Ricerca Operativa e Logistica Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentili

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Ricerca Operativa e Logistica Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentili"

Transcript

1 Ricerca Operativa e Logistica Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentili Il modello matematico 2: Funzioni obiettivo: ma.min, Min-ma Tipologie di Vincoli

2 Funzione obiettivo ma-min: Esempio Scommesse Il signor Rossi è uno scommettitore incallito ma poco fortunato. Dopo aver perso tutte le scommesse della giornata ha deciso di puntare gli ultimi 100 euro sulla vincitrice della coppa Italia. Questa volta però vuole essere assolutamente sicuro di vincere e per farlo chiede aiuto ad un amico che ha studiato un pò di ricerca operativa. Le 4 squadre rimaste in gara per la vittoria finale sono milan, uventus, napoli e siena quotate rispettivamente 3:1, 4:1, 7:1 e 10:1. Una di queste 4 squadre sarà sicuramente la vincitrice del torneo. Quanto deve scommettere il signor Rossi su ogni squadra per massimizzare la vincita nel caso peggiore?

3 Funzione obiettivo ma-min: Esempio Scommesse Il signor Rossi è uno scommettitore incallito ma poco fortunato. Dopo aver perso tutte le scommesse della giornata ha deciso di puntare gli ultimi 100 euro sulla vincitrice della coppa Italia. Questa volta però vuole essere assolutamente sicuro di vincere e per farlo chiede aiuto ad un amico che ha studiato un pò di ricerca operativa. Le 4 squadre rimaste in gara per la vittoria finale sono milan, uventus, napoli e siena quotate rispettivamente 3:1, 4:1, 7:1 e 10:1. Una di queste 4 squadre sarà sicuramente la vincitrice del torneo. Quanto deve scommettere il signor Rossi su ogni squadra per massimizzare la vincita nel caso peggiore? Variabili decisionali i = quantità di soldi scommessi sulla squadra i con i {m,,n,s} Osservazione: Se m =30, =20, n =40, s =10 quanto vale la funzione obiettivo? Applicando le quote si ha: 3* m =90, 4* =80, 7* n =280, 10* s =100 La vincita più bassa, in base alle scommesse effettuate, si verifica se la coppa viene vinta dalla uventus. 80 rappresenta il valore della nostra funzione obiettivo valutata nella soluzione scelta. Se indichiamo con z i la vincita ottenuta, in base ai soldi scommessi, quando la coppa viene vinta dalla squadra i, il nostro obiettivo diventa ma-min{z m, z, z n, z s }, ossia scegliere la soluzione che massimizzi la minima vincita qualunque sia la squadra vincitrice.

4 Funzione obiettivo ma-min: Esempio Scommesse Il signor Rossi è uno scommettitore incallito ma poco fortunato. Dopo aver perso tutte le scommesse della giornata ha deciso di puntare gli ultimi 100 euro sulla vincitrice della coppa Italia. Questa volta però vuole essere assolutamente sicuro di vincere e per farlo chiede aiuto ad un amico che ha studiato un pò di ricerca operativa. Le 4 squadre rimaste in gara per la vittoria finale sono milan, uventus, napoli e siena quotate rispettivamente 3:1, 4:1, 7:1 e 10:1. Una di queste 4 squadre sarà sicuramente la vincitrice del torneo. Quanto deve scommettere il signor Rossi su ogni squadra per massimizzare la vincita nel caso peggiore? Variabili decisionali i = quantità di soldi scommessi sulla squadra i con i {m,,n,s} La funzione min{z m, z, z n, z s } non è lineare ma la si può linearizzare introducendo una nuova variabile y. Come?

5 Scommesse: Modello matematico z= ma y budget s.t. m n s = budget y z m y z y z n 3 m 4 7 n y z 10 s s, m, n, s, intere y R OPT: profitto=20 con m =40, =30, n =18, s =12

6 Funzioni obiettivo: ma-min e min-ma Ma-Min ma min{z 1, z 2,, z k } ma y Min-Ma min ma{z 1, z 2,, z k } min y y z 1 y z 2. y z k y z 1 y z 2. y z k

7 Funzioni obiettivo: valore assoluto Definizione z = z se z 0 z se z<0 oppure z = ma{z, z} Consideriamo ora una funzione obiettivo che contiene il valore assoluto e vediamo come esprimerla tramite una funzione lineare. n min c i i i=1 Dalla definizione di valore assoluto, se poniamo z i =ma{ i,- i } possiamo riscrivere la funzione come: min n i=1 c i z i z i i i=1,...,n z i i i=1,...,n y= 1 2

8 Funzioni obiettivo: valore assoluto Esempio Riscrivere il seguente modello matematico in modo da rendere lineare la sua funzione obiettivo. min In questo caso è sufficiente porre z 2 =ma{ 2,- 2 } ottenendo: min 1 3z z 2 2 z 2 2

9 Tipologie di vincoli Vincoli di capacità produttiva Vincoli di domanda Vincoli hard e vincoli soft Vincoli in conflitto Vincoli di bilanciamento Vincoli logici Vincoli alternativi: almeno uno Vincoli alternativi: solamente uno Vincoli alternativi a gruppi Saranno introdotti più avanti nel corso

10 Azienda dolciaria: Confetti Un azienda dolciaria produce quattro tipi di confetti (classico, doppio latte, al cioccolato, delizia al limone) utilizzando cinque ingredienti (zucchero, mandorla, latte, cioccolato, limone) che vengono acquistate all esterno. La tabella che segue mostra, per ogni chilo di confetti, le quantità (in litri per il latte e in kg per gli altri ingredienti) di ingredienti necessarie per produrre quel tipo di confetti. Inoltre vengono anche indicati sia la quantità massima di ciascun ingrediente acquistabile mensilmente sia il prezzo di acquisto. zucchero mandorla latte cioccolato limone Classico Doppio latte Al cioccolato Delizia al limone Quantità massima Prezzo di Acquisto In base alle vendite dell anno precedente è stato stabilito che la quantità minima (in kg) di confetti da produrre mensilmente per ogni tipologia è di : 15, 11, 20, 5. Per ottenere un prodotto finito pronto per la vendita è necessaria una lavorazione che richiede un numero di ore diverso a seconda del tipo di confetto. La tabella che segue riporta per ogni chilo di ciascun tipo di confetto il numero di ore di lavorazione necessarie, insieme al prezzo di vendita unitario (in euro al chilo). Classico Doppio latte Al cioccolato Delizia al limone Ore lavorative Prezzo di vendita La lavorazione dei confetti viene effettuata da 5 operai che lavorano per 8 ore al giorno e per 24 giorni al mese percependo una paga di 1200 euro. Costruire un modello di PL che permetta di pianificare la produzione mensile dell azienda, determinando, per ogni tipologia di confetto, i chili da produrre per massimizzare il profitto.

11 Azienda dolciaria: Confetti ma ( ) 4( ) s.t. 2( ) 9(0.4 3 ) 6(0.7 4 )

12 Vincoli di capacità produttiva Tipologia di vincoli che abbiamo visto nel modello di produzione: a i b i Disponibilità della risorsa i-sima Coefficiente di produzione della risorsa i per produrre una unità di prodotto Livello di produzione del prodotto

13 Vincoli di domanda M L

14 Azienda dolciaria: Confetti ma ( ) 4( ) s.t. 2( ) 9(0.4 3 ) 6(0.7 4 ) Vincoli di capacità produttiva Vincoli di domanda

15 min f ( ) b Vincoli hard e vincoli soft min f () c u u b u u 0 min f ( ) b min f () c v v v 0 b v min f ( ) = b min f ( ) c u 0 v 0 u u u v = b c v v All ottimo solo una tra le due variabili sarà strettamente positiva

16 Azienda dolciaria: Confetti ma ( ) 4( ) s.t. 2( ) 9(0.4 3 ) 6(0.7 4 ) Variazione dei vincoli: L azienda ha la possibilità di comprare più di 500 litri di latte al mese pagando però per ogni litro oltre questa soglia 1.5 euro

17 Azienda dolciaria: Confetti ma ( ) 4( ) s.t. 2( ) 9(0.4 3 ) 6(0.7 4 ) u u Variazione dei vincoli: L azienda ha la possibilità di comprare più di 500 litri di latte al mese pagando però per ogni litro oltre questa soglia 1.5 euro

18 Azienda dolciaria: Confetti ma ( ) 4( ) s.t. 2( ) 9(0.4 3 ) 6(0.7 4 ) u -2v u v Variazione dei vincoli: L azienda ha la possibilità di comprare più di 500 litri di latte al mese pagando però per ogni litro oltre questa soglia 1 euro E possibile produrre meno di 15 kg di confetti classici pagando però per ogni kg non prodotto 2 euro di multa.

19 Vincoli in conflitto A volte accade che il problema coinvolga vincoli che non possano essere soddisfatti tutti simultaneamente, ma si vuole lasciare la possibilità che non tutti siano soddisfatti. u v = = b i i i b i Obiettivo 1: minimizzare la somma totale della violazione dei vincoli Obiettivo 2: minimizzare la massima violazione dei vincoli

20 Vincoli in conflitto Obiettivo 1: minimizzare la somma totale della violazione dei vincoli = b i min u i u i i v i i v = i b i i Obiettivo 2: minimizzare la massima violazione dei vincoli = b i min w u i v i = b i i w u i i w v i i

21 Azienda dolciaria: Confetti ma ( ) 4( ) 2( ) 9(0.4 3 ) 6(0.7 4 ) 6000-u -v s.t u v vincoli in conflitto Obiettivo 1: minimizzare la somma totale della violazione dei vincoli (i 700kg di zucchero non sono sufficienti per soddisfare questi due vincoli contemporaneamente)

22 Azienda dolciaria: Confetti ma ( ) 4( ) s.t. 2( ) 9(0.4 3 ) 6(0.7 4 ) w u w v 0 -u -v vincoli in conflitto -w Obiettivo 2: minimizzare la massima violazione dei vincoli (i 700kg di zucchero non sono sufficienti per soddisfare questi due vincoli contemporaneamente)

23 Vincoli di bilanciamento Le quantità che entrano nel processo produttivo non vengono perse alla fine del processo: y k k = 0 Materiale che entra nel processo produttivo Materiale che esce alla fine del processo produttivo

24 Esempio: Miscela di olii Una fabbrica produce un tipo di cibo ottenuto dalla miscelazione di 5 differenti olii. Ci sono due olii di tipo vegetale ( VEG1, VEG2) e tre olii di tipo non vegetale (OIL1, OIL2, OIL3). Ogni olio è inizialmente allo stato grezzo e deve essere raffinato. Ogni mese è possibile raffinare al massimo 200 tons di olii vegetali e 250 di olii non vegetali. Si suppone che non ci sia perdita di peso in questo processo di raffinamento e che il costo sia trascurabile. Ogni olio ha un costo ed una densità differente: VEG1 VEG2 OIL1 OIL2 OIL3 Costo (Euro/ton) Densità (per ton) Quando gli olii vengono mescolati la densità del prodotto finale cresce linearmente. La densità del prodotto finale deve essere compresa tra 3 e 6. Il prodotto finale viene venduto ad un prezzo di Euro 150 per ogni tonnellata. Come devono essere miscelati gli olii al fine di massimizza il profitto

25 0 0, 0, 0, 0, 0, ) y - (110 ma = y y y y s t Esempio: Miscela di olii

Ricerca Operativa e Logistica Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentili. Introduzione

Ricerca Operativa e Logistica Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentili. Introduzione Ricerca Operativa e Logistica Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentili Introduzione La Ricerca Operativa La Ricerca Operativa è una disciplina relativamente recente. Il termine Ricerca Operativa è stato coniato

Dettagli

N.B.: Gli esercizi di OFFICE vanno risolti prima dell esercizio sulla PL

N.B.: Gli esercizi di OFFICE vanno risolti prima dell esercizio sulla PL ESERCIZIO MM1 Una pasticceria usa 5 mescolatori (M1, M2, M3, M4, M5) per produrre giornalmente la farcitura di 2 tipi di bignè (F1, F2), e ciascun miscelatore può indifferentemente produrre le due farciture.

Dettagli

Ricerca Operativa e Logistica

Ricerca Operativa e Logistica Ricerca Operativa e Logistica Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentili A.A. 20/202 Lezione 6-8 Rappresentazione di funzioni non lineari: - Costi fissi - Funzioni lineari a tratti Funzioni obiettivo non lineari:

Dettagli

Esempi di modelli di programmazione lineare (intera) 2014

Esempi di modelli di programmazione lineare (intera) 2014 Esempi di modelli di programmazione lineare (intera) 2014 1) Combinando risorse Una ditta produce due tipi di prodotto, A e B, combinando e lavorando opportunamente tre risorse, R, S e T. In dettaglio:

Dettagli

Modelli di Programmazione Lineare

Modelli di Programmazione Lineare Capitolo 2 Modelli di Programmazione Lineare 2.1 Modelli di allocazione ottima di risorse Esercizio 2.1.1 Un industria manifatturiera può fabbricare 5 tipi di prodotti che indichiamo genericamente con

Dettagli

Titoli FIN FII BOT BOC AI Rendimenti 9.5 10.5 12 12.5 6 Rischi 5 6 7 8 1

Titoli FIN FII BOT BOC AI Rendimenti 9.5 10.5 12 12.5 6 Rischi 5 6 7 8 1 (esercizi tratti da: Esercizi di Ricerca Operativa Ghirardi, Grosso, Perboli. Ed. Progetto Leonardo) Esercizio 1 Una società di investimenti finanziari deve gestire un budget di 1000000 Euro per conto

Dettagli

Esercitazione R.O. 2. Andrea Raiconi A.A. 2008-2009

Esercitazione R.O. 2. Andrea Raiconi A.A. 2008-2009 Esercitazione R.O. 2 Andrea Raiconi A.A. 2008-2009 Esercitazione R.O.2 Formulare per ognuno dei seguenti problemi un modello di programmazione lineare che lo descriva. Implementare i modelli formulati

Dettagli

PROGRAMMAZIONE LINEARE IN DUE VARIABILI

PROGRAMMAZIONE LINEARE IN DUE VARIABILI 1 PROGRAMMAZIONE LINEARE IN DUE VARIABILI La ricerca operativa nata durante la seconda guerra mondiale ed utilizzata in ambito militare, oggi viene applicata all industria, nel settore pubblico e nell

Dettagli

Modelli di Ottimizzazione

Modelli di Ottimizzazione Capitolo 2 Modelli di Ottimizzazione 2.1 Introduzione In questo capitolo ci occuperemo più nel dettaglio di quei particolari modelli matematici noti come Modelli di Ottimizzazione che rivestono un ruolo

Dettagli

Produzione e forza lavoro

Produzione e forza lavoro Produzione e forza lavoro Testo Un azienda produce i modelli I, II e III di un certo prodotto a partire dai materiali grezzi A e B, di cui sono disponibili 4000 e 6000 unità, rispettivamente. In particolare,

Dettagli

Esercizi svolti di programmazione lineare

Esercizi svolti di programmazione lineare Esercizi svolti di programmazione lineare a cura di A. Agnetis 1 Un lanificio produce filato di tipo standard e di tipo speciale utilizzando 3 diverse macchine, le cui produzioni orarie sono le seguenti:

Dettagli

Bet Analytics The Social Betting Strategy

Bet Analytics The Social Betting Strategy Bet Analytics The Social Betting Strategy Antonino Marco Giardina Marzo 2012 Premessa Pronosticare i risultati di specifici eventi e puntare sugli stessi è alla base di tutte le scommesse sportive L esigenza

Dettagli

Esercizio. almeno una tenuta lasci 200 ettari di terreno incolto, e

Esercizio. almeno una tenuta lasci 200 ettari di terreno incolto, e Un finanziere ha a disposizione due piani di investimento A e B, disponibili all inizio di ciascuno dei prossimi cinque anni. Ogni euro investito in A all inizio di ogni anno dà, due anni più tardi, un

Dettagli

Ricerca Operativa e Logistica

Ricerca Operativa e Logistica Ricerca Operativa e Logistica Dott. F.Carrabs e Dott.ssa M.Gentili A.A. 2011/2012 Lezione 10: Variabili e vincoli logici Variabili logiche Spesso nei problemi reali che dobbiamo affrontare ci sono dei

Dettagli

Lezioni di Ricerca Operativa. Corso di Laurea in Informatica Università di Salerno. Lezione n 4

Lezioni di Ricerca Operativa. Corso di Laurea in Informatica Università di Salerno. Lezione n 4 Lezioni di Ricerca Operativa Lezione n 4 - Problemi di Programmazione Matematica - Problemi Lineari e Problemi Lineari Interi - Forma Canonica. Forma Standard Corso di Laurea in Informatica Università

Dettagli

Modelli di Programmazione Lineare Intera

Modelli di Programmazione Lineare Intera 8 Modelli di Programmazione Lineare Intera Come è stato già osservato in precedenza, quando tutte le variabili di un problema di Programmazione Lineare sono vincolate ad assumere valori interi, si parla

Dettagli

Ricerca Operativa. Facoltà di Ingegneria dell Informazione, Informatica e Statistica. Esercizi svolti di. Giovanni Fasano. fasano@unive.

Ricerca Operativa. Facoltà di Ingegneria dell Informazione, Informatica e Statistica. Esercizi svolti di. Giovanni Fasano. fasano@unive. Facoltà di Ingegneria dell Informazione, Informatica e Statistica Esercizi svolti di Ricerca Operativa Sede di Latina Giovanni Fasano fasano@unive.it http://venus.unive.it/ fasano anno accademico 213-214

Dettagli

Sarà del tutto identico a come se giocassimo 4 schedine da 2 euro ciascuna così fatte, avremo quindi 4 combinazioni:

Sarà del tutto identico a come se giocassimo 4 schedine da 2 euro ciascuna così fatte, avremo quindi 4 combinazioni: SISTEMISTICA. Prefazione. Il mio consiglio è quello di giocare in base al budget di cui si dispone. Se in budget è limitato si può optare di giocare più persone insieme. Sia chiaro che bisogna sempre avere

Dettagli

I Torroni. Torrone di pistacchio. Ingredienti: Pistacchio di Bronte (70%), zucchero, miele. Torrone di mandorle

I Torroni. Torrone di pistacchio. Ingredienti: Pistacchio di Bronte (70%), zucchero, miele. Torrone di mandorle I Torroni Unendo il verde del pistacchio, il giallo del miele e il bianco delle mandorle, i cosiddetti turrunari creavano un dolce artigianale che racchiudeva in sè profumi e sapori tipici di questa terra,

Dettagli

Modelli LP (complementi)

Modelli LP (complementi) Modelli LP (complementi) Daniele Vigo D.E.I.S. - Università di Bologna dvigo@deis.unibo.it rev. 1.0 - ottobre 2003 1. Comprare o fabbricare? Electro-Poly è un produttore leader di lavatrici Ha ricevuto

Dettagli

VINCERE AL BLACKJACK

VINCERE AL BLACKJACK VINCERE AL BLACKJACK Il BlackJack è un gioco di abilità e fortuna in cui il banco non può nulla, deve seguire incondizionatamente le regole del gioco. Il giocatore è invece posto continuamente di fronte

Dettagli

Ricerca Operativa Modelli di Programmazione Lineare

Ricerca Operativa Modelli di Programmazione Lineare Ricerca Operativa Modelli di Programmazione Lineare Luigi De Giovanni, Laura Brentegani AVVERTENZA: le note presentate di seguito non hanno alcuna pretesa di completezza, né hanno lo scopo di sostituirsi

Dettagli

1 tabellone di gioco 4 set di carte (4 colori diversi, numerati da 1 a 20) 8 cani (2 di ogni colore) 1 blocco di fogli di scommessa Soldi Regolamento

1 tabellone di gioco 4 set di carte (4 colori diversi, numerati da 1 a 20) 8 cani (2 di ogni colore) 1 blocco di fogli di scommessa Soldi Regolamento GREYHOUNDS (Levrieri) Componenti 1 tabellone di gioco 4 set di carte (4 colori diversi, numerati da 1 a 20) 8 cani (2 di ogni colore) 1 blocco di fogli di scommessa Soldi Regolamento L'obiettivo del gioco

Dettagli

Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Ripasso sulla Modellazione in Programmazione Lineare

Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Ripasso sulla Modellazione in Programmazione Lineare Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Ripasso sulla Modellazione in Programmazione Lineare Luigi De Giovanni 1 Modelli di programmazione lineare I modelli di programmazione lineare sono una

Dettagli

Ricerca Operativa Modelli di Programmazione Lineare

Ricerca Operativa Modelli di Programmazione Lineare Ricerca Operativa Modelli di Programmazione Lineare Luigi De Giovanni, Laura Brentegani AVVERTENZA: le note presentate di seguito non hanno alcuna pretesa di completezza, né hanno lo scopo di sostituirsi

Dettagli

Appello di Ricerca Operativa A.A. 2006-2007 (29/3/2007)

Appello di Ricerca Operativa A.A. 2006-2007 (29/3/2007) Nome... Cognome... 1 Appello di Ricerca Operativa A.A. 2006-2007 (29/3/2007) Si consideri la funzione f(x) = 4x 2 1 + 6x 4 2 2x 2 1x 2. Si applichi per un iterazione il metodo del gradiente a partire dai

Dettagli

Dagli insiemi al calcolo combinatorio

Dagli insiemi al calcolo combinatorio Dagli insiemi al calcolo combinatorio Il calcolo combinatorio è una parte della matematica che si occupa di contare gli elementi di un insieme finito, ottenuto a partire da altri insiemi, dei quali si

Dettagli

Ricerca Operativa Dualità e programmazione lineare

Ricerca Operativa Dualità e programmazione lineare Ricerca Operativa Dualità e programmazione lineare L. De Giovanni AVVERTENZA: le note presentate di seguito non hanno alcuna pretesa di completezza, né hanno lo scopo di sostituirsi alle spiegazioni del

Dettagli

I Esonero di Metodi di Ottimizzazione (Laurea in Ingegneria Gestionale-Corso B) Traccia A

I Esonero di Metodi di Ottimizzazione (Laurea in Ingegneria Gestionale-Corso B) Traccia A I Esonero di Metodi di Ottimizzazione Traccia A 1. Uno stabilimento deve varare un piano di assunzioni di dirigenti, impiegati ed operai. L assunzione di un dirigente può avvenire attraverso un concorso

Dettagli

ATTENZIONE: questo ebook contiene i dati criptati al fine di un riconoscimento in caso di pirateria. Tutti i diritti sono riservati a norma di legge.

ATTENZIONE: questo ebook contiene i dati criptati al fine di un riconoscimento in caso di pirateria. Tutti i diritti sono riservati a norma di legge. Note legali ATTENZIONE: questo ebook contiene i dati criptati al fine di un riconoscimento in caso di pirateria. Tutti i diritti sono riservati a norma di legge. Nessuna parte di questo libro può essere

Dettagli

CARTE. Regolamento Belote. Regole del gioco: Determinazione del seme di briscola (Belote classico):

CARTE. Regolamento Belote. Regole del gioco: Determinazione del seme di briscola (Belote classico): CARTE aggiornato al 25/06/2014 Entrambe le gare di carte si svolgeranno presso il salone Polivalente di Pinasca. Entrambe le gare saranno giocate da giocatori in coppia, la coppia può essere diversa nelle

Dettagli

Modelli di PL: allocazione ottima di risorse. Un esempio Modelli a risorse condivise Modelli a risorse alternative Modelli multi-periodo

Modelli di PL: allocazione ottima di risorse. Un esempio Modelli a risorse condivise Modelli a risorse alternative Modelli multi-periodo Modelli di PL: allocazione ottima di risorse Un esempio Modelli a risorse condivise Modelli a risorse alternative Modelli multi-periodo Allocazione ottima di robot Un azienda automobilistica produce tre

Dettagli

Anno 5 - N 7 - Sabato 29 ottobre 201 1. Settimanale di scommesse sportive QUOTE

Anno 5 - N 7 - Sabato 29 ottobre 201 1. Settimanale di scommesse sportive QUOTE Anno 5 - N 7 - Sabato 29 ottobre 201 1 Settimanale di scommesse sportive QUOTE 2 LA SCOMMESSA Puntiamo su Napoli, Milan, Cesena e Palermo. OVER in Genoa-Roma Prevalenza del fattore casalingo di Vincenzo

Dettagli

QuiD Soft COLOMBA - PANETTONE

QuiD Soft COLOMBA - PANETTONE COLOMBA - PANETTONE PANETTONE - COLOMBA - VENEZIANA PREIMPASTO Ingrediente Q.tà (g) QuiD SOFT 200 Farina W340-360 800 Tuorlo uovo cat. A 100 Burro 200 PROCEDIMENTO Impastare gli ingredienti, fatta eccezione

Dettagli

Modelli di programmazione lineare

Modelli di programmazione lineare Capitolo 1 Modelli di programmazione lineare Molti problemi di interesse pratico si prestano ad essere descritti e risolti come modelli di programmazione matematica. Un modello (o programma) è la descrizione

Dettagli

Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Ripasso sulla Modellazione in Programmazione Lineare

Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Ripasso sulla Modellazione in Programmazione Lineare Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Ripasso sulla Modellazione in Programmazione Lineare Luigi De Giovanni 1 Modelli di programmazione lineare I modelli di programmazione lineare sono una

Dettagli

REGOLAMENTO GENERALE. Art. 1 - I GIOCHI e l ORGANIZZAZIONE. Art. 2 - SCOPO del TORNEO. Art. 3 - DEFINIZIONE dei QUARTIERI

REGOLAMENTO GENERALE. Art. 1 - I GIOCHI e l ORGANIZZAZIONE. Art. 2 - SCOPO del TORNEO. Art. 3 - DEFINIZIONE dei QUARTIERI REGOLAMENTO GENERALE aggiornato al 09/03/2014 Art. 1 - I GIOCHI e l ORGANIZZAZIONE Il Comitato dei Giochi di Pinasca, d ora in poi denominato Organizzazione, istituisce i Giochi senza Quartiere, manifestazione

Dettagli

I Modelli della Ricerca Operativa

I Modelli della Ricerca Operativa Capitolo 1 I Modelli della Ricerca Operativa 1.1 L approccio modellistico Il termine modello è di solito usato per indicare una costruzione artificiale realizzata per evidenziare proprietà specifiche di

Dettagli

Programmazione Quadratica. 2009 by A. Bemporad Controllo di Processo e dei Sistemi di Produzione A.a. 2008/09

Programmazione Quadratica. 2009 by A. Bemporad Controllo di Processo e dei Sistemi di Produzione A.a. 2008/09 Programmazione Quadratica 1/82 Programmazione lineare minimizza o massimizza funzione obiettivo soggetto a 2/82 Programmazione quadratica minimize or maximize funzione obiettivo soggetto a STESSI VINCOLI

Dettagli

Modelli con vincoli di tipo logico

Modelli con vincoli di tipo logico Modelli con vincoli di tipo logico Le variabili decisionali possono essere soggette a vincoli di tipo logico, più o meno espliciti. Ad esempio: vincoli di incompatibilità tra varie alternative: se localizziamo

Dettagli

Problemi di Programmazione Lineare Intera

Problemi di Programmazione Lineare Intera Capitolo 4 Problemi di Programmazione Lineare Intera La Programmazione Lineare Intera (PLI) tratta il problema della massimizzazione (minimizzazione) di una funzione di più variabili, soggetta a vincoli

Dettagli

REALTÀ E MODELLI SCHEDA DI LAVORO

REALTÀ E MODELLI SCHEDA DI LAVORO REALTÀ E MODELLI SCHEDA DI LAVORO Bagaglio a mano Le regole per il bagaglio a mano di diverse compagnie aeree stabiliscono che la valigia (o borsa) deve avere un peso massimo di 5 kg e che la somma dei

Dettagli

Aspetti probabilistici del gioco d azzardo

Aspetti probabilistici del gioco d azzardo Università degli Studi di Genova Scuola di Scienze Sociali Dipartimento di Economia Perché il banco vince sempre? Aspetti probabilistici del gioco d azzardo Enrico di Bella (edibella@economia.unige.it)

Dettagli

Sommario della lezione

Sommario della lezione Sommario della lezione Ulteriori applicazioni del Massimo Flusso 1. Connettività di grafi. Selezione di progetti 3. Trasporto in reti 4. Eliminazione in tornei Università degli Studi di Salerno Corso di

Dettagli

Esercizi di modellazione per il corso di Ricerca Operativa 1

Esercizi di modellazione per il corso di Ricerca Operativa 1 Esercizi di modellazione per il corso di Ricerca Operativa 1 4 novembre 2005 2 Parte I Esercizi 3 Modelli di programmazione lineare Molti problemi di interesse pratico si prestano ad essere descritti

Dettagli

PROGRAMMAZIONE LINEARE:

PROGRAMMAZIONE LINEARE: PROGRAMMAZIONE LINEARE: Definizione:la programmazione lineare serve per determinare l'allocazione ottimale di risorse disponibili in quantità limitata, per ottimizzare il raggiungimento di un obiettivo

Dettagli

Scommesse Antepost: CALCIO

Scommesse Antepost: CALCIO Scommesse Antepost: ANTEPOST Vincente: Si deve pronosticare la squadra che si classifica al primo posto. Vincente Gruppo Si deve pronosticare la squadra che si classifica al primo posto del proprio gruppo.

Dettagli

Using APS.net for Effective Scheduling in the Food Process Industry

Using APS.net for Effective Scheduling in the Food Process Industry Using APS.net for Effective Scheduling in the Food Process Industry In generale il processo di produzione delle aziende alimentari è molto simile a quello di altri settori: Rispetto della date di consegna

Dettagli

Scheda n.5: variabili aleatorie e valori medi

Scheda n.5: variabili aleatorie e valori medi Scheda n.5: variabili aleatorie e valori medi October 26, 2008 1 Variabili aleatorie Per la definizione rigorosa di variabile aleatoria rimandiamo ai testi di probabilità; essa è non del tutto immediata

Dettagli

14.6 Effettuare scelte in presenza di vincoli 15

14.6 Effettuare scelte in presenza di vincoli 15 14 18-12-2007 19:04 Pagina 403 Le decisioni di breve termine fra alternative diverse 403 Fig. 14.5 Il trattamento analitico dei costi a gradino Costo Comportamento reale del costo Trattamento analitico

Dettagli

L attuale produzione La Provenzale è articolata in 8 referenze che rispettano accuratamente cinque regole imprescindibili:

L attuale produzione La Provenzale è articolata in 8 referenze che rispettano accuratamente cinque regole imprescindibili: L attuale produzione La Provenzale è articolata in 8 referenze che rispettano accuratamente cinque regole imprescindibili: > Selezione rigorosa delle materie prime Massima cura è riposta nella selezione

Dettagli

COME VINCERE CON LE SCOMMESSE SPORTIVE

COME VINCERE CON LE SCOMMESSE SPORTIVE COME VINCERE CON LE SCOMMESSE SPORTIVE Capitolo Uno. Pronosticare il risultato di uno specifico evento e scommettere sull'esito di quello stesso evento è la struttura di base di tutte le scommesse, da

Dettagli

Qui trovi una vasta gamma di ricette per rendere la Formula1 ancor più deliziosa. Nelle pagine seguenti troverai alcune ricette per fare: Frappé

Qui trovi una vasta gamma di ricette per rendere la Formula1 ancor più deliziosa. Nelle pagine seguenti troverai alcune ricette per fare: Frappé Ricettario Qui trovi una vasta gamma di ricette per rendere la Formula1 ancor più deliziosa. Nelle pagine seguenti troverai alcune ricette per fare: Frullati Sorbetti Frappé Dolci Gelati Contribuisci ad

Dettagli

Scommessa da sistema. Sporttip set

Scommessa da sistema. Sporttip set Scommessa da sistema Sporttip set Swisslos Lotteria Intercantonale Lange Gasse 20, casella postale, CH-4002 Basilea Telefono +41 (0)61 284 11 11, Fax +41 (0)61 284 13 33, info@sporttip.ch, www.sporttip.ch

Dettagli

MANTECATRICE PER GELATO SOFT(SOFFICE) ICE (GELATO)

MANTECATRICE PER GELATO SOFT(SOFFICE) ICE (GELATO) Capitolo 9 MACCHINE SOFT ICE Tecniche di produzione LA MANTECAZIONE DELLE MISCELE PER LA PRODUZIONE DEL GELATO CON LA MACCHINA SOFTICE (SOFFICE GELATO) MANTECATRICE PER GELATO SOFT(SOFFICE) ICE (GELATO)

Dettagli

Bet Analytics The Social Betting Strategy

Bet Analytics The Social Betting Strategy Bet Analytics The Social Betting Strategy Antonino Marco Giardina Aprile 2012 My Business Idea Founder Nome: Antonino Marco Giardina Studi: Laurea Magistrale in Statistica, Economia e impresa - Università

Dettagli

La Lega Pallavolo Uisp Treviso, in collaborazione con Boom Camp, organizza il campionato invernale di beach volley 2014/15.

La Lega Pallavolo Uisp Treviso, in collaborazione con Boom Camp, organizza il campionato invernale di beach volley 2014/15. La Lega Pallavolo Uisp Treviso, in collaborazione con Boom Camp, organizza il campionato invernale di beach volley 2014/15. SEDE E PERIODO DI SVOLGIMENTO Le partite del campionato si svolgeranno presso

Dettagli

TEORIA DELLA PROBABILITÀ I

TEORIA DELLA PROBABILITÀ I TEORIA DELLA PROBABILITÀ I Dipartimento di Matematica ITIS V.Volterra San Donà di Piave Versione [2015-16] Indice 1 Probabilità 1 1.1 Introduzione............................................ 1 1.2 Eventi...............................................

Dettagli

PRINCIPI E NORME DI PARTECIPAZIONE AL TORNEO

PRINCIPI E NORME DI PARTECIPAZIONE AL TORNEO PRINCIPI E NORME DI PARTECIPAZIONE AL TORNEO 1. Potranno partecipare ai tornei solo giocatori amatoriali. Per quanto concerne gli esterni sono esclusi tutti i tesserati FIGC di qualsiasi categoria. Potranno

Dettagli

La teleferica dilatazione termica lineare

La teleferica dilatazione termica lineare La teleferica dilatazione termica lineare Una teleferica di montagna è costituita da un cavo di acciaio (λ = 1,2 10-5 K -1 ) di lunghezza 5,4 km. D'estate, la temperatura del cavo può passare dai 5 gradi

Dettagli

Teoria delle scorte. Ricerca operativa Met. e mod. per le decisioni (Informatica Matematica) Pierluigi Amodio

Teoria delle scorte. Ricerca operativa Met. e mod. per le decisioni (Informatica Matematica) Pierluigi Amodio Teoria delle scorte Ricerca operativa Met. e mod. per le decisioni (Informatica Matematica) Pierluigi Amodio Dipartimento di Matematica Università di Bari Teoria delle scorte p.1/26 definizione del problema

Dettagli

Capitolo 5: Ottimizzazione Discreta. E. Amaldi DEI, Politecnico di Milano

Capitolo 5: Ottimizzazione Discreta. E. Amaldi DEI, Politecnico di Milano Capitolo 5: Ottimizzazione Discreta E. Amaldi DEI, Politecnico di Milano 5.1 Modelli di PLI, formulazioni equivalenti ed ideali Il modello matematico di un problema di Ottimizzazione Discreta è molto spesso

Dettagli

Economia e Organizzazione Aziendale ESERCIZI SULLE DECISIONI DI BREVE

Economia e Organizzazione Aziendale ESERCIZI SULLE DECISIONI DI BREVE Economia e Organizzazione Aziendale ESERCIZI SULLE DECISIONI DI BREVE ESERCIZIO 1 L azienda Willy produce componentistica per auto. Uno dei suoi prodotti più importanti è il C011, che viene realizzato

Dettagli

Davide Uzzo LA COSTANZA PREMIA

Davide Uzzo LA COSTANZA PREMIA La costanza premia Davide Uzzo LA COSTANZA PREMIA INDICE La costanza premia PAG. 07 PAG. 11 PAG. 17 PAG. 26 PAG. 39 PAG. 44 PAG. 47 INTRODUZIONE SIETE PRONTI? SI COMINCIA! VARIE TECNICHE DI SCOMMESSA

Dettagli

Politecnico di Milano I a Facoltà di Ingegneria C.S. in Ing. per l Ambiente e il Territorio

Politecnico di Milano I a Facoltà di Ingegneria C.S. in Ing. per l Ambiente e il Territorio MODELLISTICA E SIMULAZIONE febbraio 007 a prova Cognome e Nome:... Autorizzo Politecnico di Milano I a Facoltà di Ingegneria C.S. in Ing. per l Ambiente e il Territorio Non autorizzo la pubblicazione su

Dettagli

Liceo Classico Carlo Alberto Seminario Energia quotidiana

Liceo Classico Carlo Alberto Seminario Energia quotidiana Progetto Coeli gravitas Liceo Classico Carlo Alberto Seminario Energia quotidiana 20 22 marzo 2014 Riccardo Olivani ENERGIA la capacità di un corpo o di un sistema di compiere lavoro Unità di misura:

Dettagli

Regolamento Fantacalcio 2014-2015

Regolamento Fantacalcio 2014-2015 Regolamento Fantacalcio 2014-2015 Il fantacalcio è divertimento tra amici nato dalla passione per il calcio: prendiamoci in giro in maniera responsabile e non roviniamo tutto con astio e polemiche inutili.

Dettagli

Non ho idea se è la prima volta che vedi un mio prodotto oppure se in passato le nostre strade si sono già incrociate, poco importa

Non ho idea se è la prima volta che vedi un mio prodotto oppure se in passato le nostre strade si sono già incrociate, poco importa Benvenuto/a o bentornato/a Non ho idea se è la prima volta che vedi un mio prodotto oppure se in passato le nostre strade si sono già incrociate, poco importa Non pensare di trovare 250 pagine da leggere,

Dettagli

Metodo di gioco VINCENTE e GARANTITO. Non lasci possibilità per il bookmaker. Annienti le probabilità di perdere. Riduci il rischio del 100%

Metodo di gioco VINCENTE e GARANTITO. Non lasci possibilità per il bookmaker. Annienti le probabilità di perdere. Riduci il rischio del 100% Metodo di gioco VINCENTE e GARANTITO Non lasci possibilità per il bookmaker Annienti le probabilità di perdere Riduci il rischio del 100% da Zero a 50.000 Euro in meno di un anno Investimento a partire

Dettagli

LA CONTABILITA INTERNA. La contabilità interna

LA CONTABILITA INTERNA. La contabilità interna LA CONTABILITA INTERNA 1 LA CONTABILITA ANALITICA La gestione dei costi aziendali richiede informazioni più dettagliate rispetto a quelle offerte dalla contabilità esterna: è, infatti, necessario individuare

Dettagli

Programmazione lineare

Programmazione lineare Programmazione lineare Dualitá: definizione, teoremi ed interpretazione economica Raffaele Pesenti 1 Dualità 1.1 Definizione e teoremi Definizione 1 Dato un problema di LP in forma canonica max x = ct

Dettagli

CAPITOLO 12. Calcolo delle Probabilità. 12.1 Introduzione al Calcolo delle Probabilità

CAPITOLO 12. Calcolo delle Probabilità. 12.1 Introduzione al Calcolo delle Probabilità CAPITOLO 12 Calcolo delle Probabilità 12.1 Introduzione al Calcolo delle Probabilità Una storia d amore Luca abita a Lecco, Bianca a Brindisi. Lui è innamorato perso. Anche lei ama lui, ma, ultimamente,

Dettagli

dal 1910 una tradizione lunga 100 anni

dal 1910 una tradizione lunga 100 anni dal 1910 una tradizione lunga 100 anni " Quando ero piccola, mia madre mi mandava spesso, insieme a mia sorella, a comprare dei biscotti, che rivendeva nel suo negozio, da uno dei più bravi torronai del

Dettagli

Luigi De Giovanni Esercizi di modellazione matematica Ricerca Operativa

Luigi De Giovanni Esercizi di modellazione matematica Ricerca Operativa Piani di investimento Un finanziere ha due piani di investimento A e B disponibili all inizio di ciascuno dei prossimi cinque anni. Ogni euro investito in A all inizio di ogni anno garantisce, due anni

Dettagli

PERCHE SCOPPIA LA PRIMA GUERRA MONDIALE?

PERCHE SCOPPIA LA PRIMA GUERRA MONDIALE? PERCHE SCOPPIA LA PRIMA GUERRA MONDIALE? NEL TESTO SEGUENTE TROVI I MOTIVI CHE HANNO CAUSATO LA PRIMA GUERRA MONDIALE. ALLA FINE TROVI UN GLOSSARIO PER SPIEGARE LE PAROLE DIFFICILI. La Prima Guerra mondiale

Dettagli

Pubblicato sul n 36 di Rassegna, periodico dell Istituto Pedagogico, agosto 2008

Pubblicato sul n 36 di Rassegna, periodico dell Istituto Pedagogico, agosto 2008 LA PROBABILITÀ Margherita D Onofrio Pubblicato sul n 36 di Rassegna, periodico dell Istituto Pedagogico, agosto 2008 Perché Le ragioni per introdurre la matematica dell incerto nella scuola di base possono

Dettagli

Giochi e decisioni strategiche

Giochi e decisioni strategiche Teoria dei Giochi Giochi e decisioni strategiche Strategie dominanti L equilibrio di Nash rivisitato Giochi ripetuti Giochi sequenziali Minacce impegni e credibilità Deterrenza all entrata 1 Giochi e decisioni

Dettagli

Capitolo 3: Ottimizzazione Discreta. E. Amaldi DEIB, Politecnico di Milano

Capitolo 3: Ottimizzazione Discreta. E. Amaldi DEIB, Politecnico di Milano Capitolo 3: Ottimizzazione Discreta E. Amaldi DEIB, Politecnico di Milano 3.1 Modelli di PLI e PLMI Moltissimi problemi decisionali complessi possono essere formulati o approssimati come problemi di Programmazione

Dettagli

L uso del tofu in questo dolce di frutta consente di ottenere una base morbida e leggera.

L uso del tofu in questo dolce di frutta consente di ottenere una base morbida e leggera. 150 gr farina integrale 125 gr. Tofu 100 ml olio d oliva o di girasole o 100 gr di margarina vegetale 1 tazza di malto di riso Un po di sale marino integrale 2 mele 2 arance 2 cucchiai di marmellata di

Dettagli

Esempi di sensitivity analisys

Esempi di sensitivity analisys Esempi di sensitivity analisys SELEZIONE DI INVESTIMENTI: Un modello multiperiodale Prendiamo ora in esame un esempio di problema di selezione di investimenti che ci permette di evidenziare alcune possibilità

Dettagli

REGOLAMENTO FANTABARMARIO 2014-2015*

REGOLAMENTO FANTABARMARIO 2014-2015* REGOLAMENTO FANTABARMARIO 2014-2015* * evidenziate in verde le modifiche apportate al Regolamento 201 3-201 4 * testo barrato arancione i paragrafi eliminati rispetto al Regolamento 201 3-201 4 INDICE:

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI

APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI APPUNTI DI MATEMATICA LE DISEQUAZIONI NON LINEARI Le disequazioni fratte Le disequazioni di secondo grado I sistemi di disequazioni Alessandro Bocconi Indice 1 Le disequazioni non lineari 2 1.1 Introduzione.........................................

Dettagli

Vincolo di bilancio del consumatore, paniere ottimo

Vincolo di bilancio del consumatore, paniere ottimo Microeconomia, Esercitazione 2 (26/02/204) Vincolo di bilancio del consumatore, paniere ottimo Dott. Giuseppe Francesco Gori Domande a risposta multipla ) Antonio compra solo due beni, sigarette e banane.

Dettagli

Nota informativa. sul. Palinsesto Complementare

Nota informativa. sul. Palinsesto Complementare PAG. 1 DI 36 Nota informativa sul Palinsesto Complementare Versione 1.1 VERSIONE 1.1 PAG. 2 DI 36 INDICE 1. PROCESSO DI APPROVAZIONE DELLE PROPOSTE PER IL PROGRAMMA COMPLEMENTARE 5 1.1 PROCESSO DI ASSEVERAZIONE

Dettagli

Costi - 10. 1. calcolare il costo pieno industriale delle creme prodotte nel mese; L impresa. Sistemi di governo valutazione e controllo

Costi - 10. 1. calcolare il costo pieno industriale delle creme prodotte nel mese; L impresa. Sistemi di governo valutazione e controllo Costi - 10 La Hope SpA produce due tipi di creme solari (Normale per il Mediterraneo e Super per i Tropici) utilizzando un processo produttivo continuo suddiviso in due fasi. Nella prima fase le materie

Dettagli

La probabilità nella vita quotidiana

La probabilità nella vita quotidiana La probabilità nella vita quotidiana Introduzione elementare ai modelli probabilistici Bruno Betrò bruno.betro@mi.imati.cnr.it CNR - IMATI San Pellegrino, 6/9/2011 p. 1/31 La probabilità fa parte della

Dettagli

Etichettatura degli alimenti

Etichettatura degli alimenti Ministero della Salute Direzione generale per l igiene e la sicurezza degli alimenti e la nutrizione Etichettatura degli alimenti Cosa dobbiamo sapere La scelta di alimenti e bevande condiziona la nostra

Dettagli

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys.

METODO DEI MINIMI QUADRATI. Quest articolo discende soprattutto dai lavori di Deming, Press et al. (Numerical Recipes) e Jefferys. METODO DEI MINIMI QUADRATI GIUSEPPE GIUDICE Sommario Il metodo dei minimi quadrati è trattato in tutti i testi di statistica e di elaborazione dei dati sperimentali, ma non sempre col rigore necessario

Dettagli

L 346/12 Gazzetta ufficiale dell Unione europea 20.12.2013

L 346/12 Gazzetta ufficiale dell Unione europea 20.12.2013 L 346/12 Gazzetta ufficiale dell Unione europea 20.12.2013 REGOLAMENTO (UE) N. 1370/2013 DEL CONSIGLIO del 16 dicembre 2013 recante misure per la fissazione di determinati aiuti e restituzioni connessi

Dettagli

Pasticceria mignon Ingredienti: Ingredienti copertura: Paste speciali Ingredienti: Bignè Ingredienti: Con crema pasticcera: Con crema al cioccolato:

Pasticceria mignon Ingredienti: Ingredienti copertura: Paste speciali Ingredienti: Bignè Ingredienti: Con crema pasticcera: Con crema al cioccolato: Pasticceria Fresca Pasticceria mignon Ingredienti: Farina di frumento, zucchero, latte in polvere magro, acqua, uova, margarina vegetale (oli e grassi vegetali in parte idrogenati e frazionati, acqua,

Dettagli

Baruccana Volley. ART. 1 - SEDE DEL TORNEO e ORARIO DEGLI INCONTRI

Baruccana Volley. ART. 1 - SEDE DEL TORNEO e ORARIO DEGLI INCONTRI 1 Importanti novità! In questa edizione abbiamo introdotto la distinzione delle squadre iscritte in due categorie: Open e Amatori. I dettagli di ogni categoria li trovate nell articolo 5/A e 5/B. Ogni

Dettagli

CALCIO LIVE NUOVE SCOMMESSE SUI PRINCIPALI CAMPIONATI

CALCIO LIVE NUOVE SCOMMESSE SUI PRINCIPALI CAMPIONATI CALCIO NUOVE SCOMMESSE SUI PRINCIPALI CAMPIONATI Scommessa CALCIO D INIZIO Si deve pronosticare quale squadra batterà il calcio d inizio. ESITO FINALE 1X2 HANDICAP 1X2 + U/O Si deve pronosticare l esito

Dettagli

CHE COSA E JUICE PLUS+ COMPLETE?

CHE COSA E JUICE PLUS+ COMPLETE? Buongiorno e complimenti per avere scelto Juice Plus+ COMPLETE. Con la tua decisione, hai scelto di essere una persona che può fare la differenza, nella tua vita e in quella dei tuoi cari, dando il tuo

Dettagli

Ricettario per dolci momenti insieme A cura delle dietiste Daniela Valeriani e Paola Govoni

Ricettario per dolci momenti insieme A cura delle dietiste Daniela Valeriani e Paola Govoni COMUNE DI RAVENNA Istituzione Istruzione e Infanzia Servizio Diritto allo Studio Ricettario per dolci momenti insieme A cura delle dietiste Daniela Valeriani e Paola Govoni Ravenna giugno 2011 dolci ricette

Dettagli

IL S.A.P. di CATANIA ORGANIZZA. con l apporto tecnico della LEGA CALCIO U.I.S.P. PROVINCIALE CATANIA. sapcatania.it IL TORNEO DI CALCIO A 7

IL S.A.P. di CATANIA ORGANIZZA. con l apporto tecnico della LEGA CALCIO U.I.S.P. PROVINCIALE CATANIA. sapcatania.it IL TORNEO DI CALCIO A 7 IL S.A.P. di CATANIA ORGANIZZA con l apporto tecnico della LEGA CALCIO U.I.S.P. PROVINCIALE CATANIA IL TORNEO DI CALCIO A 7 denominato Un goal per la memoria Edizione 2009/2010 (REGOLAMENTO) 1 REGOLAMENTO

Dettagli

Sommario: Introduzione Premessa La scelta delle quote La scelta delle partite Metodo vincenti Conclusione INTRODUZIONE

Sommario: Introduzione Premessa La scelta delle quote La scelta delle partite Metodo vincenti Conclusione INTRODUZIONE Sommario: Introduzione Premessa La scelta delle quote La scelta delle partite Metodo vincenti Conclusione INTRODUZIONE Per guadagnare bene e tanto bisogna esser sempre convinti di ciò che si gioca, mai

Dettagli

Ormai sono passati quasi 20 anni da quando, terminate le scuole superiori, ho fondato la prima società di software.

Ormai sono passati quasi 20 anni da quando, terminate le scuole superiori, ho fondato la prima società di software. PREFAZIONE Ormai sono passati quasi 20 anni da quando, terminate le scuole superiori, ho fondato la prima società di software. Ho costituito, oltre 29 aziende in Italia e all estero, ed ormai ho una certa

Dettagli

mantecazione espressa

mantecazione espressa mantecazione espressa Gelato e frozen yogurt: Perche' investire in questo business? Il prodotto è genuino Perche' produrre gelato e frozen yogurt con le macchine gel matic? Perché il prodotto è pronto

Dettagli