5. Test per proporzioni: confronto tra campioni e associazione

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1 BIOSTATISTICA 5. Test per proporzioni: confronto tra campioni e associazione Marta Blangiardo, Imperial College, London Department of Epidemiology and Public Health m.blangiardo@imperial.ac.uk MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION - 6.1

2 1. Un solo campione: metodo esatto e approssimazione alla Normale 2. Confronto tra due o più proporzioni la variabile casuale chi quadro 3. Test per la bontà di adattamento di una distribuzione di probabilità ad una distribuzione empirica: il caso di probabilità stimata 4. Test per la bontà di adattamento di una distribuzione di probabilità ad una distribuzione empirica: il caso di probabilità teorica MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION - 6.2

3 1. Un solo campione: metodo esatto e approssimazione alla Normale Dalla teoria mendeliana dell ereditarietà ci si aspetta che certi incroci di varietà di baccelli producano baccelli gialli o verdi in rapporto di 3:1. In un particolare esperimento si ottengono 17 baccelli gialli e 5 verdi. Possiamo concludere che l esperimento supporta la teoria? MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION - 6.3

4 L esperimento produce solo due possibili risultati: giallo o verde Estraiamo un campione di n=22 incroci. Siamo interessati a valutare se la proporzione di baccelli verdi e gialli riscontrata nel campione riflette la teoria mendeliana H 0 : p verde = ¼ = 0.25 MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION - 6.4

5 Dati campionari: x (numero baccelli verdi) = 5 n = 22 Che valori può assumere X? La variabile di interesse (numero di baccelli verdi) è quantitativa discreta X = 0,1,2,3,,n i = baccello verde i =baccello giallo SUCCESSO INSUCCESSO Il nostro interesse è sulla proporzione di SUCCESSI MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION - 6.5

6 Variabile casuale binomiale X: numero di successi in un dato numero di prove n indipendenti Il risultato di ogni prova è S o I La probabilità di S (p) è la stessa in tutte le prove Contiamo il numero di successi in n prove 35 X ~ Binom(n,p) successi MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION - 6.6

7 X ~ Binom(n,p) P(X=x) = n x p x (1-p) n-x x = 0,1,2,.,n Media e Varianza µ x = np σ x2 = np(1-p) n=12, p=0.3 n=12, p=0.8 MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION - 6.7

8 Numerosità campionaria P(X=x) = n x p x (1-p) n-x Coefficiente binomiale Probabilità di successo n! n*n-1*n-2* 2*1 x! (n-x)! = (x*x-1* *2*1) [(n-x)*(n-x-1)* *2*1] 5 Fattoriale 5! 5*4*3*2*1 2 = 2! (5-2)! = (2*1) ((5-2)(5-3)(5-4)) Proprietà del fattoriale n 0 = 1 n n = 1 MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION - 6.8

9 L ipotesi è che p verde =0.25 Successo P(X=x) = 22 x 0.25 x (1-0.25) 22-x MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION - 6.9

10 P(X=5) = TEST PER PROPORZIONI Distribuzione esatta: dal campione ho n=22 e x= (1-0.25) 22-5 = Quanto è estremo il valore osservato nella distribuzione X ~ Binom(22,0.25) P(X 5) = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4) +P(X=5)= Pvalue=2*0.4956= Evidenza a supporto dell ipotesi nulla H 0 : p verde = ¼ = 0.25 MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

11 Se nel campione avessi osservato P(X=20)= x= (1-0.25) =1.18e -10 Quanto è estremo il valore osservato nella distribuzione X ~ Binom(22,0.25) P(X 20) = P(X=21)+P(X=22) = e-10 Pvalue=2* e-10 = e-10 Non sufficiente evidenza a supporto dell ipotesi nulla RIFIUTO H 0 : p verde = ¼ = 0.25 MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

12 Quando n è abbastanza grande (>40) possiamo approssimare la distribuzione binomiale a quella normale X ~ Binom(200,0.2) In questo caso si possono utilizzare I valori tabulati per 1) intervalli di confidenza 2) test d ipotesi MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

13 Dal campione ottengo p = n.successi n.prove Posso calcolare lo standard error campionario se( p) = p(1-p) n Non conosco p ma posso stimarla usando p se( p) = p(1-p) n E ottenere l intervallo di confidenza 95% Pr { p se(p) p p se( p) } = % Pr { p 2.57 se(p) p p se( p) } = 0.99 MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

14 Un gruppo di medici ha studiato l effetto dell utilizzo di cravatte strette sul flusso di sangue che arriva alla testa. Il loro interesse è valutare come questo fatto influenzi la capacità del cervello di rispondere a stimoli visivi. Su un campione di 250 uomini d affari si è ottenuto che in 167 casi la cravatta troppo stretta influenza l abilità del cervello. Dal campione: n=250 x=167 p=? p=167/250 = se( p) = Per calcolare l intervallo di confidenza mi serve l errore standard che stimo: p(1-p) n =0.03 n>40 approssimo alla Normale Pr { * 0.03 p * 0.03 } = 0.95 IC = { } MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

15 Dal campione: n=250 x=167 p=? p=167/250 = IC = { } p Possiamo concludere che ripetendo l esperimento 100 volte in 95 casi il p della popolazione è compreso nell intervallo { }. In 5 casi su 100 sbaglio stimando p con p. MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

16 Dal campione ottengo p = n.successi n.prove se( p) = p(1-p) n Ipotesi nulla: H 0 : p=p 0 z p = p p 0 se(p) ~ N(0,1) P-value (1 coda) = Pr ( z >z p sotto H 0 ) P-value (2 code)= 2*Pr ( z >z p sotto H 0 ) MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

17 Dal campione: n=250 x=167 p=167/250 = H 0 : p = TEST PER PROPORZIONI Dalla stessa popolazione di uomini d affari voglio valutare se l ipotesi che la proporzione di uomini con cravatta troppo stretta è 0.5 p p 0 z p = = 5.6 se(p) Per standardizzare p devo stimare l errore standard p(1-p) se( p) = n =0.03 Pr ( z >z p sotto H 0 ) = Pr(z>5.6 sotto H 0 ) Il test è a due code quindi P-value (2 code)= 2*Pr ( z >5.6 sotto H 0 ) MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

18 Distribuzione normale standardizzata Tavole Pr(z >z p ) = 1-Pr(z<z p ) = 0 Excel =1-DISTRIB.NORM.ST(5.6)=0 P-value 2 code2*0=0 Concludiamo che c è evidenza contro H 0 P-value 2 code2*0=0 MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

19 2. Confronto tra due o più proporzioni: la variabile casuale chi quadro In una sperimentazione clinica tesa a valutare l effetto di un nuovo farmaco nel trattamento dell infarto miocardico acuto, 80 pazienti sono stati assegnati casualmente al gruppo trattato con il farmaco in studio o al placebo Dopo 28 giorni dall episodio di infarto (e dall inizio dello specifico trattamento) 10 dei 40 pazienti trattati con il farmaco sono deceduti, contro 15 decessi verificatisi nei 40 pazienti trattati con placebo Questa sperimentazione offre sufficienti evidenze che il nuovo farmaco sia efficace nel trattamento dell infarto acuto? MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

20 6. CONFRONTO TRA 6. TEST PROPORZIONI PER PROPORZIONI DI DUE O PIÙ CAMPIONI INDIPENDENTI E1. In una sperimentazione clinica tesa a valutare l effetto di un nuovo farmaco nel trattamento dell infarto miocardico acuto, 80 pazienti sono stati assegnati casualmente al gruppo trattato con il farmaco in studio o al placebo Dopo 28 giorni dall episodio di infarto (e dall inizio dello specifico trattamento) 10 dei 40 pazienti trattati con il farmaco sono deceduti, contro 15 decessi verificatisi nei 40 pazienti trattati con placebo deceduti Tabella di contingenza 2 X 2 Pazienti trattati con il farmaco Pazienti di controllo vivi p 1 = 10 / 40 = = p 2 = 15 / 40 = = Questa sperimentazione offre sufficienti evidenze che il nuovo farmaco sia efficace nel trattamento dell infarto acuto? MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

21 6. CONFRONTO TRA 6. TEST PROPORZIONI PER PROPORZIONI DI DUE O PIÙ CAMPIONI INDIPENDENTI Tabella di contingenza 2 X 2 Pazienti trattati con il farmaco Pazienti di controllo deceduti vivi p 1 = 10 / 40 = = p 2 = 15 / 40 = = p = 25 / 80 = = Ci si aspetta che la mortalità nei due gruppi differisca per effetto del caso (errore di campionamento) in assenza del quale: p 1 = p 2 = p = MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

22 6. CONFRONTO TRA 6. TEST PROPORZIONI PER PROPORZIONI DI DUE O PIÙ CAMPIONI INDIPENDENTI Tabella di contingenza 2 X 2 Pazienti trattati con il farmaco Pazienti di controllo deceduti vivi p 1 = 10 / 40 = = p 2 = 15 / 40 = = p = 25 / 80 = = sotto: H 0 π 1 = π 2 = π MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

23 6. CONFRONTO TRA 6. TEST PROPORZIONI PER PROPORZIONI DI DUE O PIÙ CAMPIONI INDIPENDENTI Tabella di contingenza 2 X 2 Pazienti trattati con il farmaco Pazienti di controllo deceduti vivi p 1 = 10 / 40 = = p 2 = 15 / 40 = = p = 25 / 80 = = Quanti pazienti trattati con il farmaco sarebbero morti se fossero sottoposti alla stessa mortalità dell intero gruppo sperimentale? = Pazienti trattati con il farmaco Pazienti di controllo deceduti vivi MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

24 6. CONFRONTO TRA 6. TEST PROPORZIONI PER PROPORZIONI DI DUE O PIÙ CAMPIONI INDIPENDENTI Tabella di contingenza 2 X 2 Pazienti trattati con il farmaco Pazienti di controllo deceduti vivi p 1 = 10 / 40 = = p 2 = 15 / 40 = = p = 25 / 80 = = Quanti pazienti trattati con placebo sarebbero morti se fossero sottoposti alla stessa mortalità dell intero gruppo sperimentale? = Pazienti trattati con il farmaco Pazienti di controllo deceduti vivi MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

25 6. CONFRONTO TRA 6. TEST PROPORZIONI PER PROPORZIONI DI DUE O PIÙ CAMPIONI INDIPENDENTI Tabella di contingenza 2 X 2 Pazienti trattati con il farmaco Pazienti di controllo Dati osservati deceduti vivi Tabella di contingenza 2 X 2 Pazienti trattati con il farmaco Pazienti di controllo Dati attesi deceduti vivi Test del chi-quadrato χ 2 = Σ i (O i - E i ) 2 g E i MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

26 6. CONFRONTO TRA 6. TEST PROPORZIONI PER PROPORZIONI DI DUE O PIÙ CAMPIONI INDIPENDENTI Dati osservati Pazienti trattati con il farmaco Pazienti di controllo deceduti vivi Dati attesi Pazienti trattati con il farmaco Pazienti di controllo deceduti vivi χ 2 = Σ i (O i - E i ) 2 g E i ( ) 2 = ( ) ( ) 2 ( ) = MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

27 Distribuzione chi-quadrato Chi quadro gdl MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

28 6. CONFRONTO TRA 6. TEST PROPORZIONI PER PROPORZIONI DI DUE O PIÙ CAMPIONI INDIPENDENTI Perché 1 grado di libertà? Valore empirico: χ 2 = P-value = 0.2 < Pr(χ 2 2>1.45 sotto H0) < 0.25 > 0.05 Dovremmo accettare l ipotesi nulla (p > 0.05): le due proporzioni non differiscono significativamente Questa sperimentazione non offre sufficienti evidenze che il nuovo farmaco sia efficace nel trattamento dell infarto acuto MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

29 Dati osservati Pazienti trattati con il farmaco Pazienti di controllo deceduti vivi Se si fissano i totali di riga e di colonna (marginali) mi basta inserire il valore di una cella e le altre le trovo per differenza Pazienti trattati con il farmaco Pazienti di controllo deceduti =15 25 vivi 40-10= = Quindi ho solo 1 grado di libertà MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

30 6. CONFRONTO TRA 6. TEST PROPORZIONI PER PROPORZIONI DI DUE O PIÙ CAMPIONI INDIPENDENTI In una sperimentazione clinica tesa a valutare l effetto di due nuovi farmaci (A e B) nel trattamento dell infarto miocardico acuto, 90 pazienti furono assegnati casualmente al gruppo trattato con il farmaco A, al gruppo trattato con il farmaco B o al placebo Dopo 28 giorni dall episodio di infarto (e dall inizio dello specifico trattamento) 10 dei 30 pazienti trattati con il farmaco A, 5 dei 30 pazienti trattati con il farmaco B e 15 dei 30 pazienti trattati con placebo sono deceduti Tabella di contingenza 2 X 3 deceduti vivi Farmaco Farmaco Placebo A B p A = 10 / 30 = = p B = 5 / 30 = = p P = 15 / 30 = = 0.5 Questa sperimentazione offre sufficienti evidenze che i diversi trattamenti determinino diversi effetti sulla sopravvivenza? MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

31 6. CONFRONTO TRA 6. TEST PROPORZIONI PER PROPORZIONI DI DUE O PIÙ CAMPIONI INDIPENDENTI Tabella di contingenza 2 X 3 deceduti vivi Farmaco Farmaco Placebo A B p A = 10 / 30 = = p B = 5 / 30 = = p P = 15 / 30 = = sotto: H 0 π A = π B = π p = π 30/90=0.333 MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

32 6. CONFRONTO TRA 6. TEST PROPORZIONI PER PROPORZIONI DI DUE O PIÙ CAMPIONI INDIPENDENTI Dati osservati Farmaco A Farmaco B Placebo deceduti vivi p A = 10 / 30 = p B = 5 / 30 = p P = 15 / 30 = p = 30 / 90 = Dati attesi sotto H = = = Farmaco A Farmaco B Placebo deceduti vivi MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

33 6. CONFRONTO TRA 6. TEST PROPORZIONI PER PROPORZIONI DI DUE O PIÙ CAMPIONI INDIPENDENTI Dati osservati Farmaco A Farmaco B Placebo deceduti vivi Dati attesi deceduti Farmaco Farmaco Placebo A B vivi χ 2 = g Σ i (O i - E i ) 2 E i = MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

34 6. CONFRONTO TRA 6. TEST PROPORZIONI PER PROPORZIONI DI DUE O PIÙ CAMPIONI INDIPENDENTI Perché 2 gradi di libertà? Valore empirico: χ 2 = P-value = 0.025< Pr(χ 2 2 >6.11 sotto H 0 ) < 0.05 < 0.05 Dovremmo rigettare l ipotesi nulla (p < 0.05): le tre proporzioni differiscono significativamente Questa sperimentazione offre sufficienti evidenze che il diverso trattamento determina diverse mortalità nei pazienti con infarto acuto MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

35 Dati osservati Farmaco A Farmaco B Placebo deceduti vivi In questo caso una cella non è sufficiente per ottenere tutte le altre per differenza. Ne servono 2 Dati osservati Farmaco A Farmaco B Placebo deceduti vivi = = = = Quindi ho 2 gradi di libertà 90 In generale i gdl si ottengono come (n.righe-1)*(n.colonne-1) MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

36 ESERCIZIO di RIEPILOGO 1 In una popolazione di bambini in età prescolare si vuole verificare se la percentuale di bambini affetti da dislessia è pari al 10%. Per questo motivo si estrae un campione di 200 bambini e si ottiene che quelli dislessici sono 40. Saggiare l ipotesi nulla ESERCIZIO di RIEPILOGO 2 Si vuole verificare se l effetto di tre diete è equivalente nel ridurre il peso in una popolazione di bambini. A tal fine si estraggono 3 campioni di 20, 30 e 40 bambini e si assegna loro rispettivamente la dieta A, B e C. Definiamo che la dieta ha effetto se riduce il peso di almeno 5 Kg. Il numero di riduzioni di peso nei tre campioni è rispettivamente 10, 12 e 18 MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

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38 ESERCIZIO di RIEPILOGO 2 Si vuole verificare se l effetto di tre diete è equivalente nel ridurre il peso in una popolazione di bambini. A tal fine si estraggono 3 campioni di 20, 30 e 40 bambini e si assegna loro rispettivamente la dieta A, B e C. Definiamo che la dieta ha effetto se riduce il peso di almeno 5 Kg. Il numero di riduzioni di peso nei tre campioni è rispettivamente 10, 12 e 18 MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

39 3. Test per la bontà di adattamento di una distribuzione di probabilità ad una distribuzione empirica: il caso di probabilità teorica Dalla teoria mendeliana: Baccelli verdi e lisci Rugosi e verdi (RV) Lisci e verdi (LV) Rugosi e gialli (RG) Lisci e gialli (LG) 1/16 3/16 3/16 9/16 Baccelli gialli e rugosi MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

40 Distribuzione teorica Rugosi e verdi (RV) Lisci e verdi (LV) Rugosi e gialli (RG) Lisci e gialli (LG) 1/16 3/16 3/16 9/16 Da un campione di 160 incroci si ottengono i seguenti risultati: Rugosi e verdi (RV) Lisci e verdi (LV) Rugosi e gialli (RG) Lisci e gialli (LG) N=160 I dati supportano la teoria mendeliana? MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

41 Vogliamo testare la seguente ipotesi H 0 : p 1 =1/16, p 2 =3/16, p 3 =3/16, p 4 =9/16 Se H 0 è vera: RV LV RG LG = = = =90 16 Utilizziamo nuovamentre la statistica chi quadrato Test del chi-quadrato χ 2 = Σ i (O i - E i ) 2 g E i MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

42 Rugosi e verdi (RV) 8 6. TEST PER PROPORZIONI Valori osservati Lisci e verdi (LV) 32 Rugosi e gialli (RG) 27 Valori attesi sotto H0 Lisci e gialli (LG) 93 RV LV RG LG χ 3 2 (8-10) 2 = (32-30) 2 30 (27-30) 2 (93-90) = I gradi di libertà sono ncat-1 (nel nostro caso 4-1=3) MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

43 Distribuzione chi-quadrato gdl Il Pvalue è compreso tra questi due valori P-value = Pr(χ 2 3 >0.93 sotto H 0 ) 0.85 > 0.05 Non abbiamo abbastanza evidenza per rifiutare H 0 MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

44 4. Test per la bontà di adattamento di una distribuzione di probabilità ad una distribuzione empirica: il caso di probabilità stimata Stima dei parametri della popolazione partendo dai dati campionari Assunzioni sulla forma della distribuzione dei parametri E utile verificare tali assunzioni valutando quanto i valori osservati si discostano dalla distribuzione teorica Confronto tramite chi quadrato delle frequenze osservate e attese sotto la distribuzione teorica MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

45 Strategia: 1) Scelta della distribuzione di probabilità adatta a descrivere il fenomeno in studio 2) Calcolo delle probabilità associate ai valori che la variabile in studio assume nel campione 3) Calcolo delle frequenze attese π i. O 4) Valutazione tramite chi quadrato delle discrepanze tra frequenze osservate (O i ) ed attese π i.o χ 2 = Σ (O i π i O) 2 g π i O MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

46 Verifica dell adattamento ad una distribuzione Binomiale Sono stati raccolti i dati relativi al numero di figlie femmine in 103 famiglie di 4 figli. Il rapporto tra maschi e femmine è atteso di ½:½. 1) Scelta della distribuzione di probabilità adatta a descrivere il fenomeno in studio Variabile casuale dicotomica Successo: figlia femmina Variabile casuale teorica: Binomiale X~Binom(n,p) X~Binom(4,0.5) MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

47 2) Sappiamo che π i =0.5 sotto H 0 Valori osservati nel campione X O i Osservati MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

48 3) Calcolo delle probabilità associate ai valori che la variabile in studio assume nel campione P(X=x) = 4 x 0.5 x (1-0.5) 4-x X O i π i (1/2) 4 = (1/2) 1. (1/2) 3 = (1/2) 2. (1/2) 2 = (1/2) 3. (1/2) 1 = 0.25 (1/2) 4. (1/2) 0 = MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

49 4) Calcolo delle frequenze attese π i. O X O i π i π i.o 0 5 (1/2) 4 = = (1/2) 1. (1/2) 3 = = (1/2) 2. (1/2) 2 = = (1/2) 3. (1/2) 1 = = (1/2) 4. (1/2) 0 = = Osservati Attesi MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

50 5) Valutazione tramite chi quadrato delle discrepanze tra frequenze osservate (O i ) ed attese π i.o χ 2 = Σ (O i π i O) 2 g π i O (5-6.44) 2 = 6.44 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) + 2 = Il numero di gdl è ncat-1 = 5-1 = 4 Da excel: =DISTRIB.CHI(6.191,4) P-value = Pr(χ 2 4 >6.191 sotto H 0 ) 0.18 > 0.05 MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

51 Possiamo concludere che la differenza tra la distribuzione osservata e quella teorica (Binomiale di parametro 0.5 in 4 prove) non è significativa MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

52 Verifica dell adattamento ad una distribuzione Poisson Si desidera conoscere la distribuzione di una variante rara di una certa pianta in una determinata regione. Per fare cio la regione viene suddivisa in aree di uguale grandezza e si conta il numero di elementi della variante in studio. 1) Scelta della distribuzione di probabilità adatta a descrivere il fenomeno in studio Variabile casuale discreta, ma NON dicotomica Evento RARO Variabile casuale teorica: Poisson X~Poisson(λ) MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

53 Distribuzione Poisson Caratterizzata da un parametro Distribuzone usata per gli eventi rari X~Poisson(λ) E(X) = λ Var(X) = λ X~Poisson(5) X~Poisson(3) E(X)=5 Var(X)=5 E(X)=3 Var(X)=3 MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

54 2) Non conosciamo i valori di π i nella popolazione: dobbiamo stimarli Valori osservati nel campione X >3 O i Osservati MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

55 2) Non conosciamo i valori di π i nella popolazione: dobbiamo stimarli Una stima di λ è x (media campionaria): x = Σx i O i ΣO i x = = X~Poisson(0.7241) MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

56 3) Calcolo delle probabilità associate ai valori che la variabile in studio assume nel campione X~Poisson(0.7241) P(X=x) = λx e -λ x! X O i π i e = e (0.7241) 1 = e ! = e (0.7241) 2 /2= e (0.7241) 3 /6= > = MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

57 4) Calcolo delle frequenze attese π i. O X O i π i π i.o 0 39 e = = e (0.7241) 1 = = e (0.7241) 2 /2= = e (0.7241) 3 /6= =2.66 > = = Osservati Attesi >3 MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

58 5) Valutazione tramite chi quadrato delle discrepanze tra frequenze osservate (O i ) ed attese π i.n (o p i.n se i parametri sono ignoti nella popolazione) χ 2 = Σ (O i π i O) 2 g π i O + = ( ) (1-2.66) ( ) 2 ( ) (0-0.54) + 2 = Il numero di gdl è n.cat-2 = 5-2 = 3 Da excel: =DISTRIB.CHI(2.5094,3) P-value = Pr(χ 2 3 > sotto H 0 ) 0.47 > 0.05 MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

59 Possiamo concludere che la differenza tra la distribuzione osservata e quella teorica (Poisson di parametro ) non è significativa PROBLEMA: come mai abiamo usato un chi quadro con 3 gradi di libertà? Il numero di gdl è n.cat-2 = 5-2 = 3??? MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

60 Abbiamo visto precedentemente che i gradi di libertà erano calcolati come N.obs-1 (nel caso della T di Student) N.cat-1 (n.righe-1)(n.col-1) Nel caso del chi quadro In questo caso abbiamo un ulteriore vincolo dato dal fatto che DOBBIAMO stimare λ tramite i dati campionari (y). Quindi: 1. ΣO i =O 2. Σx i O i = y gdl = n.cat - 2 ΣO i Una regola universale: il numero di gradi di libertà è sempre uguale al numero di osservazioni MENO il numero di relazioni tra le osservazioni che abbiamo la necessità di ottenere MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

61 Verifica dell adattamento ad una distribuzione Normale In un campione di piante da fiore viene misurata la lunghezza della corolla (in mm); si desidera conoscere la sua distribuzione. 1) Scelta della distribuzione di probabilità adatta a descrivere il fenomeno in studio Variabile casuale continua Ci si aspetta simmetria nella distribuzione Variabile casuale teorica: Normale X~N(µ,σ 2 ) f ( x µ ) 1 2 2σ ( x) = e 2 2πσ 2 MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

62 X~N(µ,σ 2 ) f ( x µ ) 1 2 2σ ( x) = e 2 2πσ 2 Z~N(0,1) Standardizzazione f ( z) = 1 2π e 2 z 2 Per standardizzare devo stimare µ e σ 2 dal campione: µ x = Σx i O i ΣO i = σ 2 s 2 = Σ(x i -x) 2 O i (ΣO i )-1 = MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

63 Verifica dell adattamento ad una Distribuzione normale standardizzata distribuzione Normale Suddividere l intero campo di variazione in intervalli. E conveniente che il valore centrale sia un numero intero. 2. Calcolare la frequenza osservata in ogni classe z x a - x b (x a +x b )/ O i MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

64 3. Standardizzare usando l estremo superiore di ogni classe f ( z) = 1 2π e 2 z x a - x b (x a +x b )/2 O i z oo MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

65 4. Determinare la funzione cumulata I corrispondenza dei limiti superiori di ogni classe (per l ultima classe porre=1) x a - x b (x a +x b )/2 61 O i 5 z F i oo Usando le tavole MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

66 5. Per differenze determinare le frequenze attese relative π i F i F i-1 x a - x b (x a +x b )/2 O i z F i π i oo MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

67 6. Calcolare le frequenze attese π i O x a - x b20 (x a +x b )/2 O i z F i π i π i O oo MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

68 6. Confrontare le frequenze osservate e attese tramite il chi quadro χ 2 = Σ (O i π i O) 2 g π i O (5-4.55) 2 = 4.55 ( ) ( ) 2 ( ) (8-8.38) + 2 = Il numero di gdl è n.cat-3 = 5-3 = 2 Da excel: =DISTRIB.CHI(2.5094,2) P-value = Pr(χ 2 2 >0.777 sotto H 0 ) 0.67 > 0.05 MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION

69 Possiamo concludere che la differenza tra la distribuzione osservata e quella teorica (Normale di parametri µ=67.45 e σ=2.93) non è significativa MARTA BLANGIARDO TEST PER PROPORZION