Lo spettro dell'idrogeno atomico e il modello di Bohr degli atomi idrogenoidi

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1 Edoardo Milotti 6//009 Lo spttro dll'idrogno atomico il modllo di Bohr dgli atomi idrognoidi Qusta nota riassum brvmnt la storia dlla scoprta dlla sri di Balmr dl modllo di Bohr dll'atomo di idrogno.. Gli spttri atomici Nllo spttro dl sol si ossrvano un gran numro di righ scur, not con il nom di righ di assorbimnto: sono com l impront digitali dll spci atomich ch si trovano nl sol. In fftti, prndndo un gas d ccitandolo pr mzzo di una scarica lttrica, vin mssa luc, si trova ch divrsi lmnti chimici mttono luc ch ha righ spttrali diffrnti, ad smpio l'azoto ha il sgunt spttro di mission mntr l'ossigno ha uno spttro diffrnt Si trova quando lo stsso gas vin intrposto tra la sorgnt di luc bianca d uno spttroscopio, si vdono righ di assorbimnto ch corrispondono all righ di mission: si tratta quindi dllo stsso fnomno. Gli spttri mostrati sono notvolmnt divrsi hanno righ di mission spars snza un apparnt ordin: è possibil capir l rgol di mission assorbimnto dlla luc da part dgli atomi?. La sri di Balmr dll righ spttrali dll'idrogno atomico Johann Jakob Balmr ra un matmatico svizzro (85-898), ch did un singolar contributo alla fisica

2 All'tà di sssant'anni, Balmr trovò una singolar formula pr la lunghzza d'onda dlla luc mssa dall'idrogno atomico λ = h m m n p =, h = m, m = 3, 4, 5, 6,... chiamò h il "numro fondamntal dll'idrogno". La formula mostrò di avr potr prdittivo, quando vnn idntificata una riga di assorbimnto dll'idrogno non nota in prcdnza. Johann Jakob Balmr Si scoprì poi ch la formula di Balmr è un caso particolar di una formula più gnral scoprta da Johanns Rydbrg λ = R H n n si ottin la sri di Balmr prndndo n =. Con altri valori di n si trovano l lunghzz d'onda di altr sri di righ spttrali dll'atomo di idrogno. Lo spttro qui sopra mostra l quattro righ di mission visibili nlla sri di Balmr dll'idrogno atomico

3 3. Il modllo di Bohr dll'atomo di idrogno Bohr ha costruito il suo modllo dll atomo di idrogno nl 93, in comptizion con altri fisici ch stavano crcando di svlar il mistro dlla stabilità dll orbit lttronich. Scondo l lttromagntismo classico, gli lttroni in orbita intorno al nuclo atomico dovrbbro irraggiar quindi prdr nrgia prché si muovono con moto acclrato. Alla fin gli lttroni dovrbbro prcipitar sul nuclo, pr qusto Thomson avva laborato ngli anni prcdnti un modllo atomico in cui gli lttroni rano distribuiti uniformmnt sulla suprfici di un nuclo atomico duro, sfrico. Gli sprimnti di Ruthrford avvano prò dimostrato ch ciò non ra possibil, ch l atomo dovva ssr costituito da un piccolo nocciolo positivo il nuclo circondato da lttroni su orbit rlativamnt lontan. Nils Bohr è stato il primo a capir com un ida dlla nuova mccanica quantistica potva ssr utilizzata pr risolvr il problma. Nl 93 la mccanica quantistica vra propria non ra ancora nata, c rano solo dll id ancora vagh ch dovvano ssr sistmat in un contsto cornt. Nl 900 Max Planck avva pubblicato il suo important articolo sulla radiazion di corpo nro, in cui avva introdotto una forma di quantizzazion dlla frqunza dlla luc mssa da un corpo nro (qusto significa ch non sono ammss tutt l frqunz pr la luc ma solo multipli intri di una frqunza fondamntal). Nl 905 Albrt Einstin avva dimostrato ch l misur fatt sull fftto fotolttrico (l mission di lttroni da part di una suprfici mtallica quando vin colpita dalla luc) potvano ssr spigat assumndo ch la luc foss costituita da quanti (da fotoni) ch ciascuno di ssi avss un nrgia proporzional alla frqunza ν dlla luc E γ = hν, dov h è proprio la costant introdotta da Planck nl 900. Ngli stssi anni d Brogli avva anch fatto vdr ch gli lttroni possono ssr dscritti in un crto snso com ond ch possidono una lunghzza d onda invrsamnt proporzional alla loro quantità di moto. L'ipotsi di quantizzazion ch sta alla bas dl modllo è ch un'orbita lttronica attorno al nuclo atomico dbba ssr ncssariamnt lunga un numro intro di lunghzz d'onda lttronich, cioè πr = nλ Un smpio è mostrato in figura 3

4 S ora ci ricordiamo dlla rlazion di d Brogli λ = h mv introduciamo la dfinizion = h, ottniamo una smplic sprssion pr il π modulo dl momnto angolar mvr = n Possiamo intrprtar qust'ultima rlazion com una quantizzazion dl momnto angolar, ch assum solo valori dfiniti. Dalla quantizzazion dl momnto angolar si trova la vlocità in funzion di r d n: v = n mr Uguagliando la forza di attrazion lttrostatica tra nuclo (nuclo con Z protoni, carica nuclar ugual a Zq ) d lttron (carica q ), la forza cntripta, si ottin un altra quazion, ch prmtt di liminar v risolvr pr r: si trova quindi Zq 4πε 0 r = mv r = Zq 4πε 0 n ; m = 4πε 0 Zq m n 4

5 dov indica il raggio dll n- sima orbita. Si noti ch è proporzional al quadrato di n. Da qusta soluzion si trova anch la vlocità associata all n- sima orbita v n = n m = Zq 4πε 0 n Prndiamo ora l'sprssion dll'nrgia total associata all n- sima orbita, ch è la somma dll'nrgia cintica dll'nrgia potnzial (lttrostatica): E n = U n + T n = Zq + 4πε 0 mv n ; allora, sostitundo i valori di raggio vlocità trovati sopra, ottniamo E n = Zq + 4πε 0 mv n = m Zq 4πε 0 = Z q 4 m ( 4πε 0 ) n = q 4 m 4πε 0 ( ) Z n + m Zq 4πε 0 n = + m Zq 4πε 0 n n = R Z n dov R = q 4 m ( ) 4πε 0 = Rydbrg V. Com si vd sono ammissibili solo crti valori dll'nrgia, l intro n è dtto numro quantico principal dll'atomo di idrogno; inoltr il raggio r B = 4πε 0 q m 5 0 m è il raggio di Bohr dll'atomo di idrogno. Si noti ch il raggio ch corrispond ad un crto n è dato da = 4πε 0 n Zq m = n r B Z quindi il raggio dll'orbita dll'lttron crsc vlocmnt al crscr di n. In particolar pr valori di n vicini a 00, il raggio dll'orbita lttronica è prossimo 5

6 a µm, d ha quindi dll dimnsioni dcisamnt "grandi" su scala atomica: atomi di idrogno con n così lvati sono stati prodotti in laboratorio, sono dtti atomi di Rydbrg. Quando un lttron si sposta da un orbita più alta ad un orbita più bassa prd nrgia: qusta nrgia può vnir mssa sotto forma di un quanto di luc, con un nrgia data dalla rlazion di Einstin. Analogamnt un lttron può assorbir un foton passar ad un orbita più alta. Ora si noti ch ΔE n,n = R n n pr una transizion tra il livllo n il livllo n. L transizioni ch ci intrssano avvngono con assorbimnto o mission di luc, cioè di fotoni di nrgia ΔE n,n = hν. La figura sgunt è una fotografia tratta dal libro di G. Hrzbrg: "Atomic spctra and atomic structur" (Dovr, Nw York 945) mostra una fotografia dllo spttro di mission dll'idrogno atomico nl visibil nl vicino ultravioltto Anch la figura sgunt è tratta dal libro di G. Hrzbrg mostra i mmbri dlla sri di Balmr (cioè l transizioni da n > a n = ) dalla sttima lina al continuo. H è la posizion torica dl limit dlla sri (cioè la transizion da n = a n = ) 6

7 Si noti ora ch s si ccita fortmnt un atomo, si può strarr un lttron dll orbita più intrna, uno dgli lttroni dll orbita immdiatamnt più alta può rimpir il vuoto mttndo un foton la cui nrgia è val a dir hν = E E = R Z ν = 3R 4h Z (la radic quadrata dlla frqunza dlla luc mssa è proporzional a Z). Qusta rlazion è stata trovata pr la prima volta sprimntalmnt da H. G. J. Mosly nl 93, pr qusto si chiama lgg di Mosly. La figura sgunt mostra la radic quadrata dlla frqunza dlla radiazion mssa in funzion di Z, si vd ch la lgg di Mosly è vrificata molto bn (sono mostrat du divrs classi di transizioni atomich, pr ntramb la lgg funziona molto bn, proprio com prvisto dal modllo di Bohr). Il modllo di Bohr è solo un modllo classico con una quantizzazion dl momnto angolar orbital introdotta in modo artificioso, ma funziona straordinariamnt bn. La soluzion quantistica dl problma dll atomo di idrogno ch si ottin dalla quazion di Schrödingr mostra ch i valori ch 7

8 abbiamo trovato con tanta facilità sono ffttivamnt stupfacntmnt corrtti, ch rapprsntano di valori mdi. Il modllo di Bohr ha avuto un norm influnza ni primi anni dllo sviluppo dlla mccanica quantistica, Bohr ha ricvuto il prmio Nobl pr qusto lavoro nl 9 (qui sotto è riportata l introduzion dlla Nobl Lctur di Bohr, la figura ch illustra la validità dlla lgg di Mosly è tratta anch ssa dal tsto di Bohr) Nota bibliografica: la storia dll origini dlla mccanica quantistica dl suo vlocissimo sviluppo ngli anni tra il 90 il 940 è narrata con grand fficacia nl libro di Gino Sgrè Faust a Copnhagn (Il Saggiator, 009). La lttura di qusto libro è consigliata a tutti gli studnti ch vogliano farsi un ida di qusto priodo ntusiasmant dlla fisica ch vogliano conoscr l prsonalità giovani, crativ d indipndnti di grandi fisici ch hanno scoprto i principi fondamntali dlla mccanica quantistica. 8