Lezione 19: Il duopolio di Cournot ed equilibrio di Nash

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1 Corso di Economia Politica prof. S. Papa Lezione 19: Il duopolio di Cournot ed equilibrio di Nash Facoltà di Economia Università di Roma La Sapienza

2 Il duopolio di Cournot 202 Le imprese della lezione precedente sono coinvolte in un gioco. Esso si chiama duopolio di Cournot Le due imprese cercano ciascuna di massimizzare il proprio profitto scegliendo (senza coordinarsi) la quantità da produrre Per avere un equilibrio (di Nash) le due quantità devono essere ciascuna la risposta ottima alla quantità scelta dall altra impresa. Perciò le due quantità prodotte sono identificate dal punto di incontro delle due curve di reazione. Si può calcolare il risultato, che è: y n = y 1 = y 2 = (a c )/3 Segue che la quantità complessivamente prodotta è y 1 + y 2 = 2y n = 2(a c )/3 = y m (4/3) > y m e che il prezzo di equilibrio è p n = a 2y n = (1/3)a + (2/3) c < p m

3 La teoria dei giochi e l equilibro di Nash La teoria dei giochi è quel ramo dell economia che studia i problemi caratterizzati da interazione strategica. Distinzione importante GIOCHI COOPERATIVI sono possibili accordi vincolanti per i giocatori GIOCHI NON COOPERATIVI accordi vincolanti non sono possibili. Le soluzioni dei giochi non cooperativi si chiamano equilibri di Nash 203 Una coppia di scelte (una per giocatore) è un equilibrio di Nash quando, data la scelta dell altro, a nessuno dei due giocatori conviene cambiare la propria scelta. Nell equilibrio di Nash la scelta di ciascun giocatore è la risposta ottima alla scelta dell altro giocatore.

4 Il duopolio di COURNOT Per calcolare questi risultati si parte dalla formula della curva di reazione. Questa formula è: y 1 = (a -c)/2 -y 2 /2 Si poney 1 = y 2 = y e si risolve l equazione ottenendo appunto y n. Per trovare il prezzo basta sostituire y n nella formula della curva di domanda p = a -y. Per calcolare il profitto che le imprese ottengono nell equilibrio di Cournot-Nash si deve applicare la formula π n = p n y n cy n = = (p n c)y n Poi si sostituiscono i valori di p n e di y n. Il resto è algebra. Controllare π n = (a c) 2 /9 che inferiore all accordo collusivo.

5 Conviene l accordo? 205 Se le due imprese hanno l alternativa tra la collusione e l equilibrio di Cournot-Nash, cosa conviene fare? Per rispondere dobbiamo calcolare i profitti nelle due situazioni. Il calcolo non è difficile, ma è un po noioso. Qui vengono presentati solo i risultati assumendo che la domanda e i costi siano quelli dell esempio precedente. Indichiamo con π a il profitto nel caso di accordo e con π n il profitto nell equilibrio di Cournot-Nash. Abbiamo visto che π a = (a c) 2 /8. Con un po di conti si ottiene π n = (a c) 2 /9; π n = π a (8/9) < π a. Poniamo che si abbia a = 96 e c = 24; segue π a = 648 e π n = 576. Il segno del risultato non dipende né dai numeri né dal modello: il profitto dell intesa è sempre maggiore del profitto di Cournot. Sembra dunque che alle imprese convenga sempre stabilire un accordo e realizzare un monopolio di fatto. O no?

6 Difficoltà della collusione 206 L accordo garantisce un maggior profitto (ciò non sorprende, visto che equivale alla decisione di un monopolista). Se è possibile un accordo vincolante (una fusione o un intesa) esso verrà preferito all equilibrio di Cournot (Nash). Se però un accordo vincolante (un gioco cooperativo) non è possibile (per esempio, perché proibito dalla legge), non è detto che la collusione (la terza strada) venga realizzata. La collusione è un accordo non vincolante (un gioco non cooperativo); non ci sono sanzioni per chi non la rispetta. Può convenire non rispettarla? Il punto è che la collusione non è un equilibrio di Nash. Se una delle due imprese si impegna alla scelta collusiva, all altra conviene tradire il patto, scegliendo la risposta ottima a quella scelta, che non è la scelta collusiva.

7 Defezione 207 Vediamo perché la collusione non è un equilibrio di Nash. Sappiamo che l equilibrio di Cournot-Nash è il punto di incontro delle due curve di reazione (il punto N). Nel grafico l accordo è il punto A (ricordare che y a = y m /2). y 2 Se però un impresa si impegna a produrre y a, al- R 1 l altra conviene produrre y d (che è la quantità y m d y corrispondente sulla curva di reazione). 2 Questa scelta viene chiamata defezione : D è la risposta ottima quando l altra y n 2 N d y 1 impresa rispetta l accordo. y a A D Chi defeziona ottiene un profitto R 2 1 maggiore, π d = π a (9/8); chi rispetta l accordo quando l altra impresa 0 y a y n y m y 1 defeziona ottiene un profitto minore, π l = π a (3/4).

8 Il dilemma del prigioniero 208 Quando non è possibile un accordo vincolante, ciascuna impresa ha di fronte due scelte possibili: (a) rispettare l accordo collusivo (anche se non vincolante) o (b) scegliere la risposta ottima. Perciò ci sono quattro possibili risultati: (1) Le due imprese scelgono entrambe a (accordo collusivo); ottengono ciascuna π a (nell esempio π a = 648); (2) Le due imprese scelgono entrambe b (risposta ottima); ottengono ciascuna π n (nell esempio π n = 576); (3) La prima impresa sceglie a (rispetta l accordo) e la seconda b (defezione e risposta ottima); la prima ottiene π l < π n (π l = 486) la seconda π d > π a (π d = 729); (4) La prima impresa sceglie b (defezione risposta ottima) e la seconda a (rispetta l accordo); la prima ottiene π d > π a la seconda π l < π n ; Le imprese sono coinvolte nel dilemma del prigioniero.

9 La soluzione del gioco 209 Il gioco può essere rappresentato con la matrice dei profitti : colludere competere colludere competere 648; ; ; ; 576 Dove si ha (729) π d > (648) π a > (576) π n > (486) π l. Sappiamo risolvere il gioco: per ciascuna impresa la risposta ottima alla scelta colludere è la scelta competere; e la risposta ottima alla scelta competere è ancora la scelta competere. La risposta ottima è la strategia dominante. L equilibrio di Nash è la doppia risposta ottima. La collusione non ha successo perché il gioco è non-cooperativo. Se il gioco fosse ripetuto molte volte e non solo one shot. Si potrebbe arrivare a soluzioni di accordo (collussione).

10 La soluzione del gioco 210 Il gioco può essere rappresentato con la matrice dei profitti : a 1 ; πa πl ; πd * a 2 b 2 b 1 * π d ; π l * π n ; π n * Dove - come abbiamo visto - si ha π d > π a > π n > π l. Sappiamo risolvere il gioco: per ciascuna impresa la risposta ottima alla scelta a è la scelta b; e la risposta ottima alla scelta b è ancora la scelta b (vedi gli asterischi sulla matrice). La risposta ottima è la strategia dominante. L equilibrio di Nash è la doppia risposta ottima. La collusione non ha successo (perché il gioco è non-cooperativo). Potrebbe aver successo se il gioco fosse ripetuto molte volte.

11 Dilemma del prigioniero 211 Il gioco può essere rappresentato con la matrice dei anni di galera : Tacere Parlare Tacere Parlare 1; -1 9; 0 0; -9 6; 6 Dove si ha (0) π d > (-1) π a > (-6) π n > (-9) π l. Sappiamo risolvere il gioco: per ciascuna individuo la risposta ottima alla scelta tacere è la scelta parlare; e la risposta ottima alla scelta parlare è ancora la scelta parlare. La risposta ottima è la strategia dominante. L equilibrio di Nash è la doppia risposta ottima. Tacere non ha successo perché il gioco è non-cooperativo. La soluzione one shot è tacere anche perchè nella realtà si può incorrere in ripercussioni (criminalità).

12 Muovere per primi 212 Due imprese devono aprire ciascuna un supermercato. Possono scegliere un quartiere ricco (a) che garantisce un profitto π = 100, o un quartiere povero (b) che garantisce un profitto π = 80. Il profitto effettivo dipende dalla scelta dell altra impresa: se entrambe scelgono lo stesso quartiere devono dividere il profitto a metà. La matrice dei profitti è: a 2 b 2 Il calcolo con gli asterischi identifica due equilibri di Nash (conviene a 1 50 ; 50 * 100 ; 80 * scegliere quartieri diversi). b 1 * 80 ; 100 * 40 ; 40 A chi tocca il redditizio quartiere a? Tocca a chi sceglie per primo. Se è la prima impresa, essa sceglierà a 1 e alla seconda non resta di meglio che scegliere b 2. Spesso, in oligopolio chi sceglie per primo ottiene profitti maggiori ( vantaggio della prima mossa ).

13 Duopolio di Bertrand 213 Consideriamo due imprese ugual in equilibrio di Nash-Cournot con costi totali Ct 1 = c y 1 e Ct 2 = c y 2. Che succede se una delle due imprese decide di abbassare (appena) il prezzo mentre l altra lo lascia fermo? Dato che il prodotto è omogeneo chi abbassa il prezzo toglie tutti i clienti all altra impresa e serve l intero mercato (purché abbia capacità produttiva disponibile). Questa strategia si chiama taglio del prezzo (undercutting). Anche l altra impresa dovrà fare la stessa cosa (e rilanciare ). La rincorsa dei tagli si fermerà quando i profitti si annullano, ossia quando p = Cu = Cm = c Un risultato uguale a quello della concorrenza perfetta. Questo equilibrio (di Nash), cui si arriva quando le imprese si fanno concorrenza nei prezzi, è detto equilibrio di Bertrand.

14 Strategie di prezzo 214 L undercutting è efficace solo se l impresa è in grado di produrre di più (capacità produttiva disponibile). Perciò può essere conveniente, per entrambe le imprese, accordarsi per non averla. Assumiamo imprese diverse: Ct 1 = c 1 y 1 e Ct 2 = c 2 y 2 (con c 1 < c 2 ). In questo caso, se ha capacità produttiva disponibile, la prima impresa può escludere l altra impresa dal mercato: basta far scendere il prezzo appena sotto c 2 (costo marginale 2) La prima impresa serve tutto il mercato e ottiene il profitto: π 1 = (c 2 c 1 )y* Non può, però, comportarsi come un monopolio, perché l altra impresa rientrerebbe (manca una barriera all entrata). Il prezzo, inferiore a quello praticato dal monopolista, che scoraggia l altra impresa dal rientrare si chiama prezzo limite.

15 Mercati contendibili 215 DEFINIZIONE: (i) una sola (grande) impresa (detta incumbent); (ii) assenza di barriere all ingresso e all uscita (sunk costs); (iii) prezzo fisso nel breve periodo (a causa di menu cost). Un impresa esterna al mercato, con capacità produttiva disponibile, può attuare la concorrenza mordi e fuggi (hit and run): entra nel mercato, pratica l undercutting (finché il prezzo dell impresa incumbent è fisso), per poi abbandonare il mercato quando l incumbent adegua il prezzo. Per evitare la concorrenza mordi e fuggi l incumbent deve fissare in anticipo un prezzo limite, pari al costo medio del potenziale entrante: p = Cu = Cm = c. Nei mercati contendibili, i prezzi sono più bassi che in monopolio (sono vicini o uguali a quelli della concorrenza), le quantità prodotte sono maggiori e i profitti più bassi.

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