5.7. Assicurazione, selezione e equilibri di separazione.

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1 ELBORTO SULL BSE DEL PR ON LINE 5.7 DI NICIT-SCOPP, ECONOMI DEI CONTRTTI (versione CZ del ) 5.7. ssicurazione, selezione e equilibri di separazione. In questo paragrafo esaminiamo l attività di selezione (screening) di una compagnia assicurativa (per definizione neutrale al rischio) che fornisce un assicurazione ad individui avversi al rischio, caratterizzati da differenti probabilità di accadimento di un certo sinistro. Mentre gli individui conoscono il proprio grado di rischio, la compagnia assicurativa non è in grado di distinguere la classe di rischio degli assicurati. Utilizzando il modello proposto da Rothschild e Stiglitz (1976), studiamo le conseguenze per gli equilibri di mercato dell adozione di un meccanismo di screening, ipotizzando che l'impresa assicurativa operi in concorrenza perfetta. Per rappresentare i contratti di assicurazione che vengono offerti e gli equilibri che si stabiliscono sul mercato assicurativo usiamo come insieme di scelta quello dei panieri di consumo condizionato alla realizzazione di eventi esogeni, che è descritto nel cap. 12 di Varian. Ogni punto dello spazio di scelta rappresenta la ricchezza (o payoff) di un soggetto in due diversi stati del mondo (ad esempio, nello stato in cui si verifica un furto e quando non si verifica). Indichiamo come stato 1 la situazione in cui si verifica il furto (evento negativo) e rappresentiamo sull asse delle ascisse la ricchezza, y 1, dell individuo in questo stato; lo stato 2 rappresenta il caso in cui non si verifica il furto (evento positivo) e i relativi payoff, y 2, sono indicati sull asse delle ordinate. Le curve di indifferenza degli individui rappresentano le diverse combinazioni di ricchezza nei due stati del mondo che lasciano l individuo indifferente, cioè con lo stesso livello di utilità attesa. Prendiamo in considerazione un singolo individuo che debba decidere di assicurarsi contro il furto di un automobile del valore di euro e si denoti con p la probabilità che avvenga il furto. Il punto delle dotazioni iniziali, in cui l individuo non stipula alcuna assicurazione, è D (D 1 =0; D 2 =20000): se non si verifica il furto egli dispone di una ricchezza pari a euro, che diventa zero in caso di furto. Figura 5.1 L utilità attesa dell individuo è data da: U = pu(y 1 ) + (1 p)u(y 2 ). La pendenza delle curve di indifferenza è, in valore assoluto, pari a: pu'(y 1 )/(1 p)u'(y 2 ). causa dell avversione al rischio dell agente, le curve di indifferenza sono convesse 1 I punti in cui le curve di indifferenza dell'individuo intersecano la retta inclinata a 45 gradi passante per l origine rappresentano situazioni di assicurazione completa, poiché la ricchezza nei due stati è identica ( y 1 = y2 ). In questi punti la pendenza delle curve di indifferenza risulta pari, in valore assoluto, a: p/(1 p). Un individuo che stipula un assicurazione paga il premio P (in ogni stato) e riceve il rimborso R in caso di furto. Pertanto, se non avviene il furto l individuo ottiene la ricchezza iniziale meno il premio: y 2 = D 2 P. In caso di furto, la sua ricchezza è pari al rimborso meno il premio pagato più l eventuale ricchezza residua (che nell esempio abbiamo ipotizzato pari a zero): y 1 = D 1 P + R. Il premio da pagare dipende dal premio unitario richiesto dalla compagnia assicurativa e dalla quantità di rimborso che si intende ottenere, indicati in Varian rispettivamente come γ e K. 1 Si ricordi che per un individuo avverso al rischio la funzione di utilità è concava e quindi l utilità marginale della ricchezza è decrescente: se y è la ricchezza, o le possibilità di consumo di un bene composito, vale du/dy > 0 e d(du/dy)/dy < 0 1

2 Quindi P=γK e R=K. Se il premio unitario richiesto è equo, come accade in un mercato assicurativo in concorrenza perfetta, vale γ = p. La compagnia ottiene il premio P se non si verifica il furto, con probabilità ( 1 p), mentre quando si verifica il furto incassa il premio P, ma deve pagare il rimborso R all assicurato. I profitti attesi della compagnia assicurativa sono pari a: Π = ( 1 p)( P) + p( P R) = P pr La retta che passa per la dotazione iniziale dell'individuo con inclinazione p/(1 p) identifica sia la retta di isoprofitto dell'assicurazione che il vincolo di bilancio dell individuo, in questo caso l insieme delle possibilità di panieri di consumo condizionato messi a sua disposizione dall'esistenza dell'impresa assicurativa. Nel nostro esempio y 2 = P e y 1 = P + R. Ricavando P e R e sostituendoli nell equazione dei profitti si ottiene (per Π = 0 ): y 2 = p/(1 p) y 1. Siccome nel punto di scelta ottimale dell agente il vincolo di bilancio (o retta di isoprofitto) deve essere tangente alla curva di indifferenza, ne deriva che l agente sceglie di assicurarsi completamente (in modo tale che nei due diversi stati percepisce lo stesso reddito netto). Infatti, la pendenza della curva di indifferenza è uguale a p/(1 p) solo quando essa è tagliata dalla retta a 45º, ove y 2 = y 1 e quindi pu'(y 1 )/(1 p)u'(y 2 ) = p/(1 p). Si noti che nell'esempio trova conferma il risultato generale dimostrato da Varian nel cap. 12: un contratto assicurativo equo, stipulato tra una impresa neutrale al rischio e un agente avverso al rischio, conduce ad un assicurazione completa dell agente. La ripartizone del rischio fra gli agenti è Pareto-efficiente e l agente neutrale rispetto al rischio (nel caso l impresa) assume tutto il rischio legato ala situazione rischiosa Informazione simmetrica e assicurazione completa Utilizzando l esempio dell assicurazione contro il furto dell auto, supponiamo che esistano due tipi di individui: quelli ad alto rischio (tipo ), con probabilità di furto pari a p, e quelli a basso rischio (tipo B), con probabilità di furto pari a p B, dove p > pb. Ciò può essere dovuto al fatto che gli individui del tipo sono meno prudenti, parcheggiano in zone più pericolose, non custodiscono l auto in garage e così via. Per semplicità, supponiamo che p = 0, 2 e p B = 0, 1. Ricordiamo, inoltre, che per le dotazioni iniziali vale D = D B = (0,20000). Il punto cruciale dell analisi è che le curve di indifferenza degli individui ad alto rischio sono più inclinate (indicate con I nella Figura 5.2) rispetto alle curve di indifferenza degli individui a basso rischio (indicate con I B ). Dal momento che per un individuo ad alto rischio la probabilità di incorrere nella situazione negativa (stato 1) è più elevata, egli è disposto a cedere una (relativamente) maggiore quantità di ricchezza nella situazione positiva (stato 2), cioè a pagare un premio più alto, pur di avere una maggiore ricchezza nella situazione negativa. l contrario, un individuo con minori rischi è propenso a cedere una (relativamente) minore ricchezza nello stato 2 per avere un rimborso quando si verifica il sinistro (stato 1), poiché l eventualità di finire nello stato 1 si verifica per lui meno frequentemente. 2 Figura 5.2 Nelle condizioni in cui la compagnia assicurativa è in grado di osservare il grado di rischio di ogni individuo, essa offre due diversi tipi di contratto, che prevedono copertura completa, con premi fissati in base alla rispettiva rischiosità. Dal momento che in concorrenza perfetta i profitti 2 Si noti che la Fig. 5.2 riporta anche un'importante proprietà: le curve di indifferenza dei diversi tipi di agente si intersecano una sola volta (condizione di intersezione unica (single-crossing property) o condizione di Spence- Mirrlees, dal nome degli autori che l hanno evidenziata). 2

3 dell impresa devono essere nulli, ne segue che l impresa offrono dei contratti assicurativi attuarialmente equi, fissando un premio uguale al valore atteso della perdita. Le pendenze dei vincoli di bilancio per i tipi a basso ed alto rischio sono rispettivamente pari (in valore assoluto) a p B /(1 p B ) e p /(1 p ). La minor pendenza nel caso degli individui a basso rischio riflette il pagamento di un premio inferiore per ogni euro assicurato, per via della loro minore rischiosità. I contratti stipulati con informazione simmetrica sono rispettivamente C per il tipo ad alto rischio e C B per il tipo a basso rischio (Figura 5.3). Gli individui di entrambi i tipi scelgono di assicurarsi completamente, poiché la pendenza dei vincoli di bilancio è uguale alla pendenza delle rispettive curve di indifferenza nel punto in cui queste sono tagliate dalla retta a 45º. Il tipo B paga un premio di (uguale a 0, ) e incassa il rimborso di in caso di furto, ottenendo così una ricchezza di in ambedue gli stati. Il tipo paga un premio di (uguale a 0, ), ottenendo nei due possibili stati. Figura 5.3 Grazie all assicurazione, l utilità per entrambi i tipi di agenti aumenta. Ciò può essere dimostrato tracciando, come nella Figura 5.3, le curve di indifferenza dei due tipi che passano per il punto delle dotazioni iniziali D e notando che le nuove allocazioni si collocano per entrambi su curve di indifferenza più elevate Informazione asimmetrica e equilibri di separazione Esaminiamo ora il problema che deve affrontare una compagnia assicurativa che non è in grado di valutare la rischiosità degli individui. In prima approssimazione si potrebbe pensare che un possibile equilibrio sia quello in cui le imprese scelgono di offrire un premio unico per i due agenti che tenga conto della rischiosità media degli individui (detto equilibrio di aggregazione o pooling equilibrium). Ma qui si presenta il fenomeno della selezione avversa evidenziato nel par 5.2 del testo di Nicita e Scoppa. Se l impresa sa quale è la proporzione di individui a basso/alto rischio potrebbe offrire un contratto con un premio medio (nell'esempio, se si ipotizza che ci siano lo stesso numero di individui per ogni tipo avremo un premio pari a 0,15 per Euro assicurato, il un premio medio essendo dato da ½ 0,2 + ½ 0,1). Se gli individui sono liberi di scegliere quanto assicurarsi a questo premio medio, il tipo sceglie di assicurarsi completamente (o desidera addirittura sovra-assicurarsi, visto che le condizioni sono per lui particolarmente favorevoli). Gli individui a basso rischio, invece, desiderano assicurarsi solo parzialmente (o addirittura non assicurarsi affatto). Ma queste differenti scelte cambiano il rischio effettivo per la compagnia di assicurazione poiché gli individui ad alto rischio vengono a pesare molto di più nel pool degli assicurati, e non vi è garanzia che i profitti non diventino negativi. L impresa sarebbe costretta ad aumentare i premi richiesti, scoraggiando sempre più l adesione degli individui a basso rischio. Un possibile equilibrio finale è quello in cui vengono offerti contratti solo agli agenti con più alto rischio, lasciando gli altri fuori dal mercato. In questo modo l'asimmetria informativa implica che il mercato per gli individui meno rischiosi scompare. nche se l impresa determina lei quanto è possibile assicurarsi, per evitare sovraassicurazione da parte dei soggetti più rischiosi, ed offre quindi non semplicemente un premio medio, ma un contratto medio specifico, si può dimostrare che in concorrenza perfetta non può esistere alcun equilibrio di aggregazione in cui gli appartenenti alle due diverse classi di rischio stipulano lo stesso contratto e pagano lo stesso premio. Ciò è dovuto alla possibilità, sotto tale configurazione, di scrematura del mercato : dato un contratto di pooling, una qualsiasi altra impresa potrebbe offrire un contratto leggermente migliore che attira solo gli individui a basso rischio, conseguendo profitti 3

4 positivi e mettendo in crisi tutte le altre imprese 3. Questo aspetto è illustrato nella Figura 5.4 nella quale è evidenziato un vincolo di bilancio che corrisponde ad un premio pari a 0,15 ed è identificato un contratto proposto a entrambi gli agenti, indicato come C M, offerto dall impresa assicurativa con l obiettivo di aggregare in un unico mercato gli agenti con diverso rischio. Le curve di indifferenza passanti per C M indicato le utilità dei soggetti. Sia quelli ad alto rischio rischio che quelli a basso rischio ottengono una utilità maggiore di quella iniziale, quindi sceglieranno C M piuttosto che la situazione iniziale. L impresa che offre questo contratto fa profitti nulli. Sembra quindi che un equilibrio di aggregazione sia possibile. Ma sul vincolo di bilancio ogni offerta contrattuale che richieda lo stesso premio ma assicuri per una cifra (quindi un eventuale risarcimento) minore è un miglioramento per gli agenti a basso rischio ed un peggioramento per quelli a basso rischio. Questa offerta contrattuale potrebbe essere attraente per altre imprese assicurative che vogliano entrare in questo mercato. Ma questo implica che l impresa che ha offerto C M si troverà nel pool di agenti una proporzione più alta di agenti ad alto rischio, e i suoi profitti attesi diventeranno negativi. In entrambi i casi esaminati il risultato della impossibilità di un equilibrio di aggregazione è in accordo con un risultato generale della teoria dei contratti con informazione asimmetrica: l agente di miglior qualità è danneggiato dal suo vantaggio informativo, o perchè ottiene un contratto ad un premio non equo, o addirittura perchè trova conveniente non firmare alcun contratto. Per questo motivo l agente può cercare di segnalare la sua migliore qualità (vedi par. 5.5 del testo di Nicita e Scoppa sul fenomeno della segnalazione). lternativamente, l impresa assicurativa può cercare di offrire un contratto diverso ai due tipi di agenti. Se questa offerta contrattuale è un migliorameno paretiano, dà origine ad un cosiddetto equilibrio di separazione (separating equilibrium). L impresa può offrire agli agenti non un contratto singolo, ma un menù di contratti, opportunamente predisposto, all'interno del quale gli individui possano scegliere quello di loro preferenza. Nel nostro esempio, con due tipi di agenti, l impresa offre due contratti e lascia agli agenti scegliere quello che loro preferiscono. Naturalmente i contratti sono fissati in modo da indurre ogni tipo di agente a scegliere il contratto predisposto per il suo tipo. Indichiamo con C ( y1 ; B = y2 ) il contratto predisposto per il tipo e con C ( ) B B = y1 ; y2 il contratto per il tipo B. Nell individuazione del contratto ottimale da offrire, l impresa deve tenere conto dei seguenti vincoli: [5.1] Vincolo di partecipazione di : p u(y 1 ) + (1 p )u(y 2 ) u [5.2] Vincolo di partecipazione di B: p B u(y 1B ) + (1 p B )u(y 2B ) ub [5.3] Vincolo di autoselezione di : p u(y 1 ) + (1 p )u(y 2 ) p u(y 1B ) + (1 p )u(y 2B ) [5.4] Vincolo di autoselezione di B: p B u(y 1B ) + (1 p B )u(y 2B ) p B u(y 1 ) + (1 p B )u(y 2 ) I vincoli [5.1] e [5.2] indicano che stipulando il contratto prescritto gli agenti devono ricevere un utilità almeno pari a quella di riserva, rispettivamente pari a u e u B (queste utilità coincidono evidentemente con le utilità derivanti dalla combinazione iniziale D: se non sono almeno garantite l agente non sceglie il contratto). I vincoli [5.3] e [5.4] sono pensati per indurre gli agenti a scegliere il contratto consono con la propria rischiosità (che, ricordiamo, non è nota all impresa assicurativa). 3 Si noti che un contratto pooling potrebbe, invece, risultare ottimale per un impresa che operi in un contesto imperfettamente concorrenziale, ma l'argomento non viene trattato in questo paragrafo. 4

5 Il vincolo [5.3] impone che il menù di contratti sia disegnato in modo tale che l individuo non desideri scegliere il contratto progettato per B, cioè che l utilità attesa che egli ottiene selezionando C sia maggiore o uguale dell utilità attesa che otterrebbe selezionando C B. llo stesso modo, il vincolo [5.4] impone che il tipo B non preferisca mai scegliere il contratto disegnato per. Si noti che nel caso descritto è il tipo, quello più rischioso, che preferirebbe essere scambiato per B, nel tentativo di pagare il premio più basso, pensato per l individuo meno rischioso. In questo caso l impresa fissa i premi in modo da rendere il vincolo [5.3] stringente (cioè rispettato con uguaglianza), mentre il vincolo [5.4] non è stringente, dal momento che gli individui a basso rischio non desiderano passare per individui ad alto rischio, e quindi in questo caso può essere ignorato 4. Se esiste un menù contrattuale che rispetta i vincoli di partecipazione e di autoselezione l impresa riesce a separare in due gruppi gli agenti e quindi scopre al momento della firma del contratto a quale tipo appartengono gli agenti, diversamente dal caso dell equilibrio di pooling. In pratica, il menu di contratti consente di ottenere l effetto di estrarre l informazione privata degli agenti. Esaminiamo adesso le caratteristiche di un equilibrio di separazione, nel quale l impresa assicurativa propone contratti diversi per combinazioni di premi e copertura assicurativa agli individui, lasciando a questi la possibilità di scegliere quello preferito, cioè di auto-selezionarsi. nalizzando la Figura 5.3 è possibile mostrare che risulta ottimale per le imprese offrire all'interno del menù un contratto pensato per gli individui ad alto rischio che li assicura completamente (il punto C ), al tasso equo e, quindi, impone loro il pagamento del premio più elevato, poiché essi vengono correttamente identificati come i soggetti a più alto rischio. Contemporaneamente è immediato constatare che non è possibile predisporre come contratto pensato per gli individui a basso rischio il contratto C B (cioè quello relativo alla situazione di informazione perfetta, riportato nella Figura 5.3 per rendere agevole il confronto). La spiegazione è piuttosto semplice: tale contratto sarebbe scelto anche dal tipo, poiché si trova su una sua curva di indifferenza più alta rispetto a quella passante per C. Ne deriva che il contratto C B non rispetta il vincolo di auto-selezione [5.3], poiché induce il tipo ad alto rischio a compiere la stessa scelta del tipo a basso rischio. l fine di rispettare il vincolo di auto-selezione, il contratto pensato per gli individui a basso rischio non deve trovarsi in un punto che sta al di sopra della curva di indifferenza I passante per C. Il contratto rappresentato da C B, sulla curva di indifferenza I B, posto all intersezione tra la curva di indifferenza I e la retta di isoprofitto nullo per il tipo B, rappresenta il contratto ottimale da predisporre per il tipo B all'interno del menù, poiché rispetta tutti i relativi vincoli: - il suo vincolo di partecipazione di B, poiché la curva di indifferenza I B giace sopra quella relativa alle dotazioni iniziali D; - il vincolo di auto-selezione di e di B, dal momento che il tipo non preferisce C B a C (né tanto meno B preferisce C a C B ); - il vincolo di bilancio o profitti nulli per l'assicurazione. L implicazione fondamentale che si ricava da questa soluzione è che all individuo con minori rischi non può essere offerto un contratto di assicurazione con una copertura completa: le compagnie assicurative richiedono un premio assicurativo più basso (rispetto ad ), ma impongono al tipo migliore solo una copertura assicurativa limitata, lasciando una parte del rischio a suo carico. 4 Notiamo che oltre ai vincoli derivanti dal problema di selezione degli agenti, nel mercato perfettamente concorrenziale che abbiamo descritto viene rispettata anche la condizione che in equilibrio le imprese non possono realizzare profitti positivi, che equivale all'ipotesi che i premi richiesti siano equi. 5

6 Operativamente, C B rappresenta un contratto con franchigia (si veda il paragrafo 5.6 di Nicita e Scoppa), con il quale l assicurazione offre il premio equo anche all agente a minor rischio, ma non gli consente di assicurarsi completamente, e rimborsa solo una parte della perdita complessiva. L introduzione di tale distorsione è necessaria per scoraggiare gli individui caratterizzati da rischi più alti dallo scegliere il contratto progettato per gli agenti a basso rischio. I punti C e C B formano, pertanto, un menù di contratti che genera un equilibrio separatore, nel quale agli agenti sono praticate condizioni contrattuali differenti a seconda della classe di rischio. La struttura contrattuale è tale da indurre ciascun tipo a rivelare, attraverso la scelta del contratto effettuata, le proprie reali caratteristiche. Gli agenti ad alto rischio ottengono lo stesso contratto, e quindi la stessa utilità, che otterrebbero in presenza di informazione simmetrica. Il loro contratto è così pienamente efficiente. Questo risultato ha validità generale negli equilibri di screening: l unico contratto efficiente di first best è quello progettato per il tipo di agente per il quale nessuno vuole essere scambiato 5. I contratti disegnati per gli altri tipi di agenti che introducono delle distorsioni intese come deterrente alla scelta da parte dei tipi ad alto rischio risultano invece non inefficienti, perchè non consentono una corretta ripartizione dei rischi (il contratto è definito di second best). In conclusione, nel mercato assicurativo esaminato i contratti progettati per gli agenti a basso rischio sono inefficienti, a causa della mancanza di copertura assicurativa completa. Gli individui con minori rischi (e, in generale, il tipo di agente che non vuole essere scambiato per gli altri) sono danneggiati dall informazione asimmetrica e ottengono un utilità più bassa di quella conseguibile con informazione perfetta 6, a causa dell esternalità negativa derivante dalla presenza degli individui con rischi elevati. Questo risultato ha caratteristiche generali e vale per tutte le situazioni che possono sono caratterizzate da informazione nascosta: vendita di beni di cui non è nota al compratore la qualità, Questi temi sono affrontati nel dettaglio nel file EserciziossicurazioneNEW.pdf disponibile nella pagina del materiale didattico 5 Normalmente, l agente per il quale nessuno vuole essere scambiato coincide con l agente con le caratteristiche peggiori ad esempio, nei mercati assicurativi, gli agenti cercano di non essere individuati come agenti ad alto rischio ma esistono anche situazioni in cui nessuno vuole passare per il tipo con le caratteristiche migliori. d esempio, nella regolamentazione delle imprese di pubblica utilità, nessun impresa ha interesse ad essere identificata come un impresa a bassi costi (la tipologia migliore dal punto di vista del principale), dal momento che l autorità di regolamentazione imporrebbe un prezzo più basso (si veda il paragrafo 5.6.4). 6 In assenza di concorrenza perfetta e quando il principale gode dell intero potere di mercato, questo tipo di agente ottiene esattamente la sua utilità di riserva. 6

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