stato x(t) del sistema S. Definizione - L osservatore dicesi asintotico se, detto x(t) = x(t) ˆx(t) l errore di stima sullo stato, tale errore converge a zero per t qualunque siano le condizioni iniziali, cioè lim t x(t) = 0, x(0) Rn 20-8

9 Osservatore asintotico (2/2) Per l osservatore viene comunemente adottata la seguente struttura in catena chiusa (alla Luenberger): ˆx(t + 1) = Aˆx(t) + Bu(t) + K (y(t) Cˆx(t)) = (A KC)ˆx(t) + Bu(t) + Ky(t) che consiste di una copia del sistema a cui si aggiunge un termine correttivo proporzionale all errore di stima dell uscita. La matrice K R n p prende il nome di guadagno dell osservatore: deve essere progettata opportunamente in modo da garantire che l osservatore sia asintotico. Per l osservatore alla Luenberger si ha la seguente dinamica dell errore di stima: x(t + 1) = (A KC) x(t) = x(t) = (A KC) t x(0) Pertanto vale il seguente risultato. Teorema - L osservatore alla Luenberger è asintotico se e solo se la matrice di guadagno K è progettata in modo tale che A KC abbia tutti gli autovalori in z <

10 Sintesi dell osservatore mediante assegnazione degli autovalori Teorema - Il sistema, cioè la coppia (A, C), è osservabile se e solo se comunque si fissino gli autovalori λ 1, λ 2,..., λ n si riesce a progettare il guadagno K in modo tale che sp(a KC) = {λ 1, λ 2,..., λ n } o, equivalentemente, comunque si fissi il polinomio α(z) = (z λ 1 )(z λ 2 ) (z λ n ) esiste K tale che A KC ha polinomio caratteristico uguale ad α(z). In altri termini, per un sistema osservabile è possibile progettare un osservatore asintotico assegnando arbitrariamente la dinamica di convergenza (esponenziale) a zero dell errore di stima dello stato. Una possibile scelta, ad esempio, è quella di assegnare autovalori nulli (osservatore deadbeat). Tale scelta comporta, in assenza di disturbi, l annullamento esatto dell errore di stima dopo n passi, cioè x(t) = 0, t n e x(0) R n 20-10

11 L osservatore ottimo (Filtro di Kalman) 1/2 Si consideri adesso la presenza dei disturbi: { x(t + 1) = Ax(t) + Bu(t) + Dw(t) w(t) wn(0, Q) e v(t) wn(0, R) y(t) = Cx(t) + v(t) lo stato iniziale x(0) ha media ˆx(0) e covarianza P(0) w(t) e v(t) sono fra loro incorrelati e sono incorrelati con lo stato iniziale x(0) La dinamica dell errore di stima dell osservatore alla Luenberger in presenza di disturbi diventa: x(t + 1) = (A KC) x(t) + Dw(t) Kv(t) Si noti che eventuali valori elevati delle componenti del guadagno K amplificano, tramite il termine Kv(t), il rumore di misura nell errore di stima

12 L osservatore ottimo (Filtro di Kalman) 2/2 Sia P(t) = E [ x(t) x (t)] l EQM dello stato all istante t. Allora: x(t+1) = (A KC) x(t)+dw(t) Kv(t) P(t+1) = (A KC)P(t)(A KC) +DQD +KRK Problema (Osservatore MEQM) - Ci si chiede se, note le varianze Q e R dei disturbi, esiste una scelta ottima del guadagno K che minimizzi l EQM. Soluzione (Filtro di Kalman) - La scelta ottima del guadagno K all istante t è: K(t) = AP(t)C ( R + CP(t)C ) 1 (1) e il corrispondente MEQM di x(t + 1) è: P(t + 1) = AP(t)A AP(t)C ( R + CP(t)C ) 1 CP(t)A + DQD (2) Le formule (1)-(2), inizializzate con P(0), permettono di calcolare ricorsivamente, ad ogni istante t, il guadagno dell osservatore ottimo, in senso MEQM. Tale stimatore dello stato, grazie al suo inventore R.E. Kalman, prende il nome di Filtro di Kalman

13 Filtro di Kalman stazionario 1/2 Il filtro di Kalman risulta TV anche se il sistema è TI ed i disturbi sono processi stazionari. Ci si chiede pertanto se e sotto quali condizioni la matrice P(t), e quindi il guadagno K(t), tendono, per t, a valori costanti P e, rispettivamente, K = AP C (R + CP C ) 1 che forniscono un osservatore TI: ˆx(t + 1) = Aˆx(t) + Bu(t) + K (y(t) Cˆx(t)) (3) Ci si chiede inoltre se l osservatore (3) a cui converge il filtro di Kalman, detto filtro di Kalman stazionario, risulta asintotico. La matrice P deve necessariamente essere soluzione dell equazione: P = AP A AP C ( R + CP C ) 1 CP A + DQD (4) detta Equazione Algebrica di Riccati (ARE) 20-13

14 Filtro di Kalman stazionario 2/2 Riguardo all esistenza, alla determinazione e all ottimalità del filtro di Kalman stazionario, vale il seguente risultato. Teorema - Si assuma che: Q > 0; R > 0; la coppia (A, C) è osservabile; la coppia (A, D) è raggiungibile. Allora vale quanto segue. 1. Esiste finito P = lim t P(t) qualunque sia P(0) = P (0) P è l unica soluzione simmetrica definita positiva della ARE. 3. Posto K = APC (R+CPC ) 1, la matrice A KC ha tutti gli autovalori in z < 1 cioè il filtro di Kalman stazionario è un osservatore asintotico. 4. Fra tutti gli osservatori asintotici, il filtro di Kalman stazionario è quello che fornisce l EQM minimo E [ x(t) x (t)] = P