Rapporti Statistici. materiale a cura di Francesca De Battisti. Rapporti Statistici

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1 Rapporti Statistici materiale a cura di Francesca De Battisti Rapporti Statistici I rapporti statistici sono rapporti fra due grandezze legate da una relazione logica, di cui almeno una di natura statistica. Essi vengono prevalentemente calcolati per eliminare l influenza di circostanze che, altrimenti, non renderebbero confrontabili i dati.

2 Esempio Si voglia confrontare, per un dato anno e con riferimento ad un dato Paese, il numero di figli in due gruppi famigliari caratterizzati da diversa età media dei genitori Età media Numero Numero genitori famiglie di figli Non è corretto confrontare il numero di figli dei due gruppi famigliari Si possono calcolare due rapporti dividendo il numero di figli per il numero di famiglie. Si tratta di rapporti statistici perché sia il numeratore che il denominatore sono dati statistici. Esempio Si otterrà quindi: R1=4102/3499=1,172 R2=5966/4013=1,487 Quale informazione forniscono i due rapporti? R1 indica il numero medio di figli delle famiglie con genitori giovani. R2 indica il numero medio di figli delle famiglie con genitori adulti. Il confronto fra i due valori R1 e R2 consente di concludere che i genitori adulti hanno un maggior numero di figli dei genitori giovani.

3 Rapporti Statistici Il significato del rapporto è immediato: esso indica quanta parte del numeratore spetta idealmente ad una unità del denominatore. I rapporti statistici più utilizzati nelle applicazioni sono: I rapporti indici (o numeri indici) I rapporti di composizione (o di parte al tutto) I rapporti di coesistenza I rapporti di densità I rapporti di derivazione I rapporti di durata I rapporti di ripetizione Rapporti Indici Sono impiegati per facilitare la comprensione delle variazioni relative nel tempo o nello spazio di un fenomeno. Pongono a confronto le intensità o le frequenze di uno stesso fenomeno in tempi o luoghi diversi. Il termine con il quale vengono messi a rapporto tutti gli altri (denominatore della frazione) si dice base degli indici. L intensità del fenomeno nella situazione base è posta abitualmente uguale a 100 o ad 1 o ad altre potenze di 10.

4 Rapporti Indici Nel caso di una serie storica: se la base viene mantenuta fissa gli indici si chiamano a base fissa; se la base cambia di volta in volta, poiché si rapporta ciascun termine al precedente, si hanno gli indici a base mobile (base variabile). I numeri indici relativi ad una serie temporale sono detti numeri indici temporali; quelli relativi ad una serie territoriale sono chiamati numeri indici territoriali (o spaziali). Essendo i numeri indici dei numeri puri, cioè dei numeri privi di un contenuto concreto preciso, è spesso possibile istituire tramite essi confronti sulle variazioni di fenomeni diversi. Esempio Produzione di autoveicoli in Giappone negli anni (dati in migliaia). Anno Produzione

5 Esempio 1)la serie dei numeri indici base 1980=100; 2)la serie dei numeri indici base 1985=100; 3)la serie de numeri indici a base mobile. Anno , ,25 91,11 101, ,19 87,46 95, ,63 90,55 103, ,83 93,43 103, , , ,02 99,9 99, ,93 99,82 99, ,01 103,48 103,67 80 I 83 =100,63=(11.112/11.042)* I 83 =90,55=(11.112/12.271)*100 i 83 =103,54=(11.112/10.732)*100 Esempio 80 I 83 Interpretazione dei risultati ottenuti: 83 =100,63 - Nel 1983 in Giappone la produzione di autoveicoli è aumentata dello 0,63% rispetto al I 83 =90,55 - La produzione di autoveicoli in Giappone nel 1983 è stata del 9,45% in meno rispetto a quella del i 83 =103,54 - Nel 1983 in Giappone la produzione di autoveicoli è aumentata del 3,54% rispetto al 1982.

6 Rapporti di composizione Sono chiamati anche rapporti di parte al tutto. Si ottengono rapportando una intensità (o una frequenza) parziale all intensità (o frequenza) totale. Il risultato in genere viene moltiplicato per 100 ottenendo i rapporti percentuali. In una distribuzione di frequenze consentono di confrontare l incidenza (il contributo) di ciascuna modalità alla numerosità totale. Essi quindi non sono altro che le frequenze relative. In una distribuzione di quantità consentono di valutare il contributo alla quantità totale di una categoria, di una classe, ecc. Esempio Consumi di energia elettrica per categoria di utilizzatori (milioni di kwh). Italia Categorie di utilizzatori Consumi (milioni kwh) Consumi percentuali Agricoltura Industria Trasporti e telecomunicazioni ,59 61,11 3,63 Commercio, servizi e pubblica amministrazione ,83 Illuminazione pubblica ,56 Usi domestici Totale ,28 100,00

7 I rapporti di composizione permettono, in quanto numeri puri, di fare confronti temporali o confronti spaziali. Corso S.Stat.Dem. S.Stat.Att. S.Stat.Econ. Roma Trieste Totale iscritti alla Facoltà di Statistica a Roma = 2439 Totale iscritti alla Facoltà di Statistica a Trieste = 951 Corso S.Stat.Dem. S.Stat.Att. S.Stat.Econ. Roma 0,33 (33%) 0,18 (18%) 0,49 (49%) Trieste 0,24 (24%) 0,20 (20%) 0,56 (56%) Rapporti di coesistenza Esistono fenomeni in qualche modo antitetici che coesistono e per i quali riveste una certa importanza il loro studio relativo. Per una distribuzione di frequenza (o di quantità) si chiama rapporto di coesistenza ogni rapporto (eventualmente moltiplicato per 100) tra la frequenza (o la quantità) corrispondente ad una modalità e la frequenza (o la quantità) corrispondente ad un altra modalità.

8 Rapporti di coesistenza relativi ad una distribuzione di frequenza Distribuzione dei nati vivi in Italia nel 1981 secondo il sesso. Sesso Maschi Femmine Totale N.di nati vivi Oltre ai rapporti di composizione si può stabilire il rapporto tra il numero di nati vivi maschi e il numero di nati vivi di sesso femminile: R= / =1,07 Questo è un rapporto di coesistenza e prende il nome di rapporto di mascolinità alla nascita. Esso mostra che in Italia nel 1981 sono nati 1,07 maschi per ogni femmina. Se si moltiplica il rapporto per 100 si dirà che sono nati 107 maschi ogni 100 femmine. Naturalmente si può calcolare anche il rapporto di femminilità alla nascita dato da : R= / =0,94 Rapporti di coesistenza relativi ad una distribuzione di frequenza Con riferimento ad una data popolazione (italiana, regionale, provinciale, comunale) i rapporti di coesistenza permettono, ad esempio, di misurare: - La struttura per sesso della popolazione. Se P m = Numero di maschi P f = Numero di femmine P m /P f = Rapporto di mascolinità della popolazione P f /P m = Rapporto di femminilità della popolazione - La struttura per età della popolazione Se P s = Popolazione senile (da 60 anni in poi) P g = popolazione infantile e giovanile (meno di 15 anni) I v = (P s /P g )*100 = Indice di vecchiaia

9 Rapporti di coesistenza relativi ad una distribuzione di frequenza In Italia, I v = 30,1 nel 1911 e I v = 80,4 nel Questi valori indicano che ogni 100 giovani in Italia nel 1911 esistevano 30,1 anziani, mentre nel 1981 si avevano 80,4 anziani ogni 100 giovani. Viene così messo in evidenza il forte invecchiamento della popolazione italiana. Se P s = Popolazione in età da 65 anni in poi P a = Popolazione in età compresa tra 15 e 64 anni I s = (P s /P a )*100 = Indice di dipendenza degli anziani Tale indice sintetizza il carico della popolazione anziana (che quindi, data l età, non è autonoma) su quella che si presume la debba sostenere (popolazione presumibilmente attiva). Rapporti di coesistenza relativi ad una distribuzione di quantità Esportazioni dell Italia nel 1981 verso gruppi di paesi europei (Fonte ISTAT) Gruppo di paesi Comunità europea Europa orientale Altri paesi europei Totale Valori delle esportazioni (miliardi di lire) Con i dati della tabella si possono calcolare sei rapporti di coesistenza: 1)tra le esportazioni verso i paesi della Comunità e quelle verso l Europa Orientale: /2.850 = 13,03 2)il suo inverso: 2.850/ = 0,08 3)tra le esportazioni verso la Comunità e quelle verso gli altri paesi europei: / = 3,09 4)il suo inverso: / = 0,32 5)tra le esportazioni verso gli altri paesi europei e quelle verso l Europa orientale: /2.850 = 4,21 6)il suo inverso: 2.850/ = 0,24

10 Rapporti di coesistenza relativi ad una distribuzione di quantità Cosa ci indica ognuno dei sei rapporti? Ad esempio, il primo mette in evidenza che nel 1981 le esportazioni italiane verso i paesi della Comunità europea erano 13 volte quelle verso i paesi orientali, il terzo che l importanza delle esportazioni verso la Comunità è tripla di quella verso gli altri paesi europei. Altro diffuso rapporto di coesistenza è il cosiddetto grado di copertura (rapporto tra le esportazioni e le importazioni di un paese in un determinato periodo, moltiplicato per 100). Tale rapporto indica il valore della merce esportata contro una importazione di valore 100 (lire, milioni di lire, miliardi di lire). Osservazione A differenza dei rapporti di composizione, i rapporti di coesistenza possono assumere valori maggiori di 1 (o di 100 se sono rapporti percentuali). Rapporti di derivazione Essi sono dati dal rapporto fra l intensità o la frequenza di un fenomeno e l intensità o la frequenza di un altro fenomeno che si ritiene la causa o il presupposto del fenomeno posto al numeratore. Ad esempio la popolazione può considerarsi la causa di molti fenomeni dell attività umana; fra questi sono particolarmente rilevanti alcuni fenomeni demografici quali le nascite, le morti, i matrimoni, ecc.

11 Esempio Si supponga di voler confrontare la propensione ad avere figli della popolazione ligure con quella della popolazione abruzzese. A tal fine non si possono confrontare semplicemente i dati relativi al numero di nascite nelle due regioni in un determinato periodo temporale (ad esempio: anno 1981; nascite in Liguria e nascite in Abruzzo). Tali dati dipendono infatti oltre che dalla diversa propensione degli abitanti delle due regioni ad avere figli (caratteristica che si vuole confrontare), anche dal diverso ammontare della popolazione nelle due regioni (anno 1981: popolazione presente in Liguria = unità; popolazione presente in Abruzzo = unità). Esempio Il quoziente fra il numero delle nascite avute nel 1981 ed il numero di abitanti nello stesso anno in una data regione dà luogo ad un rapporto di derivazione, che moltiplicato per 1000 indica il numero di nascite attribuibili ad una popolazione di 1000 unità. I valori ottenuti per l esempio proposto risultano pari a 6,8 nati ogni 1000 abitanti in Liguria e a 11,2 nati ogni 1000 abitanti in Abruzzo. Pertanto si può affermare che, contrariamente all indicazione fornita dalle cifre grezze, la propensione alla procreazione degli Abruzzesi nel 1981 è stata nettamente superiore a quella dei Liguri. Il rapporto così costruito viene detto quoziente generico di natalità, in quanto i dati vengono rapportati anche ad una parte di popolazione che, per ragioni d età, non si può considerare presupposto del fenomeno posto a numeratore. I demografi sono soliti rapportare le nascite anche al numero di donne in età feconda (15-49 anni), ottenendo così misure meno generiche della propensione ad avere figli. Rapportando il numero delle morti al numero di abitanti si ottiene il quoziente di mortalità, mentre il rapporto fra numero di matrimoni e numero di abitanti dà luogo al quoziente di nuzialità.

12 Rapporti di densità Con i rapporti di densità una circostanza quantitativa caratteristica di un dato fenomeno viene rapportata ad una dimensione del campo in cui viene osservata (spazio, tempo o altra dimensione). Dei rapporti di densità si fa larghissimo uso, perché servono ad eliminare l influenza esercitata dall intensità del fenomeno posto al denominatore sulla grandezza posta al numeratore, rendendo così comparabili dati che, altrimenti, rimarrebbero eterogenei, per l influenza simultanea di più circostanze. Le frequenze specifiche sono rapporti di densità (al denominatore si pone l ampiezza della classe). Esempi 1. Si consideri per un dato territorio l insieme dei campi coltivati a frumento: sia p la produzione di frumento (in tonnellate) e h l estensione totale dei campi (in ettari). Il rapporto p/h è un rapporto di densità ed indica la produzione media (in tonnellate) per ogni ettaro coltivato (unità di superficie). 2. Se si desidera confrontare l addensamento di popolazione in due regioni italiane, non si possono confrontare direttamente i numeri di abitanti delle due regioni, perché queste differiscono oltre che per la diversa natura, anche per l ampiezza della superficie regionale, che ha una certa influenza sull ammontare della popolazione. Pertanto occorre rapportare il numero di abitanti al numero di kmq di superficie nelle due regioni, ottenendo così il numero di abitanti per kmq. I valori ottenuti sono confrontabili fra loro.

13 Rapporti di durata I rapporti di durata si costruiscono quando si è in presenza di un insieme di unità che in un dato intervallo di tempo è soggetto ad un flusso di entrata e ad un flusso di uscita. Si pensi al numero di dipendenti di un azienda nell anno Tale numero: 1. potrebbe essere rimasto invariato dall inizio alla fine dell anno (300 dipendenti); 2. potrebbe essere aumentato (passato da 300 all a 302 dipendenti al ); 3. potrebbe essere diminuito (passato da 300 all a 295 dipendenti al ) Rapporti di durata Nel caso 1) si è in presenza di popolazione stazionaria, ma ciò non implica che non si possano essere verificati dei cambiamenti. Infatti nel corso dell anno alcuni dipendenti potrebbero aver cessato il rapporto di lavoro (licenziati, pensionati) e potrebbero essere stati assunti nuovi dipendenti in uguale numero. Cioè se si indica con: U = numero di usciti nell intervallo di tempo (flusso d uscita); E = numero di entrati nell intervallo di tempo (flusso d entrata); C = consistenza del fenomeno; nel caso di popolazione stazionaria è E = U. In questo caso si può calcolare il rapporto Rd = C/E ovvero Rd = C/U. Esso indica la permanenza media (espressa in anni o frazioni di anno) di una unità nell insieme prima di uscire dall insieme stesso. Se E = U = 15 sarà Rd = 300/15 =20 anni. Con riferimento alla situazione del 1996, un dipendente in media permane in azienda 20 anni.

14 Rapporti di durata Nelle situazioni 2) e 3) (non stazionarietà della massa) per avere una valutazione attendibile della permanenza media bisognerebbe fare rilevazioni dirette sulla permanenza (durata) di una unità e poi ricavarne una media. Una valutazione approssimata della durata media si ottiene rapportando la consistenza media (semisomma delle consistenze all inizio e alla fine del periodo considerato) riscontrata nell intervallo di tempo considerato alla semisomma fra le entrate e le uscite: Rd=Cmedia/[(U+E)/2]. Caso 2) U=13; E=15; Cmedia=( )/2 Rd=301/14=21,5 anni Caso 3) U=15; E=10; Cmedia=( )/2 Rd=297,5/12,5=23,8 anni Rapporti di durata In ambito aziendale i rapporti di durata vengono applicati, oltre che nella gestione del personale, nello studio del movimento delle merci dei magazzini. Il rapporto fra il valore (in lire) della consistenza media delle merci nel magazzino (semisomma delle giacenze all inizio e alla fine dell intervallo di tempo considerato) e la semisomma tra il valore delle merci entrate ed uscite (flusso medio) dà la permanenza media (espressa in anni o frazioni di anno) di una lira investita nelle merci del magazzino. In ambito sanitario, i rapporti di durata vengono impiegati, tra l altro, per calcolare la degenza media dei ricoverati. Nelle statistiche del turismo, sono calcolati per determinare la permanenza media nelle diverse strutture turistiche (alberghi, locande, campeggi, abitazioni private) dei turisti. Si faccia attenzione che tanto più il fenomeno oggetto d analisi si allontana dalla condizione di stazionarietà, tanto maggiore deve essere la cautela nell interpretare i rapporti di durata calcolati.

15 Rapporti di ripetizione I rapporti di ripetizione consentono di misurare quante volte un dato fenomeno si ripete (si rinnova) nell intervallo di tempo considerato. I rapporti di ripetizione sono dati dal rapporto fra la semisomma del flusso d entrata e di quello di uscita e la consistenza media del fenomeno: R r = [(E+U)/2]/C Essi sono quindi il reciproco dei rapporti di durata. Nell esempio precedente, caso 1), sarà: R r = 15/300 = 0,05 volte all anno In un anno mediamente un dipendente si rinnova (ruota) 0,05 volte nell azienda (ovvia conseguenza di una permanenza media di 20 anni). Esempio In un deposito di prodotti agricoli, alla data dell , sono presenti 1500 tonnellate di grano. Nel corso dell anno 1992 i movimenti di grano, per bimestre, sono stati i seguenti: BIMESTRE I II III IV V VI ENTRATE (TON.) USCITE (TON.)

16 Esempio Permanenza media del grano nel deposito durante il 1992 Consistenza iniziale = 1500 ton. E = 2160 ton. U = 3300 ton. Consistenza finale = =360 ton. R d = [( )/2]/[( )/2]= 930/2730 = 0,341 frazione di anno = 0,341*365 = 124 giorni circa La permanenza media di una tonnellata di grano nel magazzino nel 1992 è stata di circa 124 giorni. Rapporto di ripetizione b) R r = 2730/930 = 2,935 volte nell anno. Una tonnellata di grano ruota circa 2,935 volte all anno nel deposito.