Logaritmi ed esponenziali

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1 Logaritmi ed esponenziali definizioni, proprietà ITIS Feltrinelli anno scolastico

2 A cosa servono i logaritmi I logaritmi rendono possibile trasformare prodotti in somme, quozienti in differenze, elevamenti a potenza in prodotti e calcoli di radici in quozienti. Le operazioni vengono molto semplificate. I nostri sensi sono "logaritmici": - se ascoltiamo un suono e ne sentiamo poi un altro che ci appare di intensita' doppia, misurandolo successivamente ci accorgeremo che ha intensita' quattro volte superiore - analogamente, se vediamo una luce e poi un'altra che ci sembra 3 volte piu' forte, misurando ci accorgeremo che lo e' 9 volte di più I nostri sensi sono dunque in scala logaritmica. Questo ci permette di poter avere uno spettro di sensazioni molto piu' ampio di quello che avremmo se i nostri sensi fossero lineari I logaritmi sono utilizzati nella vita di tutti i giorni. Ad esempio il gommista: misura la pressione di una gomma sul suo strumento con una scala non lineare ma logaritmica; le scale sulla macchina fotografica sono logaritmiche

3 Introduzione Consideriamo l'uguaglianza 2 3 = 8 In essa ci sono tre quantita' cioe' : Se non conosciamo 8 allora l'uguaglianza diventa 2 3 = x cioé un'operazione di elevamento a potenza Se non conosciamo 2 allora l'uguaglianza diventa x 3 = 8 cioe' occorre trovare il numero che elevato alla terza vale 8 (operazione di estrazione di radice) Se non conosco 3 allora l'uguaglianza diventa 2 x = 8 cioe' si richiede di trovare l'esponente che messo al 2 fornisca 8 e cioè di effettuare l'operazione di logaritmo, che si denota con x = log 2 8 il logaritmo e' un esponente Consideriamo le due uguaglianze equivalenti 3 = log 2 8 e 2 3 = 8 3 e' il logaritmo in base 2 di 8 perche' 2 elevato alla terza da' 8 se ora al posto di 2, 3 ed 8 mettiamo delle lettere a,c, b leggendo le eguaglianze otterremo la definizione di logaritmo c = log a b a c = b c e' il logaritmo in base a di b perche' a elevato alla c da' b o meglio

4 Il concetto di base Consideriamo la scrittura c = log a b a si chiama base b e' l'argomento del logaritmo Tutta l'espressione log a b si chiama logaritmo mentre l'espressione a x = b in cui alla x si sostituisce il valore del logaritmo si chiama antilogaritmo Come base di un logaritmo e' possibile prendere qualunque numero positivo diverso da 1, ma fra le varie basi due sono fondamentali La base 10, i logaritmi con tale base sono detti di Briggs e di solito sono indicati senza mettere la base ma con la L di logaritmo maiuscola log 10 b = Log b La base e numero di Nepero, i logaritmi con tale base sono detti logaritmi naturali o neperiani e di solito vengono indicati in uno dei seguenti modi log e b = log b = ln b

5 Valori fondamentali Il logaritmo in qualunque base di 1 vale sempre zero: log a 1 = 0 deriva dalla proprieta' delle potenze che dice che ogni numero elevato a potenza zero vale 1: a 0 = 1 Il logaritmo in base a di a vale sempre uno log a a= 1 deriva dalla proprieta' delle potenze che dice che ogni numero elevato a potenza uno vale sempre lo stesso numero a 1 = a esempi log 2 2 = 1 log 1/3 1/3 = 1 Log 10 = 1 log e = 1 Come conseguenza abbiamo che il logaritmo in base a di 1/a vale sempre -1 log a 1/a = -1 deriva dalla proprieta' delle potenze che dice che ogni numero elevato a potenza meno uno vale il reciproco del numero stesso a -1 = 1/a esempi log 2 1/2 = -1 log 1/3 3 = -1 Log 0,1 = -1 log 1/e = -1

6 Valori per le basi Possiamo suddividere le possibili basi per un logaritmo in due grandi gruppi: base maggiore di uno base compresa fra zero ed uno Per tutte le basi >1: quando l'argomento e' minore di 1 il valore del logaritmo e' negativo e diventa sempre piu' piccolo man mano che l'argomento si avvicina a zero quando l'argomento vale uno il logaritmo vale zero quando l'argomento e' maggiore di uno il logaritmo e' positivo e cresce al crescere dell'argomento Per tutte le basi <1: quando l'argomento e' minore di 1 il valore del logaritmo e' positivo e diventa sempre piu' grande man mano che l'argomento si avvicina a zero quando l'argomento vale uno il logaritmo vale zero quando l'argomento e' maggiore di uno il logaritmo e' negativo e diventa piu piccolo al crescere dell'argomento

7 Proprietà dei logaritmi (1) Il logaritmo di un prodotto e' uguale alla somma dei logaritmi dei singoli fattori: log a (b c) = log a b + log a c Quindi se dobbiamo fare un prodotto piuttosto complicato possiamo trasformare i fattori in logaritmi, farne la somma e poi fare l'antilogaritmo per trovarne il risultato. Es. calcolare = Trasformo in logaritmi, ad esempio in base 2 log 2 16 = 4 log 2 64 = 6 faccio la somma = 10 questo e' il logaritmo del risultato, per trovare il risultato devo metterlo come esponente alla base 2 10 = 1024 quindi = 1024 Il logaritmo di un quoziente e' uguale alla differenza dei logaritmi dei singoli fattori: log a b/c = log a b log a c Quindi se dobbiamo fare un quoziente piuttosto complicato possiamo trasformare i fattori in logaritmi, farne la differenza e poi fare l'antilogaritmo per trovarne il risultato Provate con 1024:64 (usate la base 2)

8 Proprietà dei logaritmi (2) Il logaritmo di una potenza e' uguale al prodotto dell'esponente per il logaritmo della base (la base e' riferita alla potenza, non al logaritmo) log a b n = n log a b Il logaritmo di una radice e' uguale al prodotto dell'inverso dell'indice per il logaritmo della radicando: n log b = a 1 log n a b Cambiamento di base: Il logaritmo di un numero positivo C rispetto ad una nuova base b e' uguale al rapporto fra il logaritmo di C in base b e il logaritmo di a in base b log log a c = log b b c a

9 Equazioni logaritmiche Sono equazioni in cui la x compare nell'argomento del logaritmo; Per risolverle si cerca di ottenere un solo logaritmo sia prima che dopo l'uguale in modo da poter uguagliare gli argomenti; pero', uguagliando gli argomenti si potrebbero aggiungere soluzioni non possibili: infatti l'argomento del logaritmo deve sempre essere maggiore di zero. Per risolvere il problema esistono due metodi: Primo metodo: prima di iniziare a risolvere le equazioni si fa un sistema ponendo tutti gli argomenti maggiori di zero, si risolve il sistema e si trova l'intervallo in cui le soluzioni sono valide. Successivamente si va a risolvere l'equazione logaritmica e, una volta trovate le soluzioni, si controlla che cadano entro l'intervallo di validita' Secondo metodo: si risolve l'equazione e quindi si sostituiscono le soluzioni una alla volta nell'equazione iniziale per controllare se i logaritmi sono validi Il secondo metodo e' forse piu' semplice ed intuitivo, ma il primo metodo predispone il discorso sulla risoluzione delle disequazioni logaritmiche

10 Funzione esponenziale Se prendiamo la funzione logaritmo y = log a x e ne consideriamo la funzione inversa scambiando la x con la y x = log a y per definizione di logaritmo, rendendo esplicita la y posso scrivere y = a x Chiameremo la funzione cosi' trovata Funzione esponenziale Una funzione esponenziale importante è quella che ha per base il numero di Nepero e, ovvero: y = e x

11 Equazioni esponenziali In queste equazioni la x compare come esponente della potenza. Per risolvere queste equazioni si cerca di ottenere una potenza sia prima che dopo l uguale, ovviamente con la stessa base. Si possono così uguagliare gli argomenti. Se non è possibile compiere questa operazione, si cerca di trasformare l equazione esponenziale in equazione logaritmica, così sarà possibile effettuare un cambiamento di base.