Kangourou della Matematica 2007 finale nazionale italiana Mirabilandia, 7 maggio 2007

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1 LIVELLO ÉOLIER E1. (5 punti ) Il mio orologio digitale segna le 20:07. Quanto tempo deve trascorrere come minimo perché le stesse 4 cifre ricompaiano sull orologio, non necessariamente nello stesso ordine? E2. (7 punti ) Nel mio soggiorno, quadrato e piastrellato con 9 grandi piastrelle quadrate ho disposto, di sbieco come suggerito dal disegno, un tappeto quadrato. Prendendo come unità di misura dell area la superficie di una piastrella, qual è l area del tappeto? 1 unità E3. (11 punti ) nna ha un puzzle con gli otto pezzi che ti mostriamo in figura. D E F G ccostandone tre, vuole costruire un quadrato formato da 9 quadratini. In quanti modi diversi può operare la scelta dei tre pezzi? [Nel foglio per riportare le soluzioni troverai una quadrettatura per riportare i disegni che hai fatto per motivare la risposta a questo quesito.] H E4. (14 punti ) In una classe in cui ci sono almeno due maschi e due femmine, ogni ragazzo stringe una volta la mano a ogni ragazza. In totale sono state effettuate 65 strette di mano. Quanti sono gli allievi (senza distinguere tra maschi e femmine) di quella classe? E5. (18 punti ) Hai 4 gettoni tondi, 2 triangolari e 5 quadrati. Ogni volta che mi dai un tondo ed un triangolo io ti dò un quadrato un quadrato ed un triangolo io ti dò un tondo un tondo ed un quadrato io non ti dò alcun gettone nulla e queste sono le sole possibilità che hai di alterare la situazione. Rispondi alle seguenti domande. 1) Puoi rimanere con 5 quadrati? In che modo (o, in caso negativo, perché no)? 2) Puoi rimanere con un solo gettone? In che modo (o, in caso negativo, perché no)? 3) Puoi eliminare tutti i gettoni? In che modo (o, in caso negativo, perché no)? E6. (22 punti ) lcuni fra i numeri interi che hanno 6 come cifra delle unità hanno anche questa proprietà: se sposti la cifra 6 delle unità davanti alla prima cifra del numero, ottieni un nuovo numero che è il prodotto del numero di partenza per 4. Trova il più piccolo numero intero con questa proprietà. Trovane poi altri.

2 LIVELLO ENJMIN 1. (5 punti ) Se il parallelogramma D ha area 7 cm 2, e il triangolo E ha area 2 cm 2, quanto misura l area del triangolo DE in figura? D E 2. (7 punti ) Puoi appoggiare 15 monete uguali su un tavolo in modo che formino un triangolo equilatero (vedi figura), ma non puoi farlo in modo che formino un quadrato (manca una moneta). Qual è il minimo numero di monete con cui puoi formare sia un triangolo sia un quadrato? 3. (11 punti ) In una classe in cui ci sono almeno due maschi e due femmine, ogni ragazzo stringe una volta la mano a ogni ragazza. In totale sono state effettuate 91 strette di mano. Se i maschi sono meno delle femmine, quanti sono gli allievi maschi di quella classe? 4. (14 punti ) Reagendo tra loro, tre tipi di molecole X, Y e nti-x si comportano in questo modo: se una molecola di X incontra una di Y, si forma una molecola di nti-x che le sostituisce; se una molecola di nti-x incontra una di Y, si forma una molecola di X che le sostituisce; se una molecola di X e una di nti-x si incontrano, esse esplodono, spariscono e liberano energia. Naturalmente, nessuna molecola reagisce con molecole dello stesso tipo! Quattro molecole di X, due di Y e cinque di nti-x reagiscono tra loro in modo tale che alla fine rimane una molecola sola. Possiamo indovinare di quale tipo è? [ttenzione: se rispondi positivamente, devi mostrare che non si può attenere un altro risultato; in caso contrario, devi indicare due procedimenti ciascuno dei quali permetta di produrre una sola molecola e le due molecole prodotte siano diverse]. 5. (18 punti ) Il professore di educazione tecnica ha chiesto di costruire un triangolo di perimetro 27 cm, con questi requisiti: i lati devono misurare un numero intero di centimetri, le misure dei lati devono essere tre numeri tutti diversi tra loro. Quanti differenti triangoli possono consegnargli i suoi alunni, se consideri uguali due triangoli quando per ogni lato di uno dei due c è un lato dell altro che ha la stessa misura? 6. (22 punti ) Ho in tasca delle caramelle tutte diverse tra loro e il numero dei modi in cui posso sceglierne tre è il doppio del numero dei modi in cui posso sceglierne due. Quante caramelle ho in tasca?

3 LIVELLO DET 1. (5 punti ) In una classe in cui ci sono almeno due maschi e due femmine, ogni ragazzo stringe una volta la mano a ogni ragazza. In totale sono state effettuate 77 strette di mano. Quanti sono gli allievi (senza distinguere tra maschi e femmine) di quella classe? 2. (7 punti ) Le diagonali dividono il quadrilatero in figura in quattro triangoli; di tre di essi sono indicate le aree. Qual è l area del quarto triangolo (rispetto alla stessa unità di misura)? (11 punti ) onsidera i numeri interi da 1 a 25 compresi. Vuoi sceglierne alcuni in modo che la somma di due qualunque tra quelli che scegli non sia un multiplo di 3. Quanti numeri puoi scegliere al massimo? 4. (14 punti ) È possibile porre 21 piastrelle rettangolari, i cui lati misurano 1 cm e 3 cm, sopra una scacchiera 8x8 formata da quadrati di lato 1 cm in modo che non ci siano piastrelle sporgenti dalla griglia, né parzialmente sovrapposte? In caso di risposta affermativa mostra con un disegno come disporresti le piastrelle, in caso di risposta negativa spiega i motivi per cui non è possibile. [Nel foglio per riportare le soluzioni troverai una quadrettatura sottostante per riportare i disegni che hai fatto per motivare la risposta a questo quesito.] 5. (18 punti ) Una megalopoli ha la forma di un rettangolo di 20 km per 13 km; essa è divisa in zone quadrate di un chilometro di lato. La città è attraversata diagonalmente (quindi da un vertice al vertice opposto) da un fiume che immaginiamo rettilineo e filiforme; esso non può essere guadato, per cui sono necessari dei ponti. Il onsiglio omunale ha deliberato di costruire un ponte in ogni zona attraversata dal fiume. Quanti ponti è necessario costruire? ambierebbe qualcosa se le misure della città fossero 21 km e 12 km? Motiva le tue affermazioni. 6. (22 punti ) Quanto vale la somma delle prime sei cifre dopo la virgola della divisione per 7 di ?

4 LIVELLO JUNIOR J1. (5 punti ) onsidera i numeri interi da 1 a 25 compresi. Vuoi sceglierne alcuni in modo che la somma di due qualunque tra quelli che scegli non sia un multiplo di 3. Quanti numeri puoi scegliere al massimo? J2. (7 punti ) In un cono circolare retto il raggio del cerchio di base misura 3 cm e la generatrice 6 cm. Una formica vuole arrampicarsi sulla superficie laterale del cono dal punto sul cerchio di base al punto medio della generatrice opposta (vedi figura). Quanto misura il percorso più breve che può fare la formica? J3. (11 punti ) Il quadrato di un numero ab di 2 cifre finisce con le stesse cifre ab. Quanti e quali numeri hanno questa proprietà? J4. (14 punti ) Ho 52 carte su ciascuna delle quali è indicato un numero intero positivo e la somma di tutti i numeri indicati è un numero dispari. Gioco con un amico in questo modo: dopo aver messo tutte le carte in fila sul tavolo, uno rimuove una carta a un estremità della fila e poi passa la mano all altro che fa la stessa cosa; si itera finché non restano più carte sul tavolo. lla fine per ogni giocatore si sommano i numeri scritti sulle carte che ha scelto; vince chi ha le carte la somma dei cui numeri è maggiore. è una strategia vincente per chi inizia il gioco? In caso affermativo indicane una, in caso negativo fornisci una motivazione. J5. (18 punti ) Sette circonferenze poste in sequenza sono tangenti a due rette non parallele e sono tangenti esternamente la prima alla seconda, la seconda alla terza e così via. Se il raggio della più piccola è r e quello della più grande è R, quanto vale il raggio della terza? J6. (22 punti ) Un insieme S di numeri naturali positivi è detto poroso se è vuoto oppure non contiene tre interi consecutivi. Quanti sono i sottoinsiemi porosi dell insieme {1, 2, 3,, 10}?

5 LIVELLO STUDENT S1. (5 punti ) In un cono circolare retto il raggio del cerchio di base misura 3 cm e la generatrice 6 cm. Una formica vuole arrampicarsi sulla superficie laterale del cono dal punto sul cerchio di base al punto medio della generatrice opposta (vedi figura). Quanto misura il percorso più breve che può fare la formica? S2. (7 punti ) Ho 52 carte su ciascuna delle quali è indicato un numero intero positivo e la somma di tutti i numeri indicati è un numero dispari. Gioco con un amico in questo modo: dopo aver messo tutte le carte in fila sul tavolo, uno rimuove una carta a un estremità della fila e poi passa la mano all altro che fa la stessa cosa; si itera finché non restano più carte sul tavolo. lla fine per ogni giocatore si sommano i numeri scritti sulle carte che ha scelto; vince chi ha le carte la somma dei cui numeri è maggiore. è una strategia vincente per chi inizia il gioco? In caso affermativo indicane una, in caso negativo fornisci una motivazione. S3. (11 punti) Sia un qualunque triangolo le cui altezze relative ai vertici,, soddisfino rispettivamente le relazioni: h 3 cm, h 4 cm, h 5 cm. Quanti centimetri quadrati misura al minimo l area di? S4. (14 punti ) Quanto vale la somma delle prime ventuno cifre dopo la virgola della divisione per 7 di ? S5. (18 punti ) Un insieme S di numeri naturali positivi è detto poroso se è vuoto oppure non contiene tre interi consecutivi. Quanti sono i sottoinsiemi porosi dell insieme {1, 2, 3,, 10}? S6. (22 punti ) 2007 sacchetti numerati contengono ciascuno almeno 3000 monete. Le monete di ogni singolo sacchetto sono tutte uguali tra loro per peso e forma e sono contrassegnate con il numero del sacchetto. Escluso un sacchetto che contiene monete false, tutti gli altri contengono monete ufficiali. Le monete ufficiali hanno tutte lo stesso peso, diverso dal peso delle monete false: i due pesi non sono noti. Hai a disposizione una bilancia elettronica. Trova una strategia per stabilire con tre pesate qual è il sacchetto contenente monete false, mostrandone l efficacia.