I PARTE: CALCOLO DELLE PROBABILITÀ

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1 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo I ARTE: CALCOLO DELLE ROBABILITÀ I. Evet ed Est Cosderamo l espermeto d gettare u dado. Gettamo l dado, aspettamo che s ferm e osservamo l umero d put preset sulla facca superore: come s sa, può avere uo de seguet valor:,, 3, 4, 5 o 6. Gà che c samo, osservamo che può uscre solo uo d quest umer: o s possoo avere cotemporaeamete, poamo, l 3 ed l 5, o qualuque altra combazoe d umer. Caso A - Nulla c mpedsce d scommettere su uo qualuque d quest se valor, per esempo scommettamo sul 3. Caso B - ossamo però fare ua scommessa dversa, ad esempo scommettere su par: vcamo se esce, 4 o 6; perdamo se esce, 3 o 5. Caso C - otremmo ache scommettere d superare l 4: vcamo se esce 5 o 6, perdamo se esce,, 3 o 4. Qual è la dffereza tra quest 3 cas? Nel caso A vedamo che dvers rsultat possbl soo tutt pres cosderazoe sgolarmete. I effett o esstoo rsultat pù elemetar de se valor,, 3, 4, 5 e 6. De rsultat elemetar come quest vegoo chamat ESITI. È da rcordare che solo uo d quest est s può verfcare u sgolo laco: quest est s escludoo a vceda, soo MUTUAMENTE ESCLUSIVI od altrmet detto INCOMATIBILI. Nel caso A abbamo decso d scommettere sul verfcars d uo degl est (l 3). Nel caso B vece, e per la vertà ache el caso C, abbamo scommesso su cert raggruppamet d est. Dcamo meglo: el caso A abbamo scommesso sull EVENTO esce l 3, che cocde co uo solo degl ESITI possbl; el caso B abbamo scommesso vece sull EVENTO esce u umero par, che cocde co tre degl ESITI possbl: gl ESITI, 4 e 6. Aalogamete el caso C abbamo scommesso sull EVENTO esce u umero maggore d 4, che cocde co due degl ESITI possbl: gl ESITI 5 e 6. D ora po chameremo gl evet co ua lettera mauscola. Mateedo ostr tre esemp, defamo qud tre evet: Eveto A: esce l umero 3 (l eveto comprede u solo esto: esce la facca co 3 put) Eveto B: esce u umero par (l eveto comprede 3 est: esce oppure 4 oppure 6) I-

2 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Eveto C: esce u umero maggore d 4 (l eveto comprede est: esce 5 oppure 6) Notamo subto che l verfcars cotemporaeo dell eveto A e dell eveto B è mpossble, così come dell eveto A e dell eveto C. Ifatt gl est che verfcao l eveto A soo soltato uo, l umero 3, metre gl est che verfcao l eveto B soo tre:, 4 e 6. oché se est soo compatbl, e poché gl est che verfcao l eveto B soo tutt dvers dagl est che verfcao l eveto A due evet o possoo ma verfcars smultaeamete: soo ach ess INCOMATIBILI. Stesso dscorso per la coppa d evet A e C. E la coppa B e C? Duque, gl est che verfcao l eveto B soo tre:, 4 e 6, metre gl est che verfcao l eveto C soo due: 5 e 6. S vede che l esto 6 verfca tutt e due gl evet qud gl evet B e C NON soo compatbl. Dopo questo dscorso troduttvo, u po troppo qualtatvo, veamo a delle belle defzo. I dvers rsultat possbl, mutuamete esclusv, d u espermeto aleatoro soo dett est; el seguto verrao dcat co lettere greche muscole. L seme d tutt gl est possbl d u dato espermeto è detto spazo degl evet, e lo deoteremo co la lettera greca Ω. Dremo che u eveto A è assocato agl est dello spazo Ω se possamo sempre dre per qualuque esto ω dello spazo Ω se esso verfca o o verfca l eveto A. Ovvero, co termologa semstca, se possamo dvduare quale sottoseme d Ω cotee tutt e sol gl est che verfcao A. Ache questo sottoseme lo chameremo A. D ora po, percò, A o B o ua lettera mauscola geere potrà deotare dfferetemete u eveto o l sottoseme d Ω che cotee tutt e sol gl est che verfcao tale eveto. Aalogamete per o dre s verfca l eveto A o s verfca u esto apparteete al sottoseme A sarà esattamete la stessa cosa. Avedo dato questa terpretazoe semstca, possamo servrcee per dare qualche defzoe. CA B (uoe degl evet A e B) è ovvamete l eveto che corrspode al sottoseme A B, coè che è verfcato da uo qualuque degl est d A o d B, coè deftva che s verfca quado è verfcato A oppure B (od ache tutt e due, se hao est comue). CA B (tersezoe degl evet A e B: lo scrveremo ache semplcemete AB quado o darà adto a dubb) è altrettato ovvamete l eveto che corrspode al sottoseme A B, coè che è verfcato da uo qualuque d quegl est che appartegoo I-

3 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo cotemporaeamete ad A ed a B, coè deftva che s verfca quado soo verfcat cotemporaeamete gl evet A e B. A-B (dffereza degl evet A e B) è l eveto che corrspode al sottoseme A-B, coè è verfcato da quegl est che verfcao A ma o verfcao B. è charo che A-B A- (A B) U caso partcolare è Ω-A, coè l seme d tutt gl est possbl che o verfcao A: esso è detto eveto complemetare d A e deotato A. Vedamo dagramm d Ve corrspodet a quest dvers sem. I-3

4 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo I. robabltà classca redamo u espermeto aleatoro tale che, per le codzo spermetal, s possa rteere che gl est sao tutt equprobabl: ad esempo l laco d ua moeta può dare due est, testa o croce, e verosmlmete due est hao la stessa probabltà; l laco d u dado può dare 6 est, ed è lecto pesare che, graze alla geometra del dado ed alla meccaca del laco, se est sao tutt equprobabl; l estrazoe d ua carta a caso da u mazzo be mescolato (dcamo mescolato molto a lugo): tutte le carte hao a pror la stessa probabltà d vere estratte; e così va. I tal caso la probabltà d u eveto A s calcola come rapporto tra l umero d est che verfcao l eveto stesso ed l umero totale d est possbl. er esemplfcare, rpredamo gl est A, B e C vst prma. I tutt e tre cas l umero d est possbl (ed equprobabl, per quato s è detto) è 6; l umero d est favorevol (coè che verfcao l eveto) è per l eveto A, 3 per l eveto B e per l eveto C: qud 6 ( A) ( B) ( A) A questo puto c servrao alcu I.3 Rcham d calcolo combatoro I. Dat elemet a ed m elemet b j v soo m possbl coppe (a.b j ) II. ù geerale: dat m elemet formare m m... mn a possbl -uple ( ), m elemet a m N elemet a N s possoo a,a,..., a N III. S abba u seme d oggett a, a,, a e s estraggao r elemet, rmettedo og volta l elemeto estratto detro l seme: l umero delle possbl r-uple ordate che s possoo otteere è r (soo le dsposzo co rpetzoe d oggett ad r ad r) IV. S abba u seme d oggett a, a,, a e s estraggao r elemet, seza ma rmettere l elemeto estratto detro l seme: l umero delle possbl r-uple ordate! che s possoo otteere è (-)(-).(-r+), vale a dre. Queste soo dette ( r)! dsposzo seza rpetzoe d oggett ad r ad r. Al puto precedete abbamo calcolato l umero d possbl r-uple ordate d elemet dell seme. Coè, due r-uple che cotegoo gl stess r elemet ma orde dverso soo cosderate r-uple dfferet e ambedue cotate el overo. E se l orde o teressa? I tal caso predamo l umero trovato e lo dvdamo per l umero d permutazo (coè d possbl mod d ordarl) d r oggett. I-4

5 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Quato vale? Facle, l umero d dsposzo d r oggett ad r ad r, coè: r! (r r)! r! r!! V. pertato l umero d combazo (seza rpetzoe) d oggett ad r ad r (coè le r-! uple possbl, seza teere coto dell orde degl elemet) vale ( r)!r! r Notamo che l umero questoe altro o è che l umero d possbl sottosem d poteza r dell seme d poteza dato, o co terme tecco, l umero d sottopopolazo d tagla r della popolazoe d tagla data. VI. Data ua popolazoe d tagla, e umer ter,,, tal che la loro somma sa! par ad, esstoo mod d rpartre la popolazoe sottopopolazo,!!...! rspettvamete d tagla,,,. Rcordamo la formula d Strlg per approssmare l fattorale per molto grade:! π e Esempo Lacado due volte u dado, qual è la probabltà d otteere due volte lo stesso umero? Le coppe (a,b) d valor possbl soo 36, e soo tutte equprobabl; d queste 6 soo formate da u umero rpetuto due volte, coè co ab. Qud la probabltà cercata è 6 (A) 36 Esempo Qual è la probabltà d otteere tre 6 lacado tre dad? Qu le possbl tere (a,b,c) soo 6 3 6, e d queste ua sola ha abc6. Duque Esempo 3 (A) 6 Mettamo r oggett caselle (co r), avedo cura d o mettere ma due oggett ella stessa casella. I quat mod possamo fare questa operazoe? er l prmo oggetto abbamo caselle lbere, per l secodo e restao -, per l terzo - e così va. I deftva Esempo 4 6! N ( )( )...( r + ) ( r)! U covoglo è composto da vago. Su d esso salgoo r passegger, dove r. Se og passeggero scegle l vagoe maera completamete aleatora, qual è la probabltà che gl r passegger salgao su r vago dvers? Oguo degl r passegger può sceglere l suo vagoe mod e qud r passegger hao r mod d dstrburs vago. Vceversa, se lmtamo la scelta modo tale che oguo scelga u vagoe dverso, mod d sceglere soo d meo. Ifatt l prmo può sceglere mod, al secodo e restao -, al terzo - e così va. Qud l umero totale è (-)(-) (-r+), coè I-5

6 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo da cu trovamo la probabltà cercata! N(A) ( r)! N(A)! (A) N ( r)! r Esempo 5 Ua cassa d pezz cotee pezz dfettos. U spettore cotrolla pezz estratt modo casuale dalla cassa. Qual è la probabltà che o e trov essuo dfettoso? I prmo luogo occorre calcolare quat mod possamo sceglere pezz da u lotto d : N!!9! d quest N mod, quat o cotegoo pezz dfettos? N (A) 9 ertato la probabltà cercata è data dal rapporto: 9!!8! 9! N(A) 9!9! (A)!8! N! 8!!!9! Esempo 6 S pescao due carte a caso da u mazzo da brdge. Qual è la probabltà d pescare ass? Il mazzo cotee 5 carte, d cu 4 ass. Quate coppe è possble formare da 5 carte? 5! N 5 36!5! Quate d queste soo formate da ass? Coè, quate coppe è possble formare co 4 ass? Qud la probabltà cercata è 4! N (A) 4 6!! 6 (A) 36 Esempo 7 Vee dstrbuta ua mao d brdge. Qual è la probabltà che oguo de quattro gocator rceva u asso? I quat mod possamo creare 4 sottopopolazo d tagla 3 dalla popolazoe d tagla 5? N 5! 3! 3! 3! 3! Separamo gl ass: dobbamo dstrbure u asso per cascuo, pù altre carte per cascuo. I quattro ass s possoo dstrbure, come sappamo, 4! 4 mod. Co le rmaet 48 carte formamo 4 sottopopolazo d tagla. ossamo farlo 48!!!!! mod. Qud la probabltà rchesta è data da 48! 3! 3! 3! 3! (A) 4!.5!!!! 5! I-6

7 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo I.4 Legge d addzoe delle probabltà Cosderamo due evet compatbl A e B d cu sao ote le probabltà (A) e (B), e sa CA B l eveto uoe. I tal caso s ha per l eveto uoe: (C)(A)+(B) ù geerale s può calcolare la probabltà d u eveto evet A, purché quest sao tra loro tutt compatbl: ( C) ( A ) C U A, uoe coè d molt Se abbamo a che fare co due evet NON compatbl occorre rscrvere la probabltà della loro uoe come: (CA B)(A)+(B)-(A B) er capre l perché, faccamo l esempo d u espermeto aleatoro co est tra loro equprobabl. I tal caso, come sappamo, (A) è uguale al umero (A) d est favorevol, coè apparteet al sottoseme A, dvso l umero totale d est possbl N; aalogamete (B) è data dal umero (B) d est apparteet al sottoseme B dvso l umero totale N d est possbl; fe (A B) è par al umero d est apparteet al sottoseme A B, che chameremo (A B), dvso l solto umero totale N d evet possbl. I smbol: (A) (A) N (B) (B) N (A B) (A B) N Se gl evet soo compatbl, coè o v soo est che appartegoo cotemporaeamete ad A ed a B, allora (A B)(A)+(B), da cu: (A B) (A) + (B) (A) (B) (A B) + (A) + (B) N N N N Se vece gl evet o soo compatbl, vale a dre che v soo dcamo M est che appartegoo sa ad A che a B, allora el fare la somma (A)+(B) l cotamo due volte, e qud dobbamo dre che (A B)(A)+(B)-M. Ma l suddetto M, essedo l umero d est che appartegoo cotemporaeamete ad A ed a B, è é pù é meo che l umero d est (A B) coteuto A B, qud I-7

8 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo e deftva: (A (A B) (A B) N (A B) (A) + (B) M B) N N M N (A) N + (B) N M (A) + (B) (A B) N Questo rsultato, che abbamo dmostrato solo per l caso d est equprobabl vale geerale. I.5 robabltà codzoata e legge d moltplcazoe delle probabltà Cosderamo l espermeto seguete: da u ura coteete 5 palle bache e 5 ere vegoo estratte palle. Qual è la probabltà che esse sao ambedue bache? ossamo procedere due mod: ) rapporto est favorevol su est possbl. I quat mod possamo predere due palle da u lotto d? N!!8! 9 quat d quest mod mostrao ambedue le palle bache? la probabltà è duque: 5 5 5! 5! 5 4!3!! 5! ( A) ( A) ) La probabltà d che la prma palla estratta sa baca è p 5 la probabltà che la secoda sa baca se è baca la prma: p 4 9 e qud la probabltà le due palle estratte sao bache è data dal prodotto 5 4 p 9 I-8

9 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo che cocorda col precedete rsultato. Ora, la probabltà che la secoda sa baca se è baca la prma s chama ROBABILITÀ CONDIZIONATA. Dcamo meglo, defamo gl evet seguet: Eveto A la prma palla estratta è baca Eveto B la secoda palla estratta è baca Allora la probabltà che s verfch l eveto B o è 4/9 (fra poco la calcoleremo). La probabltà che s verfch l eveto B se s è verfcato l eveto A è, questa sì, 4/9; e questa è detta probabltà d A codzoato a B, che s scrve (A/B). erché (B), detta probabltà a pror d B, o è uguale a 4/9? erché B s può verfcare ache se o s è verfcato A, ed tal caso la sua probabltà ( ( B / A), probabltà d B codzoato a o-a) è 5/9. E la probabltà TOTALE (s chama propro così) quato vale? È data dalla probabltà che s verfch A seguto da B sommata alla probabltà che s verfch o-a seguto da B, coè: ( A) ( B / A) + ( A) ( B / A) questo perché due percors alteratv (tramte A e tramte o-a) soo compatbl, e qud la probabltà della loro uoe è par alla somma delle loro probabltà. Nulla d strao che vega ¼: detro l ura v soo apputo palla baca su 4. Vedamo u dsego: 4 A ((A)5/) B (((B/A)4/9) B (((B/A)5/9) A ad B A ad B A ((A)5/) B (((B/A)5/9) A ad B B (((B/A)4/9) A ad B Capamo po ua cosa mportate da questo esempo: ( A B) ( A) ( B/ A) I-9

10 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo La probabltà dell tersezoe d due evet o è, geerale, uguale al prodotto delle probabltà: ( A B) ( A) ( B) Defzoe: l eveto B è INDIENDENTE dall eveto A se e solo se ( B/ A) ( B) coè se la probabltà A RIORI d B e la probabltà d B codzoato ad A soo ugual. È charo, da quato vsto, che tal caso s ha ( A B) ( A) ( B / A) ( A) ( B) Ecco duque la legge della moltplcazoe questo caso: la probabltà dell tersezoe d due evet dpedet è par al prodotto delle sgole probabltà de due evet. Da quato detto fora dscede ache u altra propretà. Ifatt vertedo l orde dell equazoe geerale per la probabltà dell tersezoe s ha ache ( B/ A) ( A B) ( A) che forsce la regola per calcolare la probabltà codzoata. Questa s può gustfcare faclmete el caso degl est equprobabl. Ifatt, sao (A) gl est che verfcao A, coteut coè ella sottopopolazoe A, (B) gl est che verfcao B, overo coteut ella sottopopolazoe B, e (A B) l umero d est che verfcao cotemporaeamete A e B, coè coteut ell tersezoe delle suddette sottopopolazo A e B; N è come al solto l umero degl est possbl, gl est d Ω. Ora la probabltà a pror d A è data dal rapporto tra (A) ed N, come sappamo. Tuttava, se s sa che s verfca B, o tutt gl N est soo pù possbl: soltato gl (B) est della sottopopolazoe B possoo verfcars. Il ostro spazo degl evet s è per così dre rstretto a B. D quest (B) est possbl quat verfcao A? aturalmete (A B), ecco duque che se s sa che s verfca B la probabltà che s verfch A è data dal rapporto ( A / B) ( A B) ( B) ( A B) N N ( B) ( A B) ( B) Se ella formula vsta s scambao om degl evet s trova ( B A) ( B) ( A / B) ma poché l tersezoe è commutatva: I-

11 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo da cu due mportat regole: ) La formula d Bayes: ( A) ( B / A) ( A B) ( B A) ( B) ( A / B) ( B/ A) ( B) ( A / B) ( A) ) se A è dpedete da B ache B è dpedete da A e vceversa, e s dce qud che A e B soo tra loro dpedet. Ifatt, se ( A / B) ( A) ( B/ A) Vedamo alcue altre propretà. ( B) ( A / B) ( A) allora ( B) ( A) ( A) S abba ua successoe d evet { } ( C / B) ( A / B) ( B) A tutt compatbl tra loro, U C, allora. Ifatt, come è oto, s ha per l tersezoe C B [ U A ] B U ( A B) A oché d altra parte gl sem A o hao tra loro put comue, eache gl sem ( A B) hao put comue tra loro, e corrspodoo pertato ad evet compatbl. I tal caso s ha per le probabltà ( C B) [ U ( A B) ] ( A B) Se ora dvdamo ambo membr per (B) otteamo apputo: ( C / B) ( C B) ( B) che è quato volevas dmostrare (QDE). ( A B) ( B) Ife geeralzzamo l dea espressa dal precedete grafco: Se ua successoe d evet { } ( A / B) A tutt compatbl tra loro e U Ω, o come s dce: che costtuscoo ua ARTIZIONE d Ω, allora ( B) ( A ) ( B / A ) er provare questo osservamo prma che ( A Ω) A ( B) ( Ω B) [ U ( A B) ] A. ; possamo qud scrvere che oché d altra parte gl sem A o hao tra loro put comue, eache gl sem ( A B) hao put comue tra loro, e corrspodoo pertato ad evet compatbl. I-

12 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Applcado qud la regola per l uoe d evet compatbl trovamo, CVD: [ ( A B) ] ( A B) ( A ) U ( A B) ( A ) ( A ) ( B / A ) Esempo Sa A l eveto per cu pescado a caso da u mazzo ua carta questa sa d pcche. Sa B l eveto che detta carta sa ua rega. A e B soo dpedet? 5 carte, 3 pcche, 4 rege, rega d pcche. 3 (A) 5 (B) 4 5 (A B) (A) ( B) oché la probabltà dell tersezoe cocde co l prodotto delle probabltà due evet soo dpedet. 5 Esempo S trao due dad. A è l eveto che l prmo dado esca dspar, B l eveto che l secodo dado esca dspar e C l eveto la somma de dad sa dspar. A e C soo dpedet? Esempo 3 Nove ure cotegoo ogua 3 palle bache e 3 ere. Ua decma ura cotee 5 palle bache ed ua era. S scegle u ura a caso e s estrae ua palla: prma d estrarla qual è la probabltà (probabltà a pror) che l ura prescelta sa la decma? Se la palla estratta è baca, qual è la probabltà (probabltà a posteror) che l ura prescelta sa la decma? Esempo 4 U ura cotee solo palle bache, u altra e cotee 3 bache e ere. S scegle u ura a caso e s estrae ua palla: qual è la probabltà che sa baca? È effetvamete è baca: la s rmette qud ella stessa ura, s mescola e s estrae u altra palla dalla stessa ura. Qual è la probabltà che questa sa baca? Esempo 5 U ura cotee palle umerate da ad. S estrae ua palla: se è la umero s tee fuor, altrmet s rmette detro l ura. S estrae d uovo ua palla: qual è la probabltà che sa la umero? Esempo 6 La probabltà che la correra per Bazzao parta oraro è.8, e la probabltà che parta oraro e arrv oraro è.7. a) Qual è la probabltà che u bus che parte oraro arrv oraro? b) Sapedo che la probabltà d arrvare oraro è.75, qual è la probabltà che u bus che arrva oraro sa partto oraro? c) Se vece la probabltà che u bus che parte rtardo arrv oraro è.75, qual è la probabltà che u qualuque bus arrv oraro Esempo 7 Ua fabbrca d auto ha tre lee d motaggo, A, B e C, che poroducoo rspettvamete l 45%, l 3% ed l 5% del totale. Se la probabltà che u pezzo sa prodotto dfettoso è.4 per A,.6 per B e. per C, qual è la probabltà che u auto d questa fabbrca sa prodotta dfettosa? E se dfettosa, qual è la probabltà che provega dalla lea B? I-

13 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo I.6 Varabl aleatore artamo da u caso pratco: s pesca ua carta da u mazzo da brscola. Gl est d questo espermeto aleatoro soo 4, e soo tutt equprobabl; voledo s potrebbero elecare (asso d basto, due d basto, tre d basto e così va). Ruedo opportuamete quest est (coè facedo de sottosem dello spazo campoaro) possamo defre degl evet: ad esempo pescare u fate ( questo caso l sottoseme corrspodete è formato da 4 fat, rspettvamete d basto, spade, coppe e dear). Ora, se pesamo d assocare alla carta pescata l puteggo ad essa relatvo el goco della brscola ( put per l fate, 3 per l cavallo, 4 per l re, per l tre e per l asso, per le scarte - vale a dre tutte le altre carte) avremo che ad oguo d 6 possbl evet assocamo u valore umerco. er fssare l cocetto scrvamo ua tabella: Esto robabltà Eveto ROBAB. VALORE Fate d basto.5 Fate. Fate d spade.5 Fate d coppe.5 Fate d dear.5 Cavallo d basto.5 Cavallo. 3 Cavallo d spade.5 Cavallo d coppe.5 Cavallo d dear.5 Re d basto.5 Re. 4 Re d spade.5 Re d coppe.5 Re d dear.5 Tre d basto.5 Tre. Tre d spade.5 Tre d coppe.5 Tre d dear.5 Asso d basto.5 Asso. Asso d spade.5 Asso d coppe.5 Asso d dear.5 Tutte le altre carte.5/ua Scarta.5 I-3

14 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Cosa abbamo fatto esattamete? Abbamo assocato a degl evet aleator, tramte ua qualche fuzoe, u valore umerco - abbamo creato ua VARIABILE ALEATORIA (questo ome è geere abbrevato co v.a.). I questo partcolare caso, la v.a. è dscreta, ed oltre assume solo u umero fto d possbl valor, precsamete 6 valor:,, 3, 4, ed. Aggugamo che questo caso valor soo tutt ter. S tratta, è charo, d u caso partcolarmete semplce, però c auta ad eucare la regola: quado determamo ua fuzoe che ad og eveto dello spazo campoaro fa corrspodere u valore umerco damo orge ad ua varable aleatora. Da quato detto è charo che ad og valore della v.a. corrspoderà ua probabltà che tale valore vega assuto, e questa charamete è la probabltà assocata all eveto cu tale valore umerco corrspode. Ad esempo, ell esempo proposto la probabltà che la v.a. assuma l valore (che corrspode al fate) è par a. (coè la probabltà che s pesch u fate). Le v.a. possoo assumere valor dscret (come l caso vsto sopra) o possoo assumere qualuque valore etro u tervallo dell asse reale: el prmo caso parleremo d v.a. dscrete, el secodo d v.a. cotue. Esamamo per prmo l caso della v.a. dscrete, seguto affroteremo le v.a. cotue. I.7 Varabl aleatore dscrete Le v.a. dscrete possoo assumere u umero fto d possbl valor (come ell esempo vsto sopra), oppure u umero fto: quest ultmo caso s tratterà ovvamete d ua ftà umerable. La relazoe che ad oguo de valor che la v.a. può assumere fa corrspodere ua probabltà (duque u umero reale compreso tra e ) è detta DISTRIBUZIONE DI ROBABILITÀ. Questa può essere data forma tabulare, o tramte ua fuzoe aaltca. er l esempo vsto sopra possamo raccoglere tal formazo ua tabella: 3 4 () Nel proseguo adotteremo queste otazo: la v.a. verrà dcata co ua lettera mauscola (ad esempo ); l valore da essa assuto co la corrspodete lettera muscola ( questo esempo ); la dstrbuzoe d probabltà co ua fuzoe del valore (coè ) avete per I-4

15 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo dce la lettera della v.a (qu ), come el seguete esempo che dca la probabltà che assuma l valore : ( ) [ ] f U altra quattà che sarà utle è la FUNZIONE DI RIARTIZIONE, detta ache cumulatva: questa è la probabltà che la v.a. assuma valor mor o ugual d u dato valore. La scrveremo geere co lettera mauscola come el seguete esempo F ( ) [ ] Spesso accade d dover caratterzzare ua v.a. modo stetco, per cu s rchede qualcosa d pù cocso che o l tera dstrbuzoe d probabltà: s cerca d dare u quadro formatvo co poch umer caratterstc. La prma cosa che s vuole trasmettere è la poszoe cetrale della dstrbuzoe: ad esempo se ho u gruppo d N scolar dall aslo al lceo od u gruppo d N pesoat è charo che, metre ambedue cas abbamo tate dverse età, el prmo caso soo dstrbute tra 3 ed a (rpetet compres), el secodo soo da 55-6 a su. Quello che cerchamo è u umero che c da ua qualche formazoe sulla poszoe de valor della v.a. lugo l asse reale. Dcamo subto che le quattà uso soo tre LA MODA: l valore pù probable della v.a. (coè, quello cu corrspode l valore d probabltà pù elevato); LA MEDIANA: l valore tale per cu la somma delle probabltà relatve a tutt valor della v.a. feror ad esso è esattamete uguale alla somma delle probabltà relatve a tutt valor della v.a. superor ad esso; term poco rgoros ma fgurat, è quel valore che ha tata probabltà complessva alla sua destra (sull asse reale) quata e ha alla sua sstra: u certo seso l vero cetro della dstrbuzoe; LA MEDIA: questa è sez altro la pù utle e la pù usata delle tre, dcata geere co la lettera greca µ; s trova co la formula seguete: µ E ( ) ( ) Ua volta localzzato l cetro della dstrbuzoe è mportate ache sapere quato quest ultma è dspersa. Faccamo u esempo u po avulso, gusto per capre cosa s tede co dsperso. Cosderamo seguet grupp d umer, ambedue cetrat toro a : I) 9.9, 9.85,.5, 9.95,.5,.,. II) 5,, 3, 7, 4, 9, I-5

16 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Ambedue grupp hao come meda, però l prmo ha tutt valor molto vc a, paragoato al secodo gruppo che è molto pù sparpaglato. I modo aalogo, torado alle dstrbuzo, potremmo avere ua v.a. che assume valor tutt vcssm come vece ua che assume valor molto sparpaglat. Come gudcare questa caratterstca co u solo umero? Le quattà pù utlzzate soo tre: IL RANGE: la dffereza tra l valore pù grade ed l pù pccolo della v.a.. Utle per campo, come s vedrà pù avat, ma applcable per le dstrbuzo; IL RANGE INTERQUARTILE: la dffereza tra l quartle superore (l umero che ha u quarto della probabltà complessva alla sua destra) ed l quartle ferore (l umero che ha u quarto della probabltà complessva alla sua sstra). Ne rparleremo a proposto d campo; LA VARIANZA: questa è la meda de quadrat degl scart dalla meda, vale a dre: ( ) ( ) ( ) ( ) E [ µ ] V µ Vee molto utlzzata la radce quadrata (postva) della varaza, che vee detta DEVIAZIONE STANDARD (d.s.) ed dcata co la lettera greca σ. Corrspodetemete la varaza vee spesso dcata co σ, otazoe d cu c servremo spesso ache o el seguto. I.8 Il valore atteso Abbamo utlzzato la otazoe E ( ), parlamoe meglo. Ifatt, armat della dstrbuzoe d probabltà possamo calcolare per og fuzoe della v.a. ua quattà detta valore atteso. er trodurla mmagamo l seguete espermeto, co rfermeto a ua fuzoe mootoa g ( ) : s geera a caso u valore d, dcamolo, e s calcola l valore corrspodete della fuzoe, g ( ). S rpete co u secodo valore, po u terzo, po u quarto e va dcedo. Troveremo tat valor dvers che a loro volta, proseguedo suffcetemete a lugo co l espermeto, darao luogo ad ua dstrbuzoe d probabltà per la uova v.a. data dalla fuzoe G g( ) : chamamola ( g) possamo sez altro calcolare la meda d G co la formula vsta sopra: G. Stado così le cose µ G E ( G) g ( g) g G I-6

17 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Ora, è charo che, ad esempo, l valore g ( ) d questa uova v.a. s preseterà co la stessa probabltà co cu s preseta l valore per la v.a., e così va: pù geerale, [ g( ) ] ( ) G : possamo così scrvere: µ G g ( ) ( ) Questa quattà la defamo VALORE ATTESO della fuzoe (aleatora) g ( ). Se partcolare cosderamo la fuzoe g ( ) trovamo l valore atteso d, che cocde co la meda d gà vsta sopra. Se vece cosderamo la fuzoe ( ) ( ) g µ trovamo la varaza d. È charo però che l cocetto d valore atteso è pù geerale, e meda e varaza soo solo due cas partcolar. Vedamo alcue partcolartà. a) Il valore atteso è leare, el seso che: E ( a b) ( a + b) ( ) a ( ) + b ( ) a + b ( ) a be( ) + + b) e la varaza? Come appea vsto la meda d Y a + b è uguale a a + bµ (detta come al solto E( ) µ la meda d ), qud la varaza d Y a + b sarà data da ( ) E b( µ ) ( [( µ )] ) b E( µ ) ) b V( ) ( + b) E [( a + b) ( a + bµ )] V a E b ([ ] ) Il fatto che sparsca la costate addtva a è tutvo: aggugedo a tutt valor d ua costate a s aumeta d questa stessa quattà ache la meda, e duque gl scart dalla meda rmagoo varat. Importate otare che la costate moltplcatva b uscedo dalla varaza deve vere elevata al quadrato. I.9 Dstrbuzo multvarate ossamo estedere le cosderazo fatte ache ad u umero d v.a. maggore d uo: per fssare le dee cosdereremo due varabl aleatore, e c auteremo co la tradzoale coppa d dad. C rferremo a due dvers cas: el prmo cosderamo le due v.a. date da valor de due dad, e chamamole ed Y. Qud è l umero d put che appaoo sulla facca superore del prmo dado, Y l aalogo per l secodo dado. Sa che Y possoo assumere valor,, 3, 4, 5 o 6. ossamo defre la probabltà coguta che le due v.a. assumao I-7

18 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo rspettvamete valor ed y, che scrveremo aalogamete alle otazo precedet,, Y (, y), qud:, Y (, y) [, Y y] I questo caso è charo che le due v.a. soo dpedet, qud come sappamo la probabltà dell tersezoe d evet dpedet è par al prodotto delle sgole probabltà: (, y) [, Y y] [ ] [ Y y] ( ) ( y),y Y Ch legge potrebbe però provare a dmostrare l dpedeza delle due v.a. elecado tutt cas possbl (che soo 36, e soo tutt equprobabl), calcolado le opportue probabltà a pror e codzoate e trado le cocluso. Nel secodo caso cosderamo le v.a. date rspettvamete dalla somma de due dad e dal modulo della loro dffereza: chamamole W e Z. Qud term delle varabl precedet avremmo W + Y ed Z Y. Lascamo al lettore la cura d aalzzare tutt gl est possbl (sempre gl stess 36, sempre equprobabl) e d formare gl evet calcoladoe la probabltà. S trovao seguet rsultat: per la dstrbuzoe d Z z (z) 6/36 /36 8/36 6/36 4/36 /36 er la dstrbuzoe coguta d W e Z: W, Z ( w,) W, Z ( w,z) z,,3,4, 5 La dstrbuzoe d W è be ota ma la rpetamo: w o 3 o 4 o 5 o 9 6 od 8 7 (w) /36 /36 3/36 4/36 5/36 6/36 I-8

19 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo Soo dpedet W e Z? redamo ua coppa d valor qualsas, ad esempo (,3) probabltà a pror che W assuma l valore 7 è ( 7) codzoata: ( 7 / 3) [ W 7 / Z 3] [ W 7 Z 3] [ Z 3] 7 : la 6 W. Calcolamo la probabltà 36 ( 7,3) 36 ( 3) 6 3 W,Z W / Z Z e questa probabltà a posteror è dversa dalla probabltà a pror. er l esattezza è l doppo. Duque, le due varabl NON soo dpedet: sappamo fatt che per v.a. dpedet la probabltà codzoata è uguale alla probabltà a pror per qualuque coppa d valor s. cosder. Qud lea d prcpo ( w,z) ( w) ( z) W,Z W Se desdero cooscere la probabltà che assuma l valore qualuque sa l valore assuto da Y, posso procedere sommado su tutt valor y: ( ) [, y],y (, y) questa vee detta ROBABILITÀ MARGINALE d, questo cotesto. Qud, se abbamo la probabltà coguta possamo faclmete calcolare le sgole probabltà come probabltà margal. y Z 36 I. Combazo elemetar d v.a. Calcolamo la meda della somma d due v.a. ed Y qualuque (che possoo essere o o essere dpedet): per fare questo peschamo tutte le possbl coppe (, y) somma z + y e faccamo la meda d questa quattà per tutte le coppe. E ( Z) ( + y) (, y) (, y) + y (, y),y,y y y y,y e formamo la (, y) + y (, y) ( ) + y ( y) E( ) E( Y),Y,Y y Y + y y duque LA MEDIA DELLA SOMMA È LA SOMMA DELLE MEDIE. Vedamo l caso del prodotto Z Y d due v.a. dpedet, per cu qud vale la relazoe (, y) ( ) ( y),y E Y ( Z) y (, y) y ( ) ( y),y y y Y I-9

20 rof. Ig. Domzao Mostacc Apput d probabltà e statstca d coteggo ( ) y ( y) E( ) E( Y) Y y qud la meda del prodotto è uguale al prodotto delle mede. Ma attezoe solo se le v.a. soo dpedet!, altrmet o è vera la relazoe (, y) ( ) ( y) pù l calcolo appea svolto.,y Y e o vale Calcolamo la varaza della somma d due v.a. ed Y dpedet procededo modo aalogo a quato fatto per la meda. er comodtà, chamamo ξ ed η le mede d ed Y, e qud (per quato appea vsto) la meda d Z sarà data da ξ + η : ( ) [( + y) ( ξ + η) ] (, y) [( ξ) + ( y η) ] (, y) V Z,Y y ( ξ) (, y) + ( ξ)( y η) (, y) + ( y η) (, y),y,y y y ( ξ) ( ) + ( ξ)( y η) ( ) ( y) + ( y η) ( y) Y y y y y,y ( ) + ( ξ) ( ) ( y η) ( y) + V( Y) V( ) V( Y) V Y + y Y,Y duque LA VARIANZA DELLA SOMMA È LA SOMMA DELLE VARIANZE. D uovo, attezoe!: questo è vero solo se le v.a. soo dpedet!, altrmet o vale la relazoe (, y) ( ) ( y),y Y (repetta juvat), e qud o è geeralmete ullo l terme Cov (,Y) ( ξ)( y η) (, y) y Y, detto COVARIANZA d ed Y, e s ha ( Z) V( ) + V( Y) Cov(, Y) V + ossamo ache dare ua msura d quato dpedet sao le varabl, tramte l parametro ρ, detto COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE, così defto: ρ (,Y) ( ) V( Y) Cov V S vede che l coeffcete vara tra e +, ed è ullo se le varabl soo dpedet. er ρ > le varabl s dcoo CORRELATE OSITIVAMENTE, e vceversa. Naturalmete quato detto per v.a. dpedet s estede alla somma (o al prodotto) d u umero qualuque d v.a. dpedet. I-

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