Caso studio 4. La media geometrica. Esempio

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1 Caso studo 4 U vsttor dv dcdr s vstr l suo captal d uro obblazo a tasso sso o a tasso varabl. Il tasso sso d trss ch l v proposto è dl 4% auo, pr u vstmto a 5 a. Pr l obblazo a tasso varabl l v vc proposto l sut prosptto: Cosa l cov sclr? Ao Tasso d trss % I,5 II 2,0 III 7,2 IV 9,0 V 7,4 La mda omtrca Pr ua dstrbuzo utara d u carattr quattatvo d trm, la mda omtrca è dta com: 2 V usata pr sttzzar dat ch ha sso moltplcar ra loro o pr rassumr dstrbuzo ch hao adamto omtrco S applca pr dtrmar u tasso d crmto / dcrmto mdo (przz d prodott, adamto dlla popolazo, cc) Esmpo I u dtrmato puto vdta s è ossrvato: A Vdt (mlo d uro) S vuol calcolar la varazo mda ll vdt Bsoa aztutto calcolar l varazo au: A Varazo V V 0,9,02,2, ,9,02,2 La mda artmtca sarbb stata vc: 0,9,02,2 /, a 42 Prchè la mda artmtca o sarbb stata approprata? Suppoamo ch V 0 sao l vdt zal. Applcado l varazo, 2, ottamo: V = V 0 V 2 = V 2 = V 0 2 V = V 2 = V 0 2 La varazo mda è qulla varazo costat, ch applcata d ao ao, dv rsttur l valor corrtto dll vdt a prodo, dato l valor zal. V V0 V0 Sosttudo la mda artmtca la mda omtrca s ha: V 207,42 08,0 V 207, a 0

2 Esrczo S cosdro dat dl Caso Studo 4. S calcol l tasso d crmto mdo ch, applcato a cascu prodo, rsttusca lo stsso valor d captal al trm dll vstmto. S corot l tasso d crmto mdo, s corot co l tasso sso s stablsca qual obblazo cova acqustar. 5 La mda omtca può ssr calcolata drttamt pr ua dstrbuzo d rquza o class tramt la ormula 2 2 ch t coto dl atto ch ua modaltà può rptrs pù volt Utlzzado l rquz rlatv s ha: 2 2 S l carattr è class, s utlzzao valor ctral al posto dll modaltà. c 2 c Proprtà dlla mda omtca Proprtà (cosstza): S la dstrbuzo è costtuta da trm tutt par ad a, la mda dlla dstrbuzo sarà ach ssa par ad a: a a Proprtà 2 (mootoa): Dat du dstrbuzo utar co trm, rspttvamt,, 2,.., y,y 2,..,y, s val la codzo y pr o, almo ua volta < y, allora y Proprtà (d traltà): La mda omtrca è smpr comprsa tra l mmo l massmo dlla dstrbuzo Proprtà 4 (varaza rsptto a cambamt d scala): s a o trm dlla dstrbuzo v applcata la trasormazo ax, allora la mda omtrca sarà par a a

3 Proprtà 5: La mda omtrca o è ma supror alla mda artmtca pr qualsas dstrbuzo a Proprtà 6: Il loartmo dlla mda omtrca è uual alla mda artmtca d loartm. Qud, ad smpo, la mda omtrca può ssr calcolata com p p lo lo (dstrbuzo utara) (dstrbuzo d rquz) Esmpo A Varazo V V -- 0,9,02,2 Lo(Varazo ) -- -0,09 0,264 0,9 p lo p(0,2),29 p 0,09 0,264 0,9 Esrczo S cosdro dat dl Caso Studo 4. S vrch, a) ch la mda omtrca od dlla proprtà d traltà (proprtà ), b) ch la mda omtrca o è ma supror alla mda artmtca (proprtà 5), c) ch l loartmo dlla mda omtrca è uual alla mda artmtca d loartm (proprtà 6). La mda trocata La mda trocata al 50% è la mda artmtca calcolata sul 50% d valor ctral dlla dstrbuzo. L obttvo dlla mda trocata è lmar l tto d valor aomal sulla mda artmtca. Mda artmtca Mda artmtca trocata al 60%

4 Caso studo 5 Faml rddt (comprs tt mputat) pr class d rddto ( mlaa) - Umbra 2004 Class d rddto % Faml % Rddto Rddto mdo (c) Fo a 0 5, 0, ,, ,8 8, ,4 7, ,0 6, ,4 2, ,4 6, oltr 5,6 6, Total Il rddto mdo (.0 uro) è u dcator adatto a sttzzar l tra dstrbuzo? Ossrvado dat s vd ch raltà pù dlla mtà dlla popolazo ha u rddto ror a uro. Qual può ssr u dcator pù approprato? Da cosa dpd u valor così lvato dl rddto mdo? La mdaa Data ua dstrbuzo scodo u carattr qualtatvo ordato o quattatvo, la mdaa (M ) è la modaltà dl carattr ch dvd l collttvo du rupp d uual umrostà modo tal ch:. l utà dl prmo ruppo hao ua modaltà M ; 2. l utà dl scodo ruppo hao ua modaltà M Pr calcolar la mdaa d ua dstrbuzo utara d u carattr quattatvo d trm. s ordao l modaltà modo o dcrsct: 2. s è dspar s è par 2 M 2 M (solo pr carattr quattatv) Esmpo S cosdr la dstrbuzo d vot d 5 studt (27, 24, 0, 22, 28); la dstrbuzo ordata è (22, 24, 27, 28, 0) da cu M = (5+)/2 = = 27. Pr ua dstrbuzo d rquza o class, la mdaa può ssr calcolata sulla bas dll rquz cumulat (N ) o dll rquz rlatv cumulat (F ) com:. s dvdua la modaltà tal ch: N 2 N oppur F 2 F S la dstrbuzo oss stata (22, 24, 27, 28), avrmmo avuto M = ( 4/2 + 4/2+ )/2 = ( 2 + )/2 = (24+27)/2 = 25,5. N 2 2. s F 2 s N F 2 2 M M 2 (solo pr carattr quattatv)

5 Esmpo NUM. COMP. Num. aml Frq. ass. cum. Frq. rl. cum , , , , ,990 6 o pù ,000 Total Dato ch /2 = /2 = , co = 2 s ha N - < /2 < N da cu M = 2. Cosdrado vc l rquz rlatv cumulat, co = 2 s ha F - < /2 < F da cu M = 2. Esmpo NUM. COMP. Num. aml Frq. ass. cum. Frq. rl. cum , , , , ,988 6 o pù ,000 Total Dato ch /2 = /2 = , co = s ha N - = /2 < N da cu M = 2,5. Utlzzado l rquz rlatv cumulat, co = s ha F - = /2 < F da cu M = 2,5. S l carattr è class:. s dvdua la class mdaa, c - c, tal ch: N 2 N oppur F 2 F 2. sulla bas dll pots d uorm dstrbuzo M M c c 2 N 2 F a a Esmpo Class N F ,482 0, ,49 0, ,6 0, ,2 0, ,058 0, ,08 0, ,02 0, ,007 0, ,008,000 Total 4.47,000 Dato ch /2 = 2.25,5, la class mdaa è da cu 2 N 2.25, M c a , F 0,5 0,482 M c a ,84 0,49

6 Proprtà dlla mdaa Proprtà (cosstza): S la dstrbuzo è costtuta da trm tutt par ad a, la mdaa dlla dstrbuzo sarà ach ssa par ad a. Proprtà 2 (mootoa sso dbol): Dat du dstrbuzo utar co trm, rspttvamt,, 2,.., y,y 2,..,y, s val la codzo y pr o, almo ua volta < y, allora M M y Proprtà : La mdaa mmzza la dstaza d o modaltà da ua costat c è mmo pr c M Proprtà 4 (d traltà): La mdaa è smpr comprsa tra l mmo l massmo dlla dstrbuzo M Proprtà 5 (varaza rsptto a trasormazo lar): s a o trm dlla dstrbuzo v applcata la trasormazo ax + b, allora la mdaa sarà par a am b I prctl I prctl soo qu valor ch dvdoo la dstrbuzo 00 part uual. I prctl pù usat soo l 25 (Q ), l 50 (M ) l 75 (Q ). Ad smpo s l carattr è class, pr calcolar Q :. s dvdua la class ch cot Q, c - c, tal ch: N 4 N oppur F 4 F 2. sulla bas dll pots d uorm dstrbuzo Q c 4 N a oppur Q c 4 F a Esmpo Class d atturato N F ,482 0, ,49 0, ,6 0, ,2 0, ,058 0, ,08 0, ,02 0, ,007 0, ,008,000 Total 447,000 Dato ch /4 = 7,75, la class cott Q è da cu 4 N Q c 4 F Q c 7,75 0 a , ,25 0 a ,6 0,482

7 Esrczo S cosdro dat dl Caso Studo 5. S calcol l rddto mdao, ossa qul valor dl rddto al d sotto dl qual trovamo l 50% dll aml umbr. S corot tal valor co qullo dl rddto mdo s spho l vtual drz. S dtrm l valor dl rddto al d sotto dl qual trovamo l quarto pù povro dll aml. S dtrm l valor dl rddto al d sopra dl qual trovamo l quarto pù rcco dll aml. 25 Il raco mostra l adamto dl rddto mdo dl rddto mdao l Stat Ut dal 994 ad o. Nl ultm a l du curv tdoo a dvrr mara scatva. Prché? Esmpo Faccamo u smpo smplc: 0 cassr d baca stao bvdo ua brra al bar. Ouo d loro uadaa dollar l ao, prtato l rddto mdo l rddto mdao dl ruppo è d dollar. Etra l ammstrator dlato orda ua brra. Adsso l rddto mdo d qusto ruppo schzza all stll ma qullo mdao o camba mmamt. I r, pù soo dsuual rddt, pù la mda td a dvrr dalla mdaa. E quato è succsso o solo qusto bar pottco ma ach tutt l Stat Ut. Moda class modal Nl caso d ua dstrbuzo d u carattr o class, la moda è dta com modaltà dl carattr ch s prsta co la maor rquza. S l carattr è class, la class modal è la class ch prsta la maor dstà d rquza. I alcu cas la moda (o class modal) può o ssr uca; s ha qud ua dstrbuzo plurmodal Esmpo NUM. COMP. Num. aml o pù Total La moda è par a 2.

8 Class d addtt Frquz rlatv ( ) Ampzza class (a ) Dstà d rquza (h ) 0,5--,5 0,95 0,955,5--2,5 0,280 0,2799 2,5--5,5 0,207 0, ,5--9,5 0, ,022 9,5--5,5 0,80 6 0,0966 5,5--9,5 0, ,0525 9,5--49,5 0, ,0056 Total: La moda è par a addtto. Esmpo Dstà Istoramma pr la dstrbuzo dll mprs scodo l umro d addtt 0,2500 0,2000 0,500 0,000 0,0500 0, Class d addtt Esmpo Mda, moda mdaa pr dstrbuzo co var orm Mda > Mdaa > Moda Mda = Mdaa = Moda Mda < Mdaa < Moda Esrczo S cosdro dat dl Caso Studo 5. S ds l storamma s vdzo sull storamma la mda, la mdaa la moda dlla dstrbuzo dl rddto. Esrczo Dov com studar Lbro d tsto: S. Borra, A. D Cacco (204), Cap. Svolr Esrctazo 2 Svolr put o prcdtmt svolt dl srcz l l Esrcz su md.ls. Escludr l calcolo dlla dvazo stadard (Folo 2, scoda part dl puto b, Folo 4, scoda part dl puto d) Pr u sm d 5 umr tr, s ha ch la mda è 4, la moda è, la mdaa è 5. Qual soo qust 5 umr? 2