Elettrotecnica. Regime lentamente variabile. Corso di. Teoria dei Circuiti. Università degli Studi di Pavia. Dipartimento di Ingegneria Elettrica

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1 Universià degli Sudi di Pavia Facolà di Ingegneria Corso di Eleroecnica Teoria dei Circuii Regime lenamene variabile

2 v(), i(), p() funzioni del empo Esempio: a() a Relazioni: non algebriche, ma inegro-differenziali Misura: anche con oscilloscopio (CRO) Caso paricolare: regime periodico alernao sinusoidale

3 v(), i(), p() funzioni del empo Dal regime sazionario al regime lenamene variabile valgono ancora le definizioni i i i di bipolo (ideale, lineare) poenza p()=v()i() ()i() caraerisica, ma olre a v anche vd v i i id

4 NUOVI TIPI DI BIPOLO Bipoli conservaivi (perfei = senza perdie) Accumulano energia inerna W i Inoperosi se W i non varia con Scambiano P e se W i varia con Sono serbaoi di energia inerna (comparivano nel regime sazionario, ma non lavoravano perchè non variava W i con ).

5 TIPI DI BIPOLO Olre a generaori e uilizzaori P ~ ~ ~ ~ P ne P e P e = P ne + P Bipoli conservaivi (perfei) P i P e P e = P i = dw i / d

6 TIPI DI BIPOLO Il più generico bipolo in regime P variabile: ~ ~ P ne ~ P i ~ P e P e + P ne + P i + P = 0

7 BIPOLI ELETTRICI CONSERVATIVI Faori della poenza: i,v Esisono due ipi di bipoli elerici conservaivi che accumulano energia inerna W, supposi lineari e perfei: BIPOLO PARAMETRO EN. INTERNA condensaore capacià C ½ Cv 2 induore induanza L ½ Li 2

8 BIPOLI ELETTRICI CONSERVATIVI Equazione di funzionameno (legge di Ohm) iv = p = dw/d in forma differenziale condensaore i v = induore v i = d 1 ( Cv 2 ) v d 2 = dv C d d 1 ( Li 2 ) d 2 = di i L d

9 BIPOLI ELETTRICI CONSERVATIVI Equazione di funzionameno in forma inegrale condensaore q id = Cv carica elerica q=cv (impulso di correne) induore u vd = Li u = Li flusso magneico (impulso di ensione)

10 FENOMENOLOGIA DEL CONDENSATORE Carica, accumulo e scarica sperimenalmene R 1 CRO R 2 E v i R 0 Pos 3 Pos 1 Pos 2 Pos 3 CRO E/R 1 E R 2 <R 1 0 carica c accumulo s scarica 0 -E/R 2

11 FENOMENOLOGIA DEL CONDENSATORE Pos 3 E Pos 1 Pos 2 Pos 3 v coninua, i disconinua, 0 carica c accumulo 0 s scarica R c R 1 s R 2 non dip. da E c s = id = Q = s 0 0' Q id di d R R q c = id ' dipende d da v() 0 non dip. da R 1 o R 2, ma da E

12 EQUAZIONE DI FUNZIONAMENTO CARATTERISTICA, Esise un legame ra = c Q s c,s id e la ensione E finale: f(q,e)=0 q() = Esise un legame ra 0 e la ensione v: f(q,v)=0 id' 0,0' Q=Q(E) caraerisica saica in base E q=q(v) caraerisica dinamica in base v In generale, se il condensaore è perfeo, allora caraerisica saica caraerisica dinamica

13 CONDENSATORI NORMALI PERFETTI Equazione di funzionameno Farad in forma inegrale q = Cv v = C = q v capacià [As] [ C] = = [F] [V] 1 v() dipende d da i() e i d' 0 anche dalla sua soria: il condensaore ha memoria! C in forma differenziale dv i = C d

14 CONDENSATORI NORMALI PERFETTI (ENERGIA) W Accumulaa nella carica: energia assorbia c dv d' v 2 = p d' = iv d' = C v d' = Cv'dv' ' = Cv = Resiuia nella scarica: energia erogaa q C dv 1 = d' 2 = 0 2 Cv'dv' = Cv v Ws pd' = ivd' = C vd' = q C W=W c =W s indipendenemene dalla forma di v()

15 CONDENSATORI NORMALI PERFETTI (ENERGIA) Osservazioni: W=W(v)=W(q) inolre W() è coninua allora anche v e q sono coninue con (in generale è falso per i) allora v (oppure q) è variabile di sao

16 CONDENSATORI ANOMALI Equazione di funzionameno q = q(v()) ()) dq i = = d dq dv CONDENSATORI NORMALI TEMPO VARIANTI dv d Equazione di funzionameno d dv i = C()v() = C + d d q = C()v() [ ] v dc d

17 TIPI DI CONDENSATORI (GEOMETRIE) A FOGLI A DISCO A ROTOLO

18 TIPI DI CONDENSATORI (DIELETTRICI) MICA CERAMICA C bassa V ala Sabili con la emperaura Precisi Robusi Precisi Poco cososi A fogli A disco PLASTICA C ala Vala A roolo

19 TIPI DI CONDENSATORE (DIELETTRICI) OSSIDO DI Al, TANTALIO a roolo Eleroliici Elerodi: Al (analio) e soluzione eleroliica Al: insabili con la emperaura Tanalio: sabili con la emperaura C ala in correne coninua

20 INDUTTORI LINEARI PERFETTI Magneizzazione, accumulo e smagneizzazione sperimenalmene CRO R 2 A R1 R 0 Pos 3 Pos 1 Pos 2 Pos 3 A v CRO i AR 1 0 s R 2 >R 1 0 magneiz m accumulo zazione -AR 2 zazione smagneiz

21 Pos 3 Regime lenamene variabile FENOMENOLOGIA DELL INDUTTORE 0 U A m u() Pos 1 Pos 2 Pos 3 magneiz m zazione = accumulo = U 0 m s = s 0 = vd vd' 0 s smagneiz zazione vd i coninua, v disconinua, 1 m R 1 s R non dip. da R 1 o R 2, 0' ma da A dipende da i() 1 2 non dip. da A

22 EQUAZIONE DI FUNZIONAMENTO CARATTERISTICA m, s 0,0' 0 U m = vd Esise un legame ra e la correne I finale: f(u,i)=0 Esise un legame ra e la correne i: f(u,i)=0 u() = 0 vd' U=U(I) caraerisica saica in base I u=u(i) caraerisica dinamica in base i In generale, se l induore è perfeo, allora caraerisica saica caraerisica dinamica

23 INDUTTORI NORMALI PERFETTI Equazione di funzionameno Henry in forma inegrale u [Vs] u = Li L = induanza [ L] = = [H] i [A] i = 1 L 0 in forma differenziale di v = L d vd' i() dipende da v() e anche dalla sua soria: l induore ha memoria!

24 INDUTTORI NORMALI PERFETTI (ENERGIA) Accumulaa nella magneizzazione: energia assorbia = di i W m pd' = ivd' = L i d' = Li'di' = Li = d' Resiuia nella smagneizzazione: energia erogaa di 1 = d' 2 = 0 2 Li'di' = Li i Ws p d' = vid' = L i d' = 2 u L u L W=W m =W s indipendenemene dalla forma di i()

25 INDUTTORI NORMALI PERFETTI (ENERGIA) Osservazioni: W=W(i)=W(u) inolre W() è coninua allora anche i e u sono coninue con (in generale è falso per v) allora i (oppure u) è variabile di sao

26 INDUTTORI ANOMALI Equazione di funzionameno in base correne u = u(i()) du v = = d du INDUTTORI NORMALI TEMPO VARIANTI di di d Equazione di funzionameno d di v = L()i() = L + d d u = L()i() [ ] i dl d

27 TIPI DI INDUTTORE IN FERRO L ala variabile con I Fe laminao Circuii di poenza IN ARIA L bassa cosane Circuii radio IN FERRITE L relaivamene ala variabile con I Coso elevao Circuii radio

28 FORME D ONDA DEI SEGNALI ELETTRICI SEGNALE ELETTRICO a() : (v, i) ai morsei di un bipolo in un lao di circuio - a() è periodico se a(+t) = a() per ogni T = periodo [s] f = 1/T = frequenza [s -1 =Hz] ω = 2π/T = pulsazione [rad s -1 ]

29 FORME D ONDA DEI SEGNALI ELETTRICI ESEMPI a reangolare ω = θ a riangolare ω = θ T a T sinusoidale 2π T ω = θ

30 FORME D ONDA DEI SEGNALI ELETTRICI - a() è aperiodico, viceversa a ESEMPI cosane a rampa a() = k a() = 0, < 0 a() = k, 0

31 FORME D ONDA DEI SEGNALI ELETTRICI a a() = 0, < 0 a a() = 0, 0 a() () = k, 0 + impulso 0 a() d = k gradino (uniario se k = 1) 0 esponenziale a k 0.368k a() = ke -/τ τ = cosane di empo a() ende a zero dopo 5 τ τ

32 SEGNALE PERIODICO a A A m T Valore massimo A A M M Valore medio A = + m Valore medio arimeico A = ma + 1 T Valore efficace A = + Faore di verice k v =A M /A 1 T T a(')d' se A m 0, segnale alernao +TT 2 a 1 T (')d' T a(') d' Faore di forma k f =A/A ma

33 SEGNALE PERIODICO Se a() ha un numero finio di disconinuià in T e se esise ed è finio allora o a() = A dove a a() = A n +T a(') d' m + an cos(nω) + bn sin(nω) n= 1 n= 1 m + cn cos(nω ϕ) n= = a() π 1 2 cos(nω)dω bn = a()sin(n π ω)dω π 0 π bn c n = a n + bn ϕn = a an a n

34 SEGNALE PERIODICO Il segnale è definio dominio di Trasformaa a() () di Fourier funzione coninua dominio di ω A(ω) ) funzione disconinua (spero) Anirasformaa di Fourier