IL CONCETTO DI FENOMENO ALEATORIO

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1 IL CONCETTO DI FENOMENO ALEATORIO Osservazione di Fenomeni Naturali (fisici, chimici,...) Sociali (economici, finanziari, psicologici,...) sui quali è difficile fare una previsione a causa di meccanismi molto complessi che li regolano. I

2 Esempio: IL CONCETTO DI FENOMENO ALEATORIO Tutti sappiamo che una goccia di pioggia cade sempre. Ma se si studia la sua velocità o si cerca di stabilire il punto esatto di caduta la risposta è tutt altro che univoca. Considerando una seconda goccia, pure se osservata con la massima accuratezza, difficilmente si avrà un risultato compatibile o univoco. Fenomeno Aleatorio II

3 INCERTEZZA DEL RISULTATO Momentanea - (concetto di probabilità soggettiva ) Esempio: l esito di una partita che si giocherà questa sera Fisica e Tecnologica Esempio: stabilire istante per istante posizione, velocità e accelerazione di un insieme di corpi. Esempio: le molecole di un gas meccanica statistica Intrinseca Esempio: principio di indeterminazione di Heisenberg (1927) meccanica quantistica Psicologica e sociologica Esempio: quanto la pubblicità incide sulla vendita di un prodotto III

4 IL METODO STATISTICO Alle domande come: Quanto è casuale o aleatorio il risultato a cui si è pervenuti e che fiducia riporre in esso? Quanto si può scommettere sulla validità dell ipotesi A rispetto a B con un rischio accettabile? Si può rispondere solo all interno di una logica probabilistica ( matematica dell incerto ) definendo metodi statistici in grado di pervenire a leggi generali partendo dall osservazione di tanti casi singoli o dall analisi del grado di fiducia. IV

5 IL METODO STATISTICO Trasformare un PROBLEMA REALE (non trattabile deterministicamente) in un PROBLEMA STATISTICO V

6 ESEMPI DI PROBLEMI STATISTICI Problemi connessi al monitoraggio e alla misura di un parametro (serie storiche) - Temperatura - Livello dei bacini fluviali - Cambio euro-dollaro - Come evolve nel tempo il prezzo delle azioni della società X nella borsa Y - Problemi di marketing Problemi connessi alla misure di variazioni - Tolleranze di fabbricazione - Stabilità di un mercato azionario - accuratezza di un sistema - accuratezza di un processo produttivo VI

7 ESEMPI DI PROBLEMI STATISTICI Problemi nella trasmissione di segnali: - Ricezione di informazione in presenza di disturbi (es. rumore) - Decodifica di segnali segreti (crittografia) Problemi psicologici, sociologici, economici di dipendenza: - Legame tra professione e possesso di beni - Legame tra livello scolastico e livello di benessere - Dipendenza delle vendite dagli investimenti pubblicitari - Dipendenza di una malattia dall età del soggetto Problema della dipendenza statistica e della correlazione VII

8 ESEMPI DI PROBLEMI STATISTICI Problemi di stima: - Determinazione della popolazione nel Valutazione annua e previsione dell inflazione - Calcolo del fabbisogno finanziario di uno Stato in un dato anno finanziario Problema della previsione statistica VIII

9 Un esempio reale Lancio di due dadi con le facce numerate da 1 a 6 e scommessa sulla somma X dei valori sulle due facce superiori indicate con Y 1 e Y 2 : 1 ( ), Y ( 1,2,3,4,5,6) Y 1,2,3,4,5,6 2 X = Y1+ Y2 X ( 2,3,4,...,11,12) Domanda: Conviene scommettere su X = 7 piuttosto che su X = 10? IX

10 Approccio Sperimentale Si effettuano N lanci (prove) e si contano il numero di occorrenze di ciascuna faccia. Si riportano i risultati in un diagramma a barre. Ad esempio per N = 50: Diagramma a barre delle frequenza assoluta X

11 Su 100 lanci (prove) si ottiene: Diagramma a barre delle frequenza assoluta XI

12 Su 500 lanci (prove) si ottiene: Diagramma a barre delle frequenza assoluta XII

13 Su 1000 lanci (prove) si ottiene: Diagramma a barre delle frequenza assoluta XIII

14 Su lanci (prove) si ottiene: Si vede che al crescere delle prove la frequenza assoluta si stabilizza mostrando un andamento triangolare con massimo per X = 7. Conviene scommettere sul 7. XIV

15 Considerazioni sull esempio del lancio di due dadi Alla faccia di un singolo dado associamo un valore numerico: variabile aleatoria discreta 1 ( ) Y 1,2,3,4,5,6 Caratterizzazione del secondo dado: stesso comportamento del primo, ma nuova variabile Y 2 indipendente dalla precedente 2 ( ) Y 1,2,3,4,5,6 Dado non truccato o regolare: concetto di variabilità uniforme (modello uniforme). Dado truccato : il risultato è sbilanciato su una faccia (modello non uniforme) XV

16 Dado NON truccato: Variabilità Uniforme Per un dado non truccato il numero di occorrenze atteso per ogni faccia, su N prove, è costante e pari a N / se N = XVI

17 Dado truccato: Variabilità non Uniforme In questo caso il dado è sbilanciato a favore delle facce con numerazione inferiore. XVII

18 Considerazioni sull esempio del lancio di due dadi (continua) Modello probabilistico di un oggetto fisico. Nell esempio del dado regolare, normalizzando il numero di occorrenze rispetto al numero di prove, ci si aspetta di ottenere 1/6 quando N. 1 6 XVIII

19 Considerazioni sull esempio del lancio di due dadi (continua) X è definito dalla somma: X = Y1+ Y2, cioè la variabile X è funzione di una coppia di variabili ( Y,Y 1 2). Dopo aver osservato e contato tutti i valori assunti da X è necessario un Test Statistico per verificare l adattamento del modello alla realtà, cioè ai dati osservati. XIX

20 Probabilità nel continuo Esempio: Una freccia raggiunge un bersaglio nel punto P, indicando con X e Y le coordinate di P, la distanza dal centro del bersaglio è 2 2 R = X + Y. Lanciando N frecce sul bersaglio con centro nell origine: XX

21 Diagramma a barre della frequenza assoluta di R (distanza dal centro) XXI

22 Aumentando il numero di prove XXII

23 Diagramma a barre della frequenza assoluta di R Il diagramma a barre tende ad una curva continua se il numero N di prove tende ad infinito e la larghezza delle barre è presa sempre più piccola. XXIII

24 IL MODELLO PROBABILISTICO REALTÀ = Componente Osservabile + Componente NON Osservabile VEDERE la realtà (osservazioni, acquisizioni, misure) CAPIRE la realtà all interno di una impostazione probabilistica nella quale l esistente è esaminato in rapporto a ciò che poteva accadere o che verosimilmente accadrà. AGIRE sulla realtà per raggiungere scopi predefiniti. La descrizione e la comprensione orientate verso l azione generano il modello definito in funzione di una finalità operativa. XXIV

25 IL MODELLO PROBABILISTICO DATI ANALISI STATISTICA MODELLO CALCOLO DELLE PROBABILITÀ MODELLO MATEMATICO PER LA VALUTAZIONE IN CONDIZIONI DI INCERTEZZA (Esempio: Controllo del Traffico Aereo) XXV

26 Definizione di fenomeno aleatorio M E T O D I S T A T I S T I C I MISURE O RILEVAMENTI SINTESI DI DATI INFORMAZIONI ANALISI PROBABILISTICA MONDO ESTERNO AZIONI PREVISIONE PER PROGETTO O VERIFICA PROBABILITÀ DI EVENTI DI INTERESSE Calcolo delle probabilità e statistica: connessioni operative nel lavoro dell ingegnere 1

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