Tratto dal Corso di Telecomunicazioni Vol. I Ettore Panella Giuseppe Spalierno Edizioni Cupido. lim. 1 t 1 T

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1 rao dal Corso di elecomunicazioni Vol. I ore Panella Giuseppe Spalierno dizioni Cupido 4. nergia e Poenza Dao un segnale di ampiezza s() si definisce energia oale il valore del seguene inegrale: + / / lim s() d (7) Si definisce poenza oale il valore del seguene inegrale: P lim + / / s() d (8) Le precedeni relazioni ci dicono che l energia e la poenza di un segnale dipendono dal quadrao del segnale sesso. Per un segnale periodico di periodo, poso N con N inero si ha: P lim N N + N / N / s() d lim N N N + / / s() d + / / s() d Le precedeni uguaglianze si giusificano enendo cono che il segnale periodico, come è noo, ripee gli sessi valori ad inervalli di empo N. Perano, la poenza di un segnale periodico coincide con quella calcolaa in un periodo. Per meglio comprendere il significao fisico si consideri un generico segnale periodico di periodo di ensione v() applicao ad una resisenza R. Su di essa si sviluppa una poenza isananea p() pari a: p() v () R Nel caso di un segnale di correne si ha: p() R i () Supponendo la resisenza uniaria si ricava immediaamene che la poenza isananea coincide numericamene con il quadrao del valore isananeo del segnale. L energia fornia dal segnale in un inervallo di empo infiniesimo vale: d p()d Per i segnali periodici l inervallo di inegrazione si riferisce al periodo, per cui: La poenza risula: / + / v () d

2 P + / / Ad esempio, per il segnale v() V M cosω si ricava: v () d P + / / V M cos ω d VM + / / cos ω d Risolvendo l inegrale si oiene: P V M Nel caso di segnali periodici spesso si uilizza il valore efficace della ensione V eff o della correne I eff. Nel caso della ensione si valua con la seguene formula: + / V eff v() d (9) / Nel caso di segnale sinusoidale si oiene: VM Veff e I eff I M La poenza sviluppaa su una generica resisenza R vale: P V R eff ssa rappresena la noa formula dell eleroecnica per il calcolo della poenza. sempio n. 7 Calcolare l energia e la poenza oale per il segnale gradino di fig.. s() Risoluzione Fig. Segnale a gradino. Applicando le definizioni (7) e (8) per il caso in esame si ha: lim + / d lim

3 3 P lim + / d lim Il segnale a gradino appariene alla caegoria dei segnali a poenza finia denominai segnali di poenza. Un segnale a poenza finia presena sempre energia infinia. sempio n. 8 Calcolare l energia oale del segnale impulsivo isolao di fig.. s() Fig. Segnale impulsivo. Risoluzione Il segnale impulsivo isolao è un segnale limiao nell ampiezza e nella duraa. L energia oale si deermina applicando la (7) che in queso caso divena: d Il segnale impulsivo appariene alla caegoria dei segnali a energia finia denominai segnali di energia. Per ale segnale la poenza oale è nulla. Per quesa caegoria di segnali aperiodici è possibile solo definire una poenza isananea e non una poenza media oale. Nel caso di segnali periodici complessi per valuare la poenza o l energia si deve sosiuire al segnale s() il relaivo sviluppo in serie di Fourier e sviluppare i calcoli per le singole componeni armoniche. Si può dimosrare che, per un segnale periodico di cui è noo lo sviluppo di Fourier, enendo cono delle formule () e (3) relaive alla forma complessa dello sviluppo di Fourier, si ricava che l energia oale vale: / s () d F () + / La precedene relazione cosiuisce una delle forme del eorema di Parseval. Operando in ermini di rasformaa di Fourier, indicando con S(jω) la rasformaa del segnale s() si può enunciare il eorema di Parseval nella seguene forma: n n S(jω) π dω ffeuando un cambio di variabili e enendo cono che ω πf, si ricava:

4 4 S(jf ) df Al ermine S(jf) si aribuisce il significao di energia per unià di banda passane menre il ermine S(jω) rappresena la densià sperale di energia o semplicemene spero di energia del segnale s(). 5. Inegrale di convoluzione Assegnae due funzioni x() e h() si definisce inegrale di convoluzione la funzione y(): Si pone: y() x( τ) h( - τ)dτ y() x()*h() () Il simbolo aserisco * indica il prodoo di convoluzione ra le funzioni x() e h() menre la variabile indica l isane in cui viene calcolaa la convoluzione. L inegrale di convoluzione è un operaore lineare e gode delle segueni proprieà: Commuaiva Disribuiva Associaiva z() x ()*x () x ()*x () z() [x () + x ()]*y() x ()*y() + x ()*y() z() [x () * x ()]*y() x ()*[x ()*y()] Applicando la rasformaa di Fourier alla precedene relazione e moliplicando e dividendo per e jωτ si può scrivere: I jω jωτ jω( τ) [ y() ] y()e d x( τ)e dτ h( τ)e d I[ x() ] I[ h() ] Cioè: Y(jω) X(jω) H(jω) () Perano si può affermare che la rasformaa di Fourier della convoluzione di due funzioni coincide con il prodoo delle rasformae di Fourier delle funzioni. L inegrale di convoluzione risula paricolarmene uile nel calcolo della risposa di un sisema lineare ad un generica solleciazione noa la risposa al segnale impulsivo uniario (dela di Dirac). Dalla eoria dei sisemi è noo che si definisce funzione di rasferimeno di un sisema lineare e si indica con H(s), il rapporo ra il segnale di uscia Y(s) e quello di enraa X(s) nel dominio di Laplace. Nel caso in cui si opera in regime armonico (segnali sinusoidali) la variabile di Laplace divena s jω. In al caso la funzione di rasferimeno assume la forma: Y(jω) H(jω ) X(jω) La funzione di rasferimeno H(jω) è una espressione complessa caraerizzaa da un modulo e da una fase. Supponiamo che il segnale di enraa sia la funzione impulsiva a dela di Dirac : x() δ(). Ricordando che la rasformaa di Fourier della funzione δ() vale si ricava che: Y(jω) H(jω)

5 5 In alre parole si può affermare che la risposa alla funzione impulsiva di un sisema lineare coincide la funzione di rasferimeno del sisema sesso. L anirasformaa della funzione H(jω) si indica con h() e prende il nome di risposa impulsiva del sisema. ale risposa descrive compleamene il sisema poiché dipende solo dalla sua funzione di rasferimeno. La risposa impulsiva può essere calcolaa per via analiica o via sperimenale. Noa la risposa impulsiva h() è possibile deerminare l uscia y() per una qualunque enraa x() applicando l inegrale di convoluzione: y() x()*h() In definiiva si può affermare che se si opera nel dominio del empo l uscia del sisema lineare y() si oiene come prodoo di convoluzione ra l ingresso x() e la risposa impulsiva h(). Se si opera nel dominio delle frequenze per valuare y() si deve uilizzare la rasformaa di Fourier. Si calcola la funzione: Y(jω) X(jω) H(jω) Noa la Y(jω) la risposa nel dominio del empo si oiene anirasformando la Y(jω): y() F - ([Y(jω)] In fig.3 si mosra lo schema a blocchi di un generico sisema. x() *h() y() a) dominio del empo X(jω) H(jω) Y(jω) b) dominio delle frequenze Fig. 3 Schema a blocchi di un generico sisema. nrambi i meodi sono uilizzai ed esisono diversi sofware per la simulazione e lo sudio dei sisemi sia nel dominio del empo che della frequenza. Per concludere si vuole ricordare che lo sudio dei sisemi eleronici può essere condoo anche uilizzando la rasformaa di Laplace che consene, ra l alro, l analisi del ransiorio. sempio n. 9 Deerminare la risposa ad un gradino di ampiezza del filro passa-basso di fig. 4 uilizzando il meodo dell inegrale di convoluzione. Fig. 4 Circuio.

6 6 Risoluzione Per risolvere il problema si deve calcolare la risposa impulsiva del circuio e successivamene valuare l inegrale di convoluzione: y() x()*h(). Si può procedere in due modi: Dominio delle frequenze. Ricordiamo che nel dominio delle frequenze la capacià C è sosiua dalla reaanza X C /jωc menre una induanza L dalla reaanza X L jωl. I segnali x() e y() dalle rasformae X(jω) e Y(jω). Applicando la legge del pariore di ensione si ricava: H(jω ) Y(jω) X(jω) / jωc / jωc + R + jω jω + Dalla abella delle rasformae di Fourier si riconosce che la precedene relazione corrisponde all esponenziale decrescene. Perano. La risposa impulsiva vale: h() / Dominio del empo. Il circuio è regolao dalla seguene equazione: R i() + y() x() La correne che scorre nel circuio è la sessa che araversa il condensaore. È noo che: Sosiuendo si ha: dvc () i ( ) C d dy() C d dy() + y() x() (3) d La precedene è una equazione differenziale del primo ordine a coefficieni cosani (sisema invariane nel empo). La risposa all impulso di Dirac si oiene ponendo x() (risposa libera) poiché ale impulso è nullo per >. La soluzione della precedene equazione differenziale per x() fornisce la risposa impulsiva (equazione differenziale omogenea associaa). Risolvendo si ha: h() come per lo sudio nel dominio delle frequenze. / Si deermina la risposa al gradino applicando la (). Si ha:

7 7 y() Si deve ener cono che la funzione gradino x() per < menre vale per >. Inolre, la funzione esponenziale è definia solo per valori posiivi del empo per cui deve essere: τ ovvero: τ. Le precedeni osservazioni consenono di definire il limie inferiore di inegrazione pari a e quello superiore pari a. Il precedene inegrale divena: y() In definiiva si ha: τ / dτ y() / e τ τ / dτ dτ / / [ ] / y() ( e -/ ) τ / [ ] La precedene espressione rappresena la noa formula della carica di un condensaore con ingresso a gradino. ale risulao si poeva oenere risolvendo l equazione differenziale (9), ponendo x(), oppure applicando il meodo della rasformaa di Laplace che risula più semplice e poene nella sua applicazione praica. In queso esercizio si è voluo però uilizzare il meodo della convoluzione per meglio comprendere il significao di ale operaore in applicazioni eleroniche. sempio n. Calcolare la convoluzione ra i due segnali impulsivi mosrai in fig.5. Si supponga >. x () x () A A Fig. 5 Funzioni reangolari. Risoluzione Per calcolare la convoluzione in un isane generico si può procedere uilizzando la definizione fornia dalla (). Per i segnali in esame: y() x( τ) x ( - τ)dτ

8 8 La funzione x (-τ) si oiene come funzione simmerica x (-τ) rispeo all asse delle ordinae della funzione x (τ) con raslazione di un empo. Il valore della convoluzione nell isane si oiene come inegrale del prodoo delle due funzioni così oenue. L inegrale rappresena l area della curva prodoo come schemaizzao in fig. 6. x ( - τ) A A - τ Fig. 6 Rappresenazione grafica del calcolo della convoluzione I limii di inegrazione sono e per cui si ha : y() x ( τ) x ( - τ)dτ A A La procedura descria deve essere ripeua variando. È facile convincersi che per : y() < < y() A A y() A A + y() A A ( + ) + y() In fig. 7 si ripora l andameno dell inegrale di convoluzione. y() A A + Fig. 7 Andameno dell inegrale di convoluzione per i segnali di fig Inegrale di correlazione Assegnae due funzioni s () e s () reali o complesse, si definisce inegrale di correlazione o semplicemene correlazione la funzione:

9 9 * R ( τ) s () s ( + τ)d (4) Dove () s * è il complesso coniugao del segnale s() menre τ rappresena il valore di ricerca s * () s(). In queso caso la precedene relazione divena: o di raslazione. Per funzioni reali R ( τ) s() s ( + τ)d Si dimosra che in ui i casi la rasformaa di Fourier della correlazione di due segnali vale: R ω (5) * (jω) S (jω) S (j ) (6) dove S * (jω) è il complesso coniugao di S(jω) che si oiene sosiuendo j con j nella S (jω) che rappresena la rasformaa di Fourier del segnale s (). La precedene relazione risula uile nel calcolo poiché consene di valuare l inegrale di correlazione come anirasformaa di Fourier della (6), operazione semplice se si dispone delle abelle della rasformaa di Fourier. La correlazione è uile in quelle applicazioni in cui è necessario valuare quano due segnali sono simili ra loro. È queso il caso in cui si deve esrarre un segnale da un insieme di segnali noi affei da rumore come per esempio nella ricezione di un segnale di eco di un radar. La correlazione confrona i segnali uilizzando l inegrale del loro prodoo. Se i segnali sono molo diversi ra loro si oiene un valore molo basso. Per segnali molo simili si oengono elevai valori di correlazione. La correlazione applicaa a due segnali diversi, come nelle precedeni formule, è noa come correlazione incrociaa o cross correlaion. Nel caso in cui si opera su di una sola funzione si parla di auocorrelazione. La (5) divena: * R s ( τ) s () s( + τ)d (7) Ad esempio, l auocorrelazione del segnale impulsivo a dela di Dirac δ() si valua: R ( τ) s δ() δ( + τ)d per τ Ciò è una direa conseguenza della definizione di dela di Dirac. La rasformaa di Fourier per l auocorrelazione vale: R s (jω) S(jω) (8) Si è oenuo il noevole risulao che sabilisce che lo spero dell auocorrelazione è pari alla densià sperale di energia definia nel precedene paragrafo 5. L analisi svola evidenza la srea analogia maemaica esisene ra convoluzione e correlazione. Da un puno di visa grafico per valuare la correlazione R (τ) si deve moliplicare la prima funzione per la seconda raslaa senza necessià di ribalarla rispeo all asse delle ordinae come si deve fare per il calcolo della convoluzione.