Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari

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1 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 1/37 Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari Simone Fiori s.fiori@univpm.it Dipartimento di Ingegneria dell Informazione (DII) Università Politecnica delle Marche

2 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 2/37 Argomenti Tensione elettricav(t) Corrente elettricai(t) Elementi fondamentali: Bipoli elementari Funzioni generatrici e relazioni costitutive Potenza istantanea ed energia istantanea

3 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 3/37 Tensione elettrica Rappresenta la quantità di energiade necessaria per spostare una carica elettricadq nello spazio. dq de B A Definizione: v = de dq Unità di misura: Volt (V) Dipende dal tempo t. Esempio: v(t) = A cos(ωt + ϕ).

4 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 4/37 Esempio: Tensione elettrica sinusoidale 2.5 A=2 Volt, ω=10π rad/sec, φ=π/4 rad Tensione v(t) Tempo t

5 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 5/37 Corrente elettrica Rappresenta la quantità di caricadq che attraversa un punto dello spazio nel tempodt. dq A dt Definizione: i = dq dt Unità di misura: Ampére (A) Dipende dal tempot. Esempio: i(t) = Ie βt.

6 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 6/37 Esempio: Corrente elettrica esponenziale 2 I=2 Ampére, β=6 1/sec Corrente i(t) Tempo t

7 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 7/37 Esempio: Circuito elettrico R 1 L 1 i R3 v g + C 1 C 3 R 3 L 2 R 2 C 2 L 3

8 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 8/37 Equazioni fondamentali dell Elettrotecnica Le equazioni fondamentali dell Elettrotecnica si dividono in due categorie: Relazioni costitutive dei componenti: descrivono il comportamento dei singoli componenti.

9 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 8/37 Equazioni fondamentali dell Elettrotecnica Le equazioni fondamentali dell Elettrotecnica si dividono in due categorie: Relazioni costitutive dei componenti: descrivono il comportamento dei singoli componenti. Equazioni di Kirchhoff: descrivono il collegamento dei componenti tra loro.

10 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 9/37 Bipoli elementari Gli elementi più semplici dei circuiti elettrici sono i bipoli elementari. + i v Un bipolo instaura una relazione tra la tensione ai suoi capi v(t) e la corrente che lo attraversai(t). E importante notare chev(t) ei(t) sono in versi coordinati.

11 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 10/37 Bipoli elementari (2) E importante ricordare chev(t) ei(t) sono grandezze con segno, cioè le variabiliv edipossono assumere valori positivi, negativi e nullo. Ovvero: v, i R. Inoltre, la variabile temporaletèreale, ovvero: t R.

12 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 11/37 Funzione generatrice di un bipolo La relazione che il bipolo instaura tra la tensione e la corrente si esprime per mezzo della funzione generatrice del bipolo: f(v(t),i(t),t). All istantet, ai capi di un bipolo con funzione generatricef si possono trovare tutte e sole quelle coppie di valori(v(t),i(t)) tali che: f(v(t),i(t),t) = 0.

13 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 12/37 Relazione costitutiva di un bipolo Se si riesce ad esplicitare la tensionev in funzione della correnteiedel tempot, oppure si riesce ad esplicitare la correnteiin funzione della tensionev e del tempot, allora la relazione corrispondente si chiama relazione costitutiva del bipolo.

14 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 13/37 Esempio: Funzione generatrice Supponiamo che un bipolo abbia la seguente funzione generatrice: f(v,i,t) = v 2 +i 2 4t 2. Le coppie(v,i) ammissibili per tale bipolo sono tutte e sole quelle che soddisfano l equazionef(v,i,t) = 0, ovvero: v 2 t i

15 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 14/37 Proprietà di linearità e tempo-invarianza Un bipolo si dice lineare se per ogni combinazione di costanti α eβ e di coppie tensione-corrente(v 1 (t),i 1 (t)) e(v 2 (t),i 2 (t)) vale: f(αv 1 (t)+βv 2 (t),αi 1 (t)+βi 2 (t),t) = αf(v 1 (t),i 1 (t),t)+βf(v 2 (t),i 2 (t),t). Questa si dice anche proprietà di sovrapposizione degli effetti. Un bipolo si dice tempo-invariante se il suo comportamento non dipende esplicitamente dal tempo: f(v(t),i(t),t) = f(v(t),i(t)). Un bipolo lineare tempo-invariante si denota con LTI.

16 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 15/37 Bipoli elementari: Il resistore Il resistore elettrico ha simbolo grafico: + v i R La funzione generatrice èf(v,i,t) = v Ri, quindi la sua relazione costitutiva è: v(t) = Ri(t), dove il parametro costantersi chiama resistenza del resistore e si misura in Ohm (Ω).

17 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 16/37 Bipoli elementari: Il resistore (2) La relazione costitutiva del resistore si può scrivere anche: i(t) = Gv(t), dove il parametro costantegsi chiama conduttanza del resistore e si misura in Siemens (S) oppure inω 1. Chiaramente, ser 0, vale la relazioneg = 1 R.

18 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 17/37 Bipoli elementari: L induttore L induttore elettrico ha simbolo grafico: + v i L La funzione generatrice èf(v,i,t) = v L di dt, quindi la sua relazione costitutiva è: v(t) = L di(t) dt, dove il parametro costantelsi chiama induttanza dell induttore e si misura in Henry (H).

19 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 18/37 Bipoli elementari: Il condensatore Il condensatore elettrico ha simbolo grafico: v + i C La funzione generatrice èf(v,i,t) = i C dv dt, quindi la sua relazione costitutiva è: i(t) = C dv(t) dt dove il parametro costantec si chiama capacità del condensatore e si misura in Farad (F ).,

20 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 19/37 Bipoli elementari: Il circuito aperto (c.a.) Il circuito aperto ha simbolo grafico: i + La funzione generatrice èf(v,i,t) = i, quindi la sua relazione costitutiva è: v i(t) = 0. In un circuito aperto non scorre corrente, ma non c è nessun vincolo sulla tensione ai suoi capi. Il c.a. è equivalente ad un resistore cong = 0.

21 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 20/37 Bipoli elementari: Il corto-circuito (c.c.) Il corto-circuito ha simbolo grafico: i + v La funzione generatrice èf(v,i,t) = v, quindi la sua relazione costitutiva è: v(t) = 0. In un corto-circuito non c è alcun vincolo sulla corrente. Il c.c. è equivalente ad un resistore conr = 0.

22 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 21/37 Il generatore indipendente di tensione (GIT) Il generatore indipendente di tensione ha simbolo grafico: i + v g +v La funzione generatrice èf(v(t),i(t),t) = v(t) v g (t), quindi la sua relazione costitutiva è: v(t) = v g (t), dove la tensionev g (t) è la funzione caratteristica del generatore indipendente di tensione.

23 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 22/37 Il generatore indipendente di corrente (GIC) Il generatore indipendente di corrente ha simbolo grafico: i g i + v La funzione generatrice èf(v(t),i(t),t) = i(t) i g (t), quindi la sua relazione costitutiva è: i(t) = i g (t), dove la correntei g (t) è la funzione caratteristica del generatore indipendente di corrente.

24 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 23/37 Esempio: Circuito elettrico R 1 L 1 i R3 v g + C 1 C 3 R 3 L 2 R 2 C 2 L 3

25 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 24/37 Potenza istantanea su un bipolo Su un bipolo in cuiv(t) ei(t) sono coordinati, si definisce la potenza istantanea: p(t) = v(t)i(t), che si misura in Watt (W ). Inoltre, si definisce l energia istantanea: e(t) = t p(τ)dτ, che si misura in Joule (J). La definizione vale sotto l ipotesi che e( ) = 0.

26 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 25/37 Significato della potenza istantanea In ogni istantetla potenzap(t) può assumere valore: positivo: in questo caso il bipolo sta assorbendo energia dal resto del circuito; negativo: in questo caso il bipolo sta erogando energia al resto del circuito; nullo: in questo caso il bipolo non sta scambiando energia con il resto del circuito.

27 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 26/37 Significato dell energia istantanea Se un bipolo è tale per cui in ogni istante di tempotrisulta e(t) 0, allora si dice che il bipolo è passivo. Un bipolo passivo può sia assorbire che erogare energia, ma non può mai erogare più energia di quella ricevuta in precedenza. Se l energia istantanea di un bipolo cambia segno, il bipolo non è passivo. Si dice, pertanto, attivo. Un bipolo attivo è energeticamente indefinito, ovvero, può sia erogare che assorbire energia in quantità arbitrarie.

28 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 27/37 Esempio: potenza ed energia p(t) t

29 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 28/37 Classificazione energetica dei bipoli: Resistore In un resistore, valev(t) = Ri(t), quindi: p(t) = v(t)i(t) = Ri 2 (t), e(t) = R t i 2 (τ)dτ. Chiaramente, il resistore è passivo se e solo ser 0. Come conseguenza, il circuito aperto e il corto-circuito sono bipoli passivi.

30 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 29/37 Classificazione energetica dei bipoli: Induttore In un induttore, valev(t) = L di(t) dt, quindi: p(t) = v(t)i(t) = Li(t) di(t) dt, e(t) = L t i(τ) di(τ) dτ dτ = 1 2 Li2 (t). Chiaramente, l induttore è passivo se e solo sel 0.

31 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 30/37 Classificazione energetica: Condensatore In un condensatore, valei(t) = C dv(t) dt, quindi: p(t) = v(t)i(t) = Cv(t) dv(t), dt e(t) = C t v(τ) dv(τ) dτ dτ = 1 2 Cv2 (t). Chiaramente, il condensatore è passivo se e solo sec 0.

32 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 31/37 Classificazione energetica dei bipoli: GIT In un generatore indipendente di tensione, valev(t) = v g (t), quindi: p(t) = v(t)i(t) = v g (t)i(t), e(t) = t v g (τ)i(τ)dτ. Non si può dire nulla, a prori, sul segno dell energia istantanea, quindi si deve concludere che il GIT è un bipolo attivo.

33 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 32/37 Classificazione energetica dei bipoli: GIC In un generatore indipendente di corrente, valei(t) = i g (t), quindi: p(t) = v(t)i(t) = v(t)i g (t), e(t) = t v(τ)i g (τ)dτ. Non si può dire nulla, a priori, sul segno dell energia istantanea, quindi si deve concludere che il GIC è un bipolo attivo.

34 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 33/37 Proprietà di memoria I componenti bipolari condensatore e induttore si dicono componenti con memoria perché nelle loro relazioni costitutive compaiono operatori di derivazione (o integrazione). Quando un circuito contiene uno o più elementi con memoria, si parla di circuito con memoria.

35 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 34/37 Bipoli generici Ogni circuito elettrico accessibile da due terminali si dice bipolo. + i v Un bipolo elementare è un bipolo. Un bipolo può essere però formato dalla connessione di più componenti tra loro. La funzione generatricef(v(t),i(t),t) può essere arbitrariamente complicata.

36 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 35/37 Bipoli affini Una classe importante è quella dei bipoli che hanno una funzione generatrice affine. + i v In questo caso, la funzione generatrice assume la forma: f(v(t),i(t),t) = av(t)+bi(t)+c(t), doveaebsono costanti rispetto al tempo ec(t) è una funzione del tempo che dipende dai GIT e GIC interni al bipolo.

37 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 36/37 Equivalenza delle funzioni generatrici Per un dato bipolo, la funzione generatrice che ne descrive il comportamento non è unica. Per esempio, sef(v,i,t) è una funzione generatrice di un bipolo, anchek f(v,i,t) ne è funzione generatrice per qualsiasi costantek 0. Di fatto, le funzioni generatrici per ogni bipolo sono infinite. Si introduce allora una relazione di equivalenza per una coppia di funzioni generatricif 1 (v,i,t) ef 2 (v,i,t): f 1 (v,i,t) f 2 (v,i,t).

38 Simone Fiori Elettrotecnica: Grandezze fondamentali e bipoli elementari p. 37/37 Equivalenza dei bipoli Siab 1 un bipolo con funzione generatricef 1 (v,i,t) e siab 2 un diverso bipolo con funzione generatricef 2 (v,i,t). Due bipoli si dicono esternamente equivalenti se f 1 (v,i,t) f 2 (v,i,t).

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