Azionamenti Elettrici

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1 Azionamenti Elettrici Appunti a cura di Damiano Zito

2 Indice Indice... Note Importanti...4 Azionamenti in Corrente Continua Principio di funzionamento della macchina in c.c...5.caratteristiche meccaniche ed elettriche circuito equivalente della macchina in c.c. per funzionamento da motore...7..eccitazione indipendente e funzionamento da motore regolazione sulla tensione di armatura regolazione sul flusso di eccitazione regolazione sulla tensione di armatura e flusso di eccitazione eccitazione serie e funzionamento da motore eccitazione indipendente e funzionamento da generatore eccitazione derivata e funzionamento da generatore Modello della Macchina in c.c. in Regime Variabile Cenni sui sistemi in controreazione Analisi del transitorio di velocità Transitorio di velocità: Gradino di velocità Transitorio di velocità: Gradino di coppia di carico Analisi del transitorio di corrente Risultati dell'analisi dei transitori Gruppi Ward-Leonard Convertitori a commutazione: Ponte trifase a tiristori Convertitori Switching: Full-bridge Modello matematico del convertitore Azionamenti in c.c. con convertitori di potenza Condizioni per eliminare il filtro di corrente Struttura del regolatore di corrente Regolatore proporzionale Regolatore proporzionale e integrale Windup dell'integratore Anti-Windup Richiami di controlli automatici: Luogo delle radici Regole per il tracciamento del Luogo delle Radici (LdR) Regolazione della corrente di armatura di un motore a c.c...44

3 10.1.Compensazione del disturbo (Feed-Forward) Regolatore di corrente ad isteresi Schemi di controllo per azionamenti in c.c Generazione dei riferimenti e chattering del sistema Schemi di controllo per la regolazione della velocità tramite circuito di eccitazione Frenatura rigenerativa...59 Azionamenti Brushless Classificazione Macchina SPM Macchina IPM Macchina IM...64.DC Brushless Azionamenti DC Brushless: modello matematico Azionamenti DC Brushless: Schemi di controllo Limiti degli azionamenti DC Brushless Trasformazioni di coordinate: il sistema di riferimento arbitrario Trasformazioni di coordinate: il vettore rotante Macchina Sincrona a Poli Salienti Macchina Sincrona a Magneti Permanenti IPM Azionamenti AC Brushless: modello matematico Azionamenti AC Brushless: Schemi di controllo Azionamenti AC Brushless: estensione del campo di velocità (deflussaggio)...90 Azionamenti con Motori Asincroni Principio di funzionamento della macchina asincrona...94.controllo scalare: Controllo V/f costante ad anello aperto e chiuso Controllo scalare: Controllo di Scorrimento Modello in regime transitorio della macchina asincrona Controllo vettoriale diretto e indiretto: analisi a regime permanente Schemi controllo vettoriale indiretto Schemi di controllo vettoriale diretto Controllo vettoriale: analisi a regime transitorio Controllo vettoriale: schemi di controllo indiretti Controllo vettoriale: schemi di controllo diretti Misura del flusso al traferro Modello in tensione Modello in corrente Modello ibrido

4 Note Importanti Questo documento in alcun modo pretende di sostituire libri di testo, può contenere errori, imprecisioni e trattare non molto approfonditamente determinati argomenti. Gli appunti sono frutto delle lezioni, né più né meno, che ho seguito durante il corso di Azionamenti Elettrici tenuto dal Prof. Fabio Giulii Capponi presso il Dipartimento di Ingegneria Elettrica (ora DIAEE) dell'università Sapienza di Roma. Non vanno oltre lasciando gli approfondimenti come scelta personale. A tal proposito esiste un'ottima bibliografia consigliata dallo stesso Prof. Capponi. Io inoltre ho consultato la tesi di Gabriele Borocci dalla quale ho implementato qualche appunto sul controllo vettoriale della macchina asincrona. Nel file (almeno in questa prima versione) non sono presenti le esercitazioni di laboratorio svolte sempre durante il corso. Chi ha dimestichezza può provare ad implementare quanto viene studiato con Matlab e Simulink. Manca poi la parte sui trasduttori che rappresenta la prima parte del corso tenuto dal prof. Ritengo in ogni caso siano un ottimo supporto per affrontare l'esame. Consiglio ai miei colleghi di frequentare il corso specie se interessati perché durante le lezioni si riescono a captare molte informazioni utili. Inoltre il prof è molto preparato e bravo nelle spiegazioni. Ultime note sulle figure. Molte sono prese dalle slide utilizzate dal professore durante le lezioni. Altre le ho direttamente create io con Draw di LibreOffice1 o con FidoCadJ o scannerizzate dai libri. Molti schemi a blocchi li ho costruiti su Simulink e altri li ho presi dagli appunti di Emanuele Laeman Freddi3. Alcune figure verso la fine del documento sono quelle originali a mano. In una prossima versione del documento saranno sicuramente sostituite. Per eventuali errori, correzioni o altro contattatemi pure. Roma, 3 luglio 01 Damiano Zito damianozito@gmail.com 1 3 Libre Office è una suite d'ufficio Open Source deriva da OpenOffice, se non sai cos'è fai un salto sul sito. Qui la pagina di Wikipedia. Qui il suo sito e gli appunti degli altri corsi.

5 Azionamenti in Corrente Continua 1. Principio di funzionamento della macchina in c.c. Lo studio degli argomenti contenuti in questo capitolo permetterà una più facile comprensione degli azionamenti brushless e per macchine asincrone che completano il corso. Strutturalmente la macchina in cc è la più complessa da realizzare, è composta da una parte fissa (statore) ad espansioni polari, ed il rotore che rappresenta la parte mobile. Il sistema di collettore-spazzole, collegato appositamente al rotore (detto anche armatura), permette di prelevare la tensione continua. Gli avvolgimenti della macchina sono disposti su due strati nelle cave rotoriche indipendentemente dal tipo di collegamento. Uno strato superiore è collegato ad uno strato inferiore distante il passo polare τ. Le lamelle che scorrono fra gli avvolgimenti e che consentono di prelevare la tensione continua, creano un corto-circuito. In questo preciso istante la fem indotta è nulla perché i conduttori sull'armatura sono soggetti ad induzione nulla. Questa considerazione vale però finché la macchina è a vuoto. Nel funzionamento a carico per effetto delle spazzole e delle lamelle, la corrente di una spira si divide equamente (per simmetria) in due direzioni. In questo modo sotto un polo la corrente circola in un verso, sotto l'altro polo circola nel verso opposto. La mappa di campo è sempre diretta lungo l'asse interpolare. Quando la corrente attraversa l'asse interpolare la corrente commuta e il campo rimane fisso nello spazio. I campi di reazione e di eccitazione sono fra loro sempre ortogonali, pertanto massimizzano la conversione di coppia. Il prodotto I r x Be è sempre massimo, e a livello locale questo prodotto rappresenta delle forze tangenziali mentre a livello globale è la coppa. L'andamento della coppia e dell'induzione va tenuto sotto controllo perché bisogna ricordarsi della saturazione cui può incorrere la macchina. È chiaro che maggiore è la correte I r maggiore sarà la coppia resistente T r, questa condizione vuol dire che si sposta l'asse interpolare. Ciò è un problema per la commutazione della corrente nel conduttore. Inoltre analizzando il campo sotto al polo questo non è più costante per effetto della saturazione. Per risolvere questi problemi si adottano alcuni accorgimenti costruttivi. Fra questi: l'installazione di poli di commutazione attorno ai quali si avvolgono degli avvolgimenti attraversati dalla corrente di reazione; cave di espansione che servono per realizzare un avvolgimento compensatore in serie

6 all'armatura il quale produce un campo sotto l'espansione polare opponendosi a quello di reazione.. Caratteristiche meccaniche ed elettriche Quando la macchina in cc funziona da generatore è accoppiata ad un motore primo il quale fornisce l'energia meccanica che viene opportunamente convertita in energia elettrica. Figura 1: Bilancio energetico della macchina in cc in funzionamento da generatore La Figura 1 mostra il bilancio energetico e mette in evidenza le perdite nel ferro e nel rame che avvengono durante la conversione. Di seguito viene invece mostra il bilancio energetico quando la macchina funziona da motore. Figura : Bilancio energetico della macchina in cc con funzionamento da motore Si definiscono: Potenza meccanica: P mecc=t ω r=k T Φ e I a ωr

7 Potenza elettromagnetica: P em= E I a= K E ω r Φe I a. In particolare quando si trascurano le perdite nel ferro e nel rame si ha che K T = K E..1. Circuito equivalente della macchina in c.c. per funzionamento da motore Figura 3: Circuito equivalente della macchina in cc (funzionamento da motore) Si possono scrivere le equazioni in regime permanente che governano il circuito. Forza elettromotrice indotta: E=K E ω R Φe Coppia: T = K T Φe I a Tensione di eccitazione: V ecc =Recc I ecc Flusso di eccitazione: Φ e = f (I ecc) Circuito di armatura: V a =Ra I a + E. Il circuito di eccitazione può essere del tipo: serie; parallelo; derivato (Shunt); compound. A seconda dell'eccitazione che viene fornita alla macchina cambiano i vincoli per le equazioni... Eccitazione indipendente e funzionamento da motore Questa configurazione è quella che permette una migliore regolazione della macchina e che verrà analizzata nel dettaglio più avanti.

8 Si cerca di esprimere la coppia in funzione delle grandezze della macchina. Essendo V a =Ra I a + E si ricava I a= Per cui T = K T Φ I a=k T Φ V a E V a K E ωr Φ. = Ra Ra V a K E ω r Φ, che può essere meglio nella forma: Ra K T Φ V a K T K E ω r Φ T=, che è pari a y=mx+q, dove q è il valore della coppia di avviamento. Ra Ra Tavv Porzione utilizzabile Ta ω0 Figura 4: Caratteristica coppi-velocità di un motore in continua con eccitazione indipendente La velocità a vuoto vale ω0 = Va. K EΦ La corrente di avviamento: I avv (ωr =0)= Va. Ra E quindi la coppia di avviamento: T avv = K T Φ Va =K T Φ I avv. Ra Si vuole ora confrontare la corrente di avviamento con quella nominale. Si parte dall'equazione V an= Ran I an +E 0, facendo il bilancio delle potenze si può scrivere: V an I an R an I an + E 0 I an. 1 Ricavando Ian e facendo il rapporto: 0,1 0,9 I avv V a Ra = =10, cioè la corrente di avviamento è pari a I an R a V an E 0 10 volte quella nominale. Questa corrente può determinare problematiche di natura termica, ma sopratutto sforzi

9 elettrodinamici nel motore (vanno col quadrato della corrente) che quindi saranno 100 volte maggiori rispetto al funzionamento nominale. Di questa macchina l'interesse è poter variare la velocità per adattarla al carico di coppia TL. Analizzando l'espressione trovata per la coppia, si nota che è possibile intervenire su tre grandezze: resistenza di armatura (tecnica in disuso perché troppo dissipativa); tensione di armatura; flusso di eccitazione;..1. Regolazione sulla tensione di armatura Ra Vb Va DC Va Tn TL' TL ωr Figura 5: Regolazione sulla tensione di armatura di una macchina in cc Se la macchina si trova alimentata a tensione Va pari alla tensione nominale si parte dalla caratteristica turchese più spessa. L'obiettivo è portare la macchina alla velocità di rotazione desiderata. Per fare ciò la tensione viene diminuita. Si nota dall'espressione della coppia che le caratteristiche sono tutte parallele al variare della tensione. Se poi da una condizione per cui è applicato un carico TL la macchina ruota a velocità ωr e per qualsiasi ragione questo aumenta fino a TL' allora per garantire la stessa velocità di rotazione si vede che la tensione deve aumentare (caratteristica verde). Si può arrivare allo stesso risultato analiticamente. Si è nella condizione di flusso di eccitazione costante. L'obiettivo è mantenere ωr =cost, per cui E=K E Φ ω r=cost. Essendo la coppia T 'L =K T Φ I a, si ricava la corrente. E poiché la tensione V a =Ra I a + E è chiaro che questa debba aumentare per soddisfare la richiesta.

10 ... Regolazione sul flusso di eccitazione Tn Pn P = cost ωn ω Figura 6: Regolazione sul flusso di eccitazione per una macchina in cc con eccitazione indipendente Si pensi trovarsi nel punto di funzionamento nominale. Anche il flusso sarà quello nomianale. Una volta raggiunto il punto a velocità nominale che corrisponde alla potenza nominale è possibile regolare il flusso di eccitazione facendolo diminuire. Se il flusso si dimezza anche la Tavv si dimezza, ma raddoppia la velocità a vuoto. In generale le caratteristiche hanno un andamento iperbolico e sono tutte tangenti al tratto a potenza costante, pari a quella nominale. Analiticamente: T = K T Φ I a, quindi se la corrente è costante la coppia è direttamente proporzionale al flusso. Trovandosi a tensione nominale anche V a =cost, per cui E=cost=K E ωr Φ. Quindi la velocità di rotazione è inversamente proporzionale al flusso. Ne segue che T ωr =cost. Questa in altre parole dice che al diminuire del flusso diminuisce in pari quantità la coppia e aumenta in pari quantità la velocità. La potenza in effetti non può andare oltre quella nominale...3. Regolazione sulla tensione di armatura e flusso di eccitazione Effettuando una combinazione delle due regolazioni appena viste si ottiene:

11 T Zona di regolazione a P costante Zona di regolazione a T costante Va Φecc Φecc = Φn = cost Va = Van = cost ωn ωmax ωr Figura 7: Regolazione di velocità e del flusso di una macchina in cc con eccitazione indipendente T Van P E0 Pmecc P Va E Pmecc Ra Ia = PJ = cost ωn ωmax ωr Figura 8: Regolazione di velocità e del flusso di una macchina in cc con eccitazione indipendente con potenze.3. Eccitazione serie e funzionamento da motore 4 Rispetto al caso precedente bisogna aggiungere il vincolo I ecc=i a. Si aggiunge poi l'ipotesi di considerare lineare la caratteristica di saturazione. V = E+ Ra I ; E=K E ω ϕ ; C=K C ϕ I ; Per cui: V =( K E K ϕ ω r + R a) I. La coppia ha così l'espressione: 4 Fino a prima dell'avvento dell'elettronica di potenza, la macchina in continua con eccitazione serie veniva utilizzata nel campo della trazione. Oggi si preferiscono macchine in alternata perché dispongono di una densità di potenza maggiore.

12 C=K C K ϕ I =K C K ϕ V, il cui andamento è quello di un'iperbole quadratica che ( K E K ϕ ω r + R a) varia con la velocità..4. Eccitazione indipendente e funzionamento da generatore Si analizza la caratteristica esterna tensione-corrente, la quale indica quanto il generatore reale si avvicina a quello ideale. V Pn I Figura 9: Caratteristica esterna di un generatore in cc con eccitazione indipendente L'andamento ideale è naturalmente quello orizzontale, ma man mano che aumenta la corrente è chiaro che aumenta la caduta di tensione sulla resistenza di armatura e di conseguenza la retta (magenta) si inclina di un certo angolo. Se poi non sono stati presi provvedimenti per contrastare la reazione di armatura allora l'andamento è quello rappresentato dalla curva rossa, la quale appunto identifica la caduta di reazione. L'obiettivo in questa configurazione è mantenere costante la tensione erogata. Per fare ciò per una certa corrente di armatura, il modo migliore è traslare verso l'alto la caratteristica, ovvero aumentare la fem indotta aumentando la velocità di rotazione. La regolazione di tensione quindi funziona variando la velocità di rotazione all'aumentare della corrente compensando la velocità resisitva. Un altro modo, se la velocità è costante, è quello di aumentare il flusso di eccitazione. Bisogna però considerare la non linearità del flusso..5. Eccitazione derivata e funzionamento da generatore Il caso di eccitazione derivata è quello più comune per un generatore, perché si cerca di autoeccitare la macchina. Sul circuito di eccitazione si introduce il reostato per raggiungere questo scopo. L'avviamento normalmente si effettua a vuoto.

13 V E0 ER Iecc Figura 10: Caratteristica di un generatore in cc con eccitazione derivata La tensione eventualmente presente sull'armatura viene utilizzata per alimentare il circuito di eccitazione. La caratteristica infatti, poiché la macchina memorizza la magnetizzazione precedente, è in grado di fornire tensione diversa da zero anche a corrente nulla. Si noti però che tale tensione non è in grado di alimentare il carico e per questo motivo l'avviamento viene effettuato a vuoto. Questo campo, una volta che viene messo in rotazione il rotore, determina una fem indotta, quindi una corrente di eccitazione che porta la tensione ad un valore maggiore. Il circuito di eccitazione viene così alimentato sempre a tensione maggiore con un conseguente aumento di corrente di eccitazione. Il processo di auto-eccitazione si arresta nel punto di funzionamento stabile all'intersezione fra le due caratteristiche. È evidente che la rotazione per queste macchine ha un verso predefinito. Si noti ancora che la caratteristica a vuoto in turchese, può essere variata variando il reostato nel circuito di eccitazione. Ciò permette di trovare l'equilibrio tra fem indotta e corrente di eccitazione. Una volta raggiunta la posizione di equilibrio è possibile analizzare la situazione a carico. La corrente I a=i + I ecc I. La caratteristica diventa non lineare.

14 V E V = Ra Ia Tratto approssimato come lineare Icc Ia In Figura 11: Caratteristica a carico di un generatore in cc con eccitazione derivata All'aumentare della Ia diminuisce la tensione, quindi la corrente di eccitazione e la fem indotta. Si tratta di una parabola ad asse orizzontale. Il tratto stabile è quello superiore all'intersezione (punto di funzionamento) con la caratteristica esterna. La corrente di corto-circuito in questa macchina non è vista come sovraccarico, ne determina quindi una robustezza della macchina stessa. 3. Modello della Macchina in c.c. in Regime Variabile Equazione di campo (field): v f =R f i f + L f Equazione di armatura: v a =Ra i a + La F.e.m. Indotta: e a= K E ω r Φ f Equazione di coppia (torque): T em =K T Φ f i a Equazione meccanica: T em T L =J di f dt di a + ea dt d ωr + B ωr. dt Il modello viene analizzato dal punto di vista della teoria dei controlli automatici. In generale si ha: { x = f (x, u,t ), y=g ( x, u, t) dove x = stati;

15 y = variabili di uscita; u = variabili di ingresso. Il sistema appena descritto può essere messo sotto la forma di sistema proprio: Ax+Bu, {x = y =C x+ D u se poi D = 0 il sistema si dice strettamente proprio. Nel modello della macchina si vogliono determinare le variabili di stato, gli ingressi, gli eventuali disturbi e le uscite. Risulta così: () i ecc v ; u= a ; d =T L. x= i a v ecc ωr Scritte le equazioni che descrivono la macchina in corrente continua, si mettono in evidenza le variabili di stato, o meglio le derivate delle variabili di stato che rappresentano l'energia immagazzinata5 nel sistema. di f v f R f = i ; dt L f L f f di a R K I = a i a E ωr Φ f + v a dt La La La d ωr KT B 1 = ω r + Φ f i a T L dt J J J dove: K T Φ f i a T L =J d ωr + B ωr dt Φ f =K Φ i f. Ovvero: di f v f R f = i dt L f L f f di a R 1 1 = a i a e+ v a dt La La La d ωr B 1 1 = ω r + T L + T em. dt J J J Avendo sostituito: e=k E ωr Φ f T em =K T Φ f i a. 5 Energia cinetica: 1 1 ζ k = J ω + ζ 0 ; energia magnetica: ζ m= L i + ζ mo. Si trascura l'energia termica.

16 Scritte le equazioni e ricordando che in fisica vale il principio di causa-effetto si utilizza la schematizzazione a blocchi per studiare la macchina mantenuto tale principio. Per cui ciò che sta a sinistra dell'equazione è la causa, mentre la parte a destra ne è l'effetto. dif/dt vf if 1/Lf Phi_f Integrale TL 1/J dw/ dt X Integrale va + 1/La Integrale - Rf / Lf - w Kt/J dia/ dt B/J ia Integrale - Ra/La 1/La Ke X Figura 1: Schema a blocchi non lineare della macchina in cc Ad ogni integrale corrisponde una variabile di stato. Questo perché ad ogni operazione viene immagazzinata dell'energia e l'integrale non è altro che un accumulo. Il modello presenta delle non linearità per via delle moltiplicazioni del flusso con la corrente e la velocità angolare. Per linearizzare il modello si considera costante il flusso di eccitazione. Quando il flusso è costante si semplifica il circuito di eccitazione. Le equazioni che descrivono il sistema diventano perciò: e a = K E ' ωr T em =K T ' i a di a R 1 1 = a i a e+ v a dt La La La d ωr B 1 1 = ω r + T L + T em. dt J J J Poiché il sistema è ora lineare può essere studiato analiticamente nel dominio di Laplace. Per semplificare la trattazione le equazioni che seguono vengono scritte ponendo condizioni iniziali nulle. E (s)=k E ' Ω(s) T em ( s )=K T ' I a ( s) Theta

17 V a (s )=R a I a ( s)+ s La I a ( s)+ E ( s) da cui si ricava la corrente: I a (s)= V a (s) E (s ) R a+ sla esprimibile nella forma: I a (s)= 1 [V ( s) K E ' (s) Ω( s) ] Ra + sl a a T em ( s ) T L ( s)=sj Ω (s)+b( s) da cui si ricava la velocità: Ω(s)= 1 [ K ' I (s ) T L (s )]. B + sj T a A questo punto è possibile cambiare il diagramma a blocchi, equivalente al precedente ma nella variabile s di Laplace, che descrive la macchina in continua. Si trova un modello costituito da due equazioni differenziali lineari del primo ordine. Si noti che le due equazioni sono indipendenti tra loro e sono funzioni delle due costanti. Figura 13: Schema a blocchi della macchina in corrente nella variabile s Le soluzioni delle equazioni lineari sono legate alla costante di tempo e sono di tipo esponenziale t e τ. In questo caso sono due, una legata alla costante di tempo elettrica del circuito di armatura e l'altra alla costante di tempo meccanica. L'obiettivo per lo studio in regime variabile è capire come varia la velocità di rotazione al variare della tensione di armatura e della coppia di carico. Poiché il modello è lineare si può applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. Per fare ciò bisogna creare due funzioni di trasferimento ad anello chiuso ed in particolare una prima fdt che fornisce la ωr rispetto alla V a quando T L è nulla ed una seconda fdt che fornisce la ωr rispetto la T L quando V a =0.

18 3.1. Cenni sui sistemi in controreazione Y* + ε u G(s) P1(s) - d + Y P(s) + YR H(s) Figura 14: Sistema in controreazione Nei sistemi in controreazione, la regola per determinare la funzione di trasferimento è: blocchi della catena diretta diviso tutti i blocchi nell'anello di controreazione. La funzione di trasferimento ingresso-uscita indicata generalmente con lettera W vale W (s)= G P1 P Y (s ). = * Y (s ) 1+G P 1 P H Si fa notare che al denominatore il segno positivo va invertito con quello negativo qualora la controreazione sia positiva. La fdt disturbo-uscita vale invece: W d ( s)= Y ( s) P =. D( s) 1 G P1 P H Si noti che in questo caso la controreazione è positiva quindi al denominatore vi è il segno negativo. 3.. Analisi del transitorio di velocità A questo punto è possibile ricavare le due funzioni ad anello chiuso cercate per la macchina in continua6. Svolgendo tutti i passaggi in base alle definizioni appena date si ottengono: G1 (s)=w ( s)= KT, (R a + sla )( B+ sj )+ K T K E G (s )=W D (s)= R a + s La. ( Ra + sl a)( B+ sj )+ K T K E Applicando il principio di sovrapposizione degli effetti si ricava la velocità di rotazione: Ωr ( s)= 6 KT R a + s La V a (s) T ( s ) ovvero, (R a + sla )(B + sj )+ K T K E ( Ra + sl a)( B+ sj )+ K T K E L Da qui in avanti le costanti saranno indicate per semplicità di notazione come semplificazione sulla linearità del flusso. ' KT = KT e ' K E =K E. Si ricordi però la

19 Ωr (s)=g 1(s )V a ( s)+g ( s) T L (s). Per semplificare la trattazione vengono fatte alcune ipotesi: B=0 J = Jm. Si considera solo l'inerzia del motore e non quella del carico. Si noti però che questa è la semplificazione che può cadere perché può capitare che il carico abbia un'inerzia maggiore. Per cui: G1 (s)= KT = sj m ( R a + sla )+K T K E 1 KE ( L J R J s a m +s a m +1 KT KE KT KE ). Il denominatore si trova nella forma di un sistema del II ordine, generalmente scritto come k. Dove ω0 è la pulsazione di oscillazione naturale attorno alla quale il s s 1+ ζ ω0 è ω0 sistema inizia ad oscillare. Tali oscillazioni sono smorzate da ζ (coefficiente di smorzamento), per cui quando ζ=0 si hanno oscillazioni infinite. ω( s)= Definendo: τ e= La costante di tempo elettrica, Ra τ m= Ra J m costante di tempo meccanica. KT K E Grazie a queste due definizioni si può ancora scrivere: G1 (s)= 1. K E (s τm τ e + s τ m+ 1) Si può procedere con ulteriore semplificazione, ovvero τ m τ e. In generale la costante di tempo meccanica è ordini di grandezza più grande della costante di tempo elettrica. Quindi: G 1 (s) 1 1. K E (1+ s τ m )(1+ s τ e ) K E (1+ s τ m ) La costante di tempo elettrica è molto più veloce di quella meccanica (è quasi istantanea e arriva molto presto a regime) quindi può essere trascurata (teorema del valore finale) Transitorio di velocità: Gradino di velocità Si pensi di applicare un gradino di tensione V a (s)= Ωr (s)= ΔV. La velocità vale: s ΔV 1 A B. Dopo aver ricavato la forma in poli e residui Ωr (s)= + si può K E s (1+ s τ m ) s 1+ s τm

20 eseguire l'antitrasformata e ritornare nel dominio del tempo: ω(t )= ( ) t τ ΔV 1 e +ω(0). KE m Figura 15: Velocità del motore nel tempo (con ia = 0 per cui Va = ΔV). Ke= Ke' 3... Transitorio di velocità: Gradino di coppia di carico Ra + sl a. Raccogliendo sempre i fattori K T e K E (Ra + sla )(B+ sj )+ K T K E a fattore comune al denominatore e la resistenza di armatura al numeratore, e introducendo nuovamente le costanti elettrica e meccanica, si ottiene: La fdt da analizzare è G (s )= G (s )= R a (1+ s τ e ) Ra 1. = K T K E ( 1+ s τ m)(1+ s τe ) K T K E (1+ s τ m ) Il gradino di coppia di carico applicato alla macchina è T L (s )= ΔT, per cui la velocità di s rotazione della macchina in continua vale: Ωr ( s)= Δ T Ra 1. K T K E s (1+ s τ m) Come per il caso precedente, antitrasformando si ottiene la velocità nel dominio del tempo: ωr (t) t Δ T Ra (1 e τ )+ωr (0). KT KE m

21 Figura 16: Transitorio di velocità per un gradino di tensione e un gradino di coppia di carico A questo punto è utile andare a verificare il comportamento a regime della macchina e studiare la risposta della corrente per un gradino di coppia di carico. A regime permanente la coppia motrice è pari a quella di carico che vale T L =Δ T = K T I a per cui I a= ΔT. KT La tensione di armatura come si può vedere in figura è costante (gradino). La condizione di equilibrio cercata vale: V a =Ra I a + E Mentre la condizione a vuoto (prima del gradino di coppia): V a =E 0=K e ω0. Per ottenere la condizione di equilibrio e quindi una corrente di armatura diversa da zero in grado di erogare la coppia necessaria, dovrà necessariamente diminuire E e dunque la velocità (essendo Va = cost.): K E ω 0=R a ΔT +K E ω KT K E (ω 0 ω)= Ra ΔT. KT La variazione di velocità vale così: Δ ω= R a ΔT, cioè il valore a regime. KE KT 3.3. Analisi del transitorio di corrente La trattazione di questo transitorio è semplificata. I a (s)= 1/ R a [Va( s ) K E Ω (s)]. 1+ τ a s

22 Questa equazione in sostanza dice che il comportamento della corrente è quello che avrebbe in un circuito RL dove la tensione, istante per istante, è quella di armatura sottratta della fem indotta. Figura 17: Analisi del transitorio di corrente Poiché la fem indotta dipende dalla velocità, anch'essa avrà dei transitori legati alla costante di tempo meccanica. Il comportamento di ωr moltiplicato per K E è quello della fem indotta. La porzione di area tratteggiata in rosso (Figura 17) rappresenta la differenza V a E. In Figura 18 è riportato uno zoom del transitorio della fem indotta e della corrente di armatura. Inizialmente la differenza fra le tensioni può essere trascurata e può essere considerata pari proprio a V a perché la velocità iniziale è pari a zero. Quindi il transitorio di corrente iniziale è i(t)= ΔV ( 1 e t / τ ), per poi attestarsi sul valore di Ra a ΔV (vedi Figura 18). Se poi il gradino di tensione è pari alla tensione Ra nominale della macchina ( V an ), allora il valore a regime di corrente è pari a quello di corto-circuito e quindi di avviamento - della macchina visto nello studio in regime permanente. regime pari a i(t)= Il valore di picco della corrente si avvicina a quello di corto-circuito quanto più è grande la differenza τ m τ a, cioè quanto più è lenta la costante di tempo elettrica rispetto quella meccanica. Mentre la corrente sale rapidamente sale anche la velocità e di conseguenza diminuisce la tensione

23 che viene fornita al circuito RL ( V a E ). La variazione di tensione è lenta, per cui le variazioni di corrente non sono percepibili. In un secondo momento la corrente scende con un andamento legato alla costante di tempo meccanica fino al valore zero, perché la coppia è nulla. Va E t ΔV / Ra t Figura 18: Dettaglio del transitorio della fem indotta e della corrente di armatura Quando viene applicato il gradino di coppia, la corrente parte dal valore iniziale nullo e arriva al ΔT valore finale. KT τm τa maggiore τm τa minore Van / Ra t Figura 19: Picco di corrente in funzione delle costanti meccanica ed elettrica Si noti che il rapporto fra i picchi di corrente nel grafico in Figura 17 è circa 10.

24 3.4. Risultati dell'analisi dei transitori Dall'analisi svolta si possono trarre delle conclusioni importanti, già note in parte dallo studio in regime permanente. In particolare si evince che: 1. Variando la tensione varia la velocità. Ciò era già noto ma ora è possibile sapere anche come avviene tale variazione (costante di tempo meccanica).. A pari tensione, se viene applicato un carico, la velocità diminuisce. Quindi per mantenere costante la velocità deve aumentare la tensione ma questa va variata al variare del carico. Sarà quindi necessario un sistema di controreazione che sente la variazione di tensione e agisce per compensare il transitorio e mantenere così la velocità costante. 3. Per un gradino di tensione si è visto che la corrente arriva fino a valori molto elevati. Questi sono inaccettabili non solo per la macchina, ma soprattutto per il convertitore elettronico di potenza che svolge il compito di regolare la tensione di armatura. Il convertitore va perciò dimensionato per non superare la temperatura massima di giunzione degli switch. Quindi va controllata anche la corrente. 4. Gruppi Ward-Leonard Il gruppo Ward-Leonard è il primo sistema per la regolazione della velocità della macchina in corrente continua. Oggi è possibile trovarlo ancora in funzione. Figura 0: Schema di gruppo Ward-Leonard La regolazione di armatura viene effettuata con un convertitore elettromeccanico. È costituito da: un motore primo, asincrono, alimentato dalla tensione di rete quindi lavora nel tratto stabile della caratteristica con velocità costante; macchina in cc con eccitazione indipendente collegata all'asincrono e che lavora da

25 generatore; macchina in cc con eccitazione indipendente alimentata dalla precedente. Figura 1: Circuito del gruppo Ward - Leonard Di quest'ultima si vuole regolare la velocità dell'albero e può essere effettuata in due modi diversi. 1. Un primo modo è variare la corrente Ifm del circuito di eccitazione del motore, variando il flusso di eccitazione nel tratto a potenza costante.. Variando la tensione di armatura. Siano quindi: E g= K eg ωrg Φ eg la fem del generatore; E m= K em ω rm Φ em la fem del motore; Variando la resistenza del generatore attraverso un reostato, cambia il valore della corrente di armatura perché varia il flusso di eccitazione e dunque anche la tensione V a ai morsetti. Infatti per portare la macchina alla velocità desiderata, bisogna erogare una certa coppia e se il flusso di eccitazione del motore è costante significa imprimere una determinata corrente di armatura. Vi è quindi una sola tensione di armatura che fa funzionare il circuito in quel punto, così come esiste una sola fem indotta del generatore che consente di raggiungere la velocità voluta. Scrivendo l'equazione per il circuito di Figura 1 si trova (E g E m)=(r eg + R am) I am, da cui si ricava: E g= E m (ωrm )+( R am+ Reg ) I am (T L )=K eg Φ eg ωrg 7. Da quest'ultima relazione si trova il flusso di eccitazione che garantisce così la condizione di funzionalità voluta. È chiaro che il rendimento di questi gruppi è basso e ciò si spiega dal fatto che si eseguono diverse conversioni elettromeccaniche. Il generatore infatti preleva potenza elettrica dall'asincrono per trasformarla in energia meccanica, questa viene nuovamente convertita e fornita sotto forma di energia elettrica al motore che a sua volta fornisce in uscita energia meccanica. 7 Si noti che E m (ω rg ) non è un prodotto, ma indica la dipendenza della fem dalla velocità, così come la dipendenza della corrente dalla coppia. I am( T L ) indica

26 Si noti che se bisogna frenare a carico, il motore deve funzionare da generatore e convertire l'energia cinetica dell'albero in energia elettrica. Il generatore inizia così a funzionare da motore e l'asincrono diventa un generatore asincrono. La conversione elettromeccanica pertanto si inverte. 5. Convertitori a commutazione: Ponte trifase a tiristori Il primo modo più diffuso per ottenere una tensione regolabile in continua è il ponte a tiristori. Se il valore efficace della tensione in ingresso è V FF. In uscita si ottiene: V d =V do cos α, dove V do 1,35 V FF è il valore della tensione in uscita per ponte trifase a diodi; α è l'angolo di innesco dei tiristori. Per effettuare la regolazione della velocità della macchina in continua, si varia l'angolo di innesco (tra 0 e 90 ) dei tiristori, per avere una tensione che varia tra 0 e il valore massimo V d0. Il massimo teorico dell'angolo di innesco è 180. Per angoli di innesco maggiori di 90 infatti si inverte il segno della tensione di uscita. Si noti ora che il ponte a tiristori è unidirezionale e non permette l'inversione della corrente. Per poter effettuare la frenatura, quindi creare una coppia opposta a quella positiva, vi è bisogno di lavorare con corrente negativa, quindi nel quarto quadrante. Nel secondo quadrante (tensione negativa), come si può osservare in Figura, si sta effettuando una frenatura ma rispetto al verso di rotazione negativo, cioè opposto rispetto a quello convenzionalmente positivo. La configurazione che permette la frenatura nel verso convenzionale positivo è quella con due ponti a tiristori collegati in antiparallelo così come mostrato in Figura 4.

27 I M ω Tem M Tem ω Frenatura rispetto al verso convenzionale invertito. V M ω Tem M ω Tem Figura : Quadranti di funzionamento con ponti a tiristori TL L M ω Figura 3: Meccanica del moto Tem

28 Figura 4: Configurazione back-to-back di ponti a tirisitori 6. Convertitori Switching: Full-bridge Come alternativa al ponte a tiristori, è possibile utilizzare un ponte detto ad H, accoppiato ad un convertitore dc/dc col vantaggio di ottenere una frequenza di variazione maggiore per la tensione fornita alla macchina. La struttura tipica, come quella in figura è quella di due rami in parallelo con Figura 5: Ponte ad "H" per la macchina in cc due switch per ognuno di essi controllati per ottenere la tensione desiderata in uscita. Quest'ultima è

29 una tensione continua, regolabile, che può variare tra +Vs e -Vs. Le configurazioni possono essere: Q1, Q4 = ON Vout = Vab = +Vs; Q3, Q = ON Vout = Vab = -Vs. Si usano quindi le tecniche di modulazione PWM che consistono nell'accendere/spegnere con una certa frequenza gli switch, variando la tensione di uscita all'interno di un ciclo di modulazione. t (Q ) All'interno di questo ciclo si determina il duty-cycle pari a: d = ON i. T PWM A causa della frequenza di modulazione (e dei multipli di essa) la tensione disponibile ai morsetti presenta un certo contenuto armonico. Di questa tensione però si può calcolare il valor medio: v ab= 1 T PWM t ON V s dt+ 0 1 T V s dt= T T PWM t ON 1 PWM [V s t ON V s (T PWM ton )]= T 1 [V s ( t ON T PWM )], PWM e cioè:e di che ;) v ab=v s ( d 1). Quindi il valor medio della tensione in uscita dipende dal duty-cycle: { v ab=0 v ab=+v s v ab= V s per d =0,5 per d =1. per d =0 Per generare la PWM si utilizza un circuito che confronta una tensione modulante, generalmente chiamata vcontrol, con frequenza pari a quella di uscita, con una portante. Figura 6: Esempio di tecnica PWM Un requisito fondamentale per questa tecnica è che la tensione modulante vari molto lentamente rispetto alla portante in modo da poterla considerare costante all'interno di un periodo di modulazione. Quando infatti la modulante varia troppo velocemente la tensione in uscita non è più

30 esprimibile con l'espressione trovata sopra. È interessante osservare che se la modulante è sempre ben definita e varia lentamente rispetto alla portante triangolare risulta: { v control =0 v control =+V tri v control = V tri per d =0,5 v control. Allora, andando a sostituire questo per d =1, si ricava che d =0,5+0,5 V tri per d =0 v control. Si V tri realizza cioè una diretta dipendenza fra vcontrol e la tensione di uscita. È importante però che la PWM, cioè la portante sia sempre triangolare per mantenere questa linearità. Numericamente se la portante è a 10 khz, l'azione di controllo deve variare con frequenza massima di 1 khz (cioè banda passante almeno una decade inferiore). valore nell'espressione della tensione in uscita e svolgendo i calcoli si ottiene v ab=v s Si noti infine che il circuito della macchina in cc alimentato dalla tensione che esce fuori dalla PWM è di tipo RL. L'andamento della corrente per questo circuito dipende dalla costante elettrica Ra, ed inoltre presenterà un ripple attorno ad un valor medio che dipende (oltre all'induttanza) τ a= La dal ton e cioè dal periodo di modulazione PWM. Durante il ton: V s=r a i a+ La d ia di + E V s E= Ra i a + L a a. dt dt Durante il toff: V s =Ra i a + L a d ia di + E V s E=R a i a+ La a. dt dt Figura 7: Ripple di corrente dovuto alla modulazione di tensione Questo ripple8 di corrente provoca oscillazioni di coppia pregiudicando la qualità della macchina, si desidera quindi eliminarlo. Più avanti viene svolta l'analisi per sfruttare il solo valor medio della corrente che fornisce il contributo di coppia desiderato. 8 Si noti che il ripple disegnato in Figura 9 è valido nel funzionamento da generatore. In quello da motore il segno della corrente va invertito.

31 7. Modello matematico del convertitore Fatte le dovute considerazioni sulla PWM e la corrente nel motore in cc, si introduce il modello generico di un azionamento che presenta un anello più interno di corrente ed uno più esterno di velocità. Figura 8: Azionamento generale per il controllo di una macchina in cc Nello schema appare il PWM Generator, il cui modello matematico si è ricavato da quello del convertitore, ma invertendolo. Il modello non è dinamico perché si sta trascurando l'energia immagazzinata che è poca. Stando quindi a quanto visto nel precedente paragrafo, la tensione media vale v = Vs, per v V tri control V tri v *. In questo modo si ottiene quindi la tensione di controllo in uscita dal blocco Vs a PWM Generator che comanderà gli switch. cui v control = Per annullare l'errore di velocità viene comandata una coppia desiderata T*. Come è noto questa dipende dalla corrente che nello schema è indicata come ia* ovvero la corrente desiderata di armatura. Essa è controllata dalla tensione Va*, cioè la tensione da imporre sull'armatura che serve appunto per annullare l'errore di corrente. Eventualmente per ottenere un controllo di posizione bisogna imporre un terzo anello esterno, usando un trasduttore di posizione si ricava la velocità da imporre per annullare l'errore di posizione. Più avanti si analizzeranno le controreazioni dei due anelli. 8. Azionamenti in c.c. con convertitori di potenza Nella trattazione precedente si è introdotto il modello matematico del convertitore. Se si riesce ad * effettuare una stima esatta dei parametri, si può effettuare l'approssimazione v a =v a. Questa condizione ha dei limiti che la rendono valida. Nel modello infatti sono state introdotte, anche se indirettamente, delle ipotesi:

32 1. Viene trascurato il contenuto alle frequenze di modulazione della v a che esce dal convertitore.. La tensione in uscita dal convertitore non è maggiore della tensione V s del link in continua. Bisogna quindi ricordarsi della saturazione v a =±V s. 3. Viene trascurato il dead-time degli interruttori. Questo perché il valor medio della tensione è tempo di commutazione degli switch. Se la modulazione avviene a 10 khz (TPWM = 100 μs) il dead-time vale 1 μs. Figura 9: Schema di controllo con approssimazione del convertitore unitario Il sistema di controllo, nella maggior parte dei casi, negli azionamenti elettrici è tutto digitale. Quindi se fpwm = 10 khz, ci sarà un processore che ogni 100 μs produce un duty-cycle. All'interno del periodo di calcolo il processore determina il duty-cycle che dovrà quindi applicare nel periodo successivo. t di calcolo t TPWM Figura 30: Calcolo del duty-cycle La frequenza di campionamento per la corrente e la velocità è pressoché simile a quella di modulazione. Dal teorema del campionamento si ha quindi che la banda passante dell'anello di corrente non può essere superiore alla metà (5 khz in questo caso). In realtà però è 10 volte (1 decade) inferiore alla fpwm. Bisogna inoltre attenzione a non generare aliasing, ovvero creare frequenze che dipendono dalla differenza tra la f di campionamento e quella del segnale campionato. Esempio: Se si campiona a 10 khz un segnale con contenuto a 9 khz, per effetto del campionato nel segnale campionato risulterà un segnale a frequenza di 1 khz. Oppure se si campiona un segnale con contenuto a 9900 Hz, dentro al segnale campionato sarà presente un segnale a 100 Hz.

33 Per eliminare questi contenuti in frequenza indesiderati (vicini a quelli di modulazione) bisogna eliminarli dalla controreazione filtrando la corrente con un filtro che può essere contenuto in H1(s) cercando di ricavare il valor medio che è quello di interesse. Ia(s) =1, ma questa condizione è irrealizzabile. Il filtro però può essere una I *a funzione di trasferimento del I ordine del tipo: Idealmente si vuole I a( s ) 1. * Ia 1+ τ * s Una volta che si inserisce il filtro, la banda passante del regolatore di corrente trasla ancora più in basso. Questo perché alla banda passante del filtro corrisponde uno sfasamento di 45 gradi e quindi già prima della banda passante si ha un certo errore di fase. Ciò è inaccettabile e dunque il regolatore di corrente viene posizionato una decade prima rispetto alla banda passante del filtro. La Figura 31 riporta il diagramma di bode del filtro in questione utilizzano un semplice script in Matlab: %Funzione di Trasferimento del Filtro di Corrente NUM = [0 1]; DEN = [ ]; SYS = tf(num, DEN); bode(sys) Figura 31: Diagramma di Bode del filtro di corrente In pratica si è detto - la fdt non è unitaria, ma si riesce a realizzarne una del I ordine come sopra.

34 1 9 La banda passante è τ e se ci si mantiene abbastanza a sinistra di tale valore, allora è possibile filter approssimare la fdt effettiva con quella ideale (quindi unitaria). Ciò vuol dire che il diagramma a blocchi in Figura 3 può essere approssimato semplicemente con quello in Figura 34. Figura 3: Schema semplificato per la regolazione di corrente Figura 34: Sepmplificazione del diagramma a blocchi precedente Figura 33: Semplificazione dell'anello di corrente, rimane solo quello esterno di velocità Lo schema dell'azionamento si semplifica. L'anello di corrente è più veloce rispetto a quello più esterno di velocità, si riesce ad eliminarlo, o meglio ad approssimarlo con la fdt ad anello chiuso come mostrato in Figura 33. Analizzando anche l'anello più esterno si ricava una funzione ad anello chiuso del tipo: Figura 35: Funzione ad anello di chiuso Wn(s) Anche questa funzione di trasferimento avrà una sua banda passante (B3n). Si noti ora che tra la coppia desiderata e quella realmente impressa, la banda passante è sempre quella della corrente, quindi le proprietà dinamiche imposte alla regolazione della corrente si trasformano in regolazione della coppia. Questa considerazione vale sempre a flusso costante. 9 τ PWM =1/ ; τ filter=1/1000.

35 Si osservi quindi la Figura 36. La fdt tra le coppie può essere approssimata ad uno se le variazioni di velocità richieste hanno una frequenza almeno una decade inferiore alla banda passante della corrente. Figura 36: Schema semplificato, anello di velocità Riassumendo: Figura 37: Frequenze richieste nell'azionamento Grazie a questo grafico è possibile fare un'altra considerazione in merito alla controreazione della corrente. Nella realtà infatti nella controreazione è presente il trasduttore e il filtro che serve ad eliminare il contenuto non desiderato. Se si rimane a sinistra di B3i questa controreazione è unitaria. È altrettanto chiaro che all'interno dell'anello di velocità la dinamica del regolatore di corrente è possibile considerarla unitaria. Nel prossimo paragrafo si illustra la condizione per cui è possibile eliminare il filtro di corrente e migliorare la dinamica (e le prestazioni) del sistema Condizioni per eliminare il filtro di corrente Figura 38: Controreazione nell'anello di corrente

36 Nella realtà, nella controreazione dell'anello di corrente sono presenti un trasduttore e il filtro che come detto ha il compito di eliminare le frequenze di modulazione contenute nel ripple. Se però il filtro è almeno una decade sopra la banda passante dell'anello di corrente, la controreazione è unitaria. Quindi utilizzando adeguati trasduttori e separando adeguatamente le bande passanti è possibile trascurare completamente il comportamento dinamico del trasduttore e del filtro. Questa considerazione vale fino al momento in cui non si cerca di spingere l'anello di corrente a frequenze prossime a quelle del filtro. Così come nella regolazione di velocità, se si pensa di portare più in alto la banda passante del regolatore di velocità non si può più trascurare la dinamica del regolatore di corrente. In ogni caso, se viene eliminato il filtro si può spingere più in alto la banda dell'anello di corrente entro i limiti esposti. Ora si osservi la Figura 3910 e si noti che la corrente in determinati istanti di tempo passa per il valor medio (che è quello di interesse). Pertanto se si campiona negli istanti in cui la corrente vale proprio la corrente media, e cioè nei picchi della triangolare, non c'è bisogno di filtrare le frequenze PWM perché il segnale è privo del ripple a tali frequenze. Di questa considerazione si deve tenere conto sopratutto in fase di programmazione e quindi di scrittura del codice di calcolo per trascurare via hardware il filtro. Di conseguenza cambia il diagramma delle frequenze (Figura 40). Ma l'anello di corrente non potrà essere 1/10 rispetto alla PWM, bensì 1/0, arrivando così a 500 Hz. La modulazione PWM dipende dai dispositivi utilizzati11: i Mosfet consentono di arrivare a decine di khz; con gli IGBT la massima frequenza è di 0 khz. Vanno considerate però le perdite dell'inverter che sono proporzionali alla frequenza di modulazione. Man mano che aumenta la taglia (cioè la potenza) dell'inverter diminuisce perciò la fpwm al fine di mantenere alto il rendimento. 10 Si ricordi che la PWM con portante triangolare si dice del tipo center-aligned. Con portante a dente di segna edge-aligned. Nel primo caso la PWM è sempre simmetrica rispetto al periodo di modulazione, nel secondo iniziano tutte nello stesso istante. 11 Un ponte a tiristori visto in precedenza arriva a frequenze di modulazione di circa 300 Hz.

37 v modulante t Va +Vs t -Vs Ia Valore medio t Figura 39: Modulazione PWM nella macchina in cc Figura 40: Banda delle frequenze col filtro trascurato

38 8.. Struttura del regolatore di corrente Per il regolatore di corrente si ricorre ai PID. L'errore in questi dispositivi viene trattato in 3 modi in base ai regolatori che si inseriscono: proporzionale integrale derivativo Questi termini contribuiscono all'azione di comando u. Il regolatore non sempre presenta tutti e 3 i termini Regolatore proporzionale Per il funzionamento di questo tipo di regolatore è necessaria la presenza di un errore. Esso effettua la misura dell'errore e attraverso una costante di proporzionalità comanda una tensione * che tende ad annullarlo. A regime permanente se l'errore è nullo la v a è zero. Se si comanda tensione nulla la corrente è zero e non è la situazione desiderata. Si noti che alzando molto il guadagno del regolatore è sufficiente un errore molto piccolo per generare la tensione che serve a far circolare la corrente necessaria. Il caso limite è naturalmente K p= cui corrisponde (anche per piccolo errore) una tensione comandata anch'essa infinita ma ciò non è possibile per ovvi limiti, e cioè non è possibile alimentare la macchina in queste condizioni. Bisogna ricordare il limite in tensione ( ±V s ) e cioè la saturazione nel convertitore introdotta a pagina Regolatore proporzionale e integrale Quando l'errore è zero il contributo solo proporzionale è nullo, mentre l'integrale di zero è una costante. Pertanto sarà costante la v a. L'azione integrale annulla l'errore a regime permanente. Infatti dalla teoria dei sistemi, per avere un sistema di tipo 0 (sistema che annulla l'errore a regime permanente per un ingresso a gradino) bisogna avere un integrale in catena diretta. Per avere un sistema di tipo 1, cioè errore nullo a regime permanente per ingresso a rampa, bisogna avere due integratori in catena diretta. Il servoazionamento è un sistema di tipo 1, cioè un sistema a prestazioni elevate, che riesce ad deve inseguire riferimenti costanti o variabili nel tempo. Pertanto se si sottopone un ingresso a rampa al sistema di tipo 0, questo a regime permanente dà un errore costante. Con un proporzionale integrale si riesce ad ottenere la fdt con forma desiderata. Ciò comporta dei vantaggi tecnici ed economici perché si evita di ricorrere al contributo derivativo. La derivata infatti va effettuata da un filtro nel caso analogico, mentre la derivata numerica è molto rumorosa. La derivata del gradino è un impulso, quindi per un riferimento di corrente a gradino, il contributo del termine derivativo andrebbe subito all'infinito. Una qualsiasi variazione brusca del riferimento si traduce in una tensione di armatura desiderata che porterebbe il sistema in

39 saturazione. ia* ia t1 t t3 t4 t t5 va* va Vs t1 t t3 t4 t5 t Figura 41: Windup dell'integratore 8.5. Windup dell'integratore Si studia il fenomeno del windup dell'integratore considerando il solo termine integrale, trascurando il termine proporzionale solo ai fini di una trattazione più semplice. Si parte dalla condizione per cui l'integrale è nullo e si richiede un gradino di corrente ia*. Istante per istante il regolatore svolge l'integrale dell'errore e comanda una tensione va* che inizia quindi a crescere. All'instante t1 l'integrale avrà così accumulato un determinato valore. Nell'instante successivo la tensione raggiunge il valore Vs. Si noti però che la corrente non ha ancora raggiunto il valore desiderato e che nonostante diminuisca l'errore, l'integrale continua a crescere perché aumentano i contributi positivi (l'integrale è un accumulo). Il che significa che nonostante il valore comandato dal regolatore sia più alto, questo vale in realtà Vs e l'ingresso fornito alla macchina si trova in saturazione. La corrente desiderata continua a crescere perché si tratta di un transitorio in un circuito RL e la condizione è quella per cui si comanda la tensione massima del sistema e la corrente tende raggiungere il valore Icc. Quando ia supera ia*, all'integrale si sommano dei contributi negativi,

40 ciononostante la corrente continua a crescere almeno fino a che la tensione va* non scende fino al valore Vs. Van / R = Icc ia * t Figura 4: Transitorio di corrente - circuito RL Solo dall'istante t5 la corrente inizia a diminuire e con diverse oscillazioni e con tempi lunghi raggiunge il valore di regime Anti-Windup Il comportamento dovuto alla saturazione (di cui bisogna tenere conto) peggiora la dinamica del sistema allungando i tempi di risposta. L'altro fenomeno indesiderato su cui è possibile intervenire è quello dei picchi di corrente che sollecitano la macchina e il convertitore creando su quest'ultimo notevoli problemi termici alla giunzione degli switch. Si interviene quindi prevedendo la saturazione nel convertitore già nel sistema di controllo in modo che questo possa accorgersene prima. Figura 43: Schema di controllo con Anti-Windup Il sistema di anti-windup ha un funzionamento molto semplice. In uscita il PI fornisce una tensione vapresat la quale entra in uno schema a blocchi che è la riproduzione del convertitore (tiene conto della saturazione). Il regolatore controlla la differenza tra vapresat e va*. Se la differenza fra queste due grandezze è maggiore di zero allora tale quantità viene moltiplicata per un guadagno KAW per poi

41 andare a sottrarsi all'errore riducendolo. Il caso limite sarebbe errore nullo ma la presenza dell'integrale garantirebbe un'uscita costante. Quando la vapresat si trova in zona lineare la differenza tra le due tensioni è nulla quindi il feedback di anti-windup non funziona tenendo la vapresat sempre al margine della zona lineare. t vapresat Figura 44: Tensione al limite della saturazione grazie all'azione dell'integrale Facendo in questo modo si garantisce che l'integrale (visto dal regolatore) non entri nella zona di lavoro in saturazione e si mantiene costante. Quando l'errore di corrente diventa nullo la vapresat può iniziare a diminuire come mostrato in Figura 45. Come si può vedere - a parte una leggerissima oscillazione - la corrente va subito a regime. L'integrale che vede il regolatore rimane costante tra t e t3. ia* ia t Integrale t Vapresat = Va * Vapresat t Figura 45: Azione dell'anti-windup

42 L'azione dell'anti-windup consente quindi di eliminare i picchi di corrente introdotti precedentemente dalla saturazione. 9. Richiami di controlli automatici: Luogo delle radici1 Per la trattazione di questo argomento il dominio di lavoro è quello della variabile s, quindi ci si trova nel dominio di Laplace. La struttura di una funzione di trasferimento più comune è la seguente: m k ' (s z i ) i=1 n F (s )=, m< n. (s p i) i=1 Se si pone tale funzione in controreazione unitaria: x* Δe y F(s) y Figura 46: Controreazione unitaria della F(s) m k ' (s z i ) si può ricavare la fdt W (s)= i=1 n m chiamata appunto fdt in controreazione (s p i)+ ( s z i ) i=1 i =1 unitaria. x* W(s) y Figura 47: Fdt in controreazione unitaria, detta fdt ad anello chiuso Si noti che il numero di poli della fdt ad anello chiuso e ad anello aperto coincidono perché hanno il grado massimo uguale al denominatore. Gli zeri poi sono identici. Si definiscono: 1 Questo argomento viene introdotto per poter affrontare le esercitazioni numeriche e quindi la sintesi dei regolatori.

43 n m i=1 i=1 Poli di W(s): ( s p i)+ k ' (s z i )=0 ; n m Punti singolari di W(s): (s p i)+k ' (s z i). s i=1 s i=1 n ( s pi ) Questi si calcolano isolando k': k ' = i =1 m sostituendo questa espressione della (s z i) i=1 m n n n definizione si ottiene: (s z i ) (s pi ) (s pi ) ( s pi ). Le soluzioni di s i =1 s i =1 i=1 i =1 questa equazione vanno poi inserire nell'espressione di k' e solo i poli che forniscono una soluzione reale sono punti singolari. Si può dimostrare inoltre che il numero di punti singolari è sempre P.S. (n+ m 1) Regole per il tracciamento del Luogo delle Radici (LdR) 1. Se le soluzioni dell'equazione del LdR è reale allora esiste un valore kì reale in grado di soddisfare l'equazione, ne segue che l'asse reale del piano complesso appartiene al LdR.. Appartiene al luogo positivo ( k ' 0 ) tutti i punti dell'asse reale tali da lasciare alla loro destra una somma dispari di zeri e di poli di F(s), contati con la loro molteplicità. Appartengono al luogo negativo tutti i punti rimanente. 3. Per il luogo negativo ( < k ' < 0 ), con k' proveniente da : a) un numero di rami pari ad m (quanti gli zeri) convergono dagli m zeri di F(s); b) n m rami vengono dall'infinito secondo asintoti opportuni; c) per k' = 0, n rami convergono verso gli n poli di F(s). Per il luogo positivo ( o k '<+ ), per k' che va da 0 verso + : d) n rami partono dagli n poli di F(s), ci cui m convergono verso gli m zeri di F(s); e) n m rami tendono ad secondo opportuni asintoti. 4. Si avrà sempre 1 asintoto, sia per il L.P che per il L.N. Gli asintoti hanno un centro comune n m pi z i per il L.P e il L.N. s0 = i=0 i=0 n m Contando i contributi con la loro molteplicità. a) Nel luogo positivo tali semirette formano angoli pari a π+ π h + ϕ = ( h=1,,..., n m) ; (n+ m)

44 b) nel luogo negativo formano angoli pari a ϕ = πh ( n m) (h=1,,..., n m). Non è detto che il centro coincida con un punto appartiene al LdR. n-m=1 n-m= n-m=3 n-m=4 L P L N Figura 48: Asintoti del Luogo delle Radici 5. Se s* è un punto singolare del LdR con molteplicità pari a μ ( μ )in tale punto confluiscono μ rami del luogo, alternativamente convergenti e divergenti. Questi rami tagliano il piano in μ fette uguali. Si il punto singolare coincide con un polo o uno zero di F(s) con molteplicità >1, allora l'alternanza dei μ rami è un'alternanza di L.P e di L.N. L'utilità del luogo delle radici è quella di far capire come varia la dinamica della funzione di F (s) trasferimento ad anello chiuso W (s)= al variare di k'. La dinamica di W(s) dipende dai 1+ F ( s) suoi poli, infatti la funzione del LdR è proprio l'equazione al denominatore. 10.Regolazione della corrente di armatura di un motore a c.c. In questo paragrafo la trattazione viene svolta per il caso di regolazione analogica. FARE ESEMPIO CON MATAB

45 10.1. Compensazione del disturbo (Feed-Forward) Figura 49: Controllo di armatura con anti-windup La Figura 49 riassume il controllo di corrente dopo aver inserito il sistema di Anti-Windup discusso in precedenza. Fino ad ora le considerazioni sono state svolte in condizioni di rotore bloccato. In questo paragrafo si analizza la macchina in rotazione per capire se si riesce ad ottenere la dinamica desiderata. Per fare ciò si potrebbe studiare la funzione di trasferimento disturbo-uscita (definizione a pagina 18) o affrontare il problema con una trattazione qualitativa, che è quella che segue. Quando la macchina viene posta in rotazione, essa agisce fornendo una tensione che fa circolare corrente. Per via della rotazione si crea un errore e di conseguenza il regolatore di corrente agisce aumentando la tensione di armatura. Il regolatore però non tiene conto del disturbo prodotto dalla fem indotta, e comanda una tensione che in realtà poi diventa inferiore. L'errore che si viene a creare dura quindi di più, con la conseguenza che si ha una rallentamento nella velocità di risposta, fino a compensare il disturbo prodotto dalla fem indotta. A regime permanente l'errore nullo è garantito dalla presenza dell'integrale. Per aumentare la velocità di risposta si cerca di conoscere una stima della fem indotta nel regolatore. Il risultato è riportato in Figura 50. Si inserisce una stima della fem indotta tale per cui se e stimata =e * allora la tensione v 1=v 1. Per stimare e, se il flusso è costante, basta misurare la velocità e stimare il giusto guadagno Ke: e stimata =K e ω r. mis È chiaro che questa sarà una stima affetta da errore. Se si suppone che la stima è del 90% (che è un valore che si riesce a raggiungere), allora si scrive che: * e stimata =0,9 e, per cui la tensione v 1=v 1+ 0,1 e. Quindi il regolatore deve accumulare un errore aggiuntivo (0,1 e) sempre per annullare l'errore a regime permanente. Ma in questo caso il valore da accumulare è 10 volte più piccolo rispetto al caso senza compensazione.

46 Figura 50: Compensazione della fem indotta e Si ricordi che tra le ipotesi che erano state fatte a pagina 31 si diceva di tenere conto del dead-time degli interruttori che riduce il valore medio di tensione in uscita. Questo è un disturbo nella linearità del comando di tensione, trascurabile per tensioni elevate, ma non per piccole tensioni. Vale tra 1% ± %. Come per il caso della fem indotta si può compensare questo disturbo inserendo una v DT al * convertitore e una stima di essa da sommare a v 1.

47 Figura 51: Schema di controllo di una macchina in cc con anello di corrente e di velocità 47

48 10.. Regolatore di corrente ad isteresi ia* va* Kp = ia Figura 5: Regolatore di corrente con guadagno infinito Il regolatore di corrente ideale è sicuramente quello con un proporzionale a guadagno infinito, come quello riportato in Figura 5. Con questo guadagno il convertitore comanda la tensione in saturazione. Si può quindi pensare di utilizzare un regolatore di corrente che ha lo stesso comportamento ed è mostrato in Figura 53. va* ia Figura 53: Regolatore ideale di corrente In pratica questo regolatore individua il segno dell'errore e quando questo è positivo comanda la massima tensione possibile. Quando invece è negativo comanda la massima tensione negativa. Il problema è il funzionamento per errore prossimo allo zero. Il vantaggio presentato da questo convertitore è che rispetto a quello col PI presenta un transitorio velocissimo e non vi è bisogno di generare la PWM proprio perché la tensione comandata è sempre la massima positiva e/o negativa ed è la tensione con cui possono essere comandati gli switch. Questi però hanno una frequenza di modulazione limitata. Pertanto per evitare anche il problema dell'errore vicino allo zero, si utilizza il regolatore ad isteresi di Figura 54. va* ia Figura 54: Regolatore di corrente ad isteresi 48

49 La frequenza di modulazione in questo regolatore dipende dalla scelta di un parametro δ che rappresenta una banda attorno alla corrente desiderata, come si osserva nella Figura 55. Si nota poi che in base al segno dell'errore la tensione comandata cambia il proprio segno. Naturalmente tanto più è alto è il coefficiente δ tanto meno frequenti sono le commutazioni. Con un'opportuna scelta di questo parametro la frequenza può essere uguale a quella che si avrebbe nel caso di regolatore col PI. A regime permanente i due convertitori hanno lo stesso comportamento dal punto di vista delle perdite. Lo stesso non si può dire per il transitorio (Figura 56) durante il quale sono frequenti le commutazioni. δ ia ia* t va* t Figura 55: Funzionamento del regolatore ad isteresi In conclusione si può dire che il regolatore ad isteresi è: il regolatore più veloce e permette alte prestazioni e a regime permanente ha le stesse perdite di un regolatore PI; durante il transitorio (la f non è costante) non garantisce il pieno controllo delle perdite sul convertitore che quindi va sovradimensionato. 49

50 i t Figura 56: Transitorio di corrente nel regolatore ad isteresi 11. Schemi di controllo per azionamenti in c.c. Figura 57: Schema di controllo generico per una macchina in cc In questo schema di controllo13 si individua facilmente il circuito di armatura, alimentato dalla 13 Il contenuto di questo paragrafo fa riferimento al testo Control of Electric Drives W. Leonard (Springer) [3rd Edition]. Le convenzioni circuitali (e simboli) sono quelle tedesche. 50

51 tensione ua, con resistenza e induttanza e quindi il sistema collettore-spazzole che fornisce la fem e. Si individua anche il circuito di eccitazione, alimentato da ue,nel quale scorre la corrente ie che produce il flusso di eccitazione φe. Nel circuito sono presenti due convertitori, uno per il circuito di eccitazione e uno per quello di armatura, dotati di un sistema di controllo che misura la velocità angolare, la corrente e la posizione angolare. Questo sistema di controllo può effettuare una regolazione o sul circuito di armatura o su quello di eccitazione. Lo schema seguente, in Figura 58, invece agisce solo circuito di armatura variando la tensione di quest'ultimo. Il circuito di eccitazione rimane perciò costante. Si analizza lo schema facendo riferimento anche a quanto già studiato. Figura 58: Schema di controllo del circuito di armatura Si parte dal blocco convertitore indicato con il termine Actuators. L'alimentazione di quest'ultimo è di tipo continua se si tratta di un ponte ad H o alternata nel caso di un ponte raddrizzatore. Nel convertitore entra naturalmente la tensione di riferimento ua*. Per la misura della posizione angolare si utilizza un encoder. Si può notare come lo schema sia analogo a quello in Figura 51. I due schemi differiscono solo per il blocco Reference Generator di cui si discute nelle prossime pagine e che consente un azionamento con prestazioni migliori. 51

52 ε* ε t ω t dω/dt t Figura 59: Profilo ad esse Generazione dei riferimenti e chattering del sistema Il blocco di generazione dei riferimenti ha una funzionalità molto importante. L'obiettivo nel controllo è quello di ottenere il cosiddetto profilo ad esse per la posizione angolare, che tradotto vuol dire far partire la macchina a velocità nulla e arrivare alla posizione desiderata sempre a velocità nulla. Che significa ancora accelerazione costante positiva per il primo tratto e accelerazione costante negativa nel secondo. Per fare ciò è necessario che l'errore di posizione cresca linearmente e decresca linearmente, come mostrato in Figura 59. La precisione di regolazione viene stabilita dal guadagno che viene dato nel regolatore di posizione. Aumentandolo si riesce a soddisfare le specifiche richieste dal controllo. ε * ε ε * ε Guadagno più basso Guadagno più alto Figura 60: Profilo ad esse al variare del guadagno 5

53 Il guadagno alto però può comportare due svantaggi. Il primo è la saturazione sulla velocità e l'altro è dovuto al fatto che basta un piccolo errore per avere una variazione di velocità diversa da zero. Ciò comporta delle oscillazioni ad alta frequenza in condizioni di regime permanente per cui il sistema vibrerà attorno a quella posizione. Questo fenomeno va sotto il nome di chattering. ε * ε Figura 61: Chattering della macchina in cc Per ovviare a questo problema, poiché si conosce il profilo di velocità che si vuole ottenere per inseguire ε* allora si può pensare di effettuare il feed-forward al regolatore di velocità. Il vantaggio principale dello schema in Figura 58 è rappresentato dal fatto che poiché al regolatore viene dato un profilo di velocità desiderato, è possibile portare la macchina in una determinata posizione seguendo il profilo ad esse, anche se l'errore è nullo. Naturalmente il regolatore di velocità deve avere banda passante maggiore del regolatore di posizione in accordo con quanto già studiato. La controreazione serve comunque per compensare le piccole variazioni che possono derivare da effetti del secondo ordine trascurato, o dall'inerzia del sistema. Si noti infine che nel blocco di generazione dei riferimenti viene anche creato il profilo accelerazione che è un profilo di coppia accelerante il quale viene utilizzato per effettuare il feedforward di corrente, senza aspettare che l'accelerazione venga calcolata Schemi di controllo per la regolazione della velocità tramite circuito di eccitazione Gli schemi di controllo visti nel paragrafo precedente prevedono la regolazione della velocità solo variando la tensione del circuito di armatura della macchina in cc. Si vedranno in questo capitolo schemi di controllo che prevedono la regolazione della velocità variando l'eccitazione della macchina. 53

54 Figura 6: Schema di controllo della macchina a cc con eccitazione costante espressa in PU In questo schema l'eccitazione è costante ma le grandezze sono espresse in per unità (PU), si nota principalmente che la coppia e la corrente hanno stesso valore, dividendo quindi per l'inerzia della macchina si ottiene facilmente la velocità di rotazione. Risolvendo l'anello di corrente (Current Control Loop), creando così una funzione ad anello chiuso (chiamata Wi(s) in precedenza), si arriva allo schema: Figura 63: Anello di velocità in PU 54

55 In questo schema si nota la funzione di anti-windup svolta dalla corrente di riferimento attraverso il blocco Limiter. Per la sintesi del regolatore di velocità si utilizza il metodo dell'ottimo simmetrico rappresentato in Figura 64. Non viene qui approfondito. Figura 64: Metodo dell'ottimo simmetrico 55

56 Figura 65: Controllo della macchina in cc con variazione dell'eccitazione La regolazione sul circuito di eccitazione è introdotta dallo schema in Figura 65, sempre in PU: Nella parte superiore dello schema si trova la tensione del circuito di armatura, cui viene sottratta la e, si passa per la fdt dell'armatura per ottenere la corrente che moltiplicata per il flusso determina la coppia, cui va sottratta quella di carico ed infine si ottiene la velocità di rotazione. Il flusso di eccitazione viene determinato dalle equazioni del circuito di eccitazione. I convertitori in questo caso sono due, rappresentati con un guadagno ed una costante di tempo (Gas, tas) e (Ges, tes). È assodato quindi che per la regolazione della velocità della macchina in cc il controllo avviene sia regolando la tensione di armatura, sia agendo sul flusso di eccitazione (regolazione di campo) come visto a pagina 11. Il problema che si pone è quello di far interagire entrambe le strategie. In un primo momento si effettua la regolazione aumentando la tensione del circuito di armatura e poi questa deve essere mantenuta costante, il che significa mantenere la fem indotta anch'essa costante: e=ω ϕ. Questa relazione dice che il flusso è inversamente proporzionale alla velocità. All'aumentare di quest'ultima diminuisce il flusso. 56

57 V E E0max ωn Figura 66: Profilo di tensione della macchina in cc Per capire quindi quando utilizzare la prima o la seconda strategia bisogna controllare la fem indotta. Ai fini del controllo è utile conoscere esclusivamente il modulo. Si osservi la Figura 66 e si supponga di trovarsi alla velocità nominale. Il valore di E0max è il valore di riferimento che viene utilizzato nell'anello di regolazione del circuito di eccitazione. Se da questa posizione la velocità aumenta, l'anello superiore tenderebbe a far aumentare la tensione e quindi la fem indotta. Il regolatore di eccitazione se ne accorge (errore negativo), mantiene il valore di riferimento e per fare ciò diminuisce il valore di ee, di conseguenza anche la corrente ed il flusso. Si raggiunge così l'obiettivo di mantenere e costante per aumenti di velocità maggiori a quella nominale. Si parla di deflussaggio. Se a partire da ωn la velocità decresce la fem indotta diminuisce, si crea un errore positivo e il regolatore aumenta la tensione di riferimento perché cerca di far aumentare la fem nel circuito di eccitazione. Ma il circuito di eccitazione è già alimentato a tensione di eccitazione nominale, la quale fornisce la corrente di eccitazione nominale (non si vuole far variare la corrente quando cambia la velocità) e a sua volta il flusso di eccitazione nominale. Si è già al limite massimo, quindi il circuito di eccitazione lavora in questo campo in saturazione, per cui l'uscita del regolatore non sale. E questo è l'obiettivo cercato nel progetto del regolatore di eccitazione. Si riassume il funzionamento: ω < ωn il regolatore di eccitazione lavora in saturazione; ω > ωn il regolatore di armatura andrebbe in saturazione. In realtà si controlla il flusso in modo da avere fem costante e quindi tensione di armatura richiesta costante (zona di funzionamento con limite di tensione). Come si stima la fem indotta14? Se il flusso di eccitazione è costante, si ricaverà dalla velocità; attraverso la corrente di eccitazione, con la condizione di conoscere il legame flussocorrente (curva di saturazione); 14 Non si misura sotto carico. 57

58 dalla relazione v a =Ra i a +e+ La d ia dt In quest'ultima equazione la complicazione numerica risiede nella derivata della correte che ha anche un certo ripple. La regolazione della fem indotta è legata all'anello di regolazione della velocità e in particolare i due anelli hanno una banda passante molto vicina che come è noto è anche molto lenta rispetto a quella della corrente. L'anello di regolazione della fem vede la corrente a regime. È possibile approssimare la fem con la relazione: e v a R a i a. Dove: la corrente è nota perché viene misurata; la resistenza di armatura si riesce a stimarla molto bene; per la tensione di armatura vige il problema che non vengono usati trasduttori di tensione negli azionamenti, perché è difficile ricavare l'informazione utile essendo una tensione PWM. Per la tensione però è noto il duty-cycle, quindi la va*. ia* PI va* - 1 va convertitore Figura 67: Schema a blocchi PI e convertitore Fino al limite per cui è possibile continuare ad approssimare il funzionamento del convertitore con fdt unitaria, si ha un'informazione sulla tensione che è proprio la va* all'uscita del PI. Il dead-time si è già detto non permette di considerare unitaria la fdt del convertitore. Tuttavia si può notare che la regolazione accurata della fem indotta la si vuole per velocità elevate, o comunque maggiori di ωn. Sotto la velocità nominale il regolatore di eccitazione è in saturazione. Inoltre il dead-time è rilevante per basse velocità e per piccole tensioni di alimentazione è trascurabile. Trascurando la dinamica del regolatore di eccitazione, il risultato è quello di Figura 68. Questo schema è valido nella sola zona di deflussaggio (flux weakining region). Sotto questa ipotesi la fem indotta si può ritenere costante perché la mantiene tale il convertitore di armatura. 58

59 Figura 68: Schema di controllo in zona di deflussaggio (semplificazione dell'anello di eccitazione) Il flusso di eccitazione è legato direttamente alla velocità di rotazione. Quando questa in modulo è inferiore alla ωn allora il flusso di eccitazione è quello nominale. Quando la velocità sempre in modulo supera il valore di ωn allora il flusso decresce con l'inverso della velocità. La non-linearità tra corrente e flusso non crea grossi problemi proprio perché il flusso è stato ridotto (deflussaggio), quindi non si manifestano fenomeni di saturazione magnetica. In queste condizioni l'azione dell'anello di eccitazione si riduce quindi al blocco del flusso legato alla velocità di rotazione e a un disturbo nell'anello di corrente. 1. Frenatura rigenerativa La frenatura rigenerativa si presenta utile nel caso di veicoli elettrici o nel recupero di energia in un sistema che prevede un ciclo di lavoro con molte accelerazioni e decelerazioni. Si suppone di avere un sistema che sta lavorando alla velocità ωiniz, a partire da questo valore la velocità decresce linearmente. La coppia che bisogna fornire è costante, quindi lo è anche la corrente ed è negativa perché la coppia è frenante. In figura viene rappresentato l'andamento delle grandezze di interesse. Si nota che in un certo istante la tensione di armatura è zero, questa condizione si verifica quando: K E ω=r a I R. Per continuare a frenare da questo punto in poi bisogna imporre una tensione di alimentazione negativa. Ciò è possibile utilizzando un convertitore che consente il funzionamento per corrente negativa come il full-bridge. Per annullare la velocità si dovrà verificare: V (t z )=Ra I R. 59

60 Il che significa che l'azionamento deve fornire l'energia necessaria per vincere la resistenza interna del motore. Figura 69: Frenatura rigenerativa, profili delle grandezze L'energia disponibile per la frenatura rigenerativa fornita dal motore all'azionamento, e si calcola 60

61 t0 come E R= v a (t) i a (t )dt. 0 Dall'istante iniziale fino a t0 la potenza meccanica viene convertita in potenza elettrica. Se ωiniz è la velocità iniziale, l'energia rigenerativa svolgendo l'integrale - ha l'espressione: ( ) J ωiniz ωiniz K e I a R a E R= + Ra I a. Kt ωiniz K e Se si dispone di un pacco batterie è possibile accumulare l'energia. Allo stato dell'arte però l'energia recuperabile è al massimo il 0% per via del fatto che la reazione delle celle è molto lenta rispetto alla frenatura (non riuscendo a convertire elettrica in chimica) con l'implicazione che la maggior parte dell'energia viene dissipata in calore nelle batterie. Inoltre se si ha un full-bridge alimentato da un ponte a diodi che crea il link in continua. L'energia che viene recuperata, dal motore passa attraverso il convertitore tendendo a tornare indietro ma questa viene bloccata dal ponte a diodi. Viene quindi immagazzinata nella capacità C. Bisogna perciò dimensionare correttamente il condensatore per evitare la massima tensione distrugga il dielettrico: C E R V V link max Per questo motivo ci sono schemi che prevedono una resistenza di frenatura in parallelo rispetto al link in continua messa in funzione da uno switch. Quando la tensione è troppo alta viene chiuso l'interruttore per far scaricare il condensatore sulla resistenza. Si dissipa così una parte di potenza per mantenere la tensione entro limiti accettabili. ER DC Motor Figura 70: Schema di principio della macchina in cc con recupero di energia 61

62 Azionamenti Brushless 1. Classificazione Figura 71: Classificazione delle macchine a magneti permanenti PM e rispettivi azionamenti Le macchine brushless fanno riferimento alle macchine sincrone. Lo studio delle macchine elettriche vede l'utilizzo di queste macchine solo come generatori (line start). Grazie però all'introduzione dell'elettronica di potenza è possibile con un convertitore alimentare a frequenza variabile la macchine e farla funzionare da motore (inverter fed). Il primo vantaggio che deriva da una macchina brushless è nell'ingombro. Infatti il rotore non va alimentato (quindi è esente da perdite) poiché su di esso vengono posizionati dei magneti. In questo modo si elimina del tutto il sistema collettore-spazzole. La macchina brushless è quindi più compatta e permette un'elevata induzione al traferro. Per poter azionare la macchina a frequenza variabile bisogna poter conoscere la posizione angolare piuttosto che la velocità. Il feedback di θ iene utilizzato per l'alimentazione e appunto per la regolazione di ω. Il rotore di una macchina sincrona può presentare una gabbia che viene sfruttata per l'avviamento cosiddetto da asincrono. Infatti quando la macchina viene avviata il campo statorico si concatena col rotore inducendo delle tensioni e quindi delle correnti. Il risultato è quello di un coppia di avviamento come nelle macchine a induzione. Quando la velocità di rotazione uguaglia quella del campo (sincronismo) non si presentano fem indotte ed è come se la gabbia non ci fosse. È chiaro 6

63 quindi che questo tipo di macchine lavorano sempre alla stessa velocità. Questo tipo di funzionamento nello studio degli azionamenti è di scarso interesse perché non è possibile effettuare una regolazione della velocità di rotazione. Esistono quindi le macchine senza gabbia (cageless) che si differenziano in DC brushless e AC brushless per via del tipo di alimentazione in corrente, il quale può essere nel primo caso di tipo rettangolare e sinusoidale nel secondo. Questa alimentazione dipende dagli aspetti costruttivi della macchina e dal tipo di fem indotta (trapezoidale o sinusoidale). In entrambi i casi bisogna sempre poter conoscere la posizione angolare. I metodi utilizzati sono quelli con dei sensori opportunamente posizionati o l'utilizzo di algoritmi cosiddetti sensorless ancora oggetto di studio nella ricerca Macchina SPM La macchina SPM (Surface Permanent Magnet) si presenta come quella in Figura 7. La prima caratteristica di questa macchina che si riesce ad apprezzare è l'isotropia. Infatti qualunque sia la linea di flusso presa in considerazione l'induttanza è sempre la stessa. Si noti ancora che la presenza dei magneti permanenti (PM) implica che la linea di flusso incontra un'elevata riluttanza. Quella dei PM è infatti confrontabile con quella dell'aria. Figura 7: Struttura di una macchina SPM Il traferro che incontra la linea di flusso è elevato. Tutto ciò sta a significare che qualora si voglia eguagliare il flusso di eccitazione dovuto ai magneti, la corrente richiesta sarà elevata, è richiesta cioè una elevata forza magneto-motrice. Uno svantaggio di questa macchina è dovuto al fatto che, mentre si trova in rotazione, se il circuito di statore va in corto-circuito, allora il flusso dei PM induce delle fem nello statore producendo la 63

64 corrente di corto-circuito e quindi un flusso che si oppone alla causa ( λ PM ) col pericolo di smagnetizzare i magneti. 1.. Macchina IPM La macchina IPM (Interior Mounted Magnet) si presenta come in Figura 73. Sicuramente è anisotropa quindi presenta zone a bassa e ad alta riluttanza. Esistono quindi delle linee preferenziali per il flusso. L'anisotropia della macchina viene sfruttata per aumentare la coppia disponibile, con lo svantaggio di aumentare il ripple di coppia. Rispetto alla macchina SPM presenta un traferro minore (minore induttanza) e quindi a parità di caratteristiche richiede meno magneti per ottenere la stessa induzione al traferro. Presenta come la SPM lo svantaggio di poter smagnetizzare i magneti ma è più robusta, complice parte del giogo rotorico che li mantiene. Nel caso della SPM infatti questi vengono incollati con conseguente possibilità che questo ancoraggio si deteriori per via dell'aumento di temperatura. In sede di scelta vanno tenute presenti queste considerazioni. Figura 73: Struttura di una macchina IPM 1.3. Macchina IM La macchina IM (Inset Mounted) presenta dei magneti innestati in apposite cave sul rotore. Si presenta come in Figura

65 Figura 74: Struttura di una macchina IM. DC Brushless Una macchina SPM è alimentata con correnti di tipo rettangolare. Si dimostra tale asserzione. È facile infatti vedere come il campo rimanga piatto per un certo intervallo al passaggio di esso sotto una bobina. Si analizza la macchina già descritta considerando il solo avvolgimento della fase A con 3 bobine a1, a, a3. Figura 75: Macchina DC Brushless Immaginando di porre in rotazione il rotore si vede l'andamento del campo magnetico in funzione della posizione angolare15. Noto l'andamento del campo è possibile individuare il flusso che si concatena con le bobine. L'andamento di quest'ultimo è lineare da un massimo positivo verso un massimo negativo. dψ, ricordando però in seguito dt che questa formula in realtà presenta un segno negativo. Il flusso concatenato e quindi la fem su È possibile così determinare l'andamento della fem indotta: e= 15 L'istante iniziale di riferimento è per θ=90. 65

66 ogni bobina è sfasato di 30 gradi. In particolare la bobina 3 rispetto alla 1 si trova in anticipo di 30 mentre la in ritardo sempre di 30. Le bobine di un avvolgimento infatti essendo la macchina trifase non possono occupare più 60. Figura 76: Analisi delle grandezze della macchina DC Brushless L'andamento che si ottiene per la fem non è proprio trapezoidale perché si sta considerando un numero esiguo di bobine. Nella realtà si tratta di un andamento trapezoidale così come si vede in Figura 77. Il valore massimo della tensione si ricava facilmente dal flusso: ΨMAX =N B g π r l : Ψ(θ)= 1 θ Ψ MAX. Per cui la fem indotta vale: π/ ( ) 66

67 E ph= N ph B g l r ω. Dove l è la lunghezza assiale, r il raggio al traferro. ea, eb, ec ia, ib, ic Eph Iph π π θe θe θe Figura 77: Profilo di tensioni e di correnti per le 3 fasi della macchina dc brushless 67

68 3. Azionamenti DC Brushless: modello matematico Equazioni del circuito di statore: 3 equazioni di statore in forma vettoriale In linea generale si può scrivere che per una fase vale la relazione: V a =R i+ d λ tot, a ; dt λ tot, a indica tutti i flussi concatenati con lo statore. L'equazione può essere anche formulata: V a =R i a + d λs, a d λr, a. + dt dt e a, fem indotta Scrivendo l'equazione di cui sopra si sta facendo l'ipotesi di linearità per cui è possibile applicare il principio di sovrapposizione degli effetti. Se si suppone che la macchina sia anche simmetrica allora le induttanze saranno: L a=l b=l c= L ; L ab=lac =L bc=m. Poiché la macchina è isotropa la matrice delle induttanze si può ritenere costante al variare della posizione angolare. Facendo le opportune considerazioni si arriva a. Il modello si completa con l'equazione meccanica. L'equilibrio meccanico è sempre espresso da: d ωr J =T em T L B ωr. dt 68

69 P La coppia elettromagnetica può essere espressa come T em = ωem, dove la potenza. elettromagnetica r è a sua volta data dal prodotto P em= E I a. La tensione E in questo caso è trifase: T em = (e a i a + e b i b + ec i c ). ωr Si dimostrerà adesso che tale coppia vale: I T em = E ph ωphr. Si guardi a tal proposito la Figura 77, dove il profilo di correnti è tale da essere nullo per variazioni di tensione. Analizzando per qualsiasi angolo θ i profili tensione-corrente di tutte e 3 le fasi, la potenza elettromagnetica vale sempre: P em= E p I ph. Quindi la coppia si può esprimere come: T em = E ph I ph E I, e più in generale T em = p ωph ph per tenere conto delle p coppie polari. ωr r E Il rapporto ωph =λ ph è il flusso generato dai magneti permanenti, quindi costante, concatenato con R lo statore. Infine si può scrivere l'espressione T em =K T I ph, analoga a quella vista per la macchina in corrente continua. Dalla figura appena analizzata si nota che istantaneamente sono in conduzione solo fasi e tale situazione permane per 60 elettrici. È chiaro quindi che per realizzare il profilo di corrente desiderato bisogna conoscere la posizione angolare. Questa informazione viene ricavata tramite sensori ad effetto-hall che rilevano la polarità del campo (Nord-Sud). In Figura 78 si riporta un disegno qualitativo della macchina con 3 trasduttori appositamente collocati per rilevare il campo. Sono distanziati tra loro a 10. Il segnale fornito da un trasduttore è alto quanto si trova sotto l'influenza del campo prodotto dal polo Nord, basso quando è sotto l'influenza del campo dovuto al polo Sud. Come si può vedere dall'output dei trasduttori in Figura 79, ogni 60 c'è una variazione. 69

70 H1 N S H H3 Figura 78: DC Brushless, Posizionamento sensori di campo H1, H, H3 θe π Figura 79: Segnale in uscita dal trasduttore di campo 70

71 Questa analisi serve a poter individuare almeno il settore in cui si trova la macchina, per questo motivo si realizza una tabella di stati associati allo stato dei trasduttori. Per cui: H1 H H3 Ia Ib Ic Switch ON Iph - Iph 0 1, Iph 0 - Iph 1, Iph - Iph 3, Iph Iph 0 3, Iph 0 Iph 5, Iph Iph 5, Tabella 1: Segnali logici dei trasduttori associati. Correnti associate. Sequenza interruttori Nella tabella si nota che vengono così utilizzati 6 gruppi di stati logici coi quali si vanno a comandare gli switch del circuito di potenza della macchina. Gli ultimi due stati servono per segnalare stati di malfunzionamento del trasduttore. Figura 80: Inverter e circuito equivalente della macchina DC Brushless In prima approssimazione si può considerare l'inverter a corrente impressa. Sotto questa ipotesi si nota che per ogni coppia di interruttori in ON la somma delle correnti vale sempre Iph. L'inverter però è a tensione impressa non in corrente, quindi non si riesce a controllare quest'ultima solo chiudendo la coppia di interruttori. 71

72 Si analizzi il caso per cui la coppia di switch accesa è 1,6. ( ) d ia di di + e a R i b +( L M ) b +e b = R i a +(L M ) a + E ph, per cui dt dt dt trascurando il transitorio, si ricava la corrente a regime permanente: v ab=vdc=r i a +( L M ) I a= V dc E ph = I ph. R Essendo E ph costante, R anch'essa costante, è chiaro che l'unico modo per poter controllare la corrente ed ottenere l'andamento desiderato è quello di controllare la tensione v ab. A questo punto v ab V dc perché viene modulata. Per effetto della modulazione la corrente presenterà quindi un ripple e se la f PWM è molto elevata l'inerzia del sistema filtra tale contenuto. 4. Azionamenti DC Brushless: Schemi di controllo Quando una coppia di interruttori è in conduzione le due fasi rispettive sono praticamente collegate in serie. Si sceglie quindi di modulare solo uno dei due interruttori in ON risparmiando in termini economici e di perdite energetiche. Normalmente si modulano gli interruttori 4, 6, che si trovano nel lato inferiore. Lo schema di controllo quindi si presenta come quello in figura. Figura 81: Schema di controllo per la macchina DC Brushless Si può però effettuare un accorgimento e pensare di misurare direttamente la I dc e confrontarla con il valore desiderato I ph nel controllo per effettuare il duty-cycle. Si realizza di fatto un inverter a corrente impressa e si risparmino due sensori di corrente utilizzati nello schema precedente. 7

73 Figura 8: Schema di controllo per la macchina DC Brushless semplificato Lo schema è quello in Figura 8. In questo caso attraverso un'operazione di AND si definiscono dei segnali S, S4, S6, dei rispettivi switch dopo aver generato un duty-cycle che esce dal blocco PWM. Tali segnali contengono il comando di commutazione degli interruttori. I tre switch superiori T1,T3,T5, vengono invece comandati dalle tre sonde ad effetto-hall Limiti degli azionamenti DC Brushless Per via della modulazione l'andamento reale della corrente cambia presentando un transitorio e un certo ripple. Tutto ciò comporta delle perdite di potenza. Tali diminuzioni di potenza provocano una diminuzione di coppia. In sostanza durante i tempi di apertura e chiusura degli switch vi è una coppia minore, si creano perciò degli impulsi Per questo motivo negli azionamenti DC Brushless non ci si aspetta una regolazione fine della velocità. Inoltre poiché negli schemi appena visti non è previsto un trasduttore di velocità è chiaro che l'azionamento non è praticabile per basse velocità. 73

74 Eph Iph ea, eb ia, i b Figura 83: Transitorio in presenza di modulazione nella macchina DC Brushless Si è visto inizialmente che la potenza elettromagnetica vale sempre P em= E ph I ph. Per la sola fase a ci si aspetta P em, a=e ph I ph. In realtà poiché la corrente presenta un certo transitorio prima di andare a zero si ha: e a=( E ph Δ E ). Dal dettaglio mostrato in figura si ricava: e a i a + eb i b=(e ph Δ E )i a + E ph i b=e ph (i a +i b ) Δ E i a, ovvero: P em= E ph I ph Δ E ia. perdita La coppia si presenterà come in Figura 84. Tem* Tem π Figura 84: Profilo di coppia della macchina DC Brushless 74

75 5. Trasformazioni di coordinate: il sistema di riferimento arbitrario Qui ci va il sistema di riferimenti arbitrario Trasformazioni di coordinate: il vettore rotante E qui la teoria del vettore rotante. 7. Macchina Sincrona a Poli Salienti Oggetto di questa sezione è lo studio della matrice delle induttanze della macchina sincrona a poli salienti. In particolare si mette in evidenza la dipendenza della posizione angolare da parte dell'induttanza ( periodi in un periodo elettrico, perché è sensibile alla dimensione del traferro e non alla polarità del campo). I flussi della macchina si esprimono come: [ ][ Laa λa λ b = Lba λc Lca Lab Lbb Lcb ][ ] Lac i a Lbc i ab. Lcc i c L'induttanza legata alle linee di flusso che si concatenano tra statore e rotore vale: L aa=lls + [ L A L B cos θ r ] ; [ [ ] ] L bb=lls + L A L B cos (θ r π) ; 3 L bb=lls + L A L B cos (θ r π) Questo perché per la fase B la riluttanza è massima quando il rotore ruota di quando ruota di π, e per la fase C 3 4 π. 3 Si cerca l'espressione delle altre induttanze secondarie. È chiaro che queste non avranno un termine di dispersione ma di solo accoppiamento. Si pensi di avere inizialmente una macchina a rotore liscio: in questa situazione l'induttanza M non avrà un valore massimo o uno medio perché il traferro è costante. Quindi la mutua induzione dovuta alla corrente che circola nella fase A e che si concatena con la fase B vale: 16 Appendice 17 Per approfondire la determinazione di tali induttanze consultare il libro Krause - Analysis of Electric Machinery and Drive System (IEEE) 75

76 1 M = L A cos π= L A. 3 Allo stesso modo l'induttanza dovuta alla corrente che circola nella fase B e che si concatena con la 1 fase A vale sempre M = L A. Se il rotore è a poli salienti il flusso varia da un valore minimo ad uno massimo perché varia la riluttanza con l'angolo θr. Si può verificare che: 1 Lba = L A L B cos (θ r π ) ; 3 Lab =Lba ; 1 L ac= L A L B cos (θ r + π ) ; 3 Lca = Lac ; 1 L bc= L A L B cos (θ r + π) ; Lcb =L bc. Si può a questo punto andare a capire cosa succede alla matrice delle induttanze (fortemente dipendente dall'angolo di rotazione) quando viene effettuata una trasformazione di coordinate. λ abc = Labc i abc, quindi si ha che λ qdo =K Labc K 1 i qdo, dove Lqd0 = K L abc K 1 è la matrice diagonalizzata per via della trasformazione delle coordinate. Figura 85: Macchina Trifase a Poli salienti Si sceglie un sistema di riferimento per cui questo ruoti alla stessa velocità rotorica ωr per p coppie di poli, per cui l'asse d è allineato con l'asse di rotore e q è ortogonale ad esso. L'allineamento si mantiene per tutte le posizioni angolari. Quindi un flusso lungo l'asse d o q troverà sempre la stessa riluttanza e di conseguenza la matrice delle induttanze non sarà più funzione della posizione angolare. La condizione iniziale impone poi che lungo l'asse d ci sia l'induttanza massima. La matrice ha la seguente forma: 76

77 [ ] ( Lls + L mq) 0 0 Lqdo = 0 ( L ls + L md ) ( Lls ) Dove si può ricavare: 3 L mq= ( L A LB ) ; 3 L md = ( L A + L B ) e cioè L md > Lmq. Si noti che la matrice, in questo caso, presenta degli elementi che non dipendono dalla posizione angolare per via della scelta effettuata, per cui d ruota con la velocità del rotore. In linea del tutto generale quindi sulla diagonale si hanno elementi che dipendono da θ 8. Macchina Sincrona a Magneti Permanenti IPM La macchina IPM è anisotropa al contrario di una SPM che invece rimane isotropa. La forma della matrice delle induttanze rimane uguale, cambia però la formulazione delle induttanze. Se si analizza l'andamento dell'induttanza (riluttanza) rispetto al caso precedente si nota come nella macchina IPM l'induttanza nel periodo elettrico segua lo stesso andamento ma invertito. Per cui si ha che: L aa=lls + [ L A + L B cos θ r ] ; [ [ ] ] Lbb= Lls + L A + L B cos (θ r π) ; 3 Lbb= Lls + L A + L B cos (θ r π). 3 Per quanto riguarda invece le induttanze secondarie si ottiene invece: 1 L ba= L A + L B cos (θ r π ). 3 Si effettua adesso la trasformazione di coordinate imponendo la stessa condizione iniziale. la situazione si inverte rispetto al caso di una macchina sincrona a poli salienti e si ottiene: 3 L mq= ( L A + L B ) ; [ Lq La matrice Lqdo = L md = ( L A L B) e cioè L mq> Lmd. 0 Ld 0 ] 0 0. L0 Dove: 77

78 L q=lls + L mq ; L d =Lls + L md ; L0 =Lls. 9. Azionamenti AC Brushless: modello matematico Per esaminare questo modello si fanno le seguenti ipotesi: Flusso sinusoidale prodotto dal rotore e concatenato con la statore che produce una fem indotta cosinusoidale; linearità, si trascura la saturazione per applicare il principio di sovrapposizione degli effetti; si trascurano le perdite per isteresi e correnti parassite; non si considerano eventuali gabbie rotoriche. Si scrive quindi il modello matematico: v abc =R abc i abc + d λ abc, dove dt λ abc =λ abc, s +λ abc, r =Labc I abc + λ abc, PM, dove ancora si ha: λ abc, s è il flusso generato dallo statore e concatenato con lo statore; λ abc, r è il flusso generato dal rotore e concatenato con lo statore. Si applica quindi il principio di sovrapposizione degli effetti. Il flusso λ abc, PM è dovuto appunto ai magneti permanenti e vale. λ abc, PM =λ PM [ ] sin θ r sin (θ r π). 3 4 sin (θr π) 3 Questa espressione significa che il flusso λ a concatenato con la fase A di statore e prodotto dai magneti permanenti è nullo per θr =0. E via dicendo per gli altri due flussi. In particolare: λ a=0 per θr =0 ; 78

79 λ a=λ PM per θr =90 ; λ a=0 per θr =π ; λ a= λ PM per θr =70 ; λ a=0 per θr = π. Il modello si completa con l'equazione meccanica: d ωr ; dt T T L =J θr = ω r dt +θ0. Si noti che si stanno scrivendo le equazioni per p = 1. A questo punto a partire dalla prima equazione del modello si può scrivere la potenza istantanea in uscita dalla macchina: T T T i abc v abc =i abc Rabc i abc + i abc d λ abc. Dove il flusso λ abc è λ abc = f (θr, i abc ). Per cui: dt λ abc λ abc d λ abc = θ d θr + d i abc, i abc r d λ abc λ abc d θ r λ abc d i abc. Sostituendo quanto ricavato nell'equazione delle potenze: = θ + dt dt i abc dt r λ abc d i abc T λ abc d θ r. +i abc θ i abc dt dt r T T i Tabc v abc =i abc Rabc i abc + i abc p joule Δ E magnetica al traferro p em A meno delle perdite meccaniche, si può scrivere che: λ d θr d θr. Essendo T ωr = p em =i Tabc θabc =ωr. dt dt r λ abc In definitiva vale: T =i Tabc. θ r Volendo riassumere e generalizzare il modello per una macchina a p coppie di poli: v abc =R abc i abc + d λ abc ; dt λ abc =Labc (θ e ) i abc + λ PM [ ] sin θe sin (θe π) ; 3 4 sin (θe π) 3 79

80 T T L =J d ωr λ abc ; T = p i Tabc ; θr = ω r dt +θ0 ; θe = p θ r ; ωe = p ωr. θe dt Dalle equazioni appena scritte è possibile ricavare le correnti, i flussi, la coppia e la velocità (o posizione angolare). Il sistema descritto è perciò ad 8 incognite e le equazioni sono mutuamente accoppiate. Si può pensare di effettuare una trasformazione di coordinate nel riferimento sincrono (velocità del sistema pari a ωe ): La prima equazione si scrive v qdo = Rqdo i qdo + Per i flussi λ qdo =L qdo i abc + λ PM, qdo d λ qdo +ω e λ dq ; dt [ Lq, con la matrice Lqdo = Ld 0 ] 0 0. Bisogna considerare L0 analizzare la forma dell'ultimo contributo di λ qpo. Si effettua per λ PM una trasformazione a partire da grandezze di tipo sinusoidale: { f a= F sin ω t f b=f sin (ω t π), per cui ci si aspetta 3 4 f c =F sin (ω t π) 3 { f q=0. f d= F q λq = 0 λd = λpm d Figura 86: Vettore rotante di λ PM Ora si noti che la convenzione utilizzata per il vettore rotante di λ PM è la stessa che è stata utilizzata per Lqdo. E cioè stessi riferimenti, stessa velocità di rotazione e stesse condizioni iniziali, quindi l'equazione dei flussi si può riscrivere come: 80

81 [ ] 0 λ qdo =L qdo i qdo + λ PM,qdo = Lqdo i qdo + λ PM 0. Si cerca ora la forma della coppia nel riferimento qdo. La potenza istantanea vale: λ qdo d i qdo 3 T 3 T 3 3 i qdo v qdo = i Tqdo R qdo i qdo + i Tqdo + i qdo ωe λ dq. i qdo dt p joule pem Δ E magnetica al traferro [ ] λd 3 T Quindi p em=t ω r = i qdo ωe λ dq, dove λ dq= λq. 0 La coppia pertanto diventa T = 3 T pi λ. qdo dq Riassumendo, il modello matematico nel riferimento qdo si completa con le equazioni: { d λ qdo + ω e λ dq dt 0. λ qdo = Lqdo i qdo + λ PM 0 3 T = p i Tqdo λ dq v qdo = Rqdo i qdo + [ ] Tali equazioni sono tutte equazioni costanti a regime permanenti e la matrice delle induttanze non dipende da θ. In forma scalare valgono: { d λ +ω λ dt q e d d v d =R i d + λ d ω e λ q ; dt d v 0=R i 0+ λ0 dt v q=r i q + { λ q=l q i q λ d =Ld i d +λ PM ; λ 0=L0 i 0 T= [ ] λd 3 3 p [ i q i d i o ] λ q = p [ λ d i q λ q i d ]. 0 81

82 Come atteso la trasformazione ha disaccoppiato le equazioni (a parte il contributo ωe λ d e ωe λ q ) e non c'è contributo omopolare nella coppia. In particolare si può fare ancora un'ulteriore considerazione: T= 3 3 p [ ( Ld i d +λ PM )i q (Lq i q )i d ]=[ λ PM i q+ Ld i q Lq i d i q ]= p λ Ld Lq )i d i q. PM i q +( [ T Sincrona T di Riluttanza ] La forma della coppia è analoga a quella della macchina sincrona. Si ricordi poi che: 3 Lq= Lls + ( L A +L B ) ; L q> Ld. E quindi Lq Ld per macchina anisotropa ( IPM ). 3 Lq =Ld per macchina isotropa (SPM ) L d =Lls + ( L A LB ) { Si evince che nel caso di macchina SPM il contributo di coppia di riluttanza è nullo. La coppia, come per la macchina in cc viene così controllata in corrente. Analizzando il caso di macchina IPM per il quale vale l'espressione di cui sopra è chiaro che per avere coppia positiva, poiché quella sincrona per essere >0 deve risultare i q >0, appare evidente che la i d deve essere <0. Nel controllo della macchina perciò l'obiettivo è individuare il vettore spaziale di corrente serve per comandare la coppia desiderata. Infine, un'ultima considerazione sulla fem indotta dovuta ai PM riscrivendo le prime due equazioni in forma scalare: { d λ +ω L i + ωe λ PM dt q e d d. d v d =R i d + λ d ωe L q i q dt v q =R i q + Il modulo della fem indotta dai magneti permanenti ( ωe λ PM ) è allineato all'asse q. Per via della trasformazione inoltre appare un mutuo accoppiamento tra le fasi ed è rappresentato dai termini ωe Ld i d e ωe L q i q. 8

83 q e a λ PM d Figura 87: Flusso-corrente negli assi qdo La fem come detto si trova sull'asse q e il flusso sull'asse diretto. Ciò è corretto se si pensa al fatto che la fem è sempre in anticipo di 90 rispetto al flusso. Inoltre la fem è di tipo sinusoidale mentre il flusso cosinusoidale perciò è altrettanto corretto trovare il vettore e sull'asse q quando si passa da abc a qdo. 10.Azionamenti AC Brushless: Schemi di controllo La strategia che viene applicata per il controllo degli azionamenti AC Brushless è sempre la MTPA (Maximum Torque per Ampere), secondo la quale si riesce a fornire la coppia massima possibile con le perdite minime. Analizzando la coppia per una macchina SPM si è trovato che è proporzionale alla corrente: T= 3 p λ PM i q =K T i q. L'espressione è analoga a quella vista per la macchina in cc. Se quindi si vuole comandare una coppia desiderata T* verranno imposte le correnti: { * T i KT. * i d =0 * q La componente lungo l'asse diretto poiché non contribuisce, nel caso di macchina SPM, a generare 83

84 coppia, viene imposta a zero. Così facendo si ottiene il minor modulo possibile di corrente, minimizzando appunto le perdite. Questa condizione equivale ad imporre inoltre un vettore di corrente parallelo al vettore di fem indotta dai PM, anch'esso diretto sull'asse q. { { i a =I cos (ωe t) e a =E cos (ω e t) * Sia la terna e b=e cos (ωe t 3 π), per un controllore ideale si ha i =i : i b= I cos( ωe t 3 π). 4 4 e c =E cos( ωe t π) i c =I cos (ω e t π) La potenza P em=e a i a +e b i b +e c i c= EI cos ϕ=t ωr. Dove E, I sono i valori di picco e non efficaci. Dall'equazione della coppia si ricava perciò che per ϕ=0 la coppia è quella massima. Si analizza il caso di una macchina IPM che generalizza la trattazione. La coppia in questo caso si è visto valere: T = 3 p [ λ PM i q +( Ld Lq )i d i q ]. Per comandare la coppia desiderata bisogna imporre: { i q * >0. i d *<0 In questo caso la condizione che massimizza la coppia è: MTPA = T =0. i i* q * id φ * iq θe a d Figura 88: MTPA per macchina IPM Si noti che il vettore delle correnti non sarà allineato con l'asse q ma sfasato rispetto ad esso di un angolo ϕ. Tale angolo sarà quello da imporre nello schema di controllo. Si svolgono quindi i passaggi per 84

85 determinarlo: i q *=I * cos ϕ* ; i d *=I * sin ϕ * (< 0). 3 * * * * * * p [ λ PM I cos ϕ +( L d L q )( I cosϕ )( I sin ϕ ) ]. 3 * * * * * T = p [ λ PM I cos ϕ +( Lq Ld )( I cos ϕ sin ϕ ) ] T= T =[ λ PM +( Lq Ld )sin ϕ* I * ]=0 18. Da cui si ricava: I ϕ*=arcsin λ PM λ PM e ancora sin ϕ*=. * ( Ld Lq I ) ( L d L q I *) Nel riferimento abc quindi la corrente che si andrà a comandare sarà del tipo: { i *a =I * cos (θe +ϕ* ) i *b= I * cos(θ e + ϕ* π). 3 * * * 4 i c =I cos (θ e + ϕ π) 3 * * Si noti che per i a =I cos (ωe t) significa che si sta comandando una corrente allineata con l'asse q e che la velocità è costante come già visto per il controllo di coppia della SPM a regime permanente. * * Nel regime variabile, sempre per SPM, si comanda i a =I cos (θe ) (perché ϕ=0 ) poiché non è nota la velocità. Le due espressioni coincidono quando naturalmente ωe t=cost. Questo tipo di controllo viene denominato controllo vettoriale. Il motivo risiede nel fatto che della corrente si comandano: la frequenza, attraverso l'angolo θe ; la fase, attraverso l'angolo ϕ * ; il modulo, attraverso I *. Di seguito si riporta un primo schema di controllo per una macchina IPM. 18 i = I 85

86 Figura 89: Schema di controllo per una IPM nel riferimento abc Il controllo appena visto può essere sviluppato nel sistema di riferimento qdo. Figura 90: Schema di controllo per una IPM nel riferimento qdo Lo schema di controllo in Figura 90 è quello commercialmente più utilizzato perché presenta dei vantaggi rispetto a quello nel riferimento abc. Questo nonostante la struttura hardware richiesta sia più complessa (bisogna che il sistema di controllo calcoli istante per istante le matrici K). Se ci si trova nella situazione di regime permanente, quando si utilizza l'azionamento con * * * riferimento abc, i a ( t)=i cos(ω t +ϕ ) (e le altre due correnti) subisce l'influenza del regolatore di corrente che avrà quindi una certa banda passante. 86

87 Figura 91: Diagrammi di bode del regolatore di corrente Sia infatti ωe la frequenza di lavoro, segnata in rosso nella Figura 91, allora si ha che i(t)=i * W ( j ω e ) cos (ωe t+ ϕ*)+ W i (i ωe ). E cioè la corrente subisce un'attenuazione in fase e in modulo per effetto del regolatore di corrente a meno che non si lavori per banda passante di una decade inferiore a quella del regolatore. Se quindi si modula a 10 khz, per quanto detto nella trattazione della macchina in cc, la banda passante dell'anello di corrente è al limite 500 Hz. Quindi ωe =50 Hz, ma anche questo è un valore al limite. La differenza con lo schema nel riferimento qdo sta proprio nel fatto che le grandezze id e iq sono continue, cioè costanti a regime permanente. La presenza dell'integrale garantisce errore nullo (a r.p.) e le due correnti risultano essere quelle desiderate. Nel caso di Figura 90 l'integrale non può garantire errore nullo perché in ingresso riceve una grandezza sinusoidale. Si noti poi che se la frequenza di lavoro nel caso abc, è tale da comportare una certa attenuazione di fase (mentre si può trascurare quella di modulo), allora la situazione è chiaro che le correnti id e iq non sono quelle desiderate. 87

88 δ i* q * id i * bc da φ i * q i * bc qa θe a d Figura 9: Effetto dell'attenuazione di fase sul vettore delle correnti La situazione è stata rappresentata in Figura 9 dove vengono messe in arancione le grandezze dovute al sistema di controllo con riferimenti abc. Si nota come è la fase del vettore ad essere il problema principale (e non tanto il modulo) perché porta a non raggiungere lo scopo della strategia MTPA. Si può migliorare lo schema in qdo pensando di compensare gli effetti della tensione indotta come per la macchina in cc e quindi creare un anti-windup nell'anello di corrente. Figura 93: Compensazione della fem indotta e anti-windup nell'anello di corrente della macchina AC Brushless Per quanto riguarda la saturazione bisogna fare attenzione al fatto che il limite imposto non è sulle 88

89 componenti vq e vd, ma sul modulo v*. presat Vmax q v* * vd * vq a d Figura 94: Saturazione sul modulo v* Per questo motivo nel controllo mostrato in Figura 93 viene effettuata una trasformazione da coordinate rettangolari in polari. In questo modo viene saturato v * a Vmax per poi riconvertire le coordinate polari in rettangolari e ritrovare vq e vd. Algebricamente si può scrivere: v * presat = v q * + v d * V max, mentre la fase vale v * presat =arctan ( ) v d * presat. v q * presat Calcolare numericamente la fase è un'operazione difficile. Si procede allora con strategie diverse. V max 19 Una tra queste è quella di calcolare K =, se K < 1 allora si comandano direttamente v * presat { v q *=K v q * presat senza effettuare trasformazioni. Questa tecnica permette quindi di evitare il v d *=K v d * presat calcolo di una funzione come l'arctan. 19 Se K>1 naturalmente non si è in saturazione. 89

90 11. Azionamenti AC Brushless: estensione del campo di velocità (deflussaggio) Anche nella macchia AC Brushless, nonostante i magneti permanenti, è possibile effettuare il deflussaggio per velocità maggiori di quella nominale. A differenza della macchina in corrente continua la corrente in questo è costante, mentre nel primo caso bastava ridurre la I di eccitazione per ridurre il flusso. L'obiettivo in questo caso è mantenere costante per velocità maggiori a ωn la grandezza ω λ PM 0. V E Vn Eo ω ωn Figura 95: Caratteristica tensione-velocità della macchina AC Brushless Il primo tratto della caratteristica tensione-velocità corrisponde, come è noto, al tratto coppia costante. Mentre il tratto per velocità maggiori a quella nominale è quello a potenza costante. L'analisi svolta in questa sezione viene svolta prendendo in considerazione una SPM, anche se queste macchine (si vedrà avanti) sono poco adatte al deflussaggio. La trattazione diventa più semplice e può nel caso essere generalizzata in un secondo momento. In generale si ha comunque che: { d λ +ω λ dt q e d d v d =R i d + λ d ω e λ q per cui si andando a sostituire le equazioni diventano dt λ q=l q i q λ d =Ld i d +λ PM v q= Ri q + 0 Lo si evince più avanti. 90

91 { d i +ω L i +ω λ dt q e d d e PM. d v d =R i d + L d i d ωe Lq i q dt v q= Ri q + L q Se l'analisi viene svolta in regime permanente si può trascurare il termine transitorio. L'altra ipotesi è quella di trascurare il contributo (più piccolo) ωe Lq i q. Questo perché il termine preponderante è ω E λ PM e dunque si considera solo l'asse q: { v q= Ri q +ω e L d i d +ω e λ PM eq v d =R i d ω e Lq i q. ed L'obiettivo a questo punto è mantenere costante ωe Ld i d +ωe λ PM. Si ricava facilmente il vettore della fem indotta E=ω e λ d +λ q. Sotto l'ipotesi di trattare una macchina a rotore liscio (SPM) si ha che L d =Lq da cui segue i d =0 (condizione di MTPA). Ciò significa che per ogni velocità fino a quella nominale si ha: E 0=ω e λ PM ωe ω en. Per velocità superiori: ωe λ PM + ωe Ld i d = E 0=ωen λ PM ωe ωen. ω Sostituendo il valore della velocità in PU: ω pu= ω e, en ω pu (λ PM + L d i d )=λ PM. λ PM (1 ω pu) che riesce a mantenere la fem al valore costante ω pu Ld desiderato. Moltiplicando e dividendo questa espressione per la velocità nominale si ottiene: Si ricava quindi la corrente i d *= i d *= E 0 (1 ω pu). ωe Ld In altre parole si sta generando attraverso tale corrente un campo che si oppone a quello dovuto ai magneti permanenti (Figura 96). Più aumenta la velocità più deve diminuire il flusso dei PM lungo l'asse d. L'operazione di deflussaggio può richiedere così molta corrente per abbatterlo. Questo è il motivo per cui una macchina SPM che per via dell'elevato traferro ha una bassa induttanza è poco indicata per questa tecnica. In particolare si nota dall'espressione della corrente che piccola induttanza significa in questo caso elevata corrente. Si trattano adesso i limiti generali del deflussaggio. Si indica con Imax la corrente massima ammissibile dalla macchina. La corrente residua sull'asse q utile a generare coppia vale: 91

92 i qmax *= I max i dmax *. Si indica poi la corrente richiesta sull'asse q dalla coppia: T* i q *=. KT q Ld id a λ PM d Figura 96: Diagramma vettoriale del deflussaggio in una macchina AC Brushless Nel sistema di controllo vanno quindi implementate le espressioni: { ω ω n ; i q *= i q * min ( i q *, i qmax ) ω>ω n Formula 1: iq da implementare nel controllo { 0 i d *= E 0 (1 ω pu) ωe Ld ω ωn ω>ωn. Per concludere sui limiti del controllo bisogna osservare la Figura 97 che rappresenta la caratteristica coppia-velocità. In particolare si nota che fino alla velocità nominale la coppia rimane costante e successivamente si 9

93 lavora a potenza costante. In questa zona la id aumenta e si riduce la coppia (quindi iq). Se viene raggiunto il limite in corrente ci si trova nella zona colorata in magenta per cui la corrente iq non decresce più con la velocità ma si annulla fino a raggiungere il valore di velocità massima teorico. id Tn iq I = Imax Iq = 0 ωn ωn teorica ω Figura 97: Limite in corrente del deflussaggio della macchina AC Brushless Questa velocità però non è detto sia a potenza costante. Lo schema di controllo con l'implementazione del deflussaggio è riportato di seguito. Figura 98: Schema di controllo di una macchina AC Brushless con deflussaggio Nello schema il secondo blocco id, iq Calculator decide a seconda della velocità quale corrente desiderata deve imprimere come descritto a pagina 9. Il primo invece calcola i valori in base al MTPA. 93

94 Azionamenti con Motori Asincroni 1. Principio di funzionamento della macchina asincrona La macchina asincrona è una macchina molto robusta ed economica, molto diffusa e studiata. È usata nel % delle applicazioni industriali e spesso lavora a velocità costante. Negli azionamenti elettrici si tende a convertire il funzionamento in Variable Speed Drives. Gli approcci utilizzati sono: controllo scalare; controllo vettoriale. Requisiti e prestazioni del controllo vettoriale sono: conoscenza approfondita della macchina; trasduttore di posizione; funzionamento nei 4 quadranti; controllo della corrente in modulo e fase anche nei transitori; dinamiche eccellenti e permette di realizzare servo-azionamenti. Di seguito vengono mostrate una sezione di una macchina asincrona trifase e il circuito equivalente. 94

95 Figura 99: Sezione di una macchina asincrona trifase Figura 100: Circuito equivalente monofase della macchina asincrona Nella macchina asincrona, detta anche a induzione, gli avvolgimenti statorici vengono alimentati da 95

96 tre tensioni sinusoidali trifase di pulsazione ω che generano un campo, approssimativamente sinusoidale il quale ruota con la pulsazione: ω s= ωe π f 60 f = ne=. p p p Dove p rappresenta il numero di coppie polari di statore. Sul rotore che funziona in corto-circuito si creano delle fem indotte le quali producono la circolazione di una corrente rotorica e pertanto si viene a creare una coppia motrice che porta in rotazione il rotore nella stesso verso del campo rotante. Il rotore vede ruotare il campo di statore ad una velocità relativa n s nr. Il rotore ruota quindi ad una velocità inferiore rispetto a Bs e pertanto si definisce scorrimento la grandezza: s= n s n r ωs ωr = ωs. ns Il moto relativo tra rotore e campo statorico genera delle correnti di rotore alla frequenza di scorrimento: f r= (n s nr ) p [n s (ns (1 s))] p = =s f Quindi la frequenza rotorica è massima per s=1 (50 Hz) mentre a regime vale qualche decina di Hertz. Lo scorrimento è fondamentale per il funzionamento della macchina. Il campo rotante trascina con sé il il rotore e se si verificasse che il numero di giri si uguaglia i conduttori rotorici risulterebbero fermi rispetto a Bs e dunque quest'ultimo non potrebbe indurvi fem e quindi correnti. Di conseguenza non eserciterebbe alcuna coppia sul rotore. Il campo generato dalle correnti di rotore ha una pulsazione pari a fr e ruota rispetto al rotore con velocità pari a s ω. Rispetto allo statore risulta che la velocità del campo di rotore vale: p ω ω ω ωcr =s e +ω r= sω r ω + ωr =ω s. s p p ( ) Ciò vuol dire che il campo di rotore ruota alla stessa velocità del campo statorico, e ciò rende possibili lo sviluppo di una coppia diversa da zero per regimi di funzionamento con s variabile. Nel circuito equivalente spesso viene riportata la resistenza elettrica fittizia che come è noto è solo una rappresentazione del carico meccanico. Si definisce potenza sincrona (o trasmessa): P sinc =P J + P mecc. Dove: 1 Avendo sostituito n = ns (1-s). 96

97 P sinc =T ωe R ' =3 r I r ' ; p s P J =3 R r ' I r ' ; P mecc=t ω r =3 R r ' Essendo ωr = (1 s ) Ir'. s ωe (1 s) si ricava la coppia elettromagnetica: p p R' T =3 ωe r I r '. s Figura 101: Potenze nella macchina asincrona Sostituendo il valore di I ' r nell'espressione della coppia e approssimando V s V m si ottiene: p R' T =3 ωe r s [( ) ] V m R 'r + X dr s. Inoltre se si verifica la condizione di adattamento, per cui: R 'r =X ' dr, s max allora si arriva all'espressione della coppia massima: p T max =3 ω e V m. X ' dr L'andamento della coppia al variare dello scorrimento e della velocità è riportato in Figura 10: 97

98 Figura 10: Caratteristica coppia-velocità della macchina asincrona Nelle macchine asincrone a rotore avvolto il controllo di coppa può essere effettuato variando la resistenza di rotore. Ciò è permesso dal fatto che gli estremi dell'avvolgimento rotorico sono connessi ad anelli collettori cui si collega l'avviatore a resistenza variabile. La coppia massima rimane costante e il risultato (per frequenza costante) è quello nella figura seguente. Figura 103: Controllo della coppia mediante resistenza variabile 98

99 Questo tipo di regolazione però è molto dissipativa e dunque di scarso interesse. Grazie all'utilizzo di un'alimentazione con inverter è possibile variare tensione e frequenza della macchina. Dalle espressioni precedenti risulta che la coppia massima aumenta proporzionalmente col quadrato della tensione mentre diminuisce secondo la relazione 1/ f.. Controllo scalare: Controllo V/f costante ad anello aperto e chiuso Il controllo scalare può essere effettuato variando tensione e frequenza nello stesso rapporto. All'aumentare della frequenza aumenta la velocità di rotazione e così all'aumentare della tensione aumenta la coppia. Il tutto secondo le relazioni fondamentali richiamate in precedenza. Per compensare la caduta resistiva alle basse frequenze bisogna effettuare un Voltage Boost. Cioè aumentare la tensione rispetto alla f per poi mantenere costante il rapporto. V f Figura 104: Boost di tensione T ω Figura 105: Caratteristica coppia-velocità per rapporto V/f = costante (non è mostrato il Boost di tensione) Per frequenze più alte si può approssimare Vs = Vm. 99

100 Vm =L m I m =cost e cioè flusso f totale al traferro costante. Alle basse frequenze però non si può trascurare l'effetto resistivo di R s. Si ha infatti: V s=r s I s+ jx ds I s + V m. Infatti per frequenze alte vale la condizione V s V m, che significa Il risultato è mostrato in Figura 106. Figura 106: Caratteristica della macchina al variare di V/f costante (con Voltage Boost) Il metodo più comune per il controllo V/f costante della macchina asincrona è quello ad anello aperto e riportato di seguito. Si tratta comunque di un azionamento economico, privo di sensori, ed è utilizzato generalmente per applicazioni a velocità costante. 100

101 Figura 107: Schema a blocchi V/f ad anello aperto Si ricava quindi una frequenza a partire dalla velocità desiderata. La frequenza viene limitata dal blocco Profiler che sostanzialmente è un limitatore di derivata e quindi evita brusche variazioni di frequenza con la conseguente instabilità della macchina (perché la velocità non riesce ad inseguire la variazione di f) come si vede in Figura 108. TL f1 f ωr Figura 108: Variazione improvvisa di frequenza Lo stesso vale in caso di decelerazione a partire dalla frequenza f. 101

102 T TL f f1 ωr ω Figura 109: Decelerazione brusca In questa situazione la macchina lavora nel quadrante a coppia negativa, quindi restituisce energia alla rete. Il punto è che il convertitore spesso non lo consente e l'energia si immagazzina in un condensatore sul quale aumenta la tensione. Se questa aumenta troppo c'è il rischio di danneggiare l'isolamento e si incorre nella distruzione del dispositivo. Per ovviare a ciò si può inserire una resistenza di frenatura o si effettua una frenatura lenta con l'utilizzo, appunto, del Profiler. Lo svantaggio di questo tipo di azionamento risiede nel fatto che non vi è alcun controllo su possibili aumenti di corrente (se si blocca il rotore per esempio). Se si desidera migliorare le prestazioni si può inserire una misura di velocità o di corrente. In genere si effettua la misura della corrente di link. Lo schema viene riportato in Figura 107. Si inserisce quindi il blocco Slip Limit. Se la corrente rimane entro un certo valore il limitatore non interviene, mentre se supera un valore superiore viene incrementata una certa Δf positiva da detrarre alla f calcolata dal Profiler. Nel caso in cui il valore della I link sia sotto ad un valore di soglia minore di zero allora l'incremento di frequenza sarà negativo. 10

103 Figura 110: Schema a blocchi V/f ad anello aperto con misura della corrente di link 3. Controllo scalare: Controllo di Scorrimento Se si suppone di avere una coppia di carico costante, la caratteristica per un controllo V/f costante è quella in Figura 111. TL ωr1 s1 ω1/p ω/p ωr 0 s 0 Figura 111: Caratteristica con TL costante In altre parole questo tipo di controllo (per coppia di carico costante) significa mantenere costante la frequenza di scorrimento. Si sceglie di controllare tale grandezza. Infatti risulta: ω1 ω ωr1 = ω r ; p p 103

104 s 1 ω1 s ω. = p p Questa scelta permette di tenere sotto controllo la coppia e quindi la corrente. Si può pensare inoltre di ottimizzare, al variare dello scorrimento s, grandezze come il cosφ, il rendimento e la stessa coppia (Figura 11). Figura 11: Coppia, Fattore di potenza e rendimento in funzione di s Lo schema di controllo associato è il seguente: Figura 113: Controllo di scorrimento 104

105 Per questo schema vi è il bisogno di un trasduttore di velocità per annullare l'errore grazie al regolatore PI. Si noti bene che in uscita al PI non vi è la coppia come nel caso visto per la macchina in cc, bensì la tensione. D'altronde in questo preciso caso variando la tensione, varia la caratteristica della coppia (verso l'alto o verso il basso). La frequenza che viene comandata è la somma della frequenza di scorrimento e quella meccanica. Si ottiene quindi il campo di funzionamento della macchina asincrona riportato di seguito in Figura 114. Figura 114: Campo di funzionamento della macchina asincrona Si può analizzare infatti l'espressione della coppia massima (si ottiene nella condizione di adattamento dell'impedenza). Per cui si può scrivere che vale: T max =K T Vs f ( ) 3. Primo tratto: si effettua un controllo V/f costante. La coppia è pari a quella massima e la potenza cresce linearmente con la velocità, fino al valore nominale. Secondo tratto (deflussaggio): si effettua un controllo di scorrimento. La tensione si mantiene costante al valore nominale, la coppia diminuirebbe col quadrato della frequenza. Siccome però la potenza non può andare oltre il valore nominale e deve rimanere costante a tale valore, bisogna controllare la coppia perché diminuisca come 1/f (Motor Torque). La corrente di statore quindi rimane pressoché costante (in realtà all'aumentare della frequenza 3 In KT si raggruppano i valori costanti. Per l'espressione della coppia si rimanda alla teoria delle macchine elettriche. 105

106 cambia il comportamento dei parametri della macchina, e bisogna tenerne conto.). Terzo tratto: si raggiunge un limite per la coppia. Da questo punto in poi diminuisce con la legge 1/ f, la frequenza di scorrimento si mantiene costante e la potenza diminuisce. 4. Modello in regime transitorio della macchina asincrona Si modellizza la macchina per il regime variabile al fine di poter affrontare lo studio del controllo vettoriale, il quale prevede una prima analisi nel regime permanente e successivamente nel regime transitorio. Figura 115: Sezione della macchina asincrona Nella schematizzazione degli avvolgimenti rotorici si utilizza uno schema trifase. Questa però è una rappresentazione equivalente dal punto di vista elettromagnetico di quello che può essere l'avvolgimento reale di rotore. Il quale si ricorda può essere o avvolto o a gabbia. Le equazioni della macchina asincrona in regime variabile sono: d λ abc, s dt ; d λ abc, r v abc, r= Rr i abc, r + dt v abc, s =Rs i abc, s + λ abc, s=λ abc, ss + λ abc, sr = Labc, s i abc,s + Labc, sr i abc,r. λ abc, r=λ abc, rs + λ abc,rr =Labc, rs i abc, s + L abc, r i abc, r 106

107 Si individuano le matrici, semplificando ancora la notazione. [ 1 Lms ( Lls + L ms) 1 Ls = Lms 1 Lms 1 L ms 1 L ms ( L ls + L ms) 1 Lms ( Lls + Lms ) ] [ ( Llr + Lmr ) 1 Lr = Lmr 1 Lmr, 1 L mr 1 Lmr 1 Lmr (L lr + Lmr ) 1 L mr ( L ls + Lmr ) ]. Dove: Lls è l'induttanza di dispersione dovuta al flusso che non si concatena con le altre fasi; L ms è l'induttanza di magnetizzazione legata al flusso di una fase concatenato con le altre fasi di statore. Il valore -1/ è dovuto allo sfasamento di avvolgimento tra le fasi che sono a 10. Lsr =L sr [ cos θ r + π 3 ] ) cos (θ + 43 π ) 4 cos (θ + π ) cos θ cos (θ + π ), L =L cos (θ + π ) cos (θ + π ) cos θ 3 3 cos θ r ( r r r r r r r T sr rs 4. Si vogliono ora riportare le grandezze rotoriche (circuito secondario) al circuito di statore (primario). Con questa operazione si ipotizza un circuito fittizio lato statore, composto dallo stesso numero Ns di spire e attraversato da una corrente Ir' che produce gli stessi effetti elettromagnetici dovuti alla circolazione della corrente rotorica Ir.Quindi stessa forza magneto-motrice: N s i abc, r ' =N r i abc, r i abc, r= stesso flusso: Ψ abc, r= Le tensioni sono proporzionali ai flussi: v abc, r= Ns ; i' N r abc,r λ abc,r λ ' abc, r N λ abc,r = s λ ' abc, r. = Nr Ns Nr Nr. v' N s abc,r Si ricavano le equazioni con le grandezze di rotore riportate al primario, ricordando che i termini sono matrici e indicando p = d /dt : Nr N N v ' abc, r =Rr s i ' abc,r + p r λ ' abc, r Ns Nr Ns λ abc,s =L s i abc,s + Ns v ' abc,r = R r i' abc, r + p λ ' abc, r ; Nr ( ) Ns ; L i' N r sr abc,r 4 Per simmetria le due matrici sono l'una la trasposta dell'altra. 107

108 Nr N λ ' abc,r = Lrs i abc, s + s L r i ' abc, r Ns Nr λ ' abc, r= Ns N Lrs i abc, s + s Nr Nr ( ) Lr i ' abc,r. Si può a questo punto riscrivere il modello della macchina asincrona in regime variabile con le grandezze di rotore riportate allo statore: { v abc, s=r s i abc, s + p λ abc,s, v ' abc, r =R' r i ' abc,r + p λ ' abc, r { Ns L i' N r sr abc, r. Ns Ns λ ' abc,r = L i + L r i ' abc,r N r rs abc, s N r λ abc, s= Ls i abc, s + ( ) Bisogna però analizzare le matrici e vedere l'impatto che ha su di esse l'aver riportato le grandezze di rotore al circuito di statore. In particolare risulta che L ' sr = Ns L =L ms, questo perché il circuito fittizio si trova allineato con lo statore. N r sr Si definiscono ora: N L ' lr = s Nr ( ) Ns Llr ; L ' mr = L mr= Lms. Nr ( ) Dove L ' mr è l'induttanza legata al flusso generato dall'avvolgimento fittizio concatenato con se stesso e quindi con lo statore. Si riscrivono le equazioni dei flussi: { λ abc, s= Ls i abc, s + L sr ' i ' abc, r. λ ' abc,r = L' rs i abc, s + L r ' i ' abc, r Dalle considerazioni svolte si ricavano le nuove matrici. L ' sr =L ms ( cos θ r + π 3 ) ) cos (θ + 43 π ) 4 cos (θ + π ) cos θ cos (θ + π ) ; cos (θ + π ) cos (θ + π ) cos θ 3 3 cos θ r ( r r r r r r r 108

109 ( (L lr ' + Lms ) L r '= 1 Lms 1 Lms 1 Lms 1 L ms 1 L ms ( Llr '+ Lms ) 1 Lms ( Llr ' + L ms) ). Si riporta il modello nel sistema di riferimento qdo: Figura 116: Assi per la trasformazione qdo f qdo, s= K s f abc,s. f qdo, r= K r f abc,r { v qdo, s=r s i qdo, s + p λ qdo, s+ ω λ dq, s, v ' qdo,r =R ' r i ' qdo, r + p λ ' qdo,r +(ω ω r ) λ ' dq, r dove λ ds λ dr λ dq, s= λ qs e λ ' dq, r= λ qr. 0 0 ( ) ( ) I flussi diventano: { 1 λ qdo, s=k s λ abc=(k s L s K 1 s ) i qdo, s +( K s L sr ' K s )i ' qdo,r. 1 λ ' qdo, r =( K r L ' rs K 1 r )i qdo, s +( K r Lr ' K r )i ' qdo, r Svolgendo i calcoli le matrici valgono: 109

110 ( ( K s L s K 1 s = 1 r 3 ( L ls + Lms ) K s Ls K = L ms ) (, K r Lr K 1 3 r = ( Lls + Lms ) 0 0 L ls 0 3 ( L ' lr + L ms) ), 3 ( L' lr + L ms) 0 0 L' lr ), 3 Lms dove M = Lms. Grazie alla trasformazione qdo poiché gli assi sono tra loro ortogonali sparisce il termine di mutuo accoppiamento nelle matrici. Riepilogando: { { v qdo, s=r s i qdo, s + p λ qdo, s+ ω λ dq, s, v ' qdo,r =R ' r i ' qdo, r + p λ ' qdo,r +(ω ω r ) λ ' dq, r λ qdo, s=l qdo,s i qdo, s+ M qdo i ' qdo, r. λ ' qdo, r =M qdo i qdo,s + Lqdo, r i ' qdo,r Le equazioni possono essere scritte in forma scalare: { { { { v qs=r s i qs + p λ qs +ω λ ds v ds=r s i ds + p λ ds ω λ qs ; v o s =Rs i o s + p λ o s v ' qr =R ' r i ' qr + p λ ' qr +(ω ωr )λ ' dr v ' dr =R r ' i ' dr + p λ ' dr (ω ω r )λ ' qr ; v ' o r= R' r i' o r + p λ ' o r λ qs=( Lls + M )i qs + M i' qr λ =L s i qs + M i ' qr dove L =L + M, ; λ ds=( Lls + M )i ds + M i' dr qs s ls λ ds =L s i ds + M i ' dr λ ds=lls i o s { λ ' qr =M i qs +(L ' lr + M ) i' qr λ ' qr =M i qs L' r i' qr dove L ' =L ' + M,. λ ' dr =M i ds +(L ' lr + M ) i' dr r lr λ ' dr =M i ds L' r i' dr λ ' o r =L ' lr i ' o r { Le equazioni dei flussi si possono ancora scrivere secondo la forma che segue: { λ qs=lls i qs + M (i qs+i ' qr ), λ ds=lls i ds + M (i ds+i ' dr ) { λ ' qr =L ' lr i' qr + M (i qs +i ' qr ). λ ' dr =L ' lr i' qr + M (i ds +i ' dr ) 110

111 Dove: M (i qs +i ' qr ) è il termine legato al traferro totale sull'asse q ; M (i ds +i ' dr ) è il termine legato al flusso totale lungo l'asse d ; Si individua quindi il vettore spaziale delle correnti: { i qds =i qs ji ds. i ' qdr =i' qr ji ' dr Pertanto il flusso al traferro si può formulare nel seguente modo: λ ag= M ( i qds +i ' qdr )=λ agq j λ agd. q Iqr' Iqs a I'qdr λag Idr' Iqds Itot Ids d Figura 117: Flusso al traferro 111

112 Figura 118: Circuito equivalente nel riferimento arbitrario In base alle equazioni scritte nel sistema di riferimento arbitrario è possibile definire un circuito equivalente per l'asse q, per l'asse d e per l'asse o (Figura 118). Per quanto riguarda il circuito di rotore si impone: { v ' dr =0 v ' qr =0. v ' o r=0 Questo perché normalmente si trova in corto-circuito. Tale modellizzazione grafica però non esprime la conversione elettromeccanica dell'energia. Per esprimere la coppia quindi si passa attraverso l'espressione della coenergia, ovvero (nel caso di linearità) l'energia magnetica immagazzinata nella macchina, che è esprimibile come: dw mecc = T d θ r m=dw m. Dove θr = p θr m. Per cui la coppia vale: T e= p W. θ r L'energia magnetica immagazzinata nella macchina nella macchina dipende da tutti i flussi di 11

113 statore e di rotore. Ai fini della valutazione, non si considerano i flussi dispersi. I termini saranno 1 tutti del tipo L i. Si ricavano l'energia dovuta al: Flusso di statore per correnti di statore: 1 T [i ( L L I ) iabc,s ] ; abc,s s ls Flusso di statore per correnti di rotore: 1 T i L i ; abc, s sr abc,r Flusso di rotore per correnti di rotore: 1 T [i ( L L rl I )i abc,r ] ; abc,r r Flusso di rotore e correnti di statore: 1 T i L i. abc, r rs abc, s La somma di questi contributi fornisce l'energia immagazzinata al traferro. Analizzando le matrici e ricordando quanto già è stato scritto per esse, si ha che L s e L r non dipendono dall'angolo θr così come non dipendono da esso i abc, s e i ' abc,r. Per ricavare la coppia è utile solo il contributo dovuto alla matrice L sr = Lrs : T = p i Tabc, s θ L ' sr i ' abc, r. r Lo svolgimento dell'equazione è molto complesso. Quindi si scrivono le espressioni delle correnti nel riferimento qdo: T 1. T = p( K 1 s i qdo, s ) θ r L ' sr (K r i ' qdo, r ) Il risultato è: T= 3 p M (i qs i ' dr i ds i ' qr ) ; T= 3 p (λ ' qr i ' dr λ ' dr i' qr ). Esistono però altre espressioni per la coppia e vengono riportate in Figura

114 Figura 119: Espressioni di coppia per la macchina asincrona Con l'equazione di coppia si completa quindi il modello della macchina asincrona nel regime variabile. Si noti che quando si esegue una trasformazione di coordinate il nuovo sistema può ruotare a velocità: ω=0 ; ω=ωe ; ω=ωr. Di seguito alcune caratteristiche che evidenziano le differenze in base alla scelta di ω. 114

115 Figura 10: Variabili in un sistema di riferimento stazionario 115

116 Figura 11: Variabili in un sistema di riferimento sincrono 116

117 Figura 1: Variabili nel sistema di riferimento rotorico 5. Controllo vettoriale diretto e indiretto: analisi a regime permanente Il circuito equivalente monofase con la quale si è studiata la macchina nella teoria delle macchine elettriche ed utilizzato all'inizio del capitolo è arbitrario. Si può però dimostrare che questo circuito si ricava dal circuito equivalente generalizzato per una particolare scelta del parametro a così come dimostrato in Figura

118 Figura 13: Circuito equivalente generalizzato L m 5 si arriva ad un circuito privo della reattanza di dispersione rotorica così come Lr mostrato in Figura 14. Scegliendo a= Figura 14: Circuito equivalente della macchina asincrona per a = Lm/Lr Da tale circuito risulta quindi che: I s= I s Φ + I st ; I st = Lr I ; Lm sr Er= j ω λr. Si ricava la corrente: I s Φ= (L m / Lr ) E r j ωe λ r λ r = =. j ω e L m Lm Lm j ωe L Lr m ( ) 5 Lm = M. 118

119 E quindi il flusso vale λ r =Lm I s Φ ed è perciò proporzionale alla corrente che circola nel ramo induttivo. Per definizione si può scrivere che: p R' T =3 ωe r I ' r. s Tale espressione può essere ancora riscritta nella forma: Lm Lm p p T =3 ω E r I r =3 ω ( ωe Lm I s Φ ) I st =3 p I I. e e Lr Lr s Φ st Er ( ) Ir Si giunge così al risultato: T =3 p Lm λ I. Lr r st Dall'analisi appena svolta si giunge a due importanti conclusioni. La prima è che la corrente che genera il flusso λ r è la I s Φ. Quindi una volta determinata tale corrente per instaurare il flusso rotorico si determina la coppia che è proporzionale alla corrente I st. In prima analisi le due correnti sembrano tra loro disaccoppiate, ma mettendo a sistema le due espressioni: { (L /L )E I st = m r r Lm R r L s I st = r j ωe Lm I s Φ. Lr s Lm R r (L /L )E I s Φ = m r r j ωe L m / L r ( ) Facendo il modulo dell'espressione ricavata si trova l'espressione dello scorrimento: s ω e= R r I st. Lr I s Φ 119

120 Figura 15: Analisi del controllo vettoriale in regime permanente In altre parole questo risultato dice che controllando flusso e coppia si impone lo scorrimento della macchina. Studiando i vettori6, a partire dal flusso λ r, si scopre ancora che passando dai fasori del regime permanente ai vettori spaziali in rotazione con riferimento sincrono ( ω=ωe ), le due correnti sono: I s Φ =I ds ; I st =I qs. E queste correnti sono le due grandezze cui si basa il controllo vettoriale della macchina che assicurano rispettivamente flusso e coppia. A questo punto si ricordi che negli azionamenti brushless con un trasduttore di posizione era possibile determinare la posizione del flusso rotorico. Nel caso della macchina asincrona ciò è reso impossibile dallo scorrimento, nei brushless il rotore ruota alla stessa velocità del campo di statore. È chiaro che per risolvere il diagramma vettoriale appena visto vi è bisogno di conoscere la posizione iniziale di λ r per poter posizionare il sistema qdo. Infatti si impone che l'asse d sia orientato lungo l'asse del flusso di rotore. Questo è il problema del controllo, ovvero l'orientamento di campo. Per questo motivo il controllo vettoriale si suddivide in controllo vettoriale diretto e indiretto. In particolare: nel controllo vettoriale indiretto si misura la posizione meccanica del rotore e sfruttando la relazione dello scorrimento si ricava θr e quindi θe, cioè la fase del flusso; nel controllo vettoriale diretto si risale a θr sfruttando le relazioni matematiche che governano la macchina, si eseguono quindi le misure di tensione e corrente. 6 La X's è la reattanza transitoria di statore X's = ωe(ls Lm Lr). 10

121 5.1. Schemi controllo vettoriale indiretto Figura 16: Schema di controllo vettoriale indiretto con CRPWM Per analizzare lo schema di Figura 16 si scrive: ωe =ωr + s ωr, integrando si ottiene: θe =θ r + s ωe dt. Tramite un encoder si misura θr e si cerca di stimare s ωe. L 1 i Dalla trattazione svolta in precedenza si ricorda che s ω e= τ st, dove τ r= r. Si ricorda ancora r i Rr sφ che le due correnti corrispondono rispettivamente a quella lungo l'asse diretto e quella lungo l'asse in quadratura. Il valore τ r è stimato. C'è quindi il rischio che l'azionamento sia male implementato. La verifica va effettuata comandando una determinata coppia. Se dopo un periodo (lungo) questa rimane tale allora l'azionamento è ben realizzato. Se viene effettuata una stima errata viene sommato di continuo un errore che continua a crescere fino a determinare un errore sull'angolo e di conseguenza nell'orientamento di campo. Vanno presi degli accorgimenti per rilevare ed eliminare questo tipo di errore. 11

122 Figura 17: Schema di controllo vettoriale indiretto con CSI Gli schemi a corrente impressa sono ormai fuori mercato ma è ancora possibile trovarli installati. Si tratta di convertitori a corrente impressa, di solito ponti a tiristori, di cui si comanda l'angolo di innesco. La frequenza delle correnti di fase per la macchina viene determinata sulla base di calcolo di ωe implementando un blocco Slip Calculator analogo a quello di schemi con CRPWM. Viene poi calcolato il modulo desiderato per il vettore spaziale di corrente i qds. La corrente di link viene retroazionata e l'errore tra le due entra in un regolatore di corrente la cui uscita comanda l'angolo di innesco dei tiristori (per annullare l'errore). Per migliorare le prestazioni durante i transitori viene implementata poi una rete anticipatrice. 1

123 Figura 18: Rete anticipatrice per schema di controllo vettoriale indiretto con CSI In ingresso a tale rete vi è l'angolo del vettore spaziale di corrente e in uscita vi è la derivata nel tempo di tale angolo. Il risultato è una velocità che si somma a ωr + s ω e. Quando il sistema è a regime permanente la derivata è nulla quindi non si somma. In altre parole la rete funziona per aumenti di coppia o diminuzioni di essa. Si guardi la Figura 18 e si pensi di comandare una coppia rispetto alla posizione 1 semplicemente aumentando I qs e lasciando immutata la corrente lungo d. La rete anticipatrice sente la variazione dell'angolo e quindi comanda l'incremento di velocità. Se la rete fosse assente lo schema di controllo comanderebbe un nuovo vettore di corrente col modulo I qs ma di fase ϕ1. 13

124 5.. Schemi di controllo vettoriale diretto Figura 19: Schema di controllo vettoriale diretto con CRPWM Lo schema che viene mostrato in questo paragrafo è solo di principio perché non è sufficiente l'analisi in regime permanente. Viene svolta un'analisi sommaria. Il valore dell'angolo θrf (che è sempre l'angolo del campo calcolato dal CFO), viene ricavato mediante la misura di alcune grandezze del rotore. Viene quindi calcolato anche il modulo del flusso e si realizzano due anelli in controreazione (di coppia e di flusso). Dai due anelli si ricavano le due correnti su q e d desiderate. In particolare si ha la certezza di determinare il flusso di magnetizzazione voluto attraverso la i d *, cosa che a catena aperta potrebbe non verificarsi. Si riesce infatti a compensare l'errore sull'induttanza che non era possibile col controllo indiretto. La i d è quella esatta, come lo è la corrente i q per la coppia. Così come il controllo vettoriale indiretto, quello diretto può essere implementato con un CSI così come mostrato in Figura

125 Figura 130: Schema di controllo vettoriale diretto con CSI 6. Controllo vettoriale: analisi a regime transitorio Per effettuare lo studio di questa sezione si riscrivono le equazioni del modello in regime transitorio per la macchina asincrona nel riferimento sincrono ( ω=ωe ). Si omette il simbolo di apice per la notazione delle grandezze rotoriche e l'induttanza M ora è Lm. { { { { v qs=r s i qs + p λ qs + ωe λds ; v ds=r s i ds + p λ ds ωe λ qs 0=R r i qr + p λ qr +(ω e ωr ) λ dr ; 0=R r i dr + p λ dr (ωe ω r )λqr λ qs=lls i qs + L m (i qs +i qr )=L s i qs + L m i qr ; λ ds=lls i ds + L m (i ds +i dr )=L s i ds + L m i dr λ qr=l lr i qr + L m (i qr +i qs )=L r i qr + Lm i qs ; λ dr=l lr i dr + L m (i dr i ds )=Lm i ds+ Lr i dr T e= 3 Lm p ( λ i λ i ). L r dr qs qr ds 15

126 Si impone adesso la condizione di orientamento del flusso di rotore lungo l'asse diretto: λ dr = λ r ; λqr =0. Questa scelta modifica le equazioni: { 0=R r i qr +(ω e ωr )λ dr ; 0=R r i dr + p λ dr λ qr = Lr i qr + L m i qs=0 ; T e= 3 Lm p (λ i ). L r dr qs L'espressione della coppia ricorda quella di una macchina DC Brushless. Si ricava dalle espressioni appena scritte: i qr = Lm i ; Lr qs Ri R L i s ω e=(ω e ωr )= λr qr = r λm qs. L r dr dr Si ricorda ora che nel regime permanente valeva: s ω e= R r I qs. Lr I ds Osservando la seconda equazione che si è modificata, si nota che vale ancora il risultato trovato nel regime permanente. Ovvero: p λ dr =0 i dr =0. Dall'espressione di λ dr trovata per il regime variabile, sostituendo i dr =0, continua a valere il valore di regime permanente λ dr = Lm I ds. Si evince quindi che la corrente di rotore lungo d è nulla. In effetti, sempre nello studio a regime L permanente, si era giunti allo stesso risultato. Nella Figura 15 si può notare come I qr = I qs m Lr sia allineata lungo q ed è l'unica componente rotorica. Tuttavia nel regime variabile I dr 0 e dall'equazione di λ dr vale: i dr = λ dr L m i ds. Lr Si mettono a sistema: { λ dr Lm i ds, Lr 0=R r i dr + p λ dr i dr = 16

127 da cui si ricava (Rr + pl r ) λ dr=r r Lm i ds. Per capire il significato di questa espressione lavora nel dominio di Laplace. E quindi: λ dr (s) Rr Lm Lm = =. i ds (s ) Rr + sl r (1+ s τ r ) dove τ= Lr. Rr Figura 131: Andamento del flusso di rotore per un gradino di ids Ciò vuol dire che nonostante il regolatore segua velocemente la corrente i ds il flusso di rotore varia secondo la costante rotorica τ r. Si riscrive l'equazione sostituendo l'espressione di λ dr : (Rr + pl r )i dr= L m p i ds. Per un gradino di i ds risulta anche una variazione di i dr : ids idr Figura 13: Andamento di idr per un gradino di ids In ultima analisi, essendo λ dr = Lm i ds + Lr i dr ci si aspetta un andamento come in Figura 133: 17

128 ids idr λdr Figura 133: Legame ids, idr e flusso Ciò significa che il flusso tenderebbe ad inseguire la i ds ma a causa della i dr che circola nel rotore per effetto dello stesso gradino questo varierà lentamente con la costante di tempo rotorica. Figura 134: Diagramma del transitorio ids e flusso di rotore La Figura 134 riassume il concetto appena espresso dal punto di vista vettoriale. 18

129 Figura 135: Diagramma vettoriale dei transitori di corrente iqs e iqr Dall'analisi appena svolta e con l'aiuto dei due diagrammi vettoriali si evince quindi che se viene variata la coppia T attraverso i qs anche i qr varierà istantaneamente e il flusso rimane costante. Se invece si cerca di aumentare la coppia attraverso il flusso λ dr, anche la coppia avrà un andamento che dipende dalla costante rotorica. Nello schema di controllo l'anello di coppia varia quindi velocemente rispetto a quello del flusso. Si riporta invece lo schema del modello (con orientamento di campo) che è stato analizzano in questa ultima parte. Figura 136: Schema di controllo di macchina asincrona con current fed e orientamento di campo (la variabile p=s è quella di Laplace) 7. Controllo vettoriale: schemi di controllo indiretti Il controllo vettoriale indiretto per quanto già visto ricava la posizione del flusso di rotore legando 19

130 la posizione meccanica alla relazione dello scorrimento. Si aggiorna il modello con le equazioni viste per il regime transitorio. Si è già trovata l'espressione s ω e= Si sostituisce l'espressione λ dr = R r L m i qs. Lr λ dr Lm i ds e quindi: 1+ τ r p s ω e=(1/ τ r ) i qs, 1 i 1+ τ r p ds si cerca cioè lo scorrimento desiderato stimando i valori i qs e i ds. Si parte sempre da un flusso ed una coppia desiderati: λ i ds = dr ; Lm i qs = T. 3 Lm p λ L r dr Supponendo un regolatore di corrente approssimabile con fdt ad anello chiuso unitaria lo schema per ottenere flusso e coppia reali è il seguente. lambda* ids* T* iqs* Ids = ids* lambda Lm / (1+tau_r p) Wi(s) Iqs = iqs* T 3/ p Lm/Lr Figura 137: Stima di iqs e ids Questo schema però prevede che per ogni variazione di flusso ci sia una variazione di coppia e ciò per quanto studiato si vuole evitare perché altrimenti la risposta di coppia dipenderebbe dalla costante rotorica (Figura 131). L'analisi svolta in precedenza per il flusso viene ribaltata applicando il principio fisico di causaeffetto: ( Rr + pl r ) λ dr=r r Lm i ds, risolvendo quindi questa equazione rispetto a i ds (causa) si ha i ds = 1 (1+ p τ r ) λ dr. Lm Matematicamente non cambia nulla ma dal punto di vista fisico questa relazione dice che se λ dr è il flusso desiderato, τ r una buona stima, allora è possibile trovare la corrente i ds che assicura quel 130

131 flusso. L'andamento è quello nella figura seguente. λdr* = λdr ids* = ids Figura 138: Corrente ids per un gradino di flusso È chiaro che nella realtà bisogna tenere conto del limite di massima corrente comandabile e il limite in banda passante. Il flusso quindi si avvicina al gradino ma sarà sempre soggetto alla costante di tempo rotorica. Questo approccio consente una modifica allo schema precedente. Per cui al posto della corrente i ds, nel controllore l'ingresso sarà il flusso. Si semplifica anche la relazione sullo scorrimento: s ωe = R r L m i qs, Lr λ dr quindi il controllo si ottiene implementando lo schema in Figura

132 Figura 139: Schema a blocchi con scorrimento e flusso desiderati Lo schema completo è in Figura 140: Figura 140: Controllo vettoriale indiretto, schema di controllo 13

133 8. Controllo vettoriale: schemi di controllo diretti Nella Figura 19 è stato introdotto uno schema di principio per il controllo diretto. L'attenzione adesso si focalizza sul blocco CFO (Computer Field Orienter) e sui modelli che vengono in esso implementati per raggiungere lo scopo. L'obiettivo naturalmente è quello di determinare il flusso e la sua fase per poter orientare il sistema qdo e dunque l'asse d con il flusso rotorico. Poiché non si dispongono informazioni sul flusso, la condizione λ qr =0 non è più valida. Si effettuano quindi le misure e si ricava, nel riferimento di statore, il modulo λ r = (λ sdr ) +(λ sqr ), da cui si può ricavare la fase, cioè l'angolo, s θr =arctan λ dr s. λ qr La funzione arctan però non è facile da implementare, quindi si utilizza un PLL Misura del flusso al traferro Per questo tipo di controllo esistono vari metodi utili a determinare il flusso. Uno tra questi consiste proprio nella misura stessa del flusso al traferro mediante sensori ad effetto-hall o mediante bobine di pick-up7. Per cui si ricava il flusso dalla tensione indotta e dalla frequenza. Queste ultime presentano uno svantaggio a frequenze quasi nulle per cui risulta fem indotta pari a zero. Questi trasduttori misurano quindi il flusso al traferro che può essere chiamato λ m. Si può scrivere nel riferimento statorico il vettore spaziale: s s s s s λ qdm=λqm j λ dm= Lm ( i qds + i qdr ). Infatti per un riferimento arbitrario valgono le equazioni scalari: λ qm=l m (i qs+i qr ) ; λ dm=l m (i ds+i dr ). Siccome la pulsazione ω non compare in queste equazioni, valgono anche nel sistema di riferimento con lo statore. Per cui: { λ sqm=l m (i qss +i sqr ), λ sdm=l m (i dss +i sdr ) a conferma di quanto scritto sopra. Si mettono a sistema i vettori spaziali del flusso magnetico e del flusso di rotore cercato (riferito allo statore): 7 Si tratta di bobine a vuoto, sulle quali non circola corrente. 133

134 { s λ sqdm Lm i qds s λ qdm =L m (i sqds +i sqdr ) Lm. s s s λ qdr =L r i qdr + L m i qds L r s s s λ qdr = λ qdm ( L r L m)i qds Lm i qdr= { ( ) Per ricavare il valore la stima di λ qdr nelle coordinate statoriche: s si misura la corrente di statore ( i qds ); si misura il flusso al traferro ( λ sqdm ); si stimano i valori di L r, L m. Quindi si ricava il modulo a partire da λ q e λ d e la fase attraverso l'arcotangente. L'osservatore del flusso è quindi a catena aperta. Questo tipo di controllo va verificato per diverse correnti infatti c'è il rischio che l'induttanza di dispersione Llr diminuisca troppo nel caso di cave rotoriche chiuse, mentre se non c'è molta saturazione può essere considerata costante. Stimare poi L r e L m non è facile in quanto trattasi di valori molto piccoli. 8.. Modello in tensione Un altro metodo consiste nel ricavare il flusso di rotore mediante la misura delle tensioni di statore. Dalle equazioni: { d λq +ω λ ds dt, d λd v ds =R s i ds + ω λ qs dt v qs =R s i qs + si ricava il vettore equivalente in forma complessa ( v qds =v qs j v ds )8: v qds =R s i qds + d λ qds + j ω λ qds. dt Si faccia caso al fatto che per una corretta rappresentazione si moltiplica il termine ω λ qds per l'unità immaginaria in modo tale da avere j ω (λ qs j λds )= j ω λ qs + ω λ ds. Per capire il motivo basta guardare l'equazione di v qs che rappresenta la parte reale (Re) in cui appare il flusso λ ds, mentre λ qs si trova nell'equazione (-Im). Nel riferimento stazionario si impone ω=0. Per cui: v qds =R s i qds + d λ qds. Si ricava il flusso rispettivo per definizione: 8 Si considera vqs = (Re), mentre vds = (- Im) 134

135 t λ s qds s s = ( v qds R i qds ) dt. o In un riferimento generico vale λ qds =L s i qds + Lm i qdr. Si ricava quindi la corrente: s i qdr = s λqds Ls i sqds. Lm Quindi nella relazione λ dqr = Lm i dqs + L r i qdr si sostituisce il valore appena ricavato: s s λ L s i qds λ dqr = Lm i dqs + L r qds, Lm [ ( )] L L s λ dqr = m λqds L s m i sqds. Lr Lr Anche in questo caso si incontrano delle difficoltà relative soprattutto al contributo in parentesi tonda che costituisce la reattanza transitoria del circuito di statore. Questo modello, detto in tensione, non lavora bene per frequenze basse. Ovvero per quelle frequenze per cui la tensione diventa confrontabile con la caduta resistiva, caso per cui è facile commettere un grande errore che viene poi integrato Modello in corrente Si utilizza altrimenti il modello in corrente. Analogamente al caso precedente si parte dalle equazioni di rotore: { d λqr +(ω ω r )λdr dt, d λdr 0=R r i dr + (ω ωr )λ qr dt 0=R r i qr + per ricavare il vettore: v qdr =0= Rr i qdr + d λ qdr + j (ω ωr )λ qdr. dt Si sceglie un sistema di riferimento per cui ω=ωr. Ne segue che: { d λ qrr. dt R R R λ qdr =L m i qds + L r i qdr v Rqdr =0=R r i qdr + R L'incognita è la i qdr : 135

136 { R 1 d λ qr + Rr dt. Lr d λ qrr R R λ qdr =L m i qds + Rr dt i qdr = Infine: R R λ qdr (1+ τ r s)= Lm i qds, λ Rqdr = Lm i Rqds. (1+τ r s) Bisogna quindi riferire la corrente di statore al rotore attraverso una matrice KR per cui è richiesta la misura della posizione angolare meccanica del rotore per conoscere l'angolo θr. Ciò non è un problema perché il trasduttore di posizione (o di velocità) è sempre presente nell'azionamento e viene infatti utilizzato per chiudere l'anello di velocità esterno a quello di coppia Modello ibrido I due modelli appena descritti si implementano in un modello ibrido come in figura. Figura 141: Modello Ibrido per il controllo vettoriale diretto Come si è visto in precedenza il modello in tensione lavora male alle basse frequenze mentre è più preciso alle alte velocità. Al contrario,il modello in corrente è molto preciso allo spunto e quindi a basse velocità. Queste caratteristiche vengono sfruttate per stabilire la transizione per il funzionamento dell'uno o dell'altro osservatore. Per fare ciò si deve scegliere una banda passante per il regolare PI (di transizione) il quale analizza l'errore proveniente da entrambe le tipologie di osservatori. 136

137 Figura 14: Diagramma di Bode di un regolatore PI con Kp = Ki = 1 La Figura 14 mostra il diagramma di Bode per il regolatore PI i cui coefficienti proporzionali sono unitari. Nel caso pratico si deve scegliere la frequenza di taglio K 1 f t= τ = p, PI Ki oltre la quale il regolatore attenua il segnale in ingresso. All'interno della banda passante le grandezze in gioco variano con frequenza molto bassa e quindi l'errore ε sarà nullo. Ne segue che la stima del flusso di rotore è pari a quella eseguita dal modello in corrente. Quando aumenta la frequenza, perché aumenta la velocità, si esce fuori dalla banda passante del regolatore, la cui uscita subirà quindi un'attenuazione. Pertanto il termine di correzione in uscita al PI tende a zero. Si conclude che indipendentemente dall'errore ε, i risultati del modello in corrente non sono più presi in considerazione: la stima del flusso è stabilita solamente dalle operazioni del modello in tensione. In generale il valore della frequenza di taglio dipende dalla bontà della stima dei parametri induttivi e resistivi, e dalle loro variazioni nel funzionamento della macchina. 137