Dispense di Matematica Finanziaria, a.a

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1 , a.a Prof. Aggr. MEMOTEF, Sapienza Universitá di Roma

2 Valore di un operazione finanziaria in regime composto I Da ora in avanti, in generale, consideriamo un regime finanziario a interessi composti, quindi con funzione di capitalizzazione esponenziale, la sua relativa inversa come legge di attualizzazione, e la forza d interesse costante δ.

3 Valore di un operazione finanziaria in regime composto I Da ora in avanti, in generale, consideriamo un regime finanziario a interessi composti, quindi con funzione di capitalizzazione esponenziale, la sua relativa inversa come legge di attualizzazione, e la forza d interesse costante δ. Uno dei concetti fondamentali della, che ora introdurremo, riguarda la valutazione di una qualsiasi operazione finanziaria x/t, ossia il calcolo del suo valore, ad una qualsiasi data, precedente, intermedia o successiva allo scadenzario dell operazione.

4 Valore di un operazione finanziaria in regime composto II Definizione Si chiama valore dell operazione finanziaria x/t al tempo t la quantitá:

5 Valore di un operazione finanziaria in regime composto II Definizione Si chiama valore dell operazione finanziaria x/t al tempo t la quantitá: m W (t, x) = x k e δ(t t k ) = k=1 = x k e δ(t t k ) + x k e δ(t k t) = M(t, x) + A(t, x). t k t t k >t (1.1)

6 Valore di un operazione finanziaria in regime composto III I due addendi in (1.1) rappresentano rispettivamente il montante generato dagli importi esigibili (o pagabili) alle scadenze anteriori a t (M(t, x)) e il valore attuale delle somme esigibili (o pagabili) in date successive a t (A(t, x)).

7 Valore di un operazione finanziaria in regime composto III I due addendi in (1.1) rappresentano rispettivamente il montante generato dagli importi esigibili (o pagabili) alle scadenze anteriori a t (M(t, x)) e il valore attuale delle somme esigibili (o pagabili) in date successive a t (A(t, x)). Definizione Un operazione finanziaria x/t si dice equa al tempo t se W (t, x) = 0.

8 Valore di un operazione finanziaria in regime composto IV Quindi l equitá caratterizza un operazione di scambio in cui, ad un dato istante, il valore delle somme incassate si possa valutare uguale al valore delle somme pagate.

9 Valore di un operazione finanziaria in regime composto IV Quindi l equitá caratterizza un operazione di scambio in cui, ad un dato istante, il valore delle somme incassate si possa valutare uguale al valore delle somme pagate. Quando poi la valutazione di (1.1) viene attuata al primo o all ultimo istante dello scadenzario, abbiamo solo uno dei due addendi, cioé nel primo caso avremo soltanto il valore attuale e nel secondo solo il montante.

10 Valore di un operazione finanziaria in regime composto V Definizione Si chiama valore attuale dell operazione finanziaria x/t: W (t 1, x) = m x k e δ(t 1 t k ) m = x k (1 + i) t 1 t k k=1 k=1 = A(t 1, x). (1.2)

11 Valore di un operazione finanziaria in regime composto V Definizione Si chiama valore attuale dell operazione finanziaria x/t: W (t 1, x) = m x k e δ(t 1 t k ) m = x k (1 + i) t 1 t k k=1 k=1 = A(t 1, x). (1.2) Definizione Si chiama montante dell operazione finanziaria x/t: W (t m, x) = m x k e δ(t m t k ) m = x k (1 + i) t m t k k=1 k=1 = M(t m, x). (1.3)

12 Valore di un operazione finanziaria in regime composto VI Esercizio Data l operazione finanziaria x/t = {10, 20, 30}/{1, 2, 3}, calcolarne il valore dopo 1 anno e mezzo al tasso annuo di valutazione dell 1%.

13 Valore di un operazione finanziaria in regime composto VI Esercizio Data l operazione finanziaria x/t = {10, 20, 30}/{1, 2, 3}, calcolarne il valore dopo 1 anno e mezzo al tasso annuo di valutazione dell 1%. Ricordando che lo scadenzario é espresso in anni, applichiamo la formula (1.1) al tempo t = 1, 5, quindi capitalizzando il primo importo ed attualizzando gli altri 2:

14 Valore di un operazione finanziaria in regime composto VI Esercizio Data l operazione finanziaria x/t = {10, 20, 30}/{1, 2, 3}, calcolarne il valore dopo 1 anno e mezzo al tasso annuo di valutazione dell 1%. Ricordando che lo scadenzario é espresso in anni, applichiamo la formula (1.1) al tempo t = 1, 5, quindi capitalizzando il primo importo ed attualizzando gli altri 2: W (1, 5, x) = 10 (1 + 0, 01) 1, (1 + 0, 01) 1, ( 30) (1 + 0, 01) 1,5 3 = 10, , , = 0, euro.

15 Valore di un operazione finanziaria in regime composto VII Esercizio Data l operazione finanziaria seguente: x/t = {100, 120, 150, x 4 }/{1, 2, 3, 4}, determinare x 4 in modo che essa sia equa all istante iniziale t 1 = 1 se valutata ad un tasso annuo del 2, 5%.

16 Valore di un operazione finanziaria in regime composto VII Esercizio Data l operazione finanziaria seguente: x/t = {100, 120, 150, x 4 }/{1, 2, 3, 4}, determinare x 4 in modo che essa sia equa all istante iniziale t 1 = 1 se valutata ad un tasso annuo del 2, 5%. Calcoliamo il valore dell operazione con il tasso richiesto lasciando come incognita l importo da determinare x 4 :

17 Valore di un operazione finanziaria in regime composto VII Esercizio Data l operazione finanziaria seguente: x/t = {100, 120, 150, x 4 }/{1, 2, 3, 4}, determinare x 4 in modo che essa sia equa all istante iniziale t 1 = 1 se valutata ad un tasso annuo del 2, 5%. Calcoliamo il valore dell operazione con il tasso richiesto lasciando come incognita l importo da determinare x 4 : W (1, x) = 100 (1 + 0, 025) ( 120) (1 + 0, 025) ( 150) (1 + 0, 025) x 4 (1 + 0, 025) 1 4 = = , , , x 4.

18 Valore di un operazione finanziaria in regime composto VII Esercizio Successivamente imponiamo l ipotesi di equitá: W (1, x) = 0 159, , x 4 = 0 x 4 = 172, euro.

19 Valore di un operazione finanziaria in regime composto VII Esercizio Successivamente imponiamo l ipotesi di equitá: W (1, x) = 0 159, , x 4 = 0 x 4 = 172, euro. Quindi x 4 = 172, euro risulta l ultimo importo che deve avere l operazione finanziaria affinché sia equa all istante iniziale rispetto al tasso di valutazione del 2, 5%.

20 Introduzione alle I Definizione Si chiama rendita una successione di capitali da riscuotere (o da pagare) a scadenze determinate.

21 Introduzione alle I Definizione Si chiama rendita una successione di capitali da riscuotere (o da pagare) a scadenze determinate. I singoli capitali della rendita si dicono rate.

22 Introduzione alle I Definizione Si chiama rendita una successione di capitali da riscuotere (o da pagare) a scadenze determinate. I singoli capitali della rendita si dicono rate. Le certe sono quelle a priori fissate nel numero, nell ammontare e nelle epoche di pagamento.

23 Introduzione alle I Definizione Si chiama rendita una successione di capitali da riscuotere (o da pagare) a scadenze determinate. I singoli capitali della rendita si dicono rate. Le certe sono quelle a priori fissate nel numero, nell ammontare e nelle epoche di pagamento. Una rendita é detta periodica quando le rate sono equiintervallate tra loro.

24 Introduzione alle II Una rendita é detta costante se le rate sono tutte dello stesso ammontare.

25 Introduzione alle II Una rendita é detta costante se le rate sono tutte dello stesso ammontare. Una rendita é detta perpetua se il numero delle rate é infinito.

26 Introduzione alle II Una rendita é detta costante se le rate sono tutte dello stesso ammontare. Una rendita é detta perpetua se il numero delle rate é infinito.

27 Introduzione alle II Una rendita é detta costante se le rate sono tutte dello stesso ammontare. Una rendita é detta perpetua se il numero delle rate é infinito. In una rendita anticipata il pagamento delle rate avviene all inizio di ogni periodo.

28 Introduzione alle II Una rendita é detta costante se le rate sono tutte dello stesso ammontare. Una rendita é detta perpetua se il numero delle rate é infinito. In una rendita anticipata il pagamento delle rate avviene all inizio di ogni periodo. In una rendita posticipata invece avviene alla fine di ogni periodo.

29 Introduzione alle III Con riferimento alla vita quotidiana, in generale il pagamento dello stipendio per i dipendenti é effettuato in rate posticipate, mentre per gli inquilini il versamento dell affitto ai proprietari di case é in rate anticipate.

30 Introduzione alle III Con riferimento alla vita quotidiana, in generale il pagamento dello stipendio per i dipendenti é effettuato in rate posticipate, mentre per gli inquilini il versamento dell affitto ai proprietari di case é in rate anticipate. Si parla infine di rendita unitaria quando tutte le rate, costanti, sono pari ad un unitá di capitale.

31 Introduzione alle III Con riferimento alla vita quotidiana, in generale il pagamento dello stipendio per i dipendenti é effettuato in rate posticipate, mentre per gli inquilini il versamento dell affitto ai proprietari di case é in rate anticipate. Si parla infine di rendita unitaria quando tutte le rate, costanti, sono pari ad un unitá di capitale. Uno dei problemi é la loro valutazione: la determinazione di una somma finanziariamente equivalente alla rendita in un dato istante di tempo (il valore o valore capitale) della rendita.

32 Introduzione alle IV Valuteremo le usando il regime finanziario ad interessi composti.

33 Introduzione alle IV Valuteremo le usando il regime finanziario ad interessi composti. Chiameremo t 0 e t n gli istanti rispettivamente iniziale e finale di decorrenza della rendita.

34 Introduzione alle IV Valuteremo le usando il regime finanziario ad interessi composti. Chiameremo t 0 e t n gli istanti rispettivamente iniziale e finale di decorrenza della rendita. Definizione Il montante di una rendita é il suo valore capitale riferito al tempo finale t n.

35 Introduzione alle V Pensando alla rendita come ad una successione di somme in entrata, il suo montante é il capitale che si ottiene se tutte le rate, appena riscosse e fino all istante finale, vengono investite al tasso impiegato per la valutazione.

36 Introduzione alle V Pensando alla rendita come ad una successione di somme in entrata, il suo montante é il capitale che si ottiene se tutte le rate, appena riscosse e fino all istante finale, vengono investite al tasso impiegato per la valutazione. Definizione Il valore capitale riferito al tempo t 0 o ad un altro istante t antecedente a t 0 si chiama valore attuale della rendita.

37 Introduzione alle V Pensando alla rendita come ad una successione di somme in entrata, il suo montante é il capitale che si ottiene se tutte le rate, appena riscosse e fino all istante finale, vengono investite al tasso impiegato per la valutazione. Definizione Il valore capitale riferito al tempo t 0 o ad un altro istante t antecedente a t 0 si chiama valore attuale della rendita. Il valore attuale rappresenta la somma che, impiegata a partire dall istante di riferimento ed in base alla legge usata per la valutazione stessa, é esattamente sufficiente a produrre tutte le rate della rendita alle scadenze previste.

38 Introduzione alle VI Se il tempo di riferimento della valutazione t precede quello di decorrenza della rendita, si parla di rendita differita della durata t 0 t.

39 Introduzione alle VI Se il tempo di riferimento della valutazione t precede quello di decorrenza della rendita, si parla di rendita differita della durata t 0 t. Se invece l istante t scelto per la valutazione coincide con l istante iniziale t 0, la rendita é immediata.

40 Formule fondamentali delle serie geometriche I Richiamiamo brevemente le principali formule relative alla serie geometrica.

41 Formule fondamentali delle serie geometriche I Richiamiamo brevemente le principali formule relative alla serie geometrica. Proposizione La serie geometrica di ragione v: n v j = v + v v n j=1 converge per ogni v tale che v < 1, e la somma della serie é v 1 v n 1 v.

42 Formule fondamentali delle serie geometriche II Prova 1. Proviamo per induzione su n. Per n = 1 si ha banalmente: verificata per ogni v. 1 v j = v = v 1 v 1 j=1 1 v = v,

43 Formule fondamentali delle serie geometriche II Prova 1. Proviamo per induzione su n. Per n = 1 si ha banalmente: verificata per ogni v. 1 v j = v = v 1 v 1 j=1 1 v = v, 2. Il secondo passo della prova per induzione richiede che si prenda la tesi del teorema come ipotesi per n, e si provi la stessa relazione per n + 1. Bisogna dunque provare l identitá:

44 Formule fondamentali delle serie geometriche II Prova 1. Proviamo per induzione su n. Per n = 1 si ha banalmente: verificata per ogni v. 1 v j = v = v 1 v 1 j=1 1 v = v, 2. Il secondo passo della prova per induzione richiede che si prenda la tesi del teorema come ipotesi per n, e si provi la stessa relazione per n + 1. Bisogna dunque provare l identitá: n+1 j=1 v j = v 1 v n+1. 1 v

45 Formule fondamentali delle serie geometriche III Prova Prima di tutto, scriviamo la somma a primo membro, che risulta: n+1 v j = j=1 n v j + v n+1, j=1

46 Formule fondamentali delle serie geometriche III Prova Prima di tutto, scriviamo la somma a primo membro, che risulta: n+1 v j = j=1 n v j + v n+1, j=1 che per l ipotesi induttiva é uguale a: v 1 v n ( ) 1 v 1 v + v n+1 n = v 1 v + v n ( 1 v n+1 = v 1 v ), da cui segue la tesi.

47 Formule fondamentali delle serie geometriche IV Passando al limite per infiniti termini della serie, otteniamo 2 formule utili: v j = j=1 n lim n + j=1 = v 1 v.

48 Formule fondamentali delle serie geometriche IV Passando al limite per infiniti termini della serie, otteniamo 2 formule utili: v j = j=1 n lim n + j=1 = v 1 v. j=0 v j = v 0 + j=1 v j = 1 + v 1 v = 1 1 v.

49 Valore attuale e montante di una rendita I Consideriamo i il tasso annuo d interesse e v = (1 + i) 1 il fattore annuo di sconto, e supponiamo che il valore di ciascuna rata sia unitario (R = 1).

50 Valore attuale e montante di una rendita I Consideriamo i il tasso annuo d interesse e v = (1 + i) 1 il fattore annuo di sconto, e supponiamo che il valore di ciascuna rata sia unitario (R = 1). Il valore attuale di una rendita rappresenta il capitale che, investito al tasso d interesse i per la durata di n anni a partire dall istante di riferimento, genera esattamente tutte le rate della rendita.

51 Valore attuale e montante di una rendita I Consideriamo i il tasso annuo d interesse e v = (1 + i) 1 il fattore annuo di sconto, e supponiamo che il valore di ciascuna rata sia unitario (R = 1). Il valore attuale di una rendita rappresenta il capitale che, investito al tasso d interesse i per la durata di n anni a partire dall istante di riferimento, genera esattamente tutte le rate della rendita. Proposizione Il valore attuale di una rendita annua unitaria immediata posticipata di durata n anni risulta:

52 Valore attuale e montante di una rendita I Consideriamo i il tasso annuo d interesse e v = (1 + i) 1 il fattore annuo di sconto, e supponiamo che il valore di ciascuna rata sia unitario (R = 1). Il valore attuale di una rendita rappresenta il capitale che, investito al tasso d interesse i per la durata di n anni a partire dall istante di riferimento, genera esattamente tutte le rate della rendita. Proposizione Il valore attuale di una rendita annua unitaria immediata posticipata di durata n anni risulta: a n i = 1 (1 + i) n. (1.4) i

53 Valore attuale e montante di una rendita II Prova Essendo R = 1, la determinazione del valore attuale si riduce al calcolo della serie geometrica la cui ragione é v: v + v 2 + v v n = n v j = v 1 v n j=1 1 v = = i (1 + i) n 1 (1 + i) n i 1 + i = 1 (1 + i) n, i scritto in termini di tasso annuo di interesse.

54 Valore attuale e montante di una rendita III La formula (1.4), da ricordare rigorosamente, introduce un nuovo simbolo: a n i (a figurato n al tasso i) é una funzione crescente in n e decrescente in i.

55 Valore attuale e montante di una rendita III La formula (1.4), da ricordare rigorosamente, introduce un nuovo simbolo: a n i (a figurato n al tasso i) é una funzione crescente in n e decrescente in i. Nel caso di differimento di t anni, ossia del caso in cui ogni rata vada scontata per ulteriori t anni, il valore attuale di una rendita annua unitaria posticipata e differita di t anni, anche per t non intero, sará: t a n i = v t+1 + v t v t+n = = v t n v j = v t+1 1 v n j=1 1 v = v t a n i.

56 Valore attuale e montante di una rendita IV Nel caso in cui la rendita sia anticipata, ogni rata va scontata un anno in meno rispetto alla rendita posticipata; di conseguenza, il valore attuale di una rendita annua unitaria anticipata immediata di durata n anni sará: ä n i = 1 + v + v v n 1 = 1 v n 1 v.

57 Valore attuale e montante di una rendita IV Nel caso in cui la rendita sia anticipata, ogni rata va scontata un anno in meno rispetto alla rendita posticipata; di conseguenza, il valore attuale di una rendita annua unitaria anticipata immediata di durata n anni sará: ä n i = 1 + v + v v n 1 = 1 v n 1 v. Si puó facilmente verificare la relazione tra i valori attuali: ä n i = (1 + i)a n i.

58 Valore attuale e montante di una rendita V Nel calcolo del montante, le rate vanno ora capitalizzate, la prima per n 1 anni, la seconda per n 2 anni, la penultima per un solo anno e l ultima non si capitalizza.

59 Valore attuale e montante di una rendita V Nel calcolo del montante, le rate vanno ora capitalizzate, la prima per n 1 anni, la seconda per n 2 anni, la penultima per un solo anno e l ultima non si capitalizza. Quindi il montante di una rendita annua unitaria posticipata immediata di durata n anni sará dato da:

60 Valore attuale e montante di una rendita V Nel calcolo del montante, le rate vanno ora capitalizzate, la prima per n 1 anni, la seconda per n 2 anni, la penultima per un solo anno e l ultima non si capitalizza. Quindi il montante di una rendita annua unitaria posticipata immediata di durata n anni sará dato da: s n i = (1 + i) n (1 + i) + 1 = = 1 (1 + i)n 1 (1 + i) = (1 + i)n 1. i

61 Valore attuale e montante di una rendita V Nel calcolo del montante, le rate vanno ora capitalizzate, la prima per n 1 anni, la seconda per n 2 anni, la penultima per un solo anno e l ultima non si capitalizza. Quindi il montante di una rendita annua unitaria posticipata immediata di durata n anni sará dato da: s n i = (1 + i) n (1 + i) + 1 = 1 (1 + i)n = 1 (1 + i) = (1 + i)n 1. i Da questa formula segue la facile relazione: s n i = (1 + i) n a n i.

62 Valore attuale e montante di una rendita VI Il valore attuale di una rendita annua unitaria anticipata immediata di durata n anni e differita di t anni é: t ä n i = v t + v t v t+n 1 = = v t 1 n v j = v t 1 v n j=1 1 v = v t ä n i.

63 Valore attuale e montante di una rendita VI Il valore attuale di una rendita annua unitaria anticipata immediata di durata n anni e differita di t anni é: t ä n i = v t + v t v t+n 1 = = v t 1 n v j = v t 1 v n j=1 1 v = v t ä n i. Infine, il montante di una rendita annua unitaria immediata anticipata di durata n anni é:

64 Valore attuale e montante di una rendita VI Il valore attuale di una rendita annua unitaria anticipata immediata di durata n anni e differita di t anni é: t ä n i = v t + v t v t+n 1 = = v t 1 n v j = v t 1 v n j=1 1 v = v t ä n i. Infine, il montante di una rendita annua unitaria immediata anticipata di durata n anni é: s n i = (1 + i) n + (1 + i) n (1 + i) = = (1 + i) n n 1 ((1 + i) 1 ) j = (1 + i) n ä n i. j=0

65 Esercizi sulle I Esercizio Calcolare il valore attuale ed il montante di una rendita immediata posticipata annua di rata euro e durata 15 anni, nel regime dell interesse composto e secondo il tasso di valutazione del 12% annuo.

66 Esercizi sulle I Esercizio Calcolare il valore attuale ed il montante di una rendita immediata posticipata annua di rata euro e durata 15 anni, nel regime dell interesse composto e secondo il tasso di valutazione del 12% annuo. Applicando la formula del valore attuale, con n = 15, trasformando il 12% nel tasso annuo di interesse i = 0, 12, e successivamente moltiplicando per la rata R = 1.200, otteniamo:

67 Esercizi sulle I Esercizio Calcolare il valore attuale ed il montante di una rendita immediata posticipata annua di rata euro e durata 15 anni, nel regime dell interesse composto e secondo il tasso di valutazione del 12% annuo. Applicando la formula del valore attuale, con n = 15, trasformando il 12% nel tasso annuo di interesse i = 0, 12, e successivamente moltiplicando per la rata R = 1.200, otteniamo: Ra n i = R i (1 (1 + i) n ) = , 12 (1 (1, 12) 15 ) = = 8173, euro.

68 Esercizi sulle II Esercizio Per il calcolo del montante, ci basta capitalizzare a 15 anni il valore attuale trovato, ossia:

69 Esercizi sulle II Esercizio Per il calcolo del montante, ci basta capitalizzare a 15 anni il valore attuale trovato, ossia: s n i = (1 + i) n a n i = (1, 12) , = = , euro.

70 Esercizi sulle II Esercizio Per il calcolo del montante, ci basta capitalizzare a 15 anni il valore attuale trovato, ossia: s n i = (1 + i) n a n i = (1, 12) , = = , euro. Esercizio Data una rendita R di 4 rate, di importi euro, euro, euro, euro e di scadenze 1 anno, 1 anno e 4 mesi, 1 anno e 6 mesi, 3 anni a partire da oggi, calcolarne il valore attuale e il montante al tasso di interesse del 9,5% annuo.

71 Esercizi sulle III Esercizio In questo caso, la rendita non é costante, quindi dovremo applicare la formula del valore attuale pesata con i singoli capitali C i, i = 1,..., 4 con i rispettivi tempi di scadenza, espressi in dodicesimi.

72 Esercizi sulle III Esercizio In questo caso, la rendita non é costante, quindi dovremo applicare la formula del valore attuale pesata con i singoli capitali C i, i = 1,..., 4 con i rispettivi tempi di scadenza, espressi in dodicesimi. Usiamo la scrittura A(0, R), per il valore attuale, indicando con 0 l istante di valutazione:

73 Esercizi sulle III Esercizio In questo caso, la rendita non é costante, quindi dovremo applicare la formula del valore attuale pesata con i singoli capitali C i, i = 1,..., 4 con i rispettivi tempi di scadenza, espressi in dodicesimi. Usiamo la scrittura A(0, R), per il valore attuale, indicando con 0 l istante di valutazione: A(0, R) = (1 + 0, 095) (1 + 0, 095) (1 + 0, 095) (1 + 0, 095) 3 = = 5.466, euro.

74 Esercizi sulle IV Esercizio Il montante della rendita, che indichiamo con A(3, R), si calcola capitalizzando a 3 anni il valore attuale ottenuto:

75 Esercizi sulle IV Esercizio Il montante della rendita, che indichiamo con A(3, R), si calcola capitalizzando a 3 anni il valore attuale ottenuto: A(3, R) = (1 + 0, 095) 3 A(0, R) = 7.177, euro.

76 Il caso delle frazionate I Consideriamo l eventualitá in cui le n annualitá della rendita vengano tutte frazionate in m periodi, ad ognuno dei quali corrisponda il pagamento di 1/m di rata: di fatto ora i periodi sono nm.

77 Il caso delle frazionate I Consideriamo l eventualitá in cui le n annualitá della rendita vengano tutte frazionate in m periodi, ad ognuno dei quali corrisponda il pagamento di 1/m di rata: di fatto ora i periodi sono nm. Il valore attuale relativo a questo caso si indica a (m), e gli altri n i simboli corrispondenti a questo caso hanno tutti lo stesso esponente: ä (m), s (m). Dati il tasso d interesse i n i n i 1/m ed il fattore di sconto v 1/m, il valore attuale di una rendita annua unitaria immediata posticipata di durata n anni e frazionata in m rate uguali posticipate é:

78 Il caso delle frazionate I Consideriamo l eventualitá in cui le n annualitá della rendita vengano tutte frazionate in m periodi, ad ognuno dei quali corrisponda il pagamento di 1/m di rata: di fatto ora i periodi sono nm. Il valore attuale relativo a questo caso si indica a (m), e gli altri n i simboli corrispondenti a questo caso hanno tutti lo stesso esponente: ä (m), s (m). Dati il tasso d interesse i n i n i 1/m ed il fattore di sconto v 1/m, il valore attuale di una rendita annua unitaria immediata posticipata di durata n anni e frazionata in m rate uguali posticipate é: a (m) n i = 1 m 1 (1 + i 1/m ) nm i 1/m.

79 Il caso delle frazionate II Ricordando le relazioni: ( j(m) = mi 1/m, i = 1 + j(m) ) m 1, m

80 Il caso delle frazionate II Ricordando le relazioni: ( j(m) = mi 1/m, i = 1 + j(m) ) m 1, m a (m) n i = 1 (1 + i) n j(m) = i j(m) a n i.

81 Il caso delle frazionate II Ricordando le relazioni: ( j(m) = mi 1/m, i = 1 + j(m) ) m 1, m a (m) n i = 1 (1 + i) n j(m) = i j(m) a n i. Le seguenti formule sono analoghe a quelle giá viste nel caso non frazionato:

82 Il caso delle frazionate II Ricordando le relazioni: ( j(m) = mi 1/m, i = 1 + j(m) ) m 1, m a (m) n i = 1 (1 + i) n j(m) = i j(m) a n i. Le seguenti formule sono analoghe a quelle giá viste nel caso non frazionato: s (m) = (1 + i) n a (m), n i n i ä (m) n i s (m) n i = (1 + i) 1/m a (m) n i, = (1 + i) 1/m s (m) n i.

83 Il caso delle frazionate III Esercizio Calcolare il valore attuale ed il montante di una rendita di durata 6 anni e di rata annua di euro, frazionata semestralmente, valutata al tasso annuo dell 1, 5%. In questo caso, n = 6 ed m = 2, di conseguenza la formula precedente si può applicare facilmente dopo aver ricavato il tasso semestrale i 1/2 = 1, = 0, 74%. Avremo:

84 Il caso delle frazionate III Esercizio Calcolare il valore attuale ed il montante di una rendita di durata 6 anni e di rata annua di euro, frazionata semestralmente, valutata al tasso annuo dell 1, 5%. In questo caso, n = 6 ed m = 2, di conseguenza la formula precedente si può applicare facilmente dopo aver ricavato il tasso semestrale i 1/2 = 1, = 0, 74%. Avremo: Ra (m) = (1, 0074) 12 n i 2 0, 0074 = , euro.

85 Il caso delle frazionate III Esercizio Calcolare il valore attuale ed il montante di una rendita di durata 6 anni e di rata annua di euro, frazionata semestralmente, valutata al tasso annuo dell 1, 5%. In questo caso, n = 6 ed m = 2, di conseguenza la formula precedente si può applicare facilmente dopo aver ricavato il tasso semestrale i 1/2 = 1, = 0, 74%. Avremo: Ra (m) = (1, 0074) 12 n i 2 0, 0074 = , euro. Rs (m) n i = (1, 015) , = , euro.

86 Il caso delle perpetue I Per definizione, una rendita continua é una rendita frazionata in m periodi di durata infinitesima, quindi il caso limite per m tendente all infinito. Si puó immaginare che il pagamento avvenga tramite un flusso continuo ed uniforme.

87 Il caso delle perpetue I Per definizione, una rendita continua é una rendita frazionata in m periodi di durata infinitesima, quindi il caso limite per m tendente all infinito. Si puó immaginare che il pagamento avvenga tramite un flusso continuo ed uniforme. a n i = lim m a(m) n i = lim m ( i j(m) a n i ) = i δ a n i, laddove δ = ln(1 + i) é l intensitá istantanea d interesse.

88 Il caso delle perpetue I Per definizione, una rendita continua é una rendita frazionata in m periodi di durata infinitesima, quindi il caso limite per m tendente all infinito. Si puó immaginare che il pagamento avvenga tramite un flusso continuo ed uniforme. a n i = lim m a(m) n i = lim m ( i j(m) a n i ) = i δ a n i, laddove δ = ln(1 + i) é l intensitá istantanea d interesse. Se il numero delle rate di una rendita é infinito, la rendita da temporanea diventa perpetua, possiamo pensarla come il caso limite per n tendente all infinito.

89 Il caso delle perpetue II Ovviamente, in questo caso non é possibile considerare il montante, non esistendo un istante finale a cui riferirsi per la capitalizzazione, quindi ci si limiterá ad analizzare il valore attuale.

90 Il caso delle perpetue II Ovviamente, in questo caso non é possibile considerare il montante, non esistendo un istante finale a cui riferirsi per la capitalizzazione, quindi ci si limiterá ad analizzare il valore attuale. a i = lim a 1 (1 + i) n i = n lim n n i = 1 i.

91 Il caso delle perpetue III Tendendo n all infinito, si ottengono le seguenti semplici relazioni:

92 Il caso delle perpetue III Tendendo n all infinito, si ottengono le seguenti semplici relazioni: ä i = (1 + i)a i = i, a (m) i = t a i = v t a i = v t, i ( i j(m) a n i lim n a(m) n i = lim n ) = 1 j(m).

93 Il caso delle perpetue III Tendendo n all infinito, si ottengono le seguenti semplici relazioni: ä i = (1 + i)a i = i, a (m) i = t a i = v t a i = v t, i ( i j(m) a n i lim n a(m) n i = lim n ) = 1 j(m). In un certo senso, l acquisto di un bene in contanti é un operazione finanziaria semplice che si puó considerare equivalente alla stipula di un contratto di affitto di durata perpetua.

94 Determinazione della durata I Le grandezze fondamentali di una rendita (consideriamo ora la piú classica: annua unitaria immediata posticipata e temporanea) sono dunque l ammontare della rata annua R, il numero di anni n, il tasso di valutazione i, e il valore attuale della rendita, A.

95 Determinazione della durata I Le grandezze fondamentali di una rendita (consideriamo ora la piú classica: annua unitaria immediata posticipata e temporanea) sono dunque l ammontare della rata annua R, il numero di anni n, il tasso di valutazione i, e il valore attuale della rendita, A. Conoscendo tre di queste quattro grandezze, dalla formula fondamentale possiamo ricavare quella ignota.

96 Determinazione della durata I Le grandezze fondamentali di una rendita (consideriamo ora la piú classica: annua unitaria immediata posticipata e temporanea) sono dunque l ammontare della rata annua R, il numero di anni n, il tasso di valutazione i, e il valore attuale della rendita, A. Conoscendo tre di queste quattro grandezze, dalla formula fondamentale possiamo ricavare quella ignota. Poiché 1 (1 + i) n A = R = Ra i n i, la determinazione di A oppure di R non presenta complicazioni.

97 Determinazione della durata II A quali problematiche si va incontro se il nostro obiettivo é la determinazione della durata n di una rendita?

98 Determinazione della durata II A quali problematiche si va incontro se il nostro obiettivo é la determinazione della durata n di una rendita? ia R = 1 (1 + i) n = (1 + i) n = = 1 ia R = n = ln ( 1 ia ) R. ln(1 + i)

99 Determinazione della durata II A quali problematiche si va incontro se il nostro obiettivo é la determinazione della durata n di una rendita? ia R = 1 (1 + i) n = (1 + i) n = = 1 ia R = n = ln ( 1 ia ) R. ln(1 + i) Quest espressione ha senso solo per R > ia, vale a dire solo se la rata ha importo maggiore dell interesse prodotto. In caso contrario, il capitale a frutto non diminuirebbe mai e la rendita continuerebbe all infinito.

100 Determinazione della durata III In generale, il valore di n non é un numero intero; se consideriamo n = m + f, con m Z + e f (0, 1), si puó dedurre che l investimento é sufficiente a pagare m rate, ma non m + 1, cioé il residuo dopo il pagamento dell m-esima rata, capitalizzato per un anno al tasso i, produce un montante minore della rata R. Per l esattezza, il capitale che residua ammonterá a:

101 Determinazione della durata III In generale, il valore di n non é un numero intero; se consideriamo n = m + f, con m Z + e f (0, 1), si puó dedurre che l investimento é sufficiente a pagare m rate, ma non m + 1, cioé il residuo dopo il pagamento dell m-esima rata, capitalizzato per un anno al tasso i, produce un montante minore della rata R. Per l esattezza, il capitale che residua ammonterá a: A(1 + i) m Rs m i = R (1 + i)m (1 + i) f i R (1 + i)m 1 i = 1 (1 + i) f = R ; i essendo f < 1, questa quantitá risulta minore di R.

102 Determinazione della durata IV Esercizio Un capitale di euro é depositato in un fondo che rende in ragione del 10,5% annuo, nel regime dell interesse composto. Da questo fondo si prelevano euro alla fine di ogni anno. Dopo quanto tempo si esaurisce il capitale di partenza?

103 Determinazione della durata IV Esercizio Un capitale di euro é depositato in un fondo che rende in ragione del 10,5% annuo, nel regime dell interesse composto. Da questo fondo si prelevano euro alla fine di ogni anno. Dopo quanto tempo si esaurisce il capitale di partenza? Si tratta di una rendita annua immediata posticipata di cui sono noti la rata R = euro ed il valore attuale A = euro al tasso i = 0, 105. Allora possiamo scrivere la seguente equazione nell incognita n:

104 Determinazione della durata IV Esercizio Un capitale di euro é depositato in un fondo che rende in ragione del 10,5% annuo, nel regime dell interesse composto. Da questo fondo si prelevano euro alla fine di ogni anno. Dopo quanto tempo si esaurisce il capitale di partenza? Si tratta di una rendita annua immediata posticipata di cui sono noti la rata R = euro ed il valore attuale A = euro al tasso i = 0, 105. Allora possiamo scrivere la seguente equazione nell incognita n: = a n 0,105 = 17 = 4 1 (1, 105) n 0, 105 =

105 Determinazione della durata V Esercizio = 0, = (1, 105) n ln(0, 55375) = n = ln(1, 105),

106 Determinazione della durata V Esercizio = 0, = (1, 105) n ln(0, 55375) = n = ln(1, 105), quindi n = 5, 919 anni.

107 Determinazione della durata V Esercizio = 0, = (1, 105) n ln(0, 55375) = n = ln(1, 105), quindi n = 5, 919 anni. Con i dati assegnati, allora, é possibile prelevare dal fondo rate annuali di euro per cinque anni consecutivi, ma non per il sesto.

108 Determinazione della rata I Esercizio Tramite versamenti mensili posticipati e costanti in un fondo che si capitalizza al tasso annuo del 14% in un regime di interesse composto, si vuole arrivare ad accumulare, dopo 8 anni, una somma di euro. Qual é l ammontare del versamento necessario?

109 Determinazione della rata I Esercizio Tramite versamenti mensili posticipati e costanti in un fondo che si capitalizza al tasso annuo del 14% in un regime di interesse composto, si vuole arrivare ad accumulare, dopo 8 anni, una somma di euro. Qual é l ammontare del versamento necessario? In questo caso, a partire da un montante noto, dobbiamo risalire alla rata R. Essendo i versamenti mensili, dobbiamo estrapolare il tasso d interesse mensile i 1/12 equivalente a quello annuo del 14%:

110 Determinazione della rata I Esercizio Tramite versamenti mensili posticipati e costanti in un fondo che si capitalizza al tasso annuo del 14% in un regime di interesse composto, si vuole arrivare ad accumulare, dopo 8 anni, una somma di euro. Qual é l ammontare del versamento necessario? In questo caso, a partire da un montante noto, dobbiamo risalire alla rata R. Essendo i versamenti mensili, dobbiamo estrapolare il tasso d interesse mensile i 1/12 equivalente a quello annuo del 14%: (1 + i 1/12 ) 12 = 1 + i = i 1/12 = (1 + 0, 14) 1/12 1 = 1, 09%.

111 Determinazione della rata II Esercizio Successivamente, applichiamo la formula del montante, con 8 12 = 96 mensilitá:

112 Determinazione della rata II Esercizio Successivamente, applichiamo la formula del montante, con 8 12 = 96 mensilitá: = Rs 96 0,0109 = R (1, 0109)96 (1 (1, 0109) 96 ) 0, 0109 = 168R, da cui R = = 89, 28 euro, =

113 Determinazione della rata II Esercizio Successivamente, applichiamo la formula del montante, con 8 12 = 96 mensilitá: = Rs 96 0,0109 = R (1, 0109)96 (1 (1, 0109) 96 ) 0, 0109 = 168R, da cui R = = 89, 28 euro, ed essendo le rate 168 da pagare 96, il versamento necessario totale ammonterá a 96 89, 28 = 8570, 93 euro. =

114 Determinazione del tasso I Un problema differente, e di soluzione piú elaborata, nello studio delle, é la determinazione del tasso d interesse in base al quale una rendita avrebbe un certo valore attuale, o montante, assegnato.

115 Determinazione del tasso I Un problema differente, e di soluzione piú elaborata, nello studio delle, é la determinazione del tasso d interesse in base al quale una rendita avrebbe un certo valore attuale, o montante, assegnato. Esercizio Una rendita periodica annuale R ha solo 3 rate, di rispettive entitá: R 1 = euro, R 2 = euro, R 3 = euro, e il suo montante é uguale a euro. Calcolare il tasso annuo di interesse della rendita.

116 Determinazione del tasso II Esercizio Usando la variabile che indica il fattore di capitalizzazione (r = 1 + i), scriviamo la formula del montante:

117 Determinazione del tasso II Esercizio Usando la variabile che indica il fattore di capitalizzazione (r = 1 + i), scriviamo la formula del montante: V (R, 3) = 1.200r r = = = 3r 2 + 4r 9 = 0,

118 Determinazione del tasso II Esercizio Usando la variabile che indica il fattore di capitalizzazione (r = 1 + i), scriviamo la formula del montante: V (R, 3) = 1.200r r = = = 3r 2 + 4r 9 = 0, una equazione le cui radici sono (con la formula ridotta): r 1,2 = 2 ± 31, 3

119 Determinazione del tasso III Esercizio di cui prendiamo solo la soluzione positiva, perché l altra, essendo negativa, non rispetta l assiomatizzazione della capitalizzazione, e quindi non ha significato economico.

120 Determinazione del tasso III Esercizio di cui prendiamo solo la soluzione positiva, perché l altra, essendo negativa, non rispetta l assiomatizzazione della capitalizzazione, e quindi non ha significato economico. Infine, ricaviamo il tasso annuo di interesse:

121 Determinazione del tasso III Esercizio di cui prendiamo solo la soluzione positiva, perché l altra, essendo negativa, non rispetta l assiomatizzazione della capitalizzazione, e quindi non ha significato economico. Infine, ricaviamo il tasso annuo di interesse: r = = i = r 1 = 5 ± , ,

122 Determinazione del tasso III Esercizio di cui prendiamo solo la soluzione positiva, perché l altra, essendo negativa, non rispetta l assiomatizzazione della capitalizzazione, e quindi non ha significato economico. Infine, ricaviamo il tasso annuo di interesse: r = = i = r 1 = 5 ± , , quindi il tasso d interesse della rendita é circa il 18, 92%.

123 Determinazione del tasso III Esercizio di cui prendiamo solo la soluzione positiva, perché l altra, essendo negativa, non rispetta l assiomatizzazione della capitalizzazione, e quindi non ha significato economico. Infine, ricaviamo il tasso annuo di interesse: r = = i = r 1 = 5 ± , , quindi il tasso d interesse della rendita é circa il 18, 92%. In generale, quindi, il problema della determinazione del tasso di una rendita si configura come un altro dei possibili problemi inversi rispetto a quello diretto del calcolo del suo valore.

124 Determinazione del tasso IV Ad esempio, puó avere senso chiedersi se sia piú conveniente l acquisto di un bene pagando in contanti oppure a rate.

125 Determinazione del tasso IV Ad esempio, puó avere senso chiedersi se sia piú conveniente l acquisto di un bene pagando in contanti oppure a rate. Se chiamiamo P il prezzo in contanti da pagare ed R la rata costante di un eventuale rendita, converrá pagare anticipatamente se il costo dell oggetto sará minore del valore della rendita, cioé se P < Ra n i.

126 Determinazione del tasso IV Ad esempio, puó avere senso chiedersi se sia piú conveniente l acquisto di un bene pagando in contanti oppure a rate. Se chiamiamo P il prezzo in contanti da pagare ed R la rata costante di un eventuale rendita, converrá pagare anticipatamente se il costo dell oggetto sará minore del valore della rendita, cioé se P < Ra n i. Di conseguenza, ricordando che la decrescenza del valore attuale nell argomento del tasso d interesse, ossia a n i < a n j se i > j, il tasso d interesse j tale che P = Ra n j sará quello per cui il pagamento a rate e quello in contanti saranno uguali. In pratica, j é il massimo tasso d interesse per cui conviene il pagamento in un unica soluzione piuttosto che quello a rate.

127 Determinazione del tasso V Supponiamo che siano note le quantitá A, R ed n, e che la nostra incognita sia i. Ponendo v = (1 + i) 1, dalla formula di una rendita annua costante posticipata otteniamo:

128 Determinazione del tasso V Supponiamo che siano note le quantitá A, R ed n, e che la nostra incognita sia i. Ponendo v = (1 + i) 1, dalla formula di una rendita annua costante posticipata otteniamo: A = R(v + v v n ) = n v j = A j=1 R, che per la teoria delle radici dei polinomi, essendo v > 0, possiede una ed una sola soluzione reale positiva.

129 Determinazione del tasso V Supponiamo che siano note le quantitá A, R ed n, e che la nostra incognita sia i. Ponendo v = (1 + i) 1, dalla formula di una rendita annua costante posticipata otteniamo: A = R(v + v v n ) = n v j = A j=1 R, che per la teoria delle radici dei polinomi, essendo v > 0, possiede una ed una sola soluzione reale positiva. Trascurando le soluzioni che non hanno significato economico, il problema dell approssimazione di questa radice si puó affrontare in vari modi, come il Metodo delle Tangenti di Newton o il Metodo delle Approssimazioni successive.

130 Il Metodo delle Approssimazioni Successive I Detta F (v) = v + v v n A R, il primo passo consiste nel trovare due valori a e b, entrambi positivi, tali che F (a) < 0 e F (b) > 0;

131 Il Metodo delle Approssimazioni Successive I Detta F (v) = v + v v n A R, il primo passo consiste nel trovare due valori a e b, entrambi positivi, tali che F (a) < 0 e F (b) > 0; per la continuitá di F (v), c (a, b) con F (c) = 0. Successivamente, prendiamo il punto medio dell intervallo, vale a dire a + b ( ) a + b 2, e valutiamo F. 2

132 Il Metodo delle Approssimazioni Successive I Detta F (v) = v + v v n A R, il primo passo consiste nel trovare due valori a e b, entrambi positivi, tali che F (a) < 0 e F (b) > 0; per la continuitá di F (v), c (a, b) con F (c) = 0. Successivamente, prendiamo il punto medio dell intervallo, vale a dire a + b ( ) a + b 2, e valutiamo F. 2 ( ) ( ) a + b a + b Se F < 0, allora saremo certi che c 2 2, b, in caso contrario c ( a, a + b 2 ).

133 Il Metodo delle Approssimazioni Successive II Non é restrittivo considerare soltanto il primo( dei due casi; ) a + b prendiamo ora il punto medio dell intervallo 2, b, vale a dire a + 3b e ripetiamo il ragionamento fatto in precedenza: ( 4 ) a + 3b se F < 0, allora la soluzione cercata apparterrá 4 ( ) a + 3b all intervallo, b, in caso contrario dovremo 4 ( a + b considerare l intervallo 2, a + 3b ), e cosí via. 4

134 Il Metodo delle Approssimazioni Successive II Non é restrittivo considerare soltanto il primo( dei due casi; ) a + b prendiamo ora il punto medio dell intervallo 2, b, vale a dire a + 3b e ripetiamo il ragionamento fatto in precedenza: ( 4 ) a + 3b se F < 0, allora la soluzione cercata apparterrá 4 ( ) a + 3b all intervallo, b, in caso contrario dovremo 4 ( a + b considerare l intervallo 2, a + 3b ), e cosí via. 4 Il metodo descritto é di tipo iterativo, e ad ogni passaggio successivo si restringe l intervallo considerato e ci si avvicina alla soluzione esatta.

135 Il Metodo delle Approssimazioni Successive III F (v) O a a+b 2 b v Un grafico del Metodo delle Approssimazioni Successive

136 Il Metodo delle Approssimazioni Successive IV Esercizio Determinare, con tre cifre decimali esatte, quale tasso é stato applicato se, per un bene acquistabile per euro in contanti, é richiesto un anticipo di 400 euro e poi il pagamento di 8 rate bimestrali da euro.

137 Il Metodo delle Approssimazioni Successive IV Esercizio Determinare, con tre cifre decimali esatte, quale tasso é stato applicato se, per un bene acquistabile per euro in contanti, é richiesto un anticipo di 400 euro e poi il pagamento di 8 rate bimestrali da euro. In questo caso, l incognita é il tasso bimestrale j = i 1/6 e l equazione da impostare é: = a 8 j = = (1 + j) 8, j

138 Il Metodo delle Approssimazioni Successive IV Esercizio Determinare, con tre cifre decimali esatte, quale tasso é stato applicato se, per un bene acquistabile per euro in contanti, é richiesto un anticipo di 400 euro e poi il pagamento di 8 rate bimestrali da euro. In questo caso, l incognita é il tasso bimestrale j = i 1/6 e l equazione da impostare é: = a 8 j = = (1 + j) 8, j ossia dovremo trovare, con un margine di errore di 10 3, il valore del tasso col metodo delle approssimazioni successive.

139 Il Metodo delle Approssimazioni Successive V Esercizio La funzione da interpolare é φ(j) = (1 + j) 8. j

140 Il Metodo delle Approssimazioni Successive V Esercizio La funzione da interpolare é φ(j) = (1 + j) 8. j Considerando che ovviamente j (0, 1), e notando che: φ(1) = 5.003, 9; φ(0, 5) = 4.078; φ(0, 25) = 2671, 08; φ(0, 125) = 1117, 95; φ(0, 0625) = 148, 8,

141 Il Metodo delle Approssimazioni Successive VI Esercizio avendo trovato due valori che tramite la funzione φ hanno immagini discordi, siamo certi che il valore in cui φ(j) si annulla é compreso tra i valori 0,0625 e 0,125. Dimezzando ulteriormente l intervallo, cerchiamo il valore della φ nel suo punto medio:

142 Il Metodo delle Approssimazioni Successive VI Esercizio avendo trovato due valori che tramite la funzione φ hanno immagini discordi, siamo certi che il valore in cui φ(j) si annulla é compreso tra i valori 0,0625 e 0,125. Dimezzando ulteriormente l intervallo, cerchiamo il valore della φ nel suo punto medio: ( ) 0, , 125 φ = φ(0, 09375) = 2 = , 666 (1 (1, 09375) 8 ) = 541, 49.

143 Il Metodo delle Approssimazioni Successive VI Esercizio avendo trovato due valori che tramite la funzione φ hanno immagini discordi, siamo certi che il valore in cui φ(j) si annulla é compreso tra i valori 0,0625 e 0,125. Dimezzando ulteriormente l intervallo, cerchiamo il valore della φ nel suo punto medio: ( ) 0, , 125 φ = φ(0, 09375) = 2 = , 666 (1 (1, 09375) 8 ) = 541, 49. Quindi, essendo questo valore positivo, dovremo cercare la nostra soluzione nell intervallo tra i valori 0,0625 e 0,09375;

144 Il Metodo delle Approssimazioni Successive VII Esercizio dimezzando ulteriormente quest intervallo ed iterando, φ(0, ) = 212, 244; φ(0, ) = 35, 926; φ(0, ) = 55, 36; φ(0, ) = 9, 45; φ(0, ) = 13, 282; φ(0, 06884) = 1, 3; giungiamo a trovare j compreso tra 0,0687 e 0,0688, quindi approssimando alla terza cifra, il tasso cercato é del 6,87%.

145 Il Metodo delle Approssimazioni Successive VII Esercizio dimezzando ulteriormente quest intervallo ed iterando, φ(0, ) = 212, 244; φ(0, ) = 35, 926; φ(0, ) = 55, 36; φ(0, ) = 9, 45; φ(0, ) = 13, 282; φ(0, 06884) = 1, 3; giungiamo a trovare j compreso tra 0,0687 e 0,0688, quindi approssimando alla terza cifra, il tasso cercato é del 6,87%. Per concludere, essendo questo tasso bimestrale, lo riportiamo al tasso annuale con la solita equazione: i = (1 + 0, 0687) 6 1 = 0, 4898.