Indice. Percentili Decili Quartili Ranghi Percentili

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1 Indici di Posizione

2 Indice Percentili Decili Quartili Ranghi Percentili

3 quartile; con tale termine si intende una determinata percentuale di dati della distribuzione. I percentili, i quartili, i decili non sono altro che dei quantili che dividono il campione in parti prestabilite (rispettivamente in 100, 4, 10).

4 Percentili Sono detti percentili quei dati di una serie al di sotto dei quali si trova una determinata percentuale del totale dei dati. La percentuale ricavata è indicata dall indice del percentile e viene scritta con il simbolo P. Perciò P 12, P 13, P 70 sono quei dati al di sotto dei quali si trova il 12%, 13% ed il 70% di tutti i dati della distribuzione. L'indice del percentile sarà sempre compreso fra 0 (valore minimo) e 100 (valore massimo)

5 Calcolo per Dati Non Raggruppati La regola generale è data dalla seguente espressione: la posizione i di un dato percentile, detto k l'indice del percentile stesso si ricava con la formula: N + 1 i 100 i = indice da valutare

6 Sia data una serie di dati numerici, il quindicesimo percentile (P 15 ) determina il limite al di sotto del quale sono presenti il 15% dei dati dell intera distribuzione. N + 1 P 15 = = indice 100 da valutare A tal riguardo il P 0 è pari al dato minore.

7 Procedure di calcolo con numeri interi. Nel caso in cui i è un numero intero allora il percentile cercato corrisponde esattamente all'iesimo dato, ossia: P k = X i Sia data la seguente serie numerica: 1, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 13, 15 (n = 9) il calcolo del P 80 sarà: P80 = X N + 1 = X 10 = X = indice da valutare

8 Procedure di calcolo con numeri non interi: nel caso i non è un numero intero, allora bisogna eseguire un'interpolazione per ottenere il dato teorico corrispondente al percentile cercato, ossia: sia i = a,b si ha che P k = X a + b (X a+1 -X a ) Sia data la serie: 1, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 13, 15, 18 (N = 10) Il calcolo del P 80 sarà.

9 P 80 = X = X 11 = X 8,8 80 = indice da valutare Ma la posizione 8,8 risulta essere valida a livello teorico; ragion per cui si procede nella seguente maniera: P80 = 13 +0,8 (15-13) = ,6 = 14,6

10 Calcolo per Dati Raggruppati In questo caso si deve innanzi tutto individuare la classe che contiene il percentile cercato. Per fare ciò si parte dall'indice k del percentile e si calcola la frequenza cumulata corrispondente, ossia: fc k = k n 100

11 Successivamente si individua la classe che contiene tale frequenza cumulata; tale classe ha un indice i tale per cui: fc i-1 < fc k < fc i A questo punto si applica la seguente formula: P k = l inf i + k n 100 f i fc i1 a

12 Si prenda in considerazione la seguente tabella: i Lim inf Lim sup linf i lsup i vcentr i f fc i Fc% i

13 Si supponga di voler calcolare il P 75 Da ciò si deduce che k = 75 e, dal momento che n = 10000, si avrà: fc = = 7500 La classe che contiene il percentile 75 ha indice i pari a 9; quindi: P75 = =

14 Decili data la definizione di percentile, le suddivisioni decimali saranno dette decili (D); le procedure di calcolo, una volta ordinati i dati in crescendo, saranno. i N + 1 i 10 = indice da valutare

15 Quartili Si definiscono invece quartili, quei dati sotto dei quali si trovano o il 25%, o il 50%, o il 75% o l intera distribuzione di dati, N + 1 i 4 i = indice da valutare

16 Ranghi Percentili Il rango percentile indica la posizione occupata da un certo dato all interno della serie considerata; la posizione del dato è espressa come percentuale del totale dei dati che si trova al di sotto del dato stesso e di cui si fornisce il rango percentile.

17 Se si considera l esempio della serie numerica: 1, 3, 4, 5, 8, 10, 12, 13, 15 si ha che il calcolo dell ottantesimo percentile è 13 quindi, l inverso, ossia il rango percentile 13 sarà 80. In termini sintetici: P 80 = 13 quindi Rp 13 = 80

18 Calcolo per Dati Non Raggruppati Come primo passo si deve attribuire il rango (posizione di un dato all interno della serie ordinata dei dati stessi, ciò va fatto in modo crescente, ossia ordine crescente X min ha R = 1 e X max ha R = n per ordine decrescente X min ha R = n quindi X max ha R = 1

19 Si deve comunque notare che se nella serie di dati si riscontrano dei valori uguali, tali valori si assumeranno un rango uguale fra loro e pari al rango medio rispetto a quello che avrebbero assunto se fossero stati diversi fra loro. Si prenda in considerazione la tabella sottostante: X i R x I

20 Da ciò si ricava che: R 14 = ( ) / 3 = 3 R 21 = (8 + 10) / 2 = 9.5 Una volta quindi scelto l ordine di posizionamento, si applica la formula di Claparède. Anche in questo caso si deve distinguere fra ordine crescente e decrescente: Rp Rp x x n Rx ( ordine crescente) = 100 n 1 Rx 1 ( ordine decrescente) = 100 n 1

21 Utilizzando i dati della tabella si avrà: 12 8 Rp20 = 100 =

22 Calcolo per Dati Raggruppati Il primo passo consiste nell individuare la classe che contiene il dato x di cui vogliamo calcolarne il rango percentile. La classe che dovremo individuare avrà come indice i il valore tale che: l inf < x < i l sup i

23 Una volta espressa questa relazione, si può calcolare il rango percentile, ossia Rp x = c i1 + x n l a inf i i 100 Come esempio si riportano i seguenti dati:

24 i Lim inf Lim sup linf i lsup i vcentr i f fc i Fc% i

25 Si supponga di voler calcolare il rango percentile del dato x = 186 Tale dato è contenuto nella classe di indice i = 10, per cui si ha: Rp = 100 =