INDICE. Macchine Teoriche e Architettura di base LA MACCHINA DI TURING. Il test di Turing LA MACCHINA DI VON NEUMANN

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1 INDICE Macchine Teoriche e Architettura di base LA MACCHINA DI TURING Il test di Turing LA MACCHINA DI VON NEUMANN Il funzionaento della Macchina di Von Neuann 1

2 Macchine Teoriche e Architettura di base Per architettura di un calcolatore elettronico si intende l'insiee delle principali unità funzionali di un calcolatore ed il odo in cui queste interagiscono. Oggi le funzioni di base di un calcolatore si potrebbero così riassuere: eorizzazione dei dati elaborazione dei dati trasferiento dei dati controllo Ma che cos è un coputer? Ad una pria analisi possiao dire che è una acchina che coputa, ovvero che esegue un tipo di lavoro in aniera autoatica, ovvero che esegue un algorito specificato in un linguaggio che può essere capito dalla acchina. La definizione data ricollega la nozione di coputer a quella di algorito Coputer Algorito che possiao definire, ad una pria analisi intuitiva, coe un insiee di istruzioni, scritte, date,, codificate in un certo linguaggio, che definisce coe si deve effettuare l esecuzione di un certo lavoro. Vediao qualche esepio. Supponiao di voler cucinare una pietanza. Descriviao i passi necessari per copiere questo lavoro : I 1 I 2 I 3 I 4 I 5 I 6 I 7 I 8 I 9 I 10 I 11 I 12 I 13 I 14 I 15 I 16 Prendere una pentola Mettere ezzo bicchiere di olio di oliva nella pentola Mettere due agli spezzettati nella pentola Mettere la pentola sul fuoco fino a che l aglio è dorato Aggiungere 500 gr di poodori nella pentola Cuocere per 15 inuti Aggiungere 8 foglie di basilico nella pentola Cuocere per 15 inuti Prendere una pentola più grande Riepirla d acqua Metterci un pugno di sale Mettere la pentola sul fuoco fino a che l acqua non bolle Buttare 500 gr di spaghetti nella pentola Cuocere per 9 inuti Scolare gli spaghetti Mescolare gli spaghetti al sugo della pria pentola Un altro esepio potrebbe essere quello di effettuare un calcolo ateatico a partire da un dato noto, ad esepio quanto vale una certa funzione in corrispondenza di un dato valore. Ma possiao descrivere anche un attività artistica, ad esepio dipingere un quadro, con una serie di istruzioni fissate? Su questo i dubbi sono olteplici, la coponente creativa non è riassuubile in una sequenza logica di operazioni Va allora capito con aggior chiarezza cosa si intende per algorito. 2

3 Definizione di Algorito: un algorito è una particolare acchina di Turing (Alan Turing, , ateatico e logico inglese) oppure un prograa della acchina di Von Neuann (John Von Neuann, , ateatico statunitense di origine ungherese) Nel seguito descrivereo dappria le caratteristiche della acchina di Turing con uno sguardo anche alle idee e alle peculiarità del lavoro copiuto dallo scienziato inglese. Quindi ci occupereo della acchina di Von Neuann con uno sguardo anche alle sue attuali applicazioni. LA MACCHINA DI TURING Nel 1936 Alan Turing propose l'idea di una acchina iaginaria che fosse capace di eseguire ogni tipo di calcolo su nueri e siboli. Una acchina di Turing (MdT) è definita da un insiee di regole che definiscono il coportaento della acchina su un nastro di input-output (lettura e scrittura). Il nastro può essere iaginato coe un nastro di carta di lunghezza infinita, diviso in quadratini dette celle che dunque forano una sequenza lineare di celle. Ogni cella contiene un sibolo oppure è vuota. Una MdT ha una testina che si sposta lungo il nastro leggendo, scrivendo oppure cancellando siboli nelle celle del nastro. La acchina analizza il nastro, una cella alla volta, iniziando dalla cella che contiene il sibolo più a sinistra nel nastro. La acchina di Turing contiene un insiee finito di stati, un alfabeto finito (coprendente un sibolo nullo) e un insiee finito di istruzioni. Ad ogni passo, la acchina in accordo al suo stato interno corrente: 1. legge un sibolo sul nastro 2.decide il suo prossio stato interno 3.scrive un sibolo sul nastro 4. decide se spostare la testina (di una posizione) Coe per uno stato della ente di un essere uano, lo stato interno di una MdT definisce l'abiente in cui una decisione viene presa. Una MdT può avere solo un nuero finito di stati. Il coportaento di una MdT può essere prograato definendo un insiee di regole, o quintuple, del tipo: (stato-interno-corrente, sibolo-letto, prossio-stato-interno, sibolo-scritto, direzione). Per esepio la quintupla (0, A, 1, B, -) indica che se la acchina si trova nello stato interno 0 e legge sul nastro il sibolo A, allora passa nello stato interno 1, scrive B sul nastro e non sposta la testina di lettura. La quintupla (1, B, 0, A, >) indica invece che se la acchina si trova nello stato interno 1 e legge sul nastro il sibolo B, allora passa nello stato interno 0, scrive A sul nastro e si sposta di una posizione a destra. La acchina si fera quando raggiunge uno stato finale. Il risultato calcolato dalla acchina di Turing è la sequenza dei siboli segnati sul nastro che sono conseguenza di tutti i cabiaenti di stato. E' abbastanza sorprendente che un dispositivo seplice coe la acchina di Turing rappresenti il più potente struento di calcolo conosciuto, nel senso che per ogni problea per cui è nota una procedura di soluzione è possibile forulare un algorito eseguibile da una acchina di Turing. Malgrado l'estrea seplicità di questa acchina, essa risulta capace (con un adatto assegnaento di istruzioni) di risolvere problei di grande coplessità, a la sua iportanza non sta in tale capacità a nell'essere uno struento concettuale che perette di definire rigorosaente gli algoriti e di ottenere risultati di grande generalità. Le ricerche finora condotte fanno pensare che 3

4 qualsiasi algorito possa essere realizzato ediante una acchina di Turing. L accettazione di questa ipotesi ci porta a considerare la teoria degli algoriti coe coincidente con la teoria della acchina di Turing. La doanda che si pone il ateatico britannico appartiene ad un classico doinio di indagine del pensiero occidentale: che cosa significa calcolare? L'indagine copiuta da Turing, dunque, prende le osse dall'analisi dell'attività uana del calcolare, con particolare riguardo al processo di calcolo, da cui nasce l idea stessa di Macchina di Turing (M.d.T.): un dispositivo di calcolo in grado di operare, ediante una successione (finita) di passi discreti, secondo deterinate regole (prograa), su di un nuero finito di siboli, facendo astrazione da liiti di spazio (eoria), di tepo (lunghezza della coputazione) e da possibili errori di calcolo. È iportante sottolineare coe l'attenzione di Turing sia rivolta al processo di calcolo, indipendenteente da coe esso avviene fisicaente. In odo rigoroso, infatti, una M.d.T è un dispositivo ideale, cioè indipendente da ogni sua possibile realizzazione fisica. Sulla base della nozione di M.d.T. possiao definire il concetto di funzione (parziale) Turingcoputabile. Una funzione (parziale) f i (a) si dice Turing-coputabile se esiste una M.d.T., diciao T i, che è in grado di coputare, con un nuero finito di passi il suo valore (se esiste). Ci sono però funzioni che una M.d.T. non può calcolare, ovvero ci sono doande a cui non risponde o risponde sepre sbagliando. Ciò avviene ogniqualvolta si chieda ad una particolare M.d.T se troverà una risposta, in un tepo finito, ad una doanda particolare. L analisi di Turing riguarda i processi di calcolo eseguibili da un essere uano (U) idealizzato, cioè le azioni che U copie entre coputa, e si basa sull'individuazione di alcune condizioni di finitezza, giustificate dal fatto che eoria e percezione, coinvolte nel processo di calcolo, hanno dei liiti, e di condizioni di deterinatezza, giustificate dalla richiesta che l'attività di calcolo sia deterinata da una procedura (cioè non peretta scelte arbitrarie). Ipotizziao un calcolo su un nastro (avviene quindi in uno spazio unidiensionale) finito, a estendibile a piacere. Diao le condizioni di finitezza: 1) Il nuero di siboli è fissato e finito, altrienti, se il nuero di siboli fosse infinito, per i liiti della nostra capacità di percezione, avreo siboli così siili fra loro che non riuscireo a distinguerli. 2) Il nuero di caselle del nastro osservabili in una volta è finito (questa richiesta è iplicata dai liiti delle nostre capacità di percezione). 3) E` possibile ricordare distintaente solo un nuero finito di stadi precedenti del processo di calcolo, altrienti ci sarebbero stadi così siili uno all'altro che non sapreo distinguerli. Turing affera che la eoria è uno "stato entale", a intende con questo l'influenza degli stadi precedenti del calcolo su quello attuale. 4) Le operazioni che si possono copiere sono: a) Cabiare il contenuto di alcune caselle osservate b) Cabiare le caselle osservate (cioè spostare l'attenzione da una all'altra) c) Cabiare il proprio stato entale (cioè quello che ricorda del calcolo) d) Osservare nuove caselle che si trovano al assio ad una distanza prefissata L da una qualsiasi delle caselle osservate. Condizione di deterinatezza: le azioni di U, ad ogni istante, dipendono solo dai siboli contenuti nella casella osservata in quell'istante e dallo "stato entale" corrente (cioè da quello che U ricorda in quel oento). Un procediento così caratterizzato è siulabile da una acchina di Turing. 4

5 Ad una acchina di Turing associao un procediento di calcolo idealizzato, cioè supponiao di non avere liiti di spazio (il nastro su cui il calcolo avviene è potenzialente infinito) e di tepo, e che la acchina non coetta errori. Chiaiao infine UNIVERSALE una acchina di Turing in grado di calcolare tutte le funzioni calcolabili da ogni singola acchina di Turing. Allora possiao dire, se l'analisi di Turing è corretta, che ogni funzione parziale a valori interi che può essere coputata da un essere uano che soddisfa le condizioni di finitezza e deterinatezza date sopra è Turing-coputabile, cioè può essere coputata da una acchina di Turing. Resta da vedere se le condizioni date si applicano a qualsiasi processo di calcolo effettivaente eseguibile; La tesi di Turing affera che ogni funzione parziale calcolabile con un algorito è una funzione parziale calcolabile da una acchina di Turing. La tesi di Turing è equivalente a quella di Church. Il lavoro svolto da una particolare acchina di Turing in funzione può quindi essere descritto coe la trasforazione secondo regole delle inforazioni depositate nella sua eoria. La possibilità di identificare ogni acchina di Turing con il suo prograa, cioè con quelle particolari inforazioni che stabiliscono l elenco delle operazioni da copiere, garantisce l'esistenza della acchina calcolatrice generica. Tuttavia, solo quando la tecnologia ise a disposizione una sufficiente quantità di eoria fu però possibile realizzare concretaente una acchina calcolatrice prograabile. La acchina di Turing è quindi una acchina che elabora inforazione in senso generico, e la specifica elaborazione copiuta in un caso particolare è copletaente deterinata dal prograa che in quel caso ne detta le regole. Ciò significa che una acchina di Turing può fare tutto ciò che può essere descritto in un prograa, presentandosi così coe una entità dal coportaento estreaente flessibile. Il test di Turing. Can achines think? Turing riforulò questa doanda, per certi versi classica, nei terini di un gioco, che chiaò gioco dell'iitazione. Questo viene giocato da tre persone, un uoo (A), una donna (B) e un interrogante. L'interrogante viene chiuso in una stanza, separato dagli altri due, i quali sono a lui noti con le etichette X e Y. Scopo del gioco per l'interrogante è deterinare quale sia l'uoo e quale la donna, facendo delle doande del tipo Vuol diri X la sua altezza? Affinché né il tono della voce né la calligrafia possano aiutare l'interrogante, le risposte sono dattiloscritte. Lo scopo di A nel gioco è quello di ingannare l'interrogante e far sí che fornisca una identificazione errata. Lo scopo di B è invece quello di aiutarlo. Turing si chiese che cosa sarebbe accaduto se una acchina avesse preso il posto dell'uoo nel gioco. Più precisaente è vero che, odificando il calcolatore in odo da avere a disposizione una eoria adeguata, increentando adeguataente la sua velocità di azione e fornendogli una prograazione adeguata, C può prendere soddisfacenteente la parte di A nel gioco dell'iitazione, se la parte di B viene assunta da un essere uano? Per una acchina, il test di Turing consiste quindi nell'ingannare un essere uano giocando al gioco dell'iitazione, inducendolo a credere di conversare con un altro essere uano e non, appunto, con una acchina. Le acchine di Turing sono acchine a stati discreti in grado di siulare altre acchine a stati discreti perciò possiao cercare di iaginare la descrizione di un essere uano in terini di stati interni, segnali di ingresso e segnali di uscita, sulla quale basare la prograazione di una acchina di Turing che lo siuli e riesca così a superare il test. Il criterio di siilitudine incorporato nel test, per valutare la soiglianza tra la acchina e l'essere uano, è la capacità di interagire linguisticaente, ovvero la cappacità di usare un insiee di siboli (le lettere dell'alfabeto) e un insiee di regole (lessicali, graaticali e logiche) per cobinarli a forare parole e frasi. 5

6 Tanto gli stati interni che i segnali di ingresso e di uscita sono insiei di concatenazioni di siboli; gli stati interni sono gli insiei di proposizioni che espriono le conoscenze possedute dall'essere uano, i segnali di ingresso sono le doande rivolte dall'interlocutore e i segnali di uscita sono le eventuali risposte date dall'essere uano in base alle sue conoscenze. Se è noto il variare dello stato interno in dipendenza dal segnale di ingresso, e per ogni segnale di ingresso è possibile stabilire l'eventuale segnale di uscita, a patto di inserire questi dati in aniera opportuna in due tabelle analoghe a quelle raffigurate da Turing, è anche possibile prograare una acchina di Turing affinché siuli un essere uano. Un esepio tipico di acchina siulatrice potrebbe una acchina che gioca esclusivaente a scacchi Finora nessun prograa ha superato il test di Turing. Il più noto è Eliza, un prograa scritto nel 1966 da Joseph Weizenbau. Eliza è una psicoterapeuta che siula una conversazione tra lei (il edico), e voi (il paziente). Turing pensò una acchina astratta per fare questa elaborazione, una acchina che non è ai stata effettivaente costruita, sarebbe troppo scooda da usare, che però è servita a diostrare le qualità ed i liiti dei calcolatori reali di più di qualsiasi calcolatore reale. Il fatto che tutte acchine sono casi particolari della acchina di Turing non è possibile diostrarlo, a è un principio, noto coe Tesi di Church, che si è verificato vero in tutti i casi di acchine finora costruiti o anche solo pensati. Questa tesi, forulata nel 1936, all indoani dell ideazione della acchina stessa, affera: ogni funzione intuitivaente coputabile è coputabile con la acchina di Turing (intuitivaente significa che olte persone riconoscono l algorito coe coputabile) Le iplicazioni di questa asserzione sono di notevole portata, infatti ne consegue che: le basi teoriche dell inforatica si riducono ad un solo argoento (con i vari punti di vista); è inutile tentare di costruire acchine diverse, hanno tutte gli stessi liiti l iportanza dell inforatica non sta nella teoria a nelle applicazioni Queste conclusioni hanno creato olte delusioni: per i eccanicisti (per chi pensa al ondo coe una acchina) è difficile capire coe spiegare le cose che la acchina di Turing non può fare, per chi non è eccanicista è difficile restringere il non eccanico a ciò che la acchina di Turing non può fare. Certaente la MdT non è stata creata per risolvere problei del ondo reale a per essere sufficienteente seplice per diostrare con essa le proprietà del calcolo autoatico. La pria di queste proprietà è che la acchina di Turing è equivalente coe possibilità a quella di qualsiasi calcolatore con eoria illiitata. La diostrazione è stata fatta per tutti i casi di acchine note e per tutte le procedure generali di calcolo inventate. La seconda di queste proprietà è che una acchina di Turing rappresenta il riconoscitore del tipo di linguaggio più generale. La terza proprietà è che la MdT rappresenta una definizione forale del concetto di Algorito. Le Tavole di una MdT rappresentano in effetti la fora più generale di algorito possibile. Quando analizziao un algorito, cioè una procedura generale di soluzione, lo dobbiao sepre fare facendo riferiento ad una architettura di calcolo concreta. Dobbiao usare, in altre parole, passi dell algorito che siano effettivaente realizzabili. Cosa non può fare la acchina di Turing? 1) non può capire se stessa. Si può diostrare, infatti, che una acchina di Turing (MdT) non può calcolare fino in fondo il coportaento di un altra MdT o di se stessa. In altre parole, se 6

7 trasforiao anche la MdT in una serie di siboli da dare in pasto ad una MdT, non esiste una MdT in grado di assicurarci che la MdT in ingresso faccia bene il proprio lavoro (vedere nel seguito il problea della ferata); 2) non può usare la logica in odo soddisfacente, cioè non può utilizzare e penetrare in odo esauriente nel concetto di diostrazione. Vi sono diostrazioni vere che nessun calcolatore saprà diostrare tali. Non esistono MdT che possano prendere in input la diostrazione coe sequenza di siboli e dire che è vera o falsa. Ma che ci siano cose non diostrabili è noto in ateatica (Kurt Godel). L insiee di proposizioni vere non può essere generato in un nuero finito di passi (secondo teorea di Godel) e quindi non esiste nessuna MdT che possa generare tutte le proposizioni vere e a aggior ragione dire se una proposizione è vera o falsa: Godel ha diostrato che vi sono cose vere non diostrabili. Vediao il faoso problea della ferata. Abbiao una acchina di Turing qualsiasi M e le diao un ingresso. Vogliao sapere se essa si fera oppure procede all infinito. Supponiao ora di costruire una acchina di Turing MF che, dati in ingresso i dati e le istruzioni della generica M, calcola se essa si fera oppure no. Vedreo che questa MdT non esiste. Costruiao ora una seconda acchina MFL uguale a MF eccetto che in un particolare: dopo aver scoperto che la M si fera questa esegue un loop infinito. Se esiste MF allora anche MFL si può facilente costruire. Supponiao di prendere coa acchina generica M = MFL cioè chiediao alla MFL di calcolare se essa stessa si fera oppure no. Allora i casi sono due: a) se MFL si fera vuol dire che MFL ha scoperto che MFL non si fera b) se MFL non si fera allora vuol dire MFL ha scoperto che MFL si fera in entrabe i casi siao arrivati a una conclusione assurda. 7

8 LA MACCHINA DI VON NEUMANN Una acchina di Von Neuann è una terna (N, IS, P) dove N = {0, 1, 2, 3, } è l insiee dei nueri naturali (rappresenta l alfabeto della acchina) IS = {ZERO, INC, SOM, SOT, MOL, DIV, UGUALE, MINORE; SALCOND, ALT} è l Instruction Set ovvero l insiee delle istruzioni generiche della acchina: ZERO: N N n ZERO (n) = 0 SOM: N N N (n, ) SOM (n, ) = n + MOL: N N N (n, ) MOL (n, ) = n UGUALE: N N N (n, ) UGUALE (n, ) = { 1 0 se se n n = SALCOND: N J Azione (n, j) SALCOND (n, j) = salta a j se n 0 { non salta a j se n = 0 essendo J = {j N : 0 j < P 1} un insiee finito di indici. INC: N N n INC (n) = n + 1 SOT: N N N (n, ) SOT (n, ) = { n 0 se se n n < DIV: N N N (n, ) DIV (n, ) = [n / ] MINORE: N N N (n, ) MINORE (n, ) = { 1 0 se se n n < ALT: fera la coputazione della acchina P = {I 0, I 1, I 2, I 3,, I P 1 } è una sequenza finita e non vuota di istruzioni specifiche prese dall insiee IS in cui siano specificati particolari valori delle variabili. Questa sequenza è detta il prograa della acchina. Il funzionaento della Macchina di Von Neuann Un prograa eseguibile dalla acchina di Von Neuann consiste in una lista di istruzioni registrate in eoria centrale, che devono essere eseguite una alla volta secondo l'ordine specificato nel prograa fino a quando non si incontra un istruzione di arresto. La geniale soluzione che venne trovata da Von Neuann è quella di usare la eoria per conservare sia le istruzioni che i dati dei calcoli. L Hardware della acchina di Von Neuann è costituito dalla eoria, ovvero dall insiee delle locazioni di eoria, e dal processore. Inoltre: ad ogni locazione è associato l indice della locazione nella sequenza detto indirizzo della locazione di eoria nella eoria sono registrati il prograa ed i dati del prograa il prograa è registrato nelle locazioni di eoria i cui indirizzi vanno da 0 a P 1 (i-esia istruzione del prograa registrata nella locazione i) Il processore è costitutito da 4 parti fondaentali: 8

9 a) il contatore di prograa, una locazione di eoria contenente l indirizzo dell istruzione da eseguire b) il registro delle istruzioni, una locazione di eoria contenente l istruzione da eseguire c) l unità aritetica e logica, un sistea che esegue l istruzione d) il controllo, un sistea che, attraverso una sequenza di cabiaenti di stato, fa avvenire l esecuzione dell istruzione, dunque ha il coando del processo. La coputazione della acchina avviene eseguendo le istruzioni del prograa nell ordine definito dal prograa, a eno di sati condizionati, nel seguente odo: 1) Legge il contenuto del contatore, ovvero l indirizzo dell istruzione da eseguire 2) fa pervenire nel registro istruzioni (fetch) l istruzione da eseguire 3) decodifica l istruzione, ovvero capisce di quale istruzione si tratta (fra quelle possibili in IS) 4) invia segnali all unità logico-aritetica per far eseguire l istruzione 5) acquisisce dalla eoria i dati necessari (attraverso gli indirizzi delle locazioni di eoria). Se ad esepio l istruzione è SOM(M 1, M 2 ) M 1 e M 2 sono indirizzi di locazioni di eoria 6) aspetta che l unità logico-aritetica calcoli il risultato 7) registra il risultato nella locazione di eoria specificata dall operando più a sinistra dell istruzione. Se l istruzione è SOM(M 1, M 2 ) il risultato viene registrato nella locazione di eoria il cui indrizzo è M 1. Se l istruzione è un salto condizionato, il controllo registra nel contatore l indirizzo della prossia istruzione 8) Increenta il contatore a eno che l istruzione non sia un salto condizionato o un ALT ALT) Il ciclo si ripete fino a che non si incontra l istruzione ALT. Esepio di prograa per la acchina di Von Neuann: calcolare se un nuero è divisibile per 3 (il valore è registrato in M 0 ; se è divisibile pre tre scrivere in M 1 il valore 1 altrienti scrivere 0) 0 ZERO(M 1 ) 1 INC(M 1 ) 2 INC(M 1 ) 3 INC(M 1 ) 4 ZERO(M 2 ) 5 SOM(M 2,M 0 ) 6 DIV(M 2,M 1 ) 7 MOL(M 2,M 1 ) 8 SOT(M 0,M 2 ) Scrive 3 in M 1 Copia il contenuto di M 0 in M 2 Calcola r = n 3(n/3) e ette il risultato in M 0 9 SALCOND(M 0, 13) Se r 0 salta a ZERO(M 1 ) Scrive 1 in M 11 INC(M 1 ) 1 e si fera 12 ALT 13 ZERO(M 1 ) 14 ALT Scrive 0 in M 1 e si fera Esercizi. Realizzare i seguenti prograi per la acchina di Von Neuann: a) calcolare se la soa di due nueri è aggiore di 5 (i valori sono registrati in M 0, M 1 ; se la soa è aggiore di 5 scrivere in M 2 il valore 1 altrienti scrivere 0) b) calcolare la edia aritetica (approssiata al nuero intero) di tre nueri (i valori sono registrati in M 0, M 1, M 2 ; la edia risultante va registrata in M 3 ) c) dati due nueri, dividere il più grande per il più piccolo e prendere il resto intero della divisione (i valori sono registrati in M 0, M 1 ; il resto della divisione va registrato in M 3 ). 9

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