j Verso la scuola superiore Geometria euclidea e analitica

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1 j rso l suol suprior Gomtri uli nliti Ossrv l spzzt stilisi quli ll sgunti rmzioni sono vr quli ls. B D G E B è onsutivo B. DE è onsutivo G. B è onsutivo D. B è int D. B è onsutivo D. E è onsutivo G. Il sgmnto B è onsutivo l sgmnto B prhé h in omun on sso solo l strmo B. I sgmnti DE G non sono onsutivi prhé non hnno un strmo in omun. Il sgmnto B è onsutivo l sgmnto D prhé h in omun on sso solo l strmo. In prtiolr, i u sgmnti giiono sull stss rtt, quini sono nh inti. Il sgmnto B è int l sgmnto D prhé è sso onsutivo gi sull stss rtt. I sgmnti B D non sono onsutivi prhé non hnno nssun strmo in omun. Il sgmnto E è onsutivo l sgmnto G prhé h in omun on sso solo l strmo. Ossrv i sgunti sgmnti stilisi quli ll sgunti rmzioni sono vr quli ls. B M N O P B è onsutivo B. B è int B. MN è int OP. NO è int MN OP. MO è onsutivo ON. Il sgmnto B è onsutivo l sgmnto B prhé h in omun on sso solo l strmo B. Il sgmnto B è int l sgmnto B prhé è sso onsutivo gi sull stss rtt. I sgmnti MN OP non sono inti prhé, pur gino sull stss rtt, non hnno nssun strmo in omun. Il sgmnto NO è int l sgmnto MN prhé h l strmo N in omun gi sull stss rtt, è int l sgmnto OP prhé h l strmo O in omun gi sull stss rtt. Il sgmnto NO è tutto ontnuto nl sgmnto MO, quini ssi non hnno un solo strmo in omun.. lvi - G. Pnzr ELI - L Spig

2 rso l suol suprior Ossrv gli ngoli stilisi quli ll sgunti rmzioni sono vr quli ls. g O D B ÔB BÔ sono onsutivi. BÔ DÔE sono onsutivi. BÔ ÔD sono onsutivi. ÔB BÔE sono inti. Ô ÔE sono inti. ÔB DÔE sono opposti l vrti. Ô EÔD sono opposti l vrti. E g ÔB BÔ sono onsutivi prhé hnno in omun il vrti O il lto OB. BÔ DÔE non sono onsutivi prhé hnno in omun solo il vrti O. BÔ ÔD sono onsutivi prhé hnno in omun il vrti O il lto O. ÔB BÔE sono inti prhé sono onsutivi i lti O OE sono smirtt oppost. Ô ÔE sono inti prhé sono onsutivi i lti O OE sono smirtt oppost. ÔB DÔE non sono opposti l vrti prhé il lto OD non è il prolungmnto l lto OB. Ô EÔD sono opposti l vrti prhé il lto O è il prolungmnto l lto OD il lto O è il prolungmnto l lto OE. 4 Stilisi quli ll sgunti rmzioni sono vr quli ls. g h L somm i u ngoli uti è smpr un ngolo uto. Un ngolo onvo può ssr uto. Un ngolo uto uno ottuso possono ssr omplmntri. Du ngoli inti sono nh supplmntri. Un ngolo onvsso è smpr ottuso. Du ngoli supplmntri sono smpr inti. Du rtt ininti trminno quttro ngoli uguli. Du rtt prpniolri trminno quttro ngoli uguli. g h Du ngoli uti potrro vr mpizz tl h l loro somm supri i 90 : smpio 40 (uto) + 70 (uto) = 0 (ottuso). Un ngolo onvo è siurmnt mggior i un ngolo pitto quini non può ssr uto prhé un ngolo uto è minor i un ngolo rtto. Du ngoli sono omplmntri s l loro somm è un ngolo rtto, quini vono ssr ntrmi uti. I lti non omuni i u ngoli inti sono smirtt oppost h ormno un ngolo pitto. Un ngolo onvsso è minor i un ngolo pitto, m potr ssr mggior i un ngolo rtto. Du ngoli sono supplmntri quno l loro somm è un ngolo pitto, m potrro ssr isposti in moo qulsisi snz nssrimnt vr il vrti un lto in omun. Solo u rtt prpniolri trminno quttro ngoli uguli. È l inizion i rtt prpniolri.. lvi - G. Pnzr ELI - L Spig

3 Gomtri uli nliti omplt. Il supplmntr i un ngolo i 0 misur... Il omplmntr i un ngolo i 8 misur... Il supplmntr i un ngolo i 90 misur... Il omplmntr i un ngolo i 4 misur... Du ngoli supplmntri hnno pr somm 80, quini s un ngolo misur 0, l ltro misur: 80 0 = 70. Du ngoli omplmntri hnno pr somm 90, quini s un ngolo misur 8, l ltro misur: 90 8 =. Du ngoli supplmntri hnno pr somm 80, quini s un ngolo misur 90, l ltro misur: = 90. Du ngoli omplmntri hnno pr somm 90, quini s un ngolo misur 4, l ltro misur: 90 4 = 4. 6 Qunto misur l ipotnus i un tringolo rttngolo i ui tti misurno m 6 m? 6 m 9 m 4 m Torm i Pitgor In ogni tringolo rttngolo il qurto ostruito sull ipotnus è quivlnt ll somm i qurti ostruiti sui tti: i= + = i = i Briiol i tori pplino il torm i Pitgor si h: i= + i= + 6 i= + 6 i= + 96 i = = 9 m 7 Qul numro orm un trn pitgori on 0 4? Un trn i numri nturli è init pitgori s un tringolo l ui misur i lti sono t tli numri sois il torm i Pitgor, ioè è rttngolo; noi non sppimo s i numri ti si ririsono ll misur i u tti l tringolo rttngolo oppur ll misur i un tto ll ipotnus. Nll prim ipotsi lolimo: i= i= i= non è un qurto prtto, quini 0 4 non possono ssr l misur i tti i un tringolo rttngolo. Supponimo llor h 4 si l misur ll ipotnus (h è il lto mggior l tringolo rttngolo) 0 si l misur i un tto; lolimo il sono tto: = 4 0 = = 6 = 6 Possimo quini rmr h il trmin mnnt pr ormr l trn pitgori on 0 4 è 6.. lvi - G. Pnzr ELI - L Spig

4 rso l suol suprior 8 Un tringolo rttngolo h l proizioni i tti sull ipotnus lungh 9 m 4 m. L ltzz rltiv ll ipotnus: misur 6 m. misur 6 m. non si può lolr. H B Sono torm i Euli In ogni tringolo rttngolo l ltzz rltiv ll ipotnus è mi proporzionl tr l u proizioni sull ipotnus. Briiol i tori H = 4 m BH = 9 m H =? pplino il sono torm i Euli si ottin: H : H = H : BH 4 : H = H : 9 H = 4 9 = 6 = 6 m 9 In un tringolo rttngolo l ipotnus misur 8 m l proizion i un tto sull ipotnus misur 8 m. Il tto ui si riris l proizion: misur 9 m. misur 6 m. misur m. H B Primo torm i Euli In ogni tringolo rttngolo isun tto è mio proporzionl tr l ipotnus l su proizion sull ipotnus. Briiol i tori B = 8 m H = 8 m =? 0 Il primtro i un qurto è 0 m. L su r è: pplino il primo torm i Euli si ottin: H : = : B 8 : = : 8 = 8 8 = 44 = m m D m p BD = 0 m m r BD =? B Pr lolr l r i un qurto è nssrio onosr l misur l lto h possimo trovr ivino il primtro pr 4, priò: l = (0 : 4) = m B = B = D = D = m r = l r BD = B ( ) = m r BD = m. lvi - G. Pnzr ELI - L Spig 4

5 Gomtri uli nliti Si vuol ostruir un tringolo isosl utilizzno i stonini tutti uguli in moo h il lto oliquo si oppio ll s. Qunti stonini oorrono? 6 In numro multiplo i. Possimo shmtizzr il prolm utilizzno il mtoo grio: s lto oliquo primtro lto oliquo Pr ostruir tl tringolo è nssrio utilizzr un numro i stonini h si multiplo i. Qunti ssi i simmtri possi un tringolo isosl? Nssuno B H H è l unio ss i simmtri in qunto è simmtrio i s stsso B sono simmtrii risptto ll rtt sostgno i H. Rior h un tringolo quiltro è un prtiolr tringolo isosl, m in qusto so gli ssi i simmtri sono. L isomtri sono: solo l simmtri. l simmtri l rotzioni. l simmtri, l rotzioni l trslzioni. Simmtri, rotzioni trslzioni sono isomtri prhé mntngono inltrt orm imnsioni ll igur h suisono tli trsormzioni. 4 Ossrv l igur ini l rispost stt. O B K I tringoli OB, BO BK hnno l si uguli pr ipotsi l ltzz uguli prhé tutt pri ll istnz tr u rtt prlll, priò i tringoli ti sono quivlnti. Solo i tringoli OB BO sono quivlnti. I tringoli OB, BO, KB sono quivlnti. I tringoli OB, BO, KB non sono quivlnti. Ossrv l igur ini l rispost stt. B B = 4 = B = 4 B B. lvi - G. Pnzr ELI - L Spig B risult iviso in quttro prti uguli rpprsnt tr i qust prti, priò = B. 4

6 rso l suol suprior 6 Un tringolo on u ngoli mpi 4 è: isosl. rttngolo. rttngolo isosl. S il tringolo h u ngoli uguli sso è siurmnt isosl. Inoltr s i u ngoli uguli misurno 4 isuno, il trzo misurrà 80 (4 + 4 ) = 90 : quini, vno un ngolo rtto, il tringolo è nh rttngolo. L rispost orrtt è. 7 In un quriltro tr ngoli sono mpi 00, ; il qurto ngolo è mpio: Pr trovr l mpizz l qurto ngolo isogn riorr h l somm gli ngoli intrni i un quriltro è ugul 60, priò tl mpizz è t 60 ( ) = 0. 8 Un rttngolo h l s h è ll ltzz il primtro i m. L igonl misur: 4 40 m 4 m 7 m D B pplihimo il mtoo grio: H K B B ( : ) = 6 m B + B (6 : 7) = 8 m HK (8 4) = m B (8 ) = 4 m B pplihimo il torm i Pitgor l tringolo B: = B + B = 4 + = = 600 = 40 m 9 Un tringolo è insritto in un smiironrnz h u lti lunghi m 6 m. Qunto misur il rggio? m 0 m 0 m B = m = 6 m BO = r =? B O Il tringolo è rttngolo prhé insritto in un smiironrnz; l ipotnus l tringolo è il imtro ll smiironrnz, priò pplino il torm i Pitgor si ottin: B = B + B = + 6 = = 400 = 0 m S il imtro misur 0 m, il rggio è l su mtà, priò misur 0 m.. lvi - G. Pnzr ELI - L Spig 6

7 Gomtri uli nliti 0 Tutti i punti l pino rtsino i siss ngtiv orint positiv si trovno: nl II qurnt. nl III qurnt. nl I qurnt. I punti on siss ngtiv si trovno ll sinistr ll ss ll orint; i punti i orint positiv si trovno l i sopr ll ss ll siss. Nl pino rtsino l prt in lto sinistr orrispon l sono qurnt. Il punto mio l sgmnto i strmi (, 9) B(, ) h oorint: (4, 6) (, ) (, ) L ormul pr lolr l oorint l punto mio M i un sgmnto B sono x + x y y B y = + B x = M priò imo: M x M = + = 9 y M = = quini M(, ). L rtt i quzion y = x 4 è prpniolr ll rtt i quzion: y = x + y = x + y = x + Du rtt prpniolri hnno i oiinti ngolri h sono uno l opposto l riproo ll ltro; il riproo i è, il suo opposto è priò l rispost orrtt è y = x +. onsir l sgunt tll. qul unzion orrispon? x 4 y 7 y = x y = x y = x + 9 onsirimo l rispost y = x: possimo siurmnt srtrl prhé ll tll si v h l vriil ipnnt non è smpr ugul ll vriil inipnnt; onsirimo l rispost y = x + 9: possimo siurmnt srtrl prhé l vriil ipnnt v ssr smpr mggior ll vriil inipnnt; onsirimo l rispost y = x : possimo vriir h orrispon i vlori riportti in tll prhé pr x = imo y = =, pr x = imo y = =, pr x = 4 imo y = 4 = 7. 4 Qul tr l sgunti unzioni rpprsnt l proporzionlità irtt? y = x y = x y = x L rispost stt è in qunto risptt l ormul rltiv ll proporzionlità irtt h è y = kx; in qusto so k vl. Riorno h u grnzz sono irttmnt proporzionl s l roppir, triplir, (imzzr, ivntr l trz prt ) i x, nh y roppi, tripli, (imzz, ivnt l trz prt ), possimo vriir h solo l rispost è qull orrtt, intti: y = x pr x = si h y = ; pr x = si h y = : l roppir i x, l y non roppi; y = x pr x = si h y = ; pr x = si h y = 6: l roppir i x, l y roppi; y = x pr x = si h y = 0; pr x = si h y = : l roppir i x, l y non roppi.. lvi - G. Pnzr ELI - L Spig 7

8 rso l suol suprior L rpprsntzion gri ll unzion y = x 4 è: un rtt h pss pr l origin. un rtt h pss pr P(4, 0). un rtt h pss pr P(0, 4). Il trmin noto ll unzion ini h l rtt intrs l ss ll orint nl punto i orint 4, quini l rispost orrtt è. 6 L u rtt y = x + y = x sono: prpniolri. prlll. ininti. I oiinti ngolri ll u rtt non sono uguli ( ), priò l u rtt non sono prlll; non sono uno l opposto l riproo ll ltro ( ), priò l rtt non sono prpniolri; l rtt non possono h ssr ininti. 7 Qul tr l u rtt r: y = x s: y = x orm un ngolo minor on l ss ll orint? r s ormno ngoli uguli. I u oiinti ngolri vlgono rispttivmnt ; ssno > l rtt s orm on il vrso positivo ll ss ll siss un ngolo mggior risptto ll rtt r; poihé gli ngoli ormti isun rtt on i u ssi oorinti sono omplmntri, l rtt s orm on l ss ll orint un ngolo minor risptto ll rtt r. 8 L rtt i quzion y = 4 è: prlll ll ss y. prlll ll ss x. isttri l primo trzo qurnt. L quzion y = 4 ini h tutti i punti i tl rtt hnno orint ostnt pri 4; un rtt h mntin ostnt l su istnz ll ss ll siss è sso prlll. 9 L rtt i quzion x = +7 è: prlll ll ss y. prlll ll ss x. isttri l primo trzo qurnt. L quzion x = +7 ini h tutti i punti i tl rtt hnno siss ostnt pri +7; un rtt h mntin ostnt l su istnz ll ss ll orint è sso prlll. 0 L quzion ll isttri l sono qurto qurnt: y = x y = x y = 0 L quzion y = x iniviu l isttri l primo trzo qurnt. L quzion y = 0 iniviu l ss ll siss. L quzion y = xiniviu l isttri l sono qurto qurnt, quini l rispost orrtt è.. lvi - G. Pnzr ELI - L Spig 8