Quella della formula (1) è una definizione operativa di L, ovvero fornisce un modo del tutto generale per calcolare L dal rapporto F IHB I L
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- Liliana Grilli
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1 AUTOINDUTTANZA 1. INTRODUZIONE L auto inuttanza L è la granezza fisica che lega la corrente I che scorre in un ato circuito con il flusso el campo i inuzione magnetica B(I), quest ultimo generato proprio in virtù ella I al circuito stesso, attraverso la sua superficie: L I = F I ( B I ) (1) ove il peice I in F I precisa che il flusso è calcolato attraverso la superficie el circuito in cui scorre la corrente I, e naturalmente in B I inica che il campo i inuzione magnetica è generato proprio alla corrente I. Quella ella formula (1) è una efinizione operativa i L, ovvero fornisce un moo el tutto generale per calcolare L al rapporto F IHB I L. Effettuano il calcolo i tale rapporto, eve scomparire ogni ipenenza alla corrente I I e al campo B I a essa generato; in sostanza L ipene soltanto alle caratteristiche geometriche (estensione e forma) el circuito. Esempio 1: il solenoie toroiale Calcoliamo l autoinuttanza L i un solenoie toroiale ( in latino torus inica anche un cuscino a forma i ciambella ), caratterizzato a N avvolgimenti e percorso a corrente I. Ciascun avvolgimento può essere rappresentato singolarmente a una spira i raggio R = Hb-aL, percorsa a corrente I. 2 L intero solenoie ha il raggio ella circonferenza centrale G (quella tratteggiata in blu) pari a r. È possibile calcolare, alla istanza r al centro el solenoie, ovvero lungo tutta la circonferenza G, il campo i inuzione magnetica B Ø HrL = B HrL u q, con u q versore tangente a G, inotto a I tramite il teorema ella circuitazione i Ampere proprio lungo G : m 0 N I = Ÿ G B Ø Ø ÿ l = B 2 p r Di conseguenza B Ø = m 0 N I u 2 p r q. Se la imensione raiale egli avvolgimenti è trascurabile rispetto al raggio i G, ovvero per R << r, posso Ø assumere che il campo B HrL calcolato aesso sia uniforme su tutto il piano ell avvolgimento. Posso quini scrivere che il flusso el campo B Ø attraverso tutto il solenoie vale F(B) = N B p R 2 = N m 0 N I p R 2 = 1 m 2 p r 2 0 N 2 I R2. r Di conseguenza siamo aesso in grao i calcolarci l autoinuttanza L el solenoie: L = FHBL I = 1 m 2 0 N 2 R 2, che come si vee ipene esclusivamente alle caratteristiche geometriche el toro. r
2 2 Autoinuttanza.nb I 2 r 2. CADUTA DI TENSIONE AI CAPI DI UNʼINDUTTANZA IN UN CIR- CUITO Per la legge i Faraay-Neumann-Lens, la variazione nel tempo el flusso el campo B Ø attraverso la superficie i un circuito genera una f.e.m. inotta e in pari a e in = - t FHBL. Ovviamente se B Ø è generato al circuito stesso, otato i autoinuttanza L, la f.e.m. inotta vale e in = - t FHBL = - t HL IL = - I t L - L t I Per circuiti la cui geometria non varia nel tempo ( ovvero t L = 0) e in = - L t I ( 2 ) Ovvero, esiste una f.e.m. inotta se e soltanto se la corrente nel circuito varia nel tempo. È immeiato constatare che se siamo a regime stazionario, ovvero per I = 0, non c è alcuna f.e.m. inotta. t Scriviamo aesso l equazione i Kirchhoff generica per il circuito: e tot = e + e in = i..p i ove : e è la f.e.m. reale che alimenta il circuito, e i..p i è la somma elle caute i tensione ai capi egli eventuali elementi circuitali (resistenze o conensatori) che sono posti sulla linea i circolazione ella corrente nel circuito. Teneno a mente la formula (2) possiamo scrivere quini che e + e in = e + - L t I e quini e = L t I + i..p i ( 3 ) La formula (3) esprime il seguente concetto: possiamo veere l inuttanza L el curcuito come un ulteriore nuovo elemento circuitale, al pari elle resistenze e ei conensatori. A essa si attribuisce il carattere inuttivo el circuito ( o i una parte i esso, cioè posso iversificare le parti inuttive el circuito introuceno altrettanti elementi circuitali L 1, L 2 ecc.), parimenti a quanto si fa, a esempio, con la resistenza, che concentra in sé la proprietà resistiva el ramo in cui essa è posta. La cauta i tensione ai capi i L vale proprio L t I. Quini esiste una cauta i tensione ai capi ell autoinuttanza L se e soltanto se c è una variazione i corrente nel tempo. Ancora in altri termini: in regime stazionario ( I = 0), l inuttanza L non è soggetta a nessuna cauta i t tensione, ovvero si comporta come un filo perfettamente conuttore. Si osservi la figura sottostante: Abbiamo una f.e.m. variabile e(t) che prouce nel circuito una corrente ( i conseguenza altrettanto variabile) i(t)
3 Autoinuttanza.nb 3 Abbiamo una f.e.m. variabile e(t) che prouce nel circuito una corrente ( i conseguenza altrettanto variabile) i(t) che scorre nei tre elementi circuitali R, C e L. Le caute i tensione sono : - ai capi ella resistenza R : v R HtL = ihtl R, e è non nulla se i(t) ¹ 0; - ai capi el conensatore C: v C HtL = QHtL C, e è non nulla se Q(t) ¹ 0 ( ovvero se Ÿ 0 t iht'l t' ¹ 0 ); - ai capi ell inuttanza L: v L HtL = L ihtl, e è non nulla se ihtl ¹ 0; t t e quini posso riscrivere la ( 3 ) come ehtl = ihtl R + QHtL C + L t ihtl Naturalmente, in questo caso i collegamento in serie i tutti gli elementi circuitali si ha che Q (t) = QHtL = ihtl. L equazione ifferenziale si scrive quini come t ehtl = Q R + Q C + L Q.., ove la ipenenza al tempo ella carica Q e elle sue erivate i primo e secono grao è sottintesa. La risoluzione i questa equazione ifferenziale viene illustrata più avanti, quano affronteremo alcuni esempi. NOTA IMPORTANTE Notiamo ancora una cosa importante: la schematizzazione in figura può avere ue chiavi i lettura: 1. R, C e L sono effettivamente componenti inipenenti, collegate in serie a fili con resistività, capacità e inuttanza trascurabili; 2. R, C e L rappresentano la sintesi elle proprietà resistive, capacitive e inuttive el circuito, che potrebbe a esempio essere realizzato meiante fili i sezione macroscopica otati i una certa resistività, avvolti in moo più o meno solenoiale (tanto a evienziare più o meno le proprietà inuttive), eventualmente interrotti (generano effetti capacitivi) Ai fini el nostro ragionamento queste ue chiavi i lettura sono el tutto equivalenti; ciò nonostante occorre ammettere che la prima interpretazione si presta a una migliore e più semplice visualizzazione el circuito. EFFETTO DI L COME ELEMENTO CIRCUITALE
4 4 Autoinuttanza.nb Faceno riferimento al circuito nella figura preceente, supponiamo che la corrente i(t) sia nulla per t=0 e che successivamente inizi a crescere. Definiamo l istante t = 0 + come l istante iniziale in cui la corrente inizia a crescere ma in cui vale ancora ih0 + ) = 0 Nell avvolgimento L, a cui va attribuito tutto il carattere autoinuttivo el circuito, con il sorgere ella corrente si crea un campo i inuzione magnetica B Ø che genera un flusso F attraverso L. Tale flusso varia, aumentano B Ø all aumentare i i(t). Pertanto, viene inotto un contro campo B Ø in antiparallelo a B Ø che tenta i compensare la variazione i flusso. In sostanza viene inotta nel circuito una nuova corrente i in HtL che circola in senso opposto alla corrente principale i(t). In efinitiva, nel circuito circola una corrente effettiva I(t) = i(t) - i in HtL. Questo effetto va visto come se, nel regime transitorio, ovvero i variazione ella corrente i(t), L agisse come una resistenza, chiamiamola R L, variabile nel tempo. Infatti stuiano gli effetti resistivi i L, è possibile scrivere la legge i Ohm nel seguente moo L t I HtL = I HtL R L, e i conseguenza R L HtL = L IHtL t. IHtL Esseno inizialmente IH0 + )=0, poiché generalmente t I t=0 + ¹ 0, è eviente che R L H0 + L =. Se la corrente nel circuito tene, per tempi sufficientemente grani (tø ) a un regime i stazionarietà, ovvero t I t= = 0, allora R L H L = 0. Quini l effetto transitorio ella corrente su l autoinuttanza L implica che questa si comporta come una resistenza variabile nel tempo: inizialmente Ht = 0 + ) vale, apreno totalmente il circuito. Notate l antinomia con il conensatore, che parteno a scarico, e quini inizialmente non soggetto a alcuna cauta i tensione, all istante t = 0 + si comporta come un perfetto filo conuttore. 3. POTENZA ED ENERGIA MAGNETICA Visto che l elemento circuitale L è caratterizzato a una cauta i tensione, e è percorso a una corrente I, è possibile associare all insorgere el flusso attraverso l avvolgimento i L un potenza magnetica pari a W L = I V L = I L t I. L energia che si va accumulano nell avvolgimento L sottoforma i campo magnetico, calcolata a un istante iniziale t i a uno finale t f vale t U L = f IIt Ÿ ti W L t = f M 1 Ÿ IHti L L I I = 2 LAI2 It f M - I 2 Ht i LE. Generalmente capita i stuiare l energia accumulata nell autoinuttanza urante un transitorio fino al regime stazionario. Pertanto t i = 0, t f =, I(0) = 0, I( ) = I e quini U L = 1 2 L I2. Si noti che se l autoinuttanza L non è percorsa a corrente, non c è accumulo i energia magnetica.
5 Autoinuttanza.nb 5 Deve passare il messaggio seguente: quano negli esercizi si chiee i calcolare l energia totale accumulata in un circuito caratterizzato a conensatori e autoinuttanze, occorre consierare U tot = U C + U L, ove - U C è l energia elettrostatica accumulata nei conensatori soggetti a una cauta i tensione non nulla - U L è l energia magnetica accumulata nelle autoinuttanze percorse a una corrente non nulla. 4. CONSIDERAZIONI SUL REGIME DI STAZIONARIETÀ Consieriamo il curcuito in figura: Si noti che la resistenza R e l inuttanza L sono in parallelo, quini coniviono la stessa..p., sempre. Si noti: sempre significa sia a regime transitorio che a regime stazionario. La omana, in questo caso è: esiste per questo circuito un regime stazionario, nel limite per tø? La risposta come veremo è no. e quini non ovremo meravigliarsi che la resistenza R sarà sempre soggetta a cauta ohmica. Infatti, l equazione i Kirchhoff per questo circuito, al momento che il tasto T viene chiuso, è la seguente: e = L t I L = R I R, con I L la corrente che fluisce nell inuttanza L e I R la corrente che fluisce nella resistenza R. Arriviamo quini facilmente alla soluzione per le correnti: I L = e L t + k, con k = I LHt = 0L = 0, e quini I L = e L t, a cui segue che I R = e R. Il fatto che la resistenza R si trovi sempre percorsa a una corrente costante segue al fatto che non esiste mai un regime i stazionarietà, ovvero non avremo mai un tempo t per il quale I = 0, sia in R che in I. Infatti t I t L = e ¹ 0, e quini non ci potrà mai essere un regime stazionario. L La ipenenza i proporzionalità tra I L e il tempo t inica chiaramente che la corrente sull inuttanza passa con continuità a zero, quano all istante iniziale l inuttanza si comporta come una resistenza infinita, a un valore sempre più grane che non smetterà mai i aumentare. Notiamo che il circuito analizzato aesso non è il cosietto circuito RL, ove la resistenza e l inuttanza sono in serie e non in parallelo, come in questo caso. Per un circuito come questo non ha proprio senso parlare i transitorio, per il fatto che non esiste uno stato i stazionarietà. Si noti ancora un ultima cosa: abbiamo etto che le..p. ai capi ella resistenza e ell inuttanza sono ientiche, perché R e L sono in parallelo. Il valore i tale..p. è costante e vale e. Infatti ai capi ei ue elementi circuitali
6 6 Autoinuttanza.nb perché R e L sono in parallelo. Il valore i tale..p. è costante e vale. Infatti ai capi ei ue elementi circuitali c è la..p. imposta alla f.e.m. il cui lavoro è preservarla costante, qualunque cosa succea (almeno in questa approssimazione i f.e.m. ieale).
= R. 4πε 0. R contiene valori costanti che descrivono caratteristiche fisiche(il dielettrico ε
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