ELEMENTI DI LOGICA PROBABILISTICA 29

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1 ELEMENTI DI LOGICA PROBABILISTICA Lo schema delle scommesse di de Finetti. La nostra analisi della logica probabilistica si è fino a qui basata su due assunzioni. La prima è che la logica dei gradi di convinzione sia vincolata dalla (relazione di) conseguenza classica sugli eventi. Questo è del tutto ragionevole se riteniamo che il ragionamento in condizioni di certezza sia un caso particolare del ragionamento in condizioni di incertezza. E non ci sono motivi cogenti per dubitarne. Dobbiamo però precisare in che modo interpretiamo gli enunciati di EL come eventi Enunciati, fatti ed eventi. Nel nostro sviluppo della logica (proposizionale, classica) della certezza, abbiamo assunto che l insieme delle valutazioni proposizionali fosse abitato da funzioni totali. Insieme al principio di composizionalità questo implica una forma di onniscienza, da parte dei nostri agenti logici: ogni variabile proposizionale è decisa 21 da ogni valutazione, e di conseguenza lo è ogni enunciato in EL. Non sembra esserci molto spazio per l incertezza in questo quadro, che sembra chiaramente parlare di fatti e non di eventi. Anche questa volta le apparenze sono fuorvianti. Rammentiamo dalla Sezione 2.4 che l oggetto del nostro interesse sono entità che è comodo chiamare agenti logici. È certamente possibile, in tale contesto, contemplare la situazione in cui tutte le variabili proposizionali in L sono decise dalle valutazioni su L, ma senza che il nostro agente sappia come. È questa ignoranza che distingue gli eventi dai fatti. Definizione 3.5 (Eventi). Per un dato agente Ag, 2ELè u n evento se (1) Ag non conosce il valore di verità di (2) Ag conosce le condizioni di verifica di, cioè sa quali sono le condizioni sotto cui si potrà dire se si è verificato oppure no. Un analogia può aiutare la comprensione di questo punto importante e delicato. Pensiamo al mondo come a un film. Il montaggio è eseguito in modo tale che a ogni fotogramma venga decisa una (nuova) variabile proposizionale e che all ultimo fotogramma si decida l ultima variable proposizionale di L che ancora rimane da decidere. Supponete ora che 2ELsia una formula particolarmente complicata. Prima dell inizio del film non sapete quale sarà il valore di verità di, ma sapete che alla fine del film avrete tutte le informazioni necessarie per decidere se si è verificato oppure no. Si tratta dunque di un evento. 21 Cioè v(p) 2{0, 1}, perognip 2L.

2 30 HYKEL HOSNI Il rapporto logico tra fatti ed eventi è molto stretto. Per i nostri scopi possiamo addirittura spingerci fino a dire che sono i fatti che permettono di decidere se un certo evento si è verificato oppure no. Il seguente esempio, essenzialmente dovuto a Emile Borel, illustra il punto. Esempio 3.6 (Fatti ed eventi). Supponete di chiedere a un amica di lanciare una moneta da un euro lunedì pomeriggio alle 4 e di nasconderla sotto una tazza. Supponete che sia uscita testa. L enunciato è uscita testa è sicuramente un fatto. Martedì mattina l enunciato che sta per è uscita croce è certamente deciso da questo fatto, ma per voi è un evento fino a che non avrete modo di sollevare la tazza e verificarne l occorrenza. Esercizio 14. Sia la formalizzazione di l aereo da Londra a Pisa è in orario. Si tratta di un evento o di un fatto? Argomentare brevemente Incertezza e probabilità. La seconda assunzione che abbiamo fatto senza discussione è che l incertezza del nostro agente logico sia rappresentata formalmente dalla sua funzione di probabilità. Benché la probabilità nasca 22 come misura dell incertezza, non abbiamo alcuna garanzia, a meno di argomentare dettagliatamente, sul fatto che una funzione d insieme monotona, normalizzata e (finitamente) additiva, come quella della definizione 3.2 sia una misura adeguata dell incertezza del nostro agente. Un altro modo di formulare la domanda è questo: Perché (P1) e (P2) nella definizione 3.2 sono proprietà desiderabili dei gradi di convinzione razionale di un agente idealizzato? Il compito che a ronteremo nella parte rimanente di questa sezione è quindi giustificare la nostra scelta di formalizzare i gradi di convinzione attraverso funzioni di probabilità sull insieme degli eventi EL. Per farlo useremo lo schema delle scommesse introdotto da Bruno de Finetti intorno alla fine degli anni 20 del secolo scorso. 23 Esempio 3.7. Vi o rono 24 di scommettere su chi sarà il capo del prossimo governo della Repubblica italiana, cioè simultaneamente sugli eventi 1, 2, 3, 4 a cui assegnate le seguenti probabilità: 22 Con un travaglio di oltre un secolo tra la fine del 1500 e l inizio del De Finetti, B Sul Significato Soggettivo Della Probabilità. Fundamenta Mathematicae 17: L esempio non può sviluppare quello discusso durante la lezione del 21 gennaio Quando ho scritto quell esempio non contemplavo l ipotesi che Bersani potesse arrivare primo senza vincere. La logica classica è ovviamente inadeguata come modello degli eventi politici del Belpaese.

3 ELEMENTI DI LOGICA PROBABILISTICA 31 P ( 1 )=p 1 (governerà Berlusconi) P ( 2 )=p 2 (governerà Bersani) P ( 3 )=p 3 (governerà Grillo) P ( 4 )=p 4 (governerà un candidato che ha avuto più di un quarto dei voti) Nello schema delle scommesse che stiamo per sviluppare interpretiamo p i,i= 1, 2, 3, 4 come il prezzo di un biglietto che vi dà diritto a ricevere 1 se si verifica i e 0 altrimenti (con una perdita netta di p i.) Risulta chiaro che, sotto l ipotesi di essere obbligati a comprare tutti e quattro i biglietti simultaneamente, debba essere soddisfatta l equazione p 4 = p 1 + p 2 + p 3. (3.3) Se così non fosse vi esporreste a perdita certa causata dal fatto che sareste disposti a pagare due cifre diverse per biglietti logicamente equivalenti 25. Esporsi alla possibilità logica della perdita certa rappresenta un tipo di comportamento ovviamente irrazionale. Uno cioè che rivela opinioni incoerenti o gradi di convinzione inammissibili. Nell esempio precedente è facile vedere come l additività della funzione di probabilità (cioè P2) ci permetta di evitare la perdita sicura e costituisca quindi una condizione necessaria per la coerenza delle opinioni soggettive. Vedremo adesso come l interpretazione della probabilità come prezzo ci permetta di rendere questa conclusione matematicamente precisa ed estenderne notevolmente le conseguenze. Prima di entrare nel dettaglio dell argomento è utile anticiparne i due passi principali: (1) identificazione dei gradi di convinzione di un agente con la sua disposizione a compiere determinate scelte (scommettere a favore o contro certi eventi) (2) dimostrazione che la condizione necessaria e su ciente a nché l agente eviti di compiere scelte ovviamente irrazionali è che i suoi gradi di convinzione soddisfino (P1) e (P2). Il punto (1) consiste nella formalizzazione del problema (informale) di definire il concetto di scelta ovviamente irrazionale da cui concludiamo l incoerenza delle opinioni. Il punto di arrivo è un astrazione del problema originario che chiameremo il problema di de Finetti. All interno di quest ultimo possiamo a rontare il punto (2) in modo matematico. Dimostreremo cioè il teorema di coerenza di de Finetti. 25 Poiché uno e uno solo sarà il capo del governo, segue chiaramente che 4 W 3 i=1 i

4 32 HYKEL HOSNI Figura 3. Bruno de Finetti ( ). Osservazione 3.8. È opportuno tenere ben presente fin da ora che l identificazione a cui arriveremo dei gradi di convinzione razionale con i gradi di probabilità non vale in senso assoluto. Dipende invece dalle ipotesi che facciamo in (1) nella costruzione del modello e in particolare dall idealizzazione dell agente e dall astrazione del problema di scelta che introdurremo a breve. Si tratta, in altre parole, di un modello normativo che si applica soltanto a una classe specifica di problemi Il problema di scelta. Siano 2EL, p 2 [0, 1] e 2 R che assumiamo espresso in una qualche divisa, per esempio Euro. Una scommessa è una variable aleatoria a valori reali. Denotiamo le scommesse con F, G ecc., eventualmente con opportuni pedici. Il problema di scelta di de Finetti (o più semplicemente, il problema di scelta) che vogliamo costruire cattura l interazione tra due agenti Allibratore e Giocatrice le cui caratteristiche vedremo tra un attimo. Lo scopo del problema di scelta è quello di rendere analizzabile il comportamento di scelta di Allibratore in modo da permetterci di misurare i suoi gradi di convinzione. 26 In statistica, economia, intelligenza artificiale, filosofia della scienza, ecc., l ideologizzazione del dibattito sui fondamenti della probabilità raggiunge picchi imbarazzanti. È bene immunizzarsi subito.

5 ELEMENTI DI LOGICA PROBABILISTICA 33 Definizione 3.9. Uno schema di scommesse è una coppia (,!) dove EL è un insieme finito di eventi e! :! [0, 1] è un assegnamento. L intuizione è che un assegnamento corrisponda alla pubblicazione da parte di Allibratore delle sue quote di scommessa per gli eventi in. Le scommesse sono regolate da un contratto che ha le seguenti clausole: (C0) Il contratto è valido soltanto per eventi; (C1) Allibratore pubblica, per ogni evento i 2 le sue quote p i 2 [0, 1]; (C2) Giocatrice, ha facoltà di puntare una quantità 2 R a suo piacimento e di scegliere tra le variabili aleatorie F p ( ) ea p ( ) dove e F p ( ) = ( (1 p) se v( ) =1 p se v( ) =0, A p ( ) = ( p se v( ) =0 (1 p) se v( ) =1. Ne risulta che F p ( ) è il valore (monetario) che Giocatrice ottiene puntando unità su alla quota p. Analogamete A p ( ) è il ricavo che ottiene puntando unità contro alla quota p. Osservazione La scelta tra F p ( ) ea p ( ) si riduce e ettivamente alla scelta del segno di. Se Scommettitrice vuole scommmettere contro, deve moltiplicare il prezzo della scommessa per la puntata negativa. Questo è particolarmente chiaro da visualizzare se rappresentiamo il ricavo di Giocatrice con la matrice della figura 4. v( ) =1 v( ) =0 F p ( ) (1 p) p A p ( ) (1 p) p Figura 4. La matrice di ricavo di Giocatrice L astrazione del problema. (1) Il problema di scelta di de Finetti è quindi un gioco in forma estesa a somma zero. La prima mossa è di Allibratore, che sceglie, per ogni

6 34 HYKEL HOSNI i nello schema, un assegnamento p i. Successivamente Giocatrice ha la scelta tra pagare F p ( ) ea p ( ). Nel momento in cui Allibratore fa la sua scelta dei p i, sa che successivamente Giocatrice farà la propria, e potrà farla in numero illimitato di volte. Giocatrice può cioè scommettere un numero arbitrario di volte. (2) Poiché il valore combinato di F p ( ) e A p ( ) è 0, la scelta di un valore negativo di S equivale alla decisione unilaterale di Giocatrice di scambiare ruolo con Al. 27 (3) Per evitare distorsioni dovute al decremento dell utilità marginale si assume 28 che i valori in euro siano piccoli L idealizzazione degli agenti. Assumiamo che Allibratore e Giocatrice siano agenti idealizzati e in particolare che: (Id 1 ) siano logicamente onniscienti e infallibili (Id 2 ) siano immuni da limitazioni computazionali (Id 3 ) siano indi erenti rispetto al rischio (cioè no provino attrazione né repulsione a scommettere) (Id 4 ) abbiano a disposizione somme illimitate di denaro Gli agenti reali (io, voi, ecc) violano spesso le assunzioni (Id 1 ) (Id 4 ). Questo significa che l argomento che stiamo costruendo non ha valore descrittivo. Detto altrimenti, non spiega il comportamento di scelta che osserviamo (sperimentalmente) negli individui e non è questo l obiettivo. Siamo invece interessati a capire come dovrebbe scegliere nel problema di de Finetti un individuo che non si trovi ad essere limitato da tempo, denaro, disattenzione ecc. A queste idealizzazioni, si aggiunge la seguente assunzione fondamentale. Assunzione 3.11 (Desiderabilità delle vincite). Allibratore e Giocatrice preferiscono le vincite rispetto alle perdite. La discussione sull ipotesi di desiderabilità delle vincite è per certi aspetti molto debole, ma per altri ricca di insidie. Basti pensare ai fiumi di inchiostro che sono stati stampati sull idea di razionalità economica incarnata da homo economicus Questa è senza dubbio la principale astrazione del problema di de Finetti rispetto alla pratica reale delle scommesse. Nessun allibratore reale prenderebbe mai in considerazione l ipotesi di vendere una scommessa per una quantità negativa di denaro! 28 Un assunzione che de Finetti chiama ipotesi di rigidità. 29 Gli interessati possono farsi un idea sfogliando Camerer, C., and Fehr, E When Does Economic Man Dominate Social Behavior? Science 311 (5757):

7 ELEMENTI DI LOGICA PROBABILISTICA 35 Per noi si tratta di una discussione marginale. È infatti chiaro che sotto (Id 3 ) preferire la vincita (monetaria) rispetto alla perdita sia una condizione riassumibile nel fatto che gli agenti hanno un obiettivo. Le implicazioni morali della massimizzazione del valore monetario sono quindi del tutto irrilevanti. Ci possiamo facilmente spingere fino a dire che l unico vero ruolo delle controparti monetarie nello schema delle scommesse di de Finetti è quello di permetterci di fare i conti. Binmore, K Economic Man or Straw Man? Behavioral and Brain Sciences 28:

F p ( ) A p ( ). F p 0( ) A p 0( ), (3.4)

F p ( ) A p ( ). F p 0( ) A p 0( ), (3.4) 36 HYKEL HOSNI 3.1.6. Opinioni rivelate. Siamo ora nella posizione di vedere come il problema di scelta di de Finetti ci permetta di definire in modo operativo i gradi di convizione di Allibratore, e successivamente

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