Geometria delle similitudini

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1 Istituzioni di matematiche 2 Diego Noja (diego.noja@unimib.it) 31 marzo 2009 Geometria delle similitudini CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 1 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 2 Trasformazioni del piano Definizione Una trasformazione del piano è una corrispondenza biunivoca tra i punti del piano. In altre parole una trasformazione del piano f associa ad ogni punto P uno e un solo punto f(p) (che possiamo indicare con P ) e viceversa ogni punto P del piano è il corrispondente di uno e un solo punto P. Omotetie del piano Una omotetia del piano è una trasformazione del piano costruita in questa maniera si fissa un punto O del piano si fissa un parametro reale positivo k (k > 0) Se P è un punto del piano per costruire P, l immagine di P, si traccia la semiretta che parte da O passante per P e su questa semiretta si pone P tale che la distanza di O da P sia k volte la distanza di O da P. P P k = 2 Q Q O CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 3 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 4

2 Omotetie e similitudini Le omotetie appartengono ad una classe più ampia di trasformazioni: le similitudini. Per le omotetie siamo stati in grado di esplicitare la costruzione geometrica che permette (dati il punto O e la costante reale positiva k) di costruire l immagine di un qualsiasi punto del piano. Per le similitudini invece daremo una definizione completamente astratta. Similitudini Definizione Una similitudine è una trasformazione f del piano che verifica le condizioni seguenti Le distanze vengono mutate, ma vengono mutate in rapporto costante. Cioè possiamo trovare un numero k tale che se la distanza di due punti P e Q vale tot, allora la distanza tra i loro corrispondenti f(p) e f(q) vale k tot. Gli angoli non cambiano. Cioè comunque si fissino tre punti A, B e C, l angolo da questi individuato è uguale all angolo individuato dai loro corrispondenti f(a), f(b) e f(c). CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 5 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 6 SOLO CARTA: punti da toccare Proporzionalità dire di leggersi con cura le dispense, perché qui toccheremo solo alcuni aspetti le dispense si preoccupano di fare una lunga distinzione tra CN e CS: è fondamentale che imparino a distinguere tra le due implicazioni logiche se c è proporzionalità allora si osservano queste proprietà... se valgono queste condizioni...allora c è proporzionalità una cosa è fare rapporti di grandezze e una cosa è fare rapporti di numeri la proporzionalità ha a che fare con misure/numeri reali: quello che di solito si dice sulle grandeze proporzionali ha in generale senso per i numeri reali (esempio delle uova) CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 7 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 8

3 Proporzioni Ricordiamo che una proporzione è per definizione l eguaglianza di due rapporti a 1 : a 2 = b 1 : che si può anche scrivere a 1 a 2 = b 1 (notiamo quindi che le grandezze in gioco sono 4) Proprietà delle proporzioni Il fatto di riconoscere che una proporzione numerica è l eguaglianza di due frazioni a 1 a 2 = b 1 ci permette di ricavarne le ben note proprietà a 1 = a 2 b 1 a 1 + a 2 a 2 = b 1 + a 1 = b 1 a 2 cioè a 1 b 1 = a 2 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 9 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 10 Rapporti di grandezze geometriche Quando abbiamo a che fare con grandezze geometriche possiamo effettuare un rapporto solo se abbiamo a che fare con grandezze omogenee possiamo rapportare tra loro segmenti possiamo rapportare tra loro aree possiamo rapportare tra loro angoli Osserviamo che effettuare rapporti di grandezze geometriche è esattamente quello che facciamo quando compiamo una operazione di misura. Rapporti di segmenti Per rapportare i due segmenti a b andiamo a vedere quante volte il primo è contenuto nel secondo (o viceversa!) Possiamo quindi scrivere che il rapporto tra i segmenti a e b è a b = 3 1 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 11 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 12

4 Rapporti di aree Rapporti di aree Come è possibile fare il rapporto tra le aree di queste due figure geometriche? Mettiamoci in una situazione più semplice e consideriamo i seguenti rettangoli con la stessa base pari a u u u che cosa significa fare il rapporto tra le aree? CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 13 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 14 Rapporti tra grandezze geometriche Confrontiamo il rapporto tra le aree e il rapporto tra le altezze h 2 A 2 h 2 = A 1 A 2 = 1 3 Rapporti di grandezze geometriche Abbiamo quindi concluso h 2 = A 1 A 2 = 1 3 Osserviamo però che, dal momento che consideriamo grandezze geometriche non omogenee (segmenti e aree), non ha senso scrivere (applicando le proprietà delle proporzioni) A 1 A 1 = h 2 A 2 perché non ha senso calcolare il rapporto tra un segmento e un area. CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 15 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 16

5 Rapporti di misure Possiamo invece farlo solo se passiamo alle misure. Se indica la misura dell altezza del primo rettangolo h 2 indica la misura dell altezza del secondo rettangolo A 1 indica la misura dell area del primo rettangolo... Allora ha senso la scrittura A 1 = h 2 A 2 Proporzionalità di misure In altre parole, se passiamo alle misure, e ha senso parlare di proporzionalità fra la misura dell altezza del rettangolo e la misura della corrispondente area. parliamo di proporzionalità diretta ogni volta che due grandezze dipendono l una dall altra in modo tale che la relazione corrispondente tra le loro misure sia del tipo moltiplicazione per una costante. (cfr. M. Dedò, Misura, proporzionalità, similitudine, dispense stampate a cura del Dipartimento di Matematica F. Enriques, settembre 2001, p. 23) CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 17 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 18 Proporzionalità di misure Il tenere a mente che si sta parlando di misure permette di mettere a fuoco il fatto che si sta parlando di grandezze reali. Proporzionalità e tabelline Se invece abbiamo a che fare con tabellina di numeri A a 1 a 2 a 3 a 4 a 5... B b 1 b 3 b 4 b 5... abbiamo a che fare con un numero molto ristretto di casi. Dal fatto che valgano tutte le eguaglianze di rapporti CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 19 a 1 b 1 = a 2 = a 3 b 3 =... potrebbe non seguire una relazione di proporzionalità diretta. CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 20

6 Similitudini Similitudini La condizione sulle distanze è una condizione di proporzionalità tra segmenti. Se abbiamo un segmento a e un segmento b, allora, indicando con a e b le rispettive immagini, vale la proporzione a : a = b : b più precisamente a : a = b : b = k CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 21 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 22 Similitudini Si può dimostrare che la condizione sulle distanze e la condizione sugli angoli sono in realtà equivalenti. La definizione di similitudine può quindi essere data mettendo una delle due condizioni oppure l altra indistintamente. Anche se la trasformazione f è stata definita in maniera così astratta possiamo dalla definizione dedurne alcune proprietà geometriche: se tre punti A, B e C sono allineati, allora anche f(a), f(b) e f(c) sono allineati (per la condizione sugli angoli) l immagine di una retta è una retta, l immagine di un segmento è un segmento,... Esempi Le omotetie sono similitudini infatti le omotetie soddisfano sia la condizione sulle distanze che la condizione sugli angoli Ci sono però similitudini che non sono omotetie. CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 23 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 24

7 Figure simili Definizione Due figure del piano si dicono simili se è possibile costruire una similitudine del piano che manda la prima figura nella seconda. Figure simili Uno dei problemi che dovremo affrontare è quello di capire quando due figure sono simili. Avendo dato una definizione astratta di cosa sia una similitudine, dobbiamo costruire gli strumenti. CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 25 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 26 Scorciatoie Data la nostra definizione di figure simili, per capire se due figure sono simili occorre costruire una similitudine (di tutto il piano) che mandi la prima figura nella seconda. Questo a volte può sembrare un problema di non facile soluzione. Quello di cui abbiamo bisogno sono delle scorciatoie che ci permettano, date due figure, di stabilire se le figure sono simili senza costruire esplicitamente una similitudine. Queste scorciatoie sono dette criteri di similitudine. Nel linguaggio matematico un criterio di similitudine è una condizione sufficiente affinché la coppia di figure date siano simili Rettangoli Questi rettangoli sono simili? D C D C A B A B CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 27 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 28

8 Poligoni Consideriamo due poligoni del piano. Se i due poligoni sono simili, significa che esiste una corrispondenza biunivoca di tutto il piano che manda il primo poligono nel secondo. In particolare questa corrispondenza biunivoca di tutto il piano farà corrispondere ad ogni vertice del primo poligono uno e un solo vertice del secondo poligono, e viceversa. In altre parole la corrispondenza biunivoca del piano induce una corrispondenza biunivoca tra i vertici dei due poligoni. Poligoni In altre parole, se indichiamo con A, B, C, D,... i vertici del primo poligono, allora è possibile indicare i vertici del secondo poligono con A, B, C, D,... in maniera tale che A sia proprio il corrispondente di A nella similitudine, e così via per gli altri vertici. Questa corrispondenza biunivoca tra i vertici induce una corrispondenza biunivoca tra i lati dei poligoni (al lato AB del primo poligono corrisponde il lato A B del secondo poligono, e così via). CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 29 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 30 Poligoni Di nuovo se supponiamo che i due poligoni siano simili, le proprietà delle similitudini ci dicono anche se misuriamo l angolo del primo poligono in A e misuriamo l angolo del secondo poligono in A, allora questi angoli sono uguali e questo vale per qualunque vertice del poligono si vada a scegliere Poligoni Se supponiamo che i due poligoni siano simili, le proprietà delle similitudini ci dicono anche alla similitudine è associata una costante di proporzionalità k, e questo implica che il rapporto tra le misure dei lati A B AB = k e questo vale per qualunque lato del poligono si vada a scegliere CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 31 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 32

9 Poligoni Abbiamo cioè concluso che se due poligoni (ABCD... e A B C D... sono simili), allora 1. gli angoli sono uguali (nel senso che l angolo nel vertice A è uguale all angolo nel vertice A e così via per gli altri vertici) 2. i lati sono in rapporto costante (nel senso che il rapporto tra le misure di AB e A B è uguale al k associato alla similitudine, e così via per gli altri lati) ATTENZIONE: le condizioni 1 e 2 sono quindi condizioni necessarie perché i due poligoni siano simili. Quello che ci serve sono invece condizioni sufficienti per stabilire che due poligoni siano simili. Rettangoli Questi rettangoli sono simili? D A C B D A B In verde abbiamo costruito una omotetia di centro A e k = 2. (NOTA: in questo esempio le lettere sono fuorvianti!!) C CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 33 CDL Scienze della Formazione Primaria Istituzioni di matematiche 2 pagina 34