B1.3 Analisi armonica del sistema biella-manovella

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1 .3 Analisi armonica del sistema biella-manovella Meccanica, Macchine ed Energia articolazione Meccanica e Meccatronica 3 Giuseppe Anzalone, Paolo Bassignana, Giuseppe Brafa Musicoro Copyright Ulrico Hoepli Editore S.p.A. poliglotta Componente armonica GB: Harmonic component F: Composante harmonique D: Teilschwingung richiamo La formula che pone in relazione la pulsazione con la frequenza è la seguente: ω = 2 π f. Lo studio che ha condotto alla formulazione approssimata della velocità (4Form. 1.6) e dell accelerazione del piede di biella (4Form. 1.7) è stato condotto utilizzando equazioni semplificate nelle quali sono stati trascurati alcuni termini. È pur sempre possibile sviluppare le derivate dello spostamento x, operando a partire dalla formulazione completa (4Form. 1.3), senza trascurare nessun fattore, onde ricavare formule esatte per la velocità e soprattutto per l accelerazione. Per ovviare alle difficoltà concettuali causate dalla presenza della radice quadrata all interno della parentesi tonda nella [1.3], è possibile sostituire la radice quadrata mediante uno sviluppo in serie di potenze. Poiché: λ sen ϑ è riconducibile alla seguente funzione generale: (1 + x) a in cui la variabile indipendente x è pari al prodotto (-λ 2 sen 2 ϑ) e l esponente a è pari a 1/2. Sviluppando (1 + x) a in serie di Mc Laurin e tralasciando i passaggi relativi allo sviluppo in serie e alle successive operazioni di derivazione, per i quali si rimanda a testi specialistici, si perviene alla seguente formulazione dell accelerazione del piede di biella: a p = ω 2 r(cos ϑ + A 2 cos 2 ϑ + A 4 cos 4 ϑ + A 6 cos 6 ϑ + A 8 cos 8 ϑ + ) in cui l angolo ϑ può essere sostituito con il prodotto della pulsazione ω per la variabile tempo t: a p = ω 2 r(cos ω t + A 2 cos 2 ω t + A 4 cos 4 ω t + + A 6 cos 6 ω t + A 8 cos 8 ω t + ) [1.10] L accelerazione del piede di biella si presenta in forma di serie, i cui termini sinusoidali sono detti componenti armoniche. Attraverso una rigorosa procedura matematica si è ottenuta la [1.10], che costituisce l espressione esatta per l accelerazione del piede di biella, le cui caratteristiche sono riportate di seguito. Essa si presenta sotto forma di somma di infinite funzioni coseno che differiscono fra loro per ampiezza e pulsazione. La prima delle funzioni coseno, avente ampiezza A 1 unitaria e pulsazione ω pari alla velocità angolare dell albero, è detta componente fondamentale o del primo ordine. La seconda delle funzioni coseno, avente ampiezza A 2 e pulsazione pari al doppio della velocità angolare dell albero, è detta componente del secondo ordine. La terza delle funzioni coseno, avente ampiezza A 4 e pulsazione pari al quadruplo della velocità angolare dell albero, è detta componente del quarto ordine; per le componenti di ordine superiore si procede 1

2 richiamo Lo studio delle frequenze proprie dei corpi è analizzato nella Unità didattica A1. utilizzando lo stesso principio, per cui si avranno componenti del sesto ordine, dell ottavo ordine e così via. Tranne la componente fondamentale, tutte le componenti armoniche hanno ordine pari: ciò si nota dal fatto che in esse la pulsazione ω è moltiplicata per un numero multiplo di 2. Le ampiezze A 2, A 4, A 6 sono dette coefficienti armonici e decrescono all aumentare dell ordine: A 2 > A 4 > A 6 > A 8 > Di norma solo i primi due termini hanno importanza nello studio dei fenomeni vibratori (specie nello studio dinamico del sistema biellamanovella), poiché l ampiezza delle componenti armoniche si riduce man mano che si prendono in considerazione gli ordini più elevati. Le armoniche di ordine elevato non sono tuttavia trascurabili, qualora una di esse risulti in fase con la frequenza propria di alcuni organi appartenenti al macchinario e che entrano in risonanza quando sono eccitati dalla componente con frequenza uguale a quella dell organo. L insieme delle frequenze delle diverse armoniche generate nel moto alterno del piede di biella, induce nei vari organi sottoposti a vibrazione uno stato di sollecitazione che causa l affaticamento della struttura. La formulazione semplificata dell accelerazione del piede di biella (4Form. 1.7) si ottiene dalla formulazione completa (4Form. 1.10), di cui rappresenta un caso particolare. È sufficiente prendere in considerazione i primi due termini della serie (4Form. 1.10), aventi ampiezze A 1 = 1 e A 2 = λ, per ottenere esattamente la [1.7]. Anche la forza d inerzia si presenta in forma di somma di infinite funzioni coseno; essa è ottenuta moltiplicando l accelerazione (4Form. 1.10) per la massa m p applicata nel piede di biella. Le componenti più importanti per l esecuzione del calcolo strutturale della biella sono la componente fondamentale e la componente di secondo ordine. Esempio Una pompa alternativa monocilindrica funziona a regime, alla frequenza di rotazione n = 1800 giri/min. Calcolare i valori delle pulsazioni relative alle componenti dell accelerazione al piede di biella del primo, del secondo, del quarto, del sesto e dell ottavo ordine. Soluzione Si calcola per prima la velocità angolare a cui corrisponde la pulsazione dell armonica fondamentale ω I : ω cui corrisponde la frequenza f I : I 2π n 2π 1800 = = = 188, f I I ω 188, 5 = = = 30 Hz 2π 2π La pulsazione della componente del secondo ordine vale il doppio rispetto rad s 2

3 a quella della componente fondamentale: ω cui corrisponde la frequenza f II : II I rad = 2ω = 2 188, 5 = 377 s Meccanica, Macchine ed Energia articolazione Meccanica e Meccatronica 3 Giuseppe Anzalone, Paolo Bassignana, Giuseppe Brafa Musicoro Copyright Ulrico Hoepli Editore S.p.A. f II II ω 377 = = = 60 Hz 2π 2π La pulsazione della componente del quarto ordine vale il doppio rispetto a quella del secondo: ω cui corrisponde la frequenza f IV : IV II rad = 2ω = = 754 f IV IV ω 754 = = = 120 Hz 2π 2π La pulsazione della componente del sesto ordine vale il sestuplo rispetto a quella della componente fondamentale: ω VI cui corrisponde la frequenza f VI : I = 6ω = 6 188, 5 = 1131 f VI VI ω 1131 = = = 180 Hz 2π 2π La pulsazione della componente dell ottavo ordine vale il doppio rispetto a quella del quarto: ω cui corrisponde la frequenza f VIII : = 2ω = = 1508 s rad s VIII IV rad f VIII VIII ω 1508 = = = 240 Hz 2π 2π Analisi sperimentale dell accelerazione del piede di biella È possibile effettuare il percorso inverso a quello della somma delle componenti armoniche appena descritto, grazie al teorema formulato dal matematico Jean Baptiste Fourier, per il quale: una qualsiasi funzione periodica, non importa quanto complessa, può essere decomposta nella somma di un numero infinito di componenti sinusoidali, aventi diverse ampiezze e con le frequenze correlate fra loro. s 3

4 poliglotta Spettro delle frequenze GB: Frequency spectrum F: Spectre de fréquences D: Frequenzspektrum richiamo Le apparecchiature in grado di scomporre un segnale di natura acustica o vibrazionale nelle sue componenti armoniche sono dette Sound Intensity Analyzer o Fast Fourier Transformer (FFT). Fig. 1.7 Analisi spettrografica dell accelerazione del piede di biella: a) schema teorico; b) risultato sperimentale. poliglotta Vibrazione GB: Vibration F: Vibration D: Schwingung L insieme delle componenti armoniche di una vibrazione costituisce lo spettro delle frequenze. Osservazione: su questo principio si basano i rilevamenti sperimentali eseguiti applicando accelerometri su macchinari vibranti, allo scopo di prelevare segnali proporzionali all accelerazione complessiva; tale segnale viene amplificato e inviato ad apparecchiature in grado di decodificarlo e scomporlo nelle sue componenti armoniche. È possibile rappresentare lo spettro riportando le ampiezze delle componenti su un grafico, in cui sull asse delle ascisse sono indicate le frequenze, anziché il tempo o l angolo di rotazione; pertanto il grafico in dominio di tempo diventa un grafico in dominio di frequenza, evidenziando il valore dell ampiezza di ciascuna componente armonica. Nella figura 1.7a si riporta lo spettro in dominio di frequenza per l accelerazione del piede di biella, in cui sono state prese in considerazione le componenti fino al quarto ordine. Il grafico indicato nella figura 1.7b corrisponde a un rilievo sperimentale con l accelerometro posto, per esempio, sulla testata di un motore monocilindrico in funzione, dotato quindi di un solo meccanismo biella-manovella; anche in questo caso sono stati riportati i contributi delle componenti comprese tra il primo e il quarto ordine. Dal confronto fra i due grafici, rispettivamente teorico e sperimentale, tracciati nella figura 1.7, emergono diverse considerazioni: si conferma il ruolo preponderante svolto dall armonica fondamentale e, in percentuale minore, da quella del secondo ordine; l ampiezza dall armonica fondamentale e quella del secondo ordine stanno fra loro nel rapporto λ; gli spettri indicano il decadere dei contributi delle funzioni al crescere del loro ordine, soprattutto per gli ordini superiori al secondo; le ampiezze rilevate per via sperimentale sono di poco superiori a quelle teoriche: ciò è dovuto alle componenti vibrazionali generate all atto della combustione, che si propagano attraverso la struttura e che vengono percepite dal sensore e poi trasmesse lungo la catena di misura; lo spettro rilevato per via sperimentale evidenzia anche la presenza delle ampiezze di ordine dispari, seppure di bassa entità: anche queste sono generate dalla combustione. 4

5 richiamo I motori a V, aventi l angolo fra le due bancate pari a 60, sono detti motori a V stretto o a V scalato (4Fig.1.28). Fig Imbiellaggio per: a) motore bicilindrico a V di 90 ; b) motore bicilindrico contrapposto; c) motore bicilindrico boxer, di produzione BMW. Motori e compressori con cilindri a V e contrapposti La ripartizione dei cilindri a V consiste nello sdoppiamento del basamento in due bancate parallele e inclinate; il numero dei cilindri viene suddiviso a metà per ciascuna bancata. Tale architettura è molto diffusa quando è presente un elevato numero di cilindri (per esempio nei motori con otto e più cilindri), mentre è meno diffusa nei motori a due e a sei cilindri. Il vantaggio che ne deriva consiste essenzialmente nel contenimento dell ingombro longitudinale dell albero e del motore in generale. Infatti la lunghezza di un basamento formato da un certo numero di cilindri in linea è pari alla somma degli alesaggi di ciascun cilindro più gli spessori di parete fra un cilindro e l altro. Suddividendo i cilindri alternativamente su due bancate affiancate si ottiene una macchina di forma più compatta: infatti all aumento delle dimensioni trasversali segue una riduzione di ingombro longitudinale, poiché le due bancate sono affiancate e ciascuna occupa circa la metà della lunghezza del basamento unico. A questo punto è opportuno montare due bielle per manovella, collegate con pistoni operanti il primo in una bancata, il secondo nell altra; in tal modo si sono ridotti sia l ingombro in longitudinale del basamento sia la lunghezza complessiva dell albero; l angolo fra le due bancate è scelto fra pochi valori, principalmente 60, 90 e 120. Nei motori bicilindrici a V l albero a gomiti presenta una sola manovella su cui sono montate affiancate entrambe le bielle, consentendo di ottenere una buona riduzione degli ingombri in senso assiale unitamente a un elevata rigidezza torsionale (4Fig.1.25a). Si tratta di un architettura adottata frequentemente sia nei motori motociclistici sia nei compressori. Con riferimento allo schema rappresentato nella figura 1.25a è possibile notare la presenza di un abbondante contrappeso, il cui asse di simmetria è in linea con l asse del cilindro destro, proprio quando il pistone 5

6 Fig Compressore bicilindrico a V di 90, modello XLE, di produzione Ingersoll-Rand. destro si trova al PMS. Quest ultimo è dimensionato in modo da controbilanciare al 100% sia la forza alterna del primo ordine, agente sul pistone destro, sia la forza centrifuga dell albero. Nella suddetta configurazione, inoltre, il pistone sinistro si trova esattamente a metà della sua corsa, e la sua forza alterna del primo ordine vale 0. Eseguendo una rotazione oraria di 90 le parti si invertono; il pistone destro si trova a metà corsa (quindi la sua forza alterna del primo ordine è nulla); il pistone sinistro si trova al PMI, pertanto la forza alterna del primo ordine è massima ma del tutto controbilanciata dal contrappeso: in questa seconda configurazione esso si dispone con l asse di simmetria allineato all asse del cilindro sinistro. Si può affermare che adottando l architettura a due cilindri a V di 90 mediante contrappesatura si ottiene la completa equilibratura delle forze alterne del primo ordine. Un interessante variante consiste nell aumentare l angolo fra i due cilindri fino a 180, così che le loro posizioni siano contrapposte. L albero a gomiti è ora formato da due manovelle pure contrapposte, in modo che entrambi i pistoni giungano contemporaneamente al PMS, condizione necessaria per il funzionamento regolare dei bicilindrici a quattro tempi (4Fig.1.25b). L albero a gomiti è analogo a quello impiegato nelle pompe e nei compressori. Nella figura 1.25c è riportata la vista in elevazione del motore motociclistico bicilindrico contrapposto R 1100 S, di produzione BMW, in cui è posto in evidenza il pistone destro al PMS e un contrappeso a mannaia: tale contrappeso più un secondo ribaltato di 180 servono per assicurare l equilibratura dinamica dell albero (4Fig.1.18b). Nella figura 1.26 è riportato il compressore modello XLE, di produzione Ingersoll-Rand, avente due cilindri a

7 Fig Cilindri a V: a) compressore tricilindrico a W, di produzione Ingersoll-Rand; b) motore quadricilindrico Honda a V di 90. poliglotta Imbardata, beccheggio GB: Yaw, pitch F: Lacet, galop D: Gieren, Stampfen Si possono osservare le valvole (1), il pistone (2), il passaggio dell aria proveniente dal primo stadio (3), l interrefrigeratore (4), il vano separatore di condensa (5), due intercapedini di passaggio dell acqua di raffreddamento (6), la flangia di fissaggio del cilindro di alta pressione all incastellatura (7), la superficie di scorrimento della testa a croce in materiale antifrizione (8) e l indicatore del livello dell olio (9). Nella figura 1.27a è raffigurato il compressore modello T 30, di produzione Ingersoll-Rand, avente tre cilindri a doppia V: tale soluzione è detta a W. Poco diffusa è la soluzione a quattro cilindri a V, usata su alcuni modelli motociclistici, come riportato in sezione nella figura 1.27b, in cui sono posti in evidenza i pistoni e le bielle della prima manovella, orientati fra loro a 90, dietro ai quali vi sono le due cascate di ingranaggi, una per bancata, di comando delle due coppie di assi a camme della distribuzione. La soluzione a V trova un vasto campo di applicazione nei motori a sei cilindri. Nell esempio illustrato nella figura 1.28 l albero motore ha sei manovelle orientate fra loro a 60, presentandosi come un doppio motore tricilindrico simmetrico: pertanto quando un pistone di una bancata giunge al PMS, anche nell altra bancata si ha un pistone al PMS. Questa proprietà rende la successione delle combustioni molto regolare, tuttavia, venendo a mancare il piano mediano di simmetria, nasce uno squilibrio nelle coppie centrifughe. In tal modo sorgono due momenti squilibrati: il primo è orientato secondo un asse verticale che determina un moto vibratorio di imbardata; il secondo è orientato sull asse orizzontale, perpendicolare all asse dell albero motore, che determina un moto vibratorio di beccheggio, per la cui equilibratura si deve ricorrere alle contrappesature. 7

8 Fig Motore Duratec V6 da 2544 cc di produzione Ford: a) sezione trasversale; b) vista in esploso con il basamento a V, l albero motore e i semigusci, il sottobasamento e la coppa dell olio. Fig Albero a gomiti a otto cilindri a V, di 90 per un motore a quattro tempi: a) schema; b) vista frontale. Nei motori a otto, dieci, dodici e più cilindri l architettura a V permette di dimezzare il numero di manovelle: per esempio, nei motori a otto cilindri l albero motore si presenta con solo quattro manovelle orientate fra di loro a 90, con due bielle su ciascun perno di manovella, realizzando un ingombro longitudinale notevolmente ridotto (Figg e 1.29). Osservazione: nel caso del motore 8V la numerazione prevede che, osservando il motore dal lato della puleggia, il cilindro 1 sia il primo della bancata sinistra e che il cilindro 5 sia il primo della bancata destra. Anche nel motore 8V sono presenti due momenti squilibrati: il primo è orientato secondo un asse verticale, mentre il secondo è orientato secondo un asse orizzontale, perpendicolare all asse dell albero motore, per la cui equilibratura è necessario ricorrere alle contrappesature. Osservazione: l architettura a otto cilindri a V di 90 è usata anche per le auto da competizione, come per esempio la monoposto Ferrari 248 F1 di Formula 1, destinata a disputare il campionato 2006: il motore ha una cilindrata di 2398 cc, ha 32 valvole ed eroga una potenza di circa 720 CV. Nella figura 1.30 sono riportate le sezioni longitudinale e trasversale del motore automobilistico 8V a 90 a ciclo Otto, di produzione Daimler Benz, che equipaggia l autovettura Mercedes 300. In particolare è possibile osservare l albero a gomiti cruciforme (22), la biella (21), il pistone (49) e il basamento (17). 8

9 Fig Motore M119 per l autovettura Mercedes 300: a) sezione longitudinale; b) sezione trasversale (archivio Mercedes-Benz). Si riportano i seguenti dati tecnici: ciclo di lavoro: iniezione di benzina a quattro tempi; potenza nominale: KAT 240 kw/326 CV (normativa 80/1269/CEE); coppia nominale: KAT 480 N m (normativa 80/1269/CEE); numero dei cilindri: 8 rapporto alesaggio/corsa: 96,5/85,0 mm; cilindrata totale effettiva: 4973 cm 3. 1 Occhio di sospensione 2 Dispositivo di regolazione albero a camme 3 Catena a rulli doppia 4 Coperchio testa cilindri 5 Cappuccio candela 6 Filtro aria 7 Albero a camme agente sulle valvole di scarico 8 Albero a camme agente sulle valvole di aspirazione 9 Valvola di aspirazione 10 Valvola di scarico 11 Distributore carburante 12 Regolatore di pressione carburante 13 Tiranteria di regolazione 14 Valvola d iniezione 15 Tubo di mandata acqua di riscaldamento Ritorno acqua di riscaldamento 17 Basamento 18 Anello di tenuta 19 Cappello cuscinetto di banco 20 Corona dentata del volano 21 Biella 22 Albero motore 23 Interruzione indicazione livello olio 24 Valvola di sovrappressione olio 25 Pompa olio 26 Smorzatore di vibrazioni 27 Catena a rulli singola (azionamento pompa olio) 28 Ventilatore a giunto viscoso 29 Pompa acqua 30 Ventilatore 31 Distributore alta tensione 32 Manicotto entrata acqua Canale olio 34 Bocchettone dell olio 35 Tubo di aspirazione 36 Misuratore masse d aria a filo caldo (HLM) 37 Tubazione ricircolo gas di scarico 38 Parte inferiore tubo di aspirazione 39 Supporto albero a camme 40 Punteria idraulica 42 Collettore di scarico 42 Canale principale olio 43 Supporto motore 44 Foro di compensazione della pressione 45 Asta controllo livello olio 46 Trasduttore di pressione 47 Tubo radiatore olio 48 Filtro olio 49 Pistone 50 Testa cilindri 9

10 Fig Imbiellaggio completo per il motore 8V dell autovettura Ferrari, modello 360 Modena (per cortesia Ferrari Image Service). Fig Motore a 12 cilindri a V a 60, per l autovettura Ferrari F 50 (per cortesia Ferrari Image Service): a) albero a gomiti; b) imbiellaggio completo. In diverse applicazioni, per ragioni di semplicità di lavorazione e di elevata rigidità, l albero motore degli 8V presenta le quattro manovelle complanari, esattamente come nel caso del motore quadricilindrico: questa è la soluzione adottata in molti motori Ferrari 8V di 90, come il motore dell autovettura modello 360 Modena, il cui albero è riportato nella figura Nella figura 1.32 sono riportate due immagini dell albero del motore a 12 cilindri a V di 60, dell autovettura Ferrari F 50. L albero presenta sei manovelle e sette supporti ed è analogo all albero di un motore a quattro tempi a sei cilindri in linea, illustrato nella figura

11 Fig Sezione trasversale del motore della vettura FERRARI 458 Italia (per cortesia Ferrari Image Service). richiamo Il sistema formato da alberi ausiliari rotanti è detto Lanchester Harmonic Balancer, dal nome dell inventore. Nella figura 1.33 è riportata la sezione del motore della vettura Ferrari 458 Italia. La vettura è una berlinetta a due posti che monta un motore 8V di 90 in posizione posteriore/longitudinale. Il motore ha la cilindrata di 4499 cc e sviluppa la potenza massima di 570 CV alla frequenza di rotazione di 9000 giri/min. La coppia massima vale 540 Nm al regime di 6000 giri/min. Equilibratura mediante alberi ausiliari contrappesati L evoluzione raggiunta dalla tecnica motoristica nel corso degli anni Ottanta e Novanta ha consentito di raggiungere regimi di rotazione sempre più elevati, in modo da ottenere elevate prestazioni da cilindrate minori e con architetture semplificate come lo schema a quattro cilindri e a quattro tempi. L aumento dei regimi di potenza massima ha richiesto l esecuzione di interventi volti al miglioramento del comfort e dell affidabilità degli organi, costringendo all adozione di misure di contenimento delle vibrazioni emesse dal motore e in particolare dagli organi alterni. Relativamente ai problemi legati all equilibratura del motore a quattro cilindri, il principale difetto consiste nello squilibrio delle forze alterne del secondo ordine. La soluzione adottata da molti costruttori consiste nel realizzare dei contrappesi rotanti a velocità doppia rispetto a quella dell albero motore, sistemando all interno del basamento due alberi paralleli all albero motore, ma rotanti a velocità doppia. Tali alberi sono muniti di masse 11

12 eccentriche, generando forze centrifughe rotanti in grado di controbilanciare gli effetti delle forze alterne squilibrate del secondo ordine. Il principio di funzionamento è illustrato nella figura Meccanica, Macchine ed Energia articolazione Meccanica e Meccatronica 3 Giuseppe Anzalone, Paolo Bassignana, Giuseppe Brafa Musicoro Copyright Ulrico Hoepli Editore S.p.A. Fig Sistema di equilibratura delle forze alterne d inerzia del secondo ordine mediante alberi ausiliari: a) pistone al PMI; le masse degli alberi ausiliari sono rivolte verso il basso; b) manovella a 45 ; le masse degli alberi ausiliari sono orizzontali; c) manovella a 90 ; le masse degli alberi ausiliari sono rivolte verso l alto; d) manovella al PMI; le masse degli alberi ausiliari sono rivolte verso il basso. richiamo L albero ausiliario rotante nello stesso verso dell albero motore è detto corotante, quello rotante in verso opposto è detto controrotante. Due alberi gemelli, che portano ciascuno una massa eccentrica, ruotano a velocità doppia rispetto all albero motore, il primo nello stesso senso dell albero motore, mentre il secondo in senso opposto. Quando il pistone è al PMS, i due contrappesi sono rivolti verso il basso, con le due forze centrifughe pari ciascuna alla metà della forza alterna d inerzia del secondo ordine: le tre forze appaiono quindi in equilibrio (4Fig.1.34a). Quando l albero motore ha compiuto una rotazione di 45, la forza alterna d inerzia del secondo ordine è nulla (4Fig.1.34b); i due alberi ausiliari hanno compiuto una rotazione di 90, dato che ruotano a velocità doppia; le due masse eccentriche si trovano in posizioni opposte, per cui le due forze centrifughe risultano opposte. Facendo compiere all albero motore altri 45, il pistone ha effettuato circa metà corsa in discesa, mentre la forza alterna d inerzia del secondo ordine è orientata verso il basso, avendo raggiunto il suo valore massimo negativo: le due masse centrifughe hanno compiuto un altro mezzo giro e si trovano ora rivolte verso l alto, equilibrando il sistema (4Fig.1.34c). 12

13 Fig Motore a quattro cilindri munito di due alberi ausiliari per l equilibratura della forze alterne d inerzia del secondo ordine. Si analizza infine la configurazione in cui il pistone è al PMI: dopo una rotazione complessiva di 180, la forza alterna d inerzia del secondo ordine ha compiuto un ciclo completo, raggiungendo di nuovo il valore massimo positivo; anche gli alberi ausiliari hanno compiuto una rotazione completa, per cui i due contrappesi sono di nuovo rivolti verso il basso: le tre forze pertanto si annullano (4Fig.1.34d). Nella figura 1.35 viene illustrato il montaggio e l azionamento mediante cinghia bidentata dei due alberi ausiliari. Si noti come i due alberi ausiliari sono posizionati ad altezza diversa rispetto all albero motore, allo scopo di generare anche una coppia di riequilibrio, per annullare l effetto rollio dovuto alle spinte laterali dei pistoni sulle pareti. Nei motori monocilindrici e bicilindrici spesso si ricorre alla pratica dell albero controrotante singolo per bilanciare gli squilibri del primo ordine: in tal modo, malgrado la complicazione costruttiva introdotta, si opera un alleggerimento della contrappesatura dell albero motore, riducendo le inerzie dell imbiellaggio e gli ingombri radiali. La figura 1.36 riporta due immagini del motore Rotax V 990, che equipaggia la moto Aprilia RSV Si tratta di un motore bicilindrico a V stretto di 60, con due assi a camme per ciascuna testata. È possibile osservare lo schema della trasmissione del moto dall albero motore ai quattro assi a camme, mediante due catene, una anteriore e una posteriore, con interposto un ingranaggio riduttore con rapporto 2:1. Anche il moto dell albero controrotante laterale di equilibrio delle forze alterne del primo ordine viene trasmesso da un ingranaggio, in questo caso con rapporto 1:1 (4Fig.1.36b). 13

14 Fig Motore bicilindrico Rotax V 990, con un albero ausiliario per l equilibratura della forze alterne d inerzia del primo ordine: a) vista a motore semismontato; b) schema della trasmissione del moto agli organi interni. Si osserva inoltre la parte di propulsore su metà basamento con in primo piano, da sinistra verso destra, la trasmissione primaria, l albero motore a gomito unico, con le due bielle e con il contrappeso a mannaia; sulla destra è collocato l albero controrotante con il suo contrappeso in evidenza (4Fig.1.36a). Il motore bicilindrico Twin-Air che equipaggia la vettura Fiat 500 presenta le due manovelle allineate, secondo lo schema già descritto nella figura Esso ha l albero motore in ghisa con quattro contrappesi (anziché un unico contrappeso centrale a mannaia, come raffigurato nella figura 1.17) e poggia su tre supporti di banco. All estremità dell albero lato volano si osserva la presenza di una ruota dentata (4Fig. 1.37a) che ingrana con la rispettiva ruota compagna posta sull albero controrotante, con rapporto di trasmissione unitario: l albero controrotante ruota quindi alla stessa velocità dell albero motore ma in senso opposto (4Fig. 1.37b); tale albero porta due masse eccentriche di estremità (4Fig. 1.37c) per equilibrare le forze alterne del primo ordine che, per la [1.9], su un singolo pistone valgono F i I = m P ω 2 r cos ϑ. 14

15 Fig Albero motore e albero controrotante del motore Twin Air (FPT Fiat Powertrain Technologies); a) vista dell albero motore con in evidenza i supporti di banco (1), i perni di biella (2) e il semianello di rasamento per la regolazione del gioco assiale; b) schema dell insieme formato dall albero motore (3) con relativo imbiellaggio e dall albero controrotante (1) con le sue masse di bilanciamento (2); c) albero controrotante con in evidenza le masse eccentriche a mannaia. Fig Contrappesatura di una maschetta dell albero a gomiti del motore Twin Air e scomposizione della forza centrifuga parziale F mc applicata sul singolo contrappeso; in figura compare anche la forza alterna del primo ordine F i I applicata nel piede di biella P Da notare come l albero controrotante sia stato dimensionato per equilibrare le forze alterne del primo ordine solo al 50%, mentre il restante 50% viene equilibrato dai quattro contrappesi presenti sull albero motore: ne consegue che i quattro contrappesi assolvono alla duplice funzione di equilibrare sia le forze centrifughe sia le forze d inerzia del primo ordine, ma quest ultime solo al 50%. In altri termini, è come se ciascun contrappeso fosse formato da due masse contigue, una per bilanciare le forze centrifughe, l altra per equilibrare parte delle forze alterne d inerzia del primo ordine. La maggiorazione così ottenuta ha come conseguenza la migrazione del baricentro al di fuori dell asse di rotazione, con la conseguente perdita dell equilibratura statica, perdita che tuttavia viene compensata dal benefico effetto di bilanciare parzialmente le forze d inerzia: questa soluzione è detta sovraequilibratura. Nello schema delle forze rappresentato nella figura 1.38 si nota la presenza della forza alterna del primo ordine F i I applicata sul piede di biella con direzione assiale e della quota parte della forza centrifuga che si origina nel contrappeso, destinata esclusivamente a equilibrare la forza alterna: questa quota parte è indicata con la sigla F mc ; tale forza parziale, concentrata nel baricentro del singolo contrappeso, può essere scomposta in due componenti, di cui una assiale di valore F a = m c ω 2 r c cos ϑ, orientata in figura verso destra, l altra normale all asse, di valore Fn = m c ω 2 r c sen ϑ. Scegliendo opportunamente la geometria del contrappeso, si ha che F a = ¼ F i I e ricordando che i contrappesi sono due per ogni manovella, si è ottenuta l equilibratura al 50% della forza alterna d inerzia del primo ordine. 3 15

16 richiamo L operazione di disaccoppiamento comporta un grosso vantaggio dal punto di vista del comfort vibrazionale, essendo i tamponi in gomma molto più rigidi in verticale (nella direzione del peso e dei sobbalzi della vettura) che in orizzontale. Pertanto l effetto di filtraggio di una vibrazione orizzontale risulta molto più efficace. Fig Motore a tre cilindri in linea orizzontali, modello BMW K 75, con un albero ausiliario per l equilibratura delle coppie causate dalle forze alterne d inerzia del primo ordine. Osservazione: si noti come la funzione cosϑ compaia in entrambe le formule, in quella della F i I come pure in quella della F a : da ciò si deduce che l equilibratura apportata dai contrappesi si realizza con un effetto continuativo e costante, cioè, sempre al 50% di F i I per qualunque valore istantaneo dell angolo ϑ di rotazione dell albero. La componente normale F n evidenziata nella figura 1.38 non prende parte in alcun modo al fenomeno dell equilibratura. Pertanto risulta totalmente squilibrata e va a scaricarsi sui tamponi in gomma della sospensione del motopropulsore, come già visto in precedenza nella figura 1.4 in cui il motore è montato su vettura con l asse del cilindro verticale. In tale caso, la condizione di squilibrio dovuto alle forze alterne assiali verticali, destinata a scuotere il motopropulsore in verticale, nel senso della gravità, è stata ruotata di 90 ed ora agisce in senso orizzontale: questo effetto è noto come disaccoppiamento. Nella figura 1.39 si possono osservare diversi organi interni del motore K 75, di produzione BMW, tra cui l albero motore a tre cilindri e l albero controrotante laterale, per equilibrare le coppie dovute alle forze alterne del primo ordine. Questa soluzione consente di raggiungere un livello elevato di equilibratura complessiva. 16

17 L Unità didattica in breve b1 Velocità e accelerazione del piede di biella Meccanica, Macchine ed Energia articolazione Meccanica e Meccatronica 3 Giuseppe Anzalone, Paolo Bassignana, Giuseppe Brafa Musicoro Copyright Ulrico Hoepli Editore S.p.A. Il sistema biella-manovella è un meccanismo articolato che trasforma il moto alternativo in rotatorio o viceversa. Esso è costituito dalla manovella di lunghezza r e dalla biella di lunghezza l; i punti principali sono il bottone di manovella B, il piede di biella P e i punti estremi della corsa, detti punto morto superiore PMS e punto morto inferiore PMI. Il sistema biella-manovella viene descritto inoltre dalle seguenti grandezze cinematiche: lo spostamento x del piede di biella, quotato a partire dal PMS; l angolo β formato dall asse della biella con l asse del cilindro; l angolo ϑ, corrispondente allo spostamento angolare della manovella. Il parametro λ, detto lunghezza ridotta della biella, è pari al rapporto fra il raggio r di manovella e la lunghezza l della biella. Nelle macchine motrici il sistema biella-manovella trasforma la forza di compressione F g, agente sulla biella, in momento motore agente sull albero; tale forza è costituita dalla pressione p esercitata dai gas in combustione, moltiplicata per l area di base del cilindro di alesaggio A. Nelle macchine operatrici il momento motore M che agisce sull albero e proviene da un motore esterno si trasforma in forza motrice agente alla base della biella, destinata a trasformarsi a sua volta in pressione sul fluido in pompaggio. La forza esercitata dai gas F g viene scomposta in due componenti: la componente F b si scarica lungo la biella sul bottone di manovella B; la componente F n, normale all asse del cilindro, si scarica sul basamento. Per determinare la velocità v p del piede di biella si esegue la derivata dello spazio x rispetto all angolo di manovella e la si moltiplica per la velocità angolare. La velocità media v m è proporzionale alla corsa e alla frequenza di rotazione: in campo motoristico essa assume valori compresi tra 8 20 m/s. Per determinare l accelerazione si esegue la derivata della velocità del piede di biella rispetto alla variabile angolare, moltiplicata per la velocità angolare. Conviene semplificare la formula della velocità trascurando i termini meno influenti sul risultato: in tal caso la velocità e l accelerazione sono costituite dalla somma di due funzioni trigonometriche, di cui la prima ha pulsazione ω, mentre la seconda ha pulsazione 2 ω, essendo la pulsazione ω pari alla velocità angolare dell albero. La sinusoide con pulsazione ω è detta componente armonica fondamentale, o del primo ordine; la sinusoide con pulsazione doppia, pari a 2 ω, è detta componente armonica del secondo ordine; è possibile ottenere la risultante sommando punto a punto le due sinusoidi. Forze alterne d inerzia del primo e del secondo ordine Per calcolare la forza alterna d inerzia agente sul piede di biella si moltiplica l accelerazione a p del piede di biella per la massa m p applicata nel piede medesimo. La forza così trovata ha andamento periodico, è costante come direzione (orientata secondo l asse x), alterna come verso 17

18 e varia periodicamente come ampiezza. Adottando la procedura di calcolo semplificata, tale forza può essere considerata come la somma di due componenti: una forza alterna F i I del primo ordine e una forza alterna F i II del secondo ordine. Nel tempo in cui la manovella compie una rotazione, la forza del primo ordine compie un onda completa, mentre la forza del secondo ordine ne compie due, poiché ha pulsazione doppia. Analisi armonica del sistema biella-manovella Eseguendo la derivata della velocità del piede di biella, senza trascurare nessun fattore, e servendosi dello strumento matematico dello sviluppo in serie di Mc Laurin si perviene alla formulazione esatta e completa dell accelerazione del piede di biella in serie, i cui termini sinusoidali sono detti componenti armoniche. L accelerazione è pari a una somma di infinite funzioni coseno che differiscono fra loro per ampiezza e pulsazione. La prima delle funzioni coseno, avente ampiezza A 1 e pulsazione ω pari alla velocità angolare dell albero, è detta componente fondamentale o del primo ordine. La seconda delle funzioni coseno, avente ampiezza A 2 e pulsazione pari al doppio della velocità angolare dell albero, è detta componente del secondo ordine. La terza delle funzioni coseno che compare nello sviluppo in serie, avente ampiezza A 4 e pulsazione pari al quadruplo della velocità angolare dell albero, è detta componente del quarto ordine; per le componenti di ordine superiore si procede utilizzando lo stesso principio, per cui si avranno componenti del sesto ordine, dell ottavo ordine e così via. Tranne la componente fondamentale, tutte le componenti armoniche hanno ordine pari. Il rilievo sperimentale della vibrazione dovuta al sistema biella-manovella conferma quanto trovato per via teorica. Lo spettro delle frequenze è un grafico su cui sono riportate le am piez ze delle componenti, in funzione delle frequenze ricavate mediante l analisi armonica. Equilibratura del sistema biella-manovella Attraverso l albero a gomito, detto anche albero a manovelle, la biella scambia la forze motrici con l esterno; esso è formato da campate in numero proporzionale al numero dei cilindri. La campata è costituita da due bracci di manovella paralleli, detti maschette, e da un perno di manovella parallelo all asse di rotazione, sul quale è montata la testa di biella. Le campate possono essere fra loro adiacenti oppure separate da un perno, detto perno di banco, coassiale con l asse di rotazione dell albero. Ogni perno di banco poggia su un supporto di banco con interposto un cuscinetto di strisciamento. Il bloccaggio dell albero sui supporti avviene mediante ponticelli muniti di semigusci, detti cappelli di banco. Nei motori endotermici l angolo di orientamento fra le manovelle è scelto in modo da distribuire simmetricamente le masse, regolarizzando la coppia motrice e ottenendo la successione delle fasi utili nei cilindri con 18

19 intervalli uguali. Nelle macchine operatrici è fondamentale distribuire le masse con regolarità. Nei motori bicilindrici a quattro tempi le manovelle sono orientate a 360 ; nei compressori e nelle pompe bicilindriche e nei motori quadricilindrici a quattro tempi le manovelle sono orientate a 180. Un albero rotante è detto già di per sé staticamente (dinamicamente) equilibrato se non necessita dell aggiunta di contrappesi per raggiungere lo stato di equilibratura statica (dinamica). Si raggiunge l equilibratura dinamica di un corpo rotante nel caso in cui la risultante dei momenti dovuti alle forze centrifughe, riferiti a un punto qualunque dell asse, risulti uguale a 0. Un albero è in condizione di equilibratura dinamica se, essendo già equilibrato staticamente, ammette un piano di simmetria perpendicolare all asse di rotazione. Ciò è ottenuto automaticamente sia per l albero a gomito a una sola manovella sia per l albero del motore bicilindrico a quattro tempi. L albero a gomito del motore bicilindrico a due tempi ha le forze centrifughe uguali, parallele e con versi opposti, formanti una coppia; pertanto, per equilibrare tale coppia occorre applicare due contrappesi. Per quanto concerne l equilibratura delle forze alterne d inerzia vale la seguente regola: nessuna delle due componenti alterne d inerzia può essere completamente equilibrata con la sola applicazione di contrappesi sull albero a gomito. Bilanciando la forza alterna d inerzia del primo ordine mediante contrappeso si crea uno squilibrio agente in senso perpendicolare all asse della corsa. Nella maggioranza dei casi, infatti, è preferibile raggiungere solo un equilibratura parziale della forza alterna d inerzia del primo ordine. Fra le infinite componenti armoniche, la forza alterna del secondo ordine, avente frequenza doppia rispetto alla frequenza dell albero, per essere equilibrata richiede una forza opposta rotante a velocità doppia rispetto a quella dell albero motore. Da queste considerazioni derivano le seguenti regole: né le forze né le coppie del secondo ordine sono equilibrabili parzialmente attraverso contrappesi posti sull albero a gomito; non è possibile formulare relazioni fra lo stato di equilibratura dell albero e quello delle forze e delle coppie del secondo ordine. Esistono comunque alcuni tipi di imbiellaggi completamente equilibrati come forze alterne del primo e del secondo ordine, senza dovere ricorrere a contrappesi o a altri dispositivi, come l imbiellaggio a sei cilindri per motori a quattro tempi. Si esegue lo studio dell equilibratura dei carichi alterni tracciando un diagramma circolare: se la distribuzione dei raggi che rappresentano le forze di uno stesso ordine presenta una simmetria, si deduce che la somma vettoriale delle forze è pari al vettore nullo e la macchina risulta equilibrata relativamente a quell ordine specifico. Gli alberi motore a due cilindri e a quattro tempi sono squilibrati sulle forze alterne e centrifughe; gli alberi motore a quattro cilindri e a quattro tempi sono squilibrati sulle forze alterne del secondo ordine: tale squilibrio viene annullato ricorrendo a una coppia di alberi ausiliari, uno controrotante e uno corotante, che ruotano a velocità doppia di quella dell albero. Gli alberi motore a cinque cilindri sono invece equilibrati sulle forze alterne del primo e del secondo ordine. 19

20 PROBLEMI DI RIEPilogo b1 1. Calcolare l angolo di orientamento delle manovelle per un motore a sei cilindri a due tempi. Meccanica, Macchine ed Energia articolazione Meccanica e Meccatronica 3 Giuseppe Anzalone, Paolo Bassignana, Giuseppe Brafa Musicoro Copyright Ulrico Hoepli Editore S.p.A. 2. La lunghezza della biella misurata fra l asse del piede e l asse della testa per il motore a quattro cilindri e a quattro tempi, modello M41 di produzione BMW, vale l = 130 mm. La corsa vale C = 82,8 mm. Ipotizzando che la pressione dei gas valga p = 10 bar quando la biella e la manovella sono in quadratura, calcolare il momento motore istantaneo nella suddetta configurazione. 3. Calcolare il tratto di corsa, misurato a partire dal PMS, descritto dal piede di biella quando l angolo di manovella passa da ϑ = 0 a ϑ = π/4. La corsa vale C = 140 mm, mentre la lunghezza ridotta della biella vale λ = 0, Un motore motociclistico monocilindrico ha un accelerazione massima al piede di biella pari ad a p = m/s 2, alla frequenza di rotazione n = 7600 giri/min. Sapendo che la corsa vale C = 62,6 mm, calcolare la lunghezza ridotta della biella. 5. Una pompa alternativa monocilindrica funziona a regime alla frequenza di rotazione n = 1200 giri/min. Calcolare i valori delle pulsazioni e delle frequenze relative alle componenti dell accelerazione al piede di biella del primo, del secondo, del quarto, del sesto e dell ottavo ordine. 6. Calcolare le forze alterne del primo e del secondo ordine al PMS, agenti sul piede di biella di un motore ad accensione per compressione camionistico, la cui corsa vale C = 150 mm, mentre la lunghezza della biella misura l = 250 mm e funziona alla frequenza di rotazione n = 2200 giri/min. La massa concentrata al piede della singola biella vale m p = 7,5 kg. 7. Un motore ha la corsa che vale C = 58 mm. La forza alterna d inerzia del secondo ordine vale F i II = 3200 N, quando ruota alla velocità n = 8000 giri/min. La lunghezza ridotta della biella vale λ = 0,24. Calcolare la massa m p concentrata al piede di biella. 8. Un motore marino a due tempi e sei cilindri ha il raggio di manovella r = 300 mm e la lunghezza ridotta della biella λ = 0,282. Il rapporto corsa/alesaggio vale C/A = 1,14, mentre la frequenza di rotazione vale n = 200 giri/min. La massa m p concentrata al piede di biella è m p = 1350 kg. Calcolare l alesaggio, la lunghezza della biella e la forza alterna d inerzia agente sul piede di biella al PMS. 9. Un motore motociclistico a tre cilindri ha alesaggio A = 53,4 mm, corsa C = 52 mm, lunghezza della biella l = 118 mm e frequenza di rotazione n = giri/min. Determinare la cilindrata e l accelerazione a p al piede di biella al PMS e al PMI. 20

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