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1 TFA Uso di software didattico Commento dei partecipanti Terzo incontro Argomenti svolti. Seconda parte (programmi di geometria dinamica 2D) Schede 1-7 Claudia Belnero. Durante la prima parte della lezione odierna abbiamo discusso i commenti relativi alla seconda lezione e la soluzione della verifica sull ellisse. Dai commenti relativi alla seconda lezione è emerso che le lezioni in classe devono essere più graduali ed è spiccata l utilità del commento come strumento di riscontro per il professore su come la lezione è stata percepita dallo studente ed oggi, a differenza degli altri giorni ne ho capito le vere potenzialità. Chiedere un commento agli studenti, anche di scuola superiore, è un modo, non solo, per capire quello che loro hanno appreso ma è un modo per migliorare la lezione successiva cercando di non commettere gli stessi errori in futuro. Inoltre bisogna sempre ricordarsi che quando insegniamo qualcosa di nuovo agli studenti per loro è la prima volta che vedono quell argomento. Mentre, per quanto riguarda la soluzione sull ellisse è stato messo in evidenza che il problema principale era che il modo in cui l esercizio era stato formulato era forviante. Quando diamo gli esercizi agli studenti dobbiamo essere precisi sulle richieste. Il problema in questione chiedeva L ellisse che approssimava la curva, come ad intendere che ce ne fosse solo una, quando sappiamo che non esiste un unica approssimazione, ma ce ne sono infinite. Se volessimo proporre un esercizio simile in classe senza creare disguidi, dovremmo chiedere UN ellisse che approssima. Quindi è stato fatto vedere come con un altro software (questa volta di geometria dinamica) la soluzione sarebbe stata più evidente. Inoltre con CABRI ci saremmo subito resi conto che per scrivere una conica ci vogliono almeno 5 punti che noi non avevamo e che dire disegnare l ellisse noti 4 punti non è sufficiente ma bisogna anche aggiungere che la nostra ellisse deve avere come assi gli assi cartesiani (che non è una condizione insignificante). Dopo questa discussione sono stati presentati i comandi principali di CABRI e abbiamo iniziato a utilizzarlo come se avesse come strumenti solo riga e compasso e abbiamo fatto qualche costruzione. È stato un esercizio molto edificante in quanto con istruzioni molto più semplici di quelle date a DERIVE siamo riusciti a fare cose molto più sofisticate e lo stesso esercizio proposto la settimana scorsa, di tracciare la circonferenza circoscritta ad un triangolo, è stato risolto in pochi minuti. Questo strumento didattico è molto interessante perché permette di proporre la geometria sintetica in modo più coinvolgente per gli studenti, in quanto li trasforma in piccoli ricercatori, perché tramite CABRI loro vedono qualcosa (teorema) che poi noi chiediamo di dimostrare. Anna Rita Cocciolo. Nella lezione di ieri siamo passati dall uso di Derive a quello di Cabri 2, usando come ponte la costruzione dell Ellisse del Bernini. Abbiamo visto che tale costruzione è molto più semplice da fare con Cabri. Infatti, mentre con Derive, la costruzione delle Macro è più lunga e richiede la conoscenza delle equazioni cartesiane e/o parametriche delle curve disegnate, con Cabri l abbiamo disegnata usando i più semplici e classici strumenti della geometria sintetica: la riga ed il compasso Per questo motivo, Cabri potrebbe essere usato anche nelle scuole medie inferiori. Un altra differenza è che, mentre con Derive, una volta dati i comandi, è il computer a disegnare, con Cabri, il disegno lo deve fare lo studente, così come farebbe con carta e penna, di conseguenza, è molto più coinvolto. Il vantaggio dell uso di tale software è che il disegno è molto più preciso di un disegno fatto a mano; inoltre si ha la possibilità di trascinarlo sullo schermo in

2 modo da poter osservare che certe proprietà, intrinseche nell oggetto che stiamo disegnando, si mantengono in qualsiasi posizione lo si sposti, lo si ingrandisca o lo si rimpicciolisca. Il rischio che si corre è che lo studente pensi che, avendo tale strumento, non ci sia più bisogno delle dimostrazioni. Può capitare che la verità di un teorema appaia così ovvia da indurre lo studente a pensare che la dimostrazione sia inutile E allora, come al solito, è compito dell insegnante convincere lo studente che considerazioni fatte solamente osservando la figura, potrebbero essere fuorvianti. Solo una dimostrazione rigorosa ci può fare arrivare a dire se una proprietà è vera o meno. Il disegno fatto con Cabri è semmai utile alla dimostrazione stessa, in quanto una figura fatta bene, può far arrivare più velocemente alla soluzione Abbiamo anche intrapreso una discussione sul perché la Geometria risulti ostica alla maggior parte degli studenti. Siamo stati tutti più o meno concordi nel dire che le difficoltà stanno nell incapacità a sviluppare un ragionamento deduttivo e che su questo, un bravo docente dovrebbe lavorare. Nicolino Esposito. Nella lezione odierna abbiamo visto i primi rudimenti di Cabri software di geometria dinamica. Dopo aver discusso la soluzione del problema sull ovale di Piazza San Pietro, abbiamo visto come affrontare un percorso didattico e come primo esempio abbiamo visto le costruzioni di enti geometrici con riga e compasso. Poi abbiamo visto come disegnare e definire le Macro come Circonferenza Circoscritta che è risultata di gran lunga più semplice di quanto affrontato con Derive. Importante a mio avviso la spiegazione sui punti base ed il test di trascinamento per verificare, mano mano che costruiamo un qualunque ente, se ciò che stiamo facendo sia corretto o meno. Ritengo corretto aver parlato dei commenti della scorsa lezione, nonché i suggerimenti su come comportarsi in aula. Silvia Fantasia. Nella prima parte di questa lezione abbiamo discusso sui commenti relativi alle 2 lezioni precedenti e ai problemi che ciascuno di noi ha avuto. Abbiamo inoltre commentato la scheda 11 dell ellisse eseguita con Derive e l abbiamo svolta anche con Cabri. E risultata di notevole semplicità con tale programma semplicemente utilizzando lo strumento Conica (conica passante per 5 punti). Riguardo la migliore approssimazione ci siamo resi conti che il problema era fuorviante, e l articolo determinativo non era corretto una ellisse e non l ellisse. Ci siamo resi conto che bisogna stabilire cosa significa migliore approssimazione e che il tutto è soggettivo. Cabri invece risulta più divertente e dinamico. Abbiamo disegnato solo con riga e compasso segmenti, punti medi, retta perpendicolare ad una retta data, circonferenza circoscritta ad un triangolo (stesso es. svolto con Derive).e abbiamo creato rapidamente delle macro (cosa che Euclide aveva già concepito). Ritengo che per i ragazzi del liceo forse può essere più appassionante l utilizzo di Cabri semplicemente perché lo studente diventa un ricercatore, può fare delle congetture e dimostrarle. La geometria così può diventare più agevole e meno pesante, come attualmente è percepita dagli studenti. Stefano Farina. L insegnante deve tener conto dello stato dello studente, e regolarsi di conseguenza per quanto riguarda il lavoro e lo studio che gli richiede, nonché il suo criterio di valutazione; la lezione e la discussione di questo giorno è stata istruttiva da questo punto di vista. Per quanto riguarda in special modo il problema che ci era richiesto, trovare l ellisse che meglio approssima la curva del Bernini, credo sia un ottimo criterio quello di fare domande a trabocchetto, chiedendo cose che non hanno un senso preciso, in modo da indurre lo studente a riflettere: questo dovrebbe favorire l acquisizione di una certa padronanza della materia da parte sua. Sarei però un po restio a usare un simile metodo in sede di esame (che richiede valutazione). Per esempio, io mi ero accorto che l ellisse che meglio approssima è un espressione ambigua, e

3 che (come ho anche scritto) ci possono essere diversi criteri; ma, non avendo colto l importanza che lei attribuiva a questa presa di coscienza, mi sono fermato abbastanza poco sulle ellissi che potevano fornire altre approssimazioni, oltre a quella che ho scelto; mi sono limitato a enunciare, a parole, diverse di queste possibilità, spiegando in modo molto sintetico il motivo per cui non mi soddisfacevano (mancanza di simmetria, eccentricità ecc.), e, come unico esempio alternativo, ne ho tracciata una che, passando per 4 punti diversi da quelli da me scelti (i vertici dell ellisse), risultava molto chiaramente una pessima approssimazione (a confermare così la bontà della mia scelta, e al tempo stesso il fatto che essa non era scontata); se però avessi colto meglio ciò che per lei se ho ben capito aveva più importanza, avrei forse fatto più esempi di ellissi che, con criteri diversi da quello che ho scelto io, potevano comunque considerarsi delle buone approssimazioni. Concludendo, penso che domande a trabocchetto possano andar bene nel corso di una lezione, o anche di una interrogazione, in cui comunque, se lo studente non coglie quello che deve cogliere, c è sempre modo di farglielo capire in itinere; ma in un esame che deve eseguire da solo (vuoi in classe o vuoi a casa), sarebbe meglio, credo, dare almeno qualche piccolo indizio, per fargli capire, non qualcosa che dovrebbe capire da solo (come il fatto che non c è in modo automatico la miglior ellisse approssimante ), ma piuttosto, cosa deve sottolineare maggiormente nel suo lavoro: questo fatto può senz altro determinare delle notevoli differenze nello svolgimento dell esercizio (differenze non necessariamente dovute a una mancanza di comprensione dello studente). Altro breve appunto. Quando si tratta di procedure formali, nulla è scontato: ad esempio, il fatto che Derive mantenga la memoria delle variabili che si sono definite, anche in file diversi, fino a quando il programma intero non venga chiuso, ecc., non lo era affatto! Gli errori che possono venir fuori da una non conoscenza di questo genere di cose possono far perdere molto tempo, proprio perché uno può non riuscire a capire dove sia il problema (e ho il forte sospetto che sia proprio questo che, due lezioni fa, mi ha inchiodato al computer per un bel po ). Infine, brevemente, voglio rilevare le possibilità didattiche offerte da un software come Cabri: la geometria dinamica consente di visualizzare facilmente, in modo immediato, una molteplicità di esempi di teoremi (come quelli sugli angoli che sottendono archi di cerchio assegnati), senza beninteso poter sostituire la loro dimostrazione, o viceversa, permette di rendersi conto, in modo altrettanto rapido, dalla falsità di una congettura. Desiré Franchin. La terza lezione, in cui abbiamo iniziato a lavorare con Cabri, è stata geometricamente molto utile, anche più di Derive. Infatti ha un' impostazione concettuale diametralmente opposta, parte dai grafici e (forse vedremo se) arriverà alle equazioni, mentre Derive partiva dalla definizione algebrica per ottenere la rappresentazione geometrica, richiedendo in tal modo una pregressa dimestichezza con i programmi orientati ai linguaggi di programmazione. E' da considerare, a tal proposito, che operazioni come definire una macro o usarla dandogli dei valori in input, non sono ne' naturali ne' comuni al percorso scolastico di ogni alunno, risultando così adatti a scuole dove si studia programmazione ( quanto meno ad oggetti). Forse per questo Cabri è sempre più usato nei licei, e risulta essere molto intuitivo grazie anche all' interfaccia grafica. Come già detto in precedenza, ai ragazzi delle scuole superiori resta impresso tutto ciò che ha una rappresentazione grafica; se aggiungiamo poi la possibilità di ' toccare con mouse' il verificarsi di certi teoremi o situazioni matematiche abbiamo trovato uno strumento alternativo all' uso della lavagna che, se usato a piccole dosi, potrebbe destare quell' attenzione che spesso porta all' apprendimento facile e veloce. Basti pensare ad esempio all' applicazione del teorema di Euclide tramite proporzioni sui triangoli simili piuttosto che all' enunciato standard: il 90% degli alunni lo ricorda da un anno all' altro, e se ha funzionato su mio nipote allora funziona su tutti.

4 Ciò che invece vedo ancora lontano è l' uso delle macro, ritengo che debba restare uno strumento ad esclusivo uso dell' insegnante per molti mesi prima di introdurlo nelle lezioni in classe, facilita il lavoro dell' insegnante e gli permette di guadagnare tempo a lezione. Bella l'impronta delle lezioni sull' uso di riga e compasso, sto rifacendo tutte le costruzioni imparate in prima media ma con un punto di vista superiore, non avrei mai pensato che sarebbero tornate... Silvia Marconi. In questo secondo incontro ho finalmente fatto la conoscenza anche del programma Cabri. Questo programma di geometria dinamica permette di vedere in tempo reale come evolve una figura geometrica spostando punti o oggetti di riferimento che sono serviti a costruirla. Questo può risultare utile per far svincolare lo studente dalle figure fisse che disegna sul foglio o che vede sui libri e per convincerlo dell applicabilità dei teoremi in tutti i casi in cui è applicabile, di cui quello che vede è un caso particolare. Ad esempio, potendo vedere la misura degli angoli, che pure varia in tempo reale modificando la figura, può toccare con mano che tutti i triangoli inscritti in una semicirconferenza sono rettangoli, anche nei casi in cui sembrerebbe meno evidente. Spesso gli studenti infatti tendono a vedere la geometria come una cosa statica, perché così sono abituati a vederla, e non hanno la capacità di immaginare le figure da altri punti di vista e non sono in grado di prevedere come si modificherebbe una figura se se ne spostasse un punto o se se ne variasse una lunghezza. L esempio tipico è il triangolo rettangolo: per chi è stato abituato a vederlo sempre con i cateti lungo i quadretti del quaderno o della lavagna, poi fa fatica a vedere un triangolo rettangolo quando è l ipotenusa ad essere disegnata lungo i quadretti. Le difficoltà maggiori si incontrano poi nei problemi sulle figure geometriche, spesso fatti nell ultimo anno delle scuole superiori, quando si è già affrontato lo studio della goniometria e delle funzioni, in cui si chiede ad esempio di massimizzare o minimizzare una quantità che può essere un area o una lunghezza, al variare della figura a seguito dello spostamento di un punto o della variazione di una lunghezza o di un angolo Gli studenti spesso non hanno idea di come si modifica la figura. Di conseguenza spesso non sanno neanche dove mettere l incognita (se a un angolo o a una lunghezza ). Ho notato che ormai nei libri delle scuole superiori, nei problemi di questo genere c è sempre il suggerimento di dove mettere l incognita. Questo sicuramente non stimola lo studente a ragionare sulla figura: lo studente la maggior parte delle volte comincia ad applicare tutti i teoremi che sa e che coinvolgono quell incognita messa lì dal suggerimento nella speranza che tra le varie formule trovino quello che gli serve, senza farsi un progetto di cosa gli serve di trovare per raggiungere lo scopo. Veder variare le figure con un programma di geometria dinamica forse può abituarli ad avere una visione non statica della geometria, anche se gli studenti andrebbero sempre incoraggiati a pensare prima a cosa aspettarsi e verificarlo poi con il programma. L uso del programma è abbastanza intuitivo e questo incoraggia lo studente che abbia preso sufficiente manualità a fare diverse prove e a ragionare sulle figure, cosa che invece non farebbe se quello che ha in mente di fare gli risultasse difficile da realizzare. Luca Piselli. Nel terzo incontro abbiamo abbandonato Derive per passare a Cabri Géomètre II Plus. Tutta la parte di guardante derivate e integrali possiamo intuitivamente scoprirla e imparare ad usarla da soli. Nel farlo abbiamo collegato i due universi attraverso il problema riguardante piazza san Pietro. Finalmente abbiamo anche passato 40 minuti circa parlando effettivamente di COME insegnare e non COSA insegnare. Seguendo questo corso l insegnamento è costantemente incentrato in questo: capire COME insegnare e capire gli eventuali problemi che potremmo incontrare. Nel particolare abbiamo affrontato i pro e i contro di usare un programma di geometria dinamica con studenti di scuole superiori. Tra i contro, c è che i ragazzi potrebbero usare questo programma

5 al fine di faticare di meno, quindi di meno imparare. Ogni strumento può però essere utilizzato nel modo peggiore. Cabri Géomètre II Plus ci consente invece di disegnare con molta facilità, di fare in modo che siano gli studenti stessi a proporre congetture poi da dimostrare rigorosamente. Però così facendo gli studenti lavorano come dei veri matematici o dei ricercatori: fanno esperimenti, congetture e dimostrazioni. Inoltre con Cabri Géomètre II Plus (come analogamente con GeoGebra) possiamo anche immaginare un percorso che veda gli studenti, con l ausilio delle macro, fare passi avanti proprio come fece Euclide: con riga e compasso. Quest ultimo è uno degli aspetti che mi affascinano maggiormente dei programmi di geometria dinamica. La geometria è l arte di capire cosa succede da figure sbagliate ma dobbiamo anche dire che una figura BEN fatta aiuta!, anche per far congetture. Tiziana Raparelli. Sono stata presente solo durante la discussione dei nostri commenti relativi alla lezione precedente, dai quali abbiamo riscontrato che in molti avevamo avuto parecchie difficoltà nel realizzare l esercizio con le macro; difficoltà dovute all essere andati troppo velocemente, e al fatto che ci era stata chiesta la risoluzione di un problema senza prima averci fornito tutto il materiale previsto. I problemi riscontrati sono serviti da punto di partenza per fare delle considerazioni didattiche, relative ad alcuni errori, possibilmente da evitare, quali la mole eccessiva di lavoro da assegnare a casa, o la richiesta di un compito troppo difficile. Abbiamo inoltre evidenziato l importanza di essere chiari al momento della stipula del cosiddetto contratto didattico. Ci sono stati alcuni spunti di riflessione interessanti ma, non nego che, essendo il ritmo delle lezioni così serrato, preferirei dedicare il tempo a disposizione all esercizio dell utilizzo dei software. Propongo infine per le prossime volte di discutere i commenti alla fine della lezione, momento in cui siamo più stanchi. Daniele Ribatti. La lezione di oggi è stata la prima volta che mi interfacciavo con il programma CABRI, in effetti, con un programma di geometria dinamica. Il programma mi è sembrato immediatamente essere molto intuivo, e la possibilità di poter alterare le costruzioni geometriche con un semplice movimento del mouse è davvero grandiosa. Quello che ho pensato dal primo utilizzo di CABRI è stato finalmente libero dal sistema di riferimento cartesiano, e questo lo abbiamo visto con la costruzione della circonferenza dati tre punti: semplice, pulita e breve; l esatto opposto di quello che abbiamo visto con DERIVE, dove abbiamo dovuto risolvere sistemi ed equazioni per ottenere la formula del centro e del raggio. Trovo che CABRI sia molto spendibile in classe, sia in laboratorio, ma anche in classe tramite l uso di un proiettore, a completamento della spiegazione dove è possibile mostrare agli studenti come variando la struttura un teorema, una proprietà restano invariate. Francesca Salvi. Abbiamo iniziato questa lezione soffermandoci su alcune osservazioni emerse nei commenti da noi inviati al professore sulla lezione precedente. In particolare il professore ci ha parlato di alcune possibilità di Derive, ad esempio quella di richiamare ogni volta macro precedentemente create, senza doverle sempre riscrivere. Mi piacerebbe imparare il comando che permette di far ciò. Il professore ha poi richiamato la nostra attenzione sull importanza che, ogni volta che si assegnano dei compiti, lo studente abbia capito cosa precisamente deve fare e che priorità di consegna hanno i vari esercizi assegnati. Legato a questo c è un altra questione fondamentale: la scelta della modalità di valutazione degli studenti in laboratorio. Sono state proposte varie possibilità, e di ognuna è stato presentato almeno un pro ed un contro. Siamo dunque passati ad analizzare il problema assegnatoci per casa la volta scorsa sulla curva di Bernini. Questo esercizio ci è servito per cominciare ad usare il programma successivo: Cabri 2

6 plus. Il professore ha disegnato la curva, e così facendo ci ha introdotti all uso del nuovo programma. Abbiamo poi discusso l esercizio. In particolare abbiamo discusso su una domanda mal posta nel testo di tale esercizio: trovare l ellisse che meglio approssima la curva di Bernini disegnata. Non è stata data la nozione di meglio approssima, e così è nata l ambiguità. Personalmente ho pensato che dato che non era stata data una tale precisazione, per l eventuale professore anziché creare panico in una classe di ragazzi dei primi anni di superiori, una possibilità poteva essere prendere in mano la situazione decidendo a priori cosa intendere con tali termini, e quindi portare avanti l esercizio, ad esempio scegliendo che per meglio approssima si intende l ellisse con gli stessi assi della curva di Bernini. Sarebbe stato poi interessante vedere se a qualche alunno fosse sorta una domanda al riguardo, e quindi discuterne. Dalla discussione che abbiamo avuto noi in classe ieri, mi sono comunque accorta di una mia approssimazione, in quanto nello svolgere su Derive questo esercizio, sarebbe stato meglio esplicitare questo ragionamento. Mi sono dunque accorta sulla pelle dell importanza delle osservazioni che prima il professore ha fatto (vedi qui 3 paragrafo). Nel resto della lezione il professore ci ha consegnato 6 schede, per iniziare a imparare a lavorare con Cabri, cominciando con il disegnare figure come seguendo passo passo Euclide, e quindi provando a disegnare con questo programma figure geometriche come si stesse usando solo riga e compasso. Una volta imparato come si fanno alcune di queste figure, ci ha poi insegnato a creare delle piccole macro che salvassero i procedimenti appena svolti. Personalmente non avevo mai visto effettivamente Cabri, ne avevo solo sentito parlare, e mi ha un po impressionato vedere tutto ciò che in poco tempo siamo riusciti a fare con dei semplici clic. Mi è sembrato più intuitivo di Derive e più immediato, in quanto appunto con quest ultimo i comandi andavano da noi scritti, mentre con Cabri, almeno ieri, li abbiamo semplicemente cliccati. Trovo belle entrambe le possibilità, ma trovo comunque importante saper ripercorrere un processo, e saperlo indicare ad un terzo, non semplicemente con dei clic (un po come i sempre più nuovi programmi stile office ). Maria Francesca Sarullo. ASSENTE Elena Zaffaroni. All inizio della lezione si è brevemente discusso dell utilizzo dei sw al posto della matematica tradizionale, che nel futuro molte delle funzioni utilizzate in Analisi (derivate e integrali) verranno informatizzate e delle conseguenze di ciò. A questo proposito ho un esperienza diretta. Ho insegnato per due anni in una scuola americana. A ciascun studente era richiesto di possedere la propria TI-83, una calcolatrice programmabile. Con questa si possono fare cose molto interessanti ma ho trovato anche ragazzi che a 16 anni non sapevano risolvere un equazione (di primo o secondo grado), perché tanto era stata programmata nella calcolatrice! Nella lezione di oggi siamo stati introdotti al sw Cabrì. La reazione più immediata può essere: finalmente: fare matematica senza scrivere una formula! Sembra semplificare la vita e creare lezioni più stimolanti. Il rischio poi è che gli studenti predano quello che si fa nell ora di laboratorio più come un semplice divertimento che come un strumento di lavoro, se pur divertente. Per questo motivo, se dovessi utilizzare questo sw o simili, seguirei l approccio presentato a lezione in cui si parte dal creare gli oggetti di base che si possono costruire con sola riga e compasso (e via via si arriva a creare oggetti più complessi) invece che utilizzare fin da subito i comandi equivalenti della casella Strumenti. Così facendo, infatti, si percepisce che si sta effettivamente facendo geometria, anzi ci si rende conto di quanto la conoscenza della geometria sia fondamentale per un utilizzo ottimale di questo strumento e per sfruttarne a pieno le potenzialità. Ho apprezzato i collegamenti tra gli Elementi di Euclide e le macro che abbiamo creato. Sarebbe interessante fare osservare anche nelle scuole un collegamento tra come facciamo matematica oggi e come veniva fatta più di venti secoli fa, che gli antichi sapevano risolvere senza calcolatore molti

7 dei problemi per i quali oggi ci rivolgiamo alla tecnologia. Reputo che sia importante dare una dimensione storica a questa disciplina. Il tempo oggi è passato più velocemente del solito: forse perché il sw era intuitivo, o perché la lezione ha preso un ritmo più adatto a noi.

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