Utilità Attesa. Solito preambolo e qualche richiamo alle scelte rischiose:

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1 Utilità Attesa Solito preambolo e qualche richiamo alle scelte rischiose: In Economia le scelte/decisioni vengono distinte in: 1. decisioni in situazioni di certezza 2. decisioni in situazioni di rischio 3. decisioni in situazioni di incertezza Come nella precedente lezione, anche qui ci avventuriamo nella situazione decisionale numero 2. Dunque si studia l allocazione del portafoglio tra attività rischiose (azioni, assicurazioni, lotterie, scommesse ). L utilità scontata ci aiuta a studiare i comportamenti tipo cicala vs formica. L utilità attesa ci aiuta a studiare i comportamenti tipo prudente vs spericolato In ogni caso, si parla sempre di noi. Il rischio consta nella presenza di due o più stati del mondo che, ex ante, possono realizzarsi con una nota e costante probabilità ma che, ex post, sono alternativi: se ne realizza uno solo. Il rischio è appunto che potrebbe realizzarsi lo stato meno favorevole. A differenza della precedente lezione, dove si parlava di vincoli di bilancio e CI, qui esplicitiamo meglio la funzione di utilità in condizioni di rischio. Il modello dell Utilità Attesa descrive le preferenze individuali sottostanti il comportamento del consumatore razionale, informato e auto-interessato in condizioni di rischio. Alla pari del modello dell Utilità Scontata questo modello EMPIRICAMENTE è, entro certi limiti, abbastanza realistico; NORMATIVAMENTE è valido: se sei walrasiano dovresti comportarti così. Perché dovremmo comportarci così? Le potenzialità normative del modello dell Utilità Attesa possono essere comprese illustrando l Assioma di Indipendenza (dalle alternative irrilevanti). La logica di fondo è: se sei razionale, semplicemente non puoi violare l assioma di indipendenza. Vediamo perché con un esempio. M. Bovi Pag. 1

2 ESEMPIO: INDIPENDENZA => RAZIONALITA Supponiamo che C e D siano due combinazioni rischiose di consumo e che l individuo preferisca C a D. Supponiamo anche che E è una terza combinazione rischiosa. Definiamo ora: G la lotteria che ha per risultato C con probabilità p e E con probabilità (1-p) H la lotteria che ha per risultato D con probabilità p ed E con probabilità (1-p) L Assioma di Indipendenza afferma che l individuo: preferirà la lotteria G alla lotteria H. Perché? Perché i possibili risultati di G sono C ed E, mentre i possibili risultati di H sono D ed E. Dato che il soggetto preferisce C a D, => egli preferirà G a H. Il risultato descrive dunque una situazione razionale, cioè coerente: l agente preferisce G a H poiché l agente preferisce C a D In termini non rigorosi ma per capire: chi ha un certo ordine di preferenze (ad esempio C D), non dovrebbe farsi distrarre dalla presenza di alternative irrilevanti (come, nel nostro esempio lo è E). Insomma, se sono irrilevanti le alternative esse non devono incidere sull ordine delle preferenze tra C e D. NB se non lo avete già fatto, ripassate gli assiomi sulle preferenze. Che succede se, invece, l agente vìola l Assioma di Indipendenza? M. Bovi Pag. 2

3 ESEMPIO: NO INDIPENDENZA => NO RAZIONALITA. Esattamente come prima supponiamo che: C e D siano due combinazioni rischiose di consumo e che l individuo preferisca C a D. G è la lotteria che ha per risultato C con probabilità p e E con probabilità (1-p) H è la lotteria che ha per risultato D con probabilità p ed E con probabilità (1-p) In più, assumiamo ora che p sia uguale a 0.5 e che G e H siano due lanci consecutivi della stessa moneta: se il risultato del lancio è testa, l individuo ottiene C se ha scelto il lancio della moneta G D se ha scelto il lancio della moneta H; se il risultato del lancio è croce l individuo ottiene E in ogni caso. Se l individuo sceglie H allora l agente NON soddisfa l Assioma di Indipendenza poiché, pur preferendo C a D, sceglie il lancio H. Il problema dell incoerenza è che se, ex post, il lancio H ha avuto per risultato testa, allora l individuo ottiene D nonostante che ex ante preferiva C a D. Infatti, se avesse scelto G, il risultato testa gli avrebbe consentito di ottenere C. A questo punto, ovviamente, l individuo vorrà cambiare la sua decisione. Dunque, l Assioma di Indipendenza impedisce l incoerenza del comportamento individuale indicando, normativamente, come dovrebbe comportarsi un agente razionale/coerente. Al solito: Nell analisi microeconomica si può decidere di descrivere ogni soggetto attraverso una funzione di utilità oppure attraverso le sue preferenze. Le due vie non sono identiche a meno che non esistano dei vincoli particolari sulle preferenze. Ebbene, se le preferenze sulle lotterie sono razionali (cioè complete, riflessive e transitive), continue e soddisfano l assioma di indipendenza, allora si può indifferentemente passare dalla funzione di utilità alle preferenze e, di qui, alle CI (è simile al teorema della rappresentazione di Debreu nelle scelte contemporanee). M. Bovi Pag. 3

4 Investitori italiani avversi al rischio, ma vogliono rendimenti oltre il 9% E ben il 65% non ha obiettivi chiari. Priorità: la sicurezza previdenziale. È quanto emerge da una ricerca condotta da Natixis. Gli investitori italiani si confermano decisamente avversi al rischio, ma allo stesso tempo presentano alte, e poco realistiche, aspettative di rendimento. È la fotografia scattata da una ricerca condotta da Natixis Global Asset Management su investitori di 17 paesi diversi, dei quali ben 500 in Italia. Nella ricerca pubblicata oggi, emerge che in Italia gli investitori affermano di aver bisogno di rendimenti medi del 9,1% all anno sopra l inflazione, una cifra ben al di sopra dei rendimenti medi annuali dei mercati registrati negli ultimi cento anni. Una elevata, e storicamente non realistica. Non solo. Si tratta di un'aspettativa di guadagno che risulta in netto contrasto con il comportamento degli investitori e la loro consolidata avversione al rischio. "Alla luce del buon andamento dei mercati finanziari negli ultimi tempi, gli investitori hanno una view positiva sui rendimenti ottenibili nel 2015" ha affermato Antonio Bottillo, Country Head ed Executive Managing Director per l Italia di Natixis Global Asset Management. "Tuttavia l ottimismo può essere dannoso al successo degli investimenti e alla sicurezza finanziaria quando i risparmiatori hanno aspettative non realistiche o non hanno obiettivi ben definiti. Molti risparmiatori, infatti, non hanno ancora pianificato, non intendono assumersi dei rischi o non hanno una chiara comprensione del rischio di portafoglio". Nonostante le elevate aspettative, solo il 52% degli investitori italiani afferma di esser disposto ad assumersi più rischio rispetto a un anno fa, il 65% non ha obiettivi finanziari chiari e solo il 31% ha un piano finanziario per raggiungerli. Un capito a parte è dedicato alla sicurezza previdenziale, che resta la priorità finanziaria a livello globale. Il 71% degli italiani intervistati (69% a livello globale) dichiara che la pensione è il primo focus degli investimenti e il 64% ritiene che la responsabilità per la propria sicurezza post-pensionamento stia ricadendo sempre più sugli individui. In Italia, il 45% (36% a livello globale) dichiara che le non sufficienti pensioni statali sono un problema per il proprio benessere finanziario dopo il pensionamento. M. Bovi Pag. 4

5 Il Modello dell Utilità Attesa Il modello dell Utilità Attesa studia le preferenze individuali in condizioni di rischio. Come sappiamo il rischio implica che l individuo è chiamato a prendere una decisione senza conoscere con certezza ex ante quale stato del mondo si verificherà ex post. Ma non c è incertezza: l agente conosce la lista dei possibili eventi, a ciascuno dei quali associa una probabilità di realizzazione. Per semplicità, assumiamo che i possibili stati del mondo siano solo due, gli stati del mondo 1 e 2, con probabilità di realizzazione π1 e π2. Chiamiamo c1 il reddito/consumo contingente allo stato del mondo 1 c2 il reddito/consumo contingente allo stato del mondo 2. NB Come nella lezione precedente, in questa economia semplificata si ipotizza che l agente consuma tutto il reddito. Dunque reddito e consumo sono termini intercambiabili per cui c1 può anche essere visto come il reddito contingente allo stato del mondo 1. Conosciamo già il significato di contingente=condizionale. Come descrivere le preferenze ex ante relativamente alle combinazioni di consumo rischiose (c1, c2)? Ce lo dice il modello dell Utilità Attesa, che è specificato nel seguente modo: U(c1, c2) = π1 u(c1) + π2 u(c2) E facile capire perché si parla di utilità attesa. Ricordate la definizione di valore atteso (VA)? Ve la riporto: Se la variabile (aleatoria=casuale) X assume valori x1 e x2 con probabilità pari rispettivamente a π1 e π2, il VA di X è definito come segue: VA(X) = π1 x1 + π2 x2 = media ponderata con le probabilità. A parole: Il Valore atteso di una lotteria è il valore che in media ci si aspetta di vincere e si calcola come media ponderata dei diversi valori, con pesi dati dalle corrispondenti probabilità. Non dipende dalla psicologia dell agente e, graficamente, è una retta che va confrontata con la curvatura della funzione di utilità. Ecco perché il neutrale al rischio ha CI lineari: la sua psiche non considera il rischio, ma solo il VA. M. Bovi Pag. 5

6 Torniamo a noi. I valori delle probabilità π1 e π2 sono noti al consumatore, per cui l unico elemento da specificare nell espressione è la funzione di utilità u(.). Essa è conosciuta come funzione di utilità di Von Neumann-Morgenstern (VNM). La funzione u(.) informa, al solito, sul livello soggettivo di utilità che l individuo associa al reddito/consumo: elementi oggettivi e soggettivi. Nota la forma funzionale di u(.), l interpretazione dell espressione è chiara: U(c1, c2) = π1 u(c1) + π2 u(c2) lo stato del mondo 1 si realizza con probabilità π1, l individuo consuma c1 e ottiene un utilità pari a u(c1); lo stato del mondo 2 si realizza con probabilità π2, l individuo consuma c2 e ottiene un utilità pari a u(c2). Il lato destro dell espressione rappresenta l utilità (VNM) che l individuo si aspetta di ottenere ex ante (l utilità attesa, appunto) dalla combinazione di consumo rischiosa (c1, c2). E ragionevole assumere che l individuo scelga tra varie combinazioni rischiose sulla base dei rispettivi valori di utilità attesa. Più in particolare egli, homo economicus à la Bentham, sceglierà la combinazione alla quale è associata l utilità attesa più elevata. M. Bovi Pag. 6

7 Teorema dell utilità attesa e relativi assiomi L analisi della scelta in condizioni di rischio assume che il sistema delle preferenze sia razionale, cioè, non solo che il criterio di scelta sia rappresentabile con un sistema regolare (ossia, completo e transitivo) di preferenza, ma anche che questo presenti proprietà specifiche che lo qualificano come razionale (ricordate la coerenza?). Il teorema dell Utilità Attesa si basa su alcuni Assiomi sul comportamento razionale dell individuo. Von Neumann è un (grande) matematico: non sorprende il suo approccio assiomatico Come anticipato, se questi Assiomi sono verificati si può concludere che il comportamento individuale è razionale. Per noi è sufficiente definirli senza entrare nei dettagli. Assioma di Continuità Consideriamo lotterie i cui esiti siano uno dei possibili risultati=payoff A1, A2,, AI. Se le preferenze dell individuo sono tali da poter ordinare tutti i possibili risultati di una lotteria, è possibile definire i payoff che l individuo ritiene il peggiore e il migliore. Ricordo che è importante distinguere tra misurazione ordinale e cardinale. Un numero può essere usato per due scopi differenti: 1) per descrivere la grandezza => numero cardinale, 2) per descrivere la posizione => numero ordinale. Ammettiamo di poter ordinare i payoff di una lotteria in maniera tale che: A1 sia il payoff migliore (il preferito dell individuo) AI sia il peggiore (il meno preferito dall individuo). Secondo l Assioma di Continuità, per ogni payoff Ai esiste una probabilità, ui, per la quale per l individuo è indifferente scegliere la certezza di ottenere Ai oppure la combinazione rischiosa del payoff pari a ui A1 + (1 ui)ai M. Bovi Pag. 7

8 L Assioma di Dominanza stabilisce che, se ci sono due combinazioni rischiose che hanno solamente due possibili risultati: il peggior payoff il migliore payoff allora la combinazione rischiosa che associa la probabilità più alta al payoff migliore è da preferirsi all altra: la prima domina la seconda. NB se la combinazione rischiosa associa la probabilità più alta al payoff migliore è ovvio che essa associa la probabilità minore al payoff peggiore: la somma delle due probabilità deve valere 1 (gioco a somma uno). Assioma dell Indipendenza E il più importante, ma lo abbiamo già visto. Accennati i tre assiomi si potrebbe dimostrare il seguente teorema ma noi cerchiamo solo di capire cosa dice: Teorema dell Utilità Attesa (UA): un soggetto razionale sceglie tra due combinazioni di consumo rischiose in base all utilità attesa (UA) delle due combinazioni (nb si decide in base all utilità, i.e. a elementi soggettivi); una combinazione di consumo rischiosa caratterizzata da un UA maggiore deve essere preferita ad una combinazione con UA minore. Tranne per il fatto che le scelte qui sono rischiose, la razionalità di scelta è la solita. M. Bovi Pag. 8

9 Inclinazione delle curve di indifferenza nel modello dell Utilità Attesa. Ripeto ancora una volta: la funzione di utilità mi converte un elemento oggettivo (consumo, reddito, ) che è misurato dall ascissa - in un valore soggettivo (piacere, benessere, ) - che è misurato dall ordinata. Una generica curva di indifferenza (CI) nello spazio dei punti (c1, c2) è definita dalla seguente equazione (pari ad una costante poiché è CI => U=costante): U(c1, c2) = costante Sostituendo la formula già vista che riporto U(c1, c2) = π1 u(c1) + π2 u(c2) in questa espressione, otteniamo: π1 u(c1) + π2 u(c2) = costante Seguendo i soliti calcoli differenziali, si ottiene l espressione dell inclinazione delle curve di indifferenza: - π1 du(c1)/dc1[ π2 du(c2)/dc2] dove du(c)/dc rappresenta la derivata prima di u(c) rispetto a c, ovvero l inclinazione della funzione di utilità u(c). Insomma, niente di nuovo: anche l UA prevede CI con inclinazione negativa. Se, poi, u è concava, per punti sempre più in basso lungo ogni CI: c1 aumenta c2 diminuisce du(c1)/dc1 decresce du(c2)/dc2 aumenta l inclinazione dc2/dc1 diminuisce (in valore assoluto). Anche qui niente di nuovo. Facendo seguito alle considerazioni delle lezioni precedenti, possiamo ripetere che: se u è concava, lineare o convessa [nello spazio (consumo, utilità)] le CI sono convesse, lineari o concave [nello spazio (c1, c2)]. M. Bovi Pag. 9

10 Ribadendo quanto detto nella precedente lezione, e con c1 = c2, l inclinazione delle curve di indifferenza diventa pari a - π1/ π2. Chiamiamo la retta definita da c1 = c2 la linea della certezza e concludiamo quanto segue: Nel modello dell Utilità Attesa, l inclinazione delle CI lungo la linea della certezza è pari a - π1/ π2. Sembra tutto già visto. Ma, allora, che c è di nuovo? Vi accontento subito: M. Bovi Pag. 10

11 L'importanza dell'utilità Attesa Analizziamo il comportamento di un soggetto con una funzione di utilità u concava come quella rappresentata nella figura seguente: La forma funzionale della funzione di utilità rappresentata in figura è u(c)=(1 e -0.03c ) / (1 e -3.3 ), Essa è un esempio della tipologia più generale di funzione di utilità di avversione assoluta al rischio costante (CARA=constant absolute risk averse) di cui ci occuperemo in seguito. Supponiamo che all individuo venga offerto di partecipare ad una lotteria in base alla quale egli riceve, alternativamente un reddito di 30 con probabilità 0.5 un reddito di 70 con probabilità 0.5. Come si comporta l individuo? Il reddito atteso della combinazione rischiosa (30,70) è pari a 50 (= media ponderata di 30 e 70 con pesi 0.5). Ma - e qui è il punto cruciale! - se le preferenze dell individuo sono quelle descritte dal modello dell Utilità Attesa allora la sua valutazione si basa sull utilità attesa della lotteria, NON sul reddito atteso della lotteria. Qual è, dunque, l utilità attesa? M. Bovi Pag. 11

12 Dato che conosciamo la forma della funzione di utilità, è possibile calcolare l utilità attesa associata alla scelta rischiosa (30, 70). Consumare 30 implica un utilità di circa 0.616, Consumare 70 implica un utilità di circa NB calcolo in Excel: 0.616~(1-EXP(-0.03*30))/(1-EXP(-3.3)) Dato che entrambi i livelli di utilità, e 0.912, si ottengono con una probabilità di 0.5, l utilità attesa è pari a ½ ½ = Ricordo: U(c1, c2) = π1 u(c1) + π2 u(c2) Le tre rette orizzontali disegnate nella figura 24.1 ci quantificano l utilità e vanno interpretate come segue. La combinazione consumo-utilità più vicina all asse delle ascisse si riferisce all utilità di un consumo pari a 30, la più alta delle tre rette all utilità che si trae consumando 70. I conti visivi tornano il piacere è, rispettivamente: e La combinazione consumo-utilità in rosso rappresenta l utilità attesa. Osservate che l utilità attesa si colloca perfettamente al centro dei livelli di utilità associati ai due stati del mondo alternativi perché abbiamo assunto stati del mondo equiprobabili. M. Bovi Pag. 12

13 Equivalente certo (ce, certainty equivalent) L equivalente certo di una combinazione rischiosa di reddito/consumo è concetto molto importante. Si definisce equivalente certo di una combinazione rischiosa di reddito/consumo l ammontare di moneta, ricevuto con certezza (i.e. senza rischio), che l individuo considera equivalente alla combinazione rischiosa di reddito/consumo. Nell ambito del modello dell Utilità Attesa, l ammontare di moneta che l individuo considera equivalente alla combinazione rischiosa di reddito/consumo è quella che restituisce l utilità attesa della combinazione rischiosa stessa. NB per quantificare l utilità di una somma di denaro la si deve inserire nella funzione di utilità che, appunto, converte il denaro in felicità (piacere, benessere, ). Concetto identico, descrizione alternativa L equivalente certo (ce) è quella somma di denaro non rischiosa che, inserita nella funzione di utilità, dà un utilità [(U(ce)] pari all utilità attesa del reddito rischioso, i.e. del reddito contingente (UA): U(ce) = UA. NB Come studiato nella lezione sulle scelte rischiose, reddito ATTESO = reddito OGGETTIVAMENTE CERTO. Infatti il reddito atteso si ottiene INDIPENDENTEMENTE dal mondo che si realizza. NOTIAMO BENE: 1) Il reddito atteso è un valore OGGETTIVO: è il calcolo matematico di una media che deve dare lo stesso identico risultato per chiunque lo faccia. 2) L equivalente certo (ce) è un valore SOGGETTIVO: l avverso al rischio calcolerà psicologicamente un ce diverso da un amante del rischio. 3) Se aumenta la distanza dal reddito atteso, allora aumenta la rischiosità. M. Bovi Pag. 13

14 Nel nostro esempio, l equivalente certo della scelta rischiosa di guadagnare 30 o 70 con la stessa probabilità, è dato dalla seguente espressione: u(ce) = ½u(30) + ½u(70) = Dalla figura 24.1 risulta che ce è una somma pari a 44.5 (l utilità di consumare 44.5 unità del bene è pari a 0.764). Fate, come esercizio, il calcolo analitico. Avete la funzione di utilità: esplicitatela rispetto alla somma=reddito=consumo. Notate che l equivalente certo (44.5) è inferiore al valore atteso (=>certo) della combinazione rischiosa (50) (la linea rossa è a sinistra di quella verticale più larga). Ricordate la stranezza della minore utilità associata a maggiori redditi? In questo esempio, sia 44.5 che 50 sono certi eppure l agente preferisce Ma perché ce risulta minore del valore atteso della lotteria? R. Perché il VA è contingente alla partecipazione ad una lotteria, il ce no. E, ancora, il valore atteso non tiene conto delle preferenze dell agente, il ce sì. A livello grafico, la risposta è nella forma della funzione di utilità. Qui stiamo confrontando: a) una combinazione rischiosa (il VA) che è una combinazione lineare, i.e. una retta, con b) una funzione di utilità concava => c) una funzione che, per definizione, è curvata in modo tale che una retta che unisce due suoi punti ne è sempre al di sotto => d) la retta (=comb. rischiosa) è sempre al di sotto della funzione di utilità => e) l'ua del reddito atteso (VA) è sempre maggiore dell'ua connessa al ce. Ecco perché un soggetto avverso al rischio ha una funzione di utilità concava: egli è avverso dunque, anche se oggettivamente equivalenti, preferisce il certo al rischio => dà un peso negativo, in termini di utilità, al rischio (ovvero dà un peso positivo, in termini di utilità, alla sicurezza). M. Bovi Pag. 14

15 ANALISI GRAFICA Consideriamo un soggetto che abbia una funzione di utilità concava. Supponiamo che costui possa scegliere se partecipare ad una lotteria equa i cui due esiti monetari, ALTO e BASSO, sono indicati nella seguente figura come OA e OB. Il valore monetario atteso, OX, si situa a metà strada fra OB e OA poiché ipotizziamo che le probabilità dei due esiti siano ½. OX è anche il costo di partecipazione alla lotteria. Se l agente decide di non giocare/rischiare, come vediamo dalla figura egli risparmia OX euro, che si ritrova in tasca per certo e che gli garantiscono un utilità pari a U(OX). Se invece decide di giocare, egli potrà ottenere due diversi livelli di utilità, ciascuno con probabilità ½ a seconda dell esito monetario. Se la vincita monetaria è quella più alta, l utilità ottenuta sarà U(OA), altrimenti sarà U(OB). Ciò che conta ai fini della decisione è l utilità attesa UA, cioè la media fra U(OA) e U(OB): siccome le probabilità di ottenere questi due livelli di utilità sono pari a ½, l utilità attesa si trova a metà strada fra i due (in verticale!) e corrisponde all altezza della linea continua riportata in figura. Siccome l utilità attesa di partecipare alla lotteria, UA, è chiaramente inferiore all utilità di non partecipare, U(OX), questo soggetto decide di non partecipare. D altronde, la sua funzione di UA è concava => è avverso. M. Bovi Pag. 15

16 ESEMPIO Tizio ha una funzione di utilità (concava) u=1000x 1/2 (x è il reddito). Egli può effettuare un investimento/lotteria (=prendersi un rischio) che produce un reddito netto pari a 60 con probabilità ½ e pari a 400 con probabilità ½. => VA=Reddito atteso=230 (=½ 60+½ 400) L equivalente certo (ce) è la somma di denaro che dà a Tizio un utilità [(U(ce)] pari all utilità attesa del reddito rischioso (UA): U(ce) = UA. Cominciamo quindi col calcolare l UA del VA: UA = ½[1000(60) 1/2 ] + ½[1000(400) 1/2 ] = 3.872, = ,5 Trovata l UA, ricaviamo l equivalente certo: qual è quella somma (=ce) che inserita nella funzione di utilità mi dà UA=13.872,5? U(ce) = 1000(ce) 1/2 = UA = ,5 (ce) 1/2 = ,5/1000 ce = (13,8725) 2 = 192,44 Dunque: equivalente certo della lotteria=192,44 reddito atteso (certo)=230 Sono avverso e, psicologicamente, la sicurezza mi dà più utilità di una lotteria equivalentemente certa => la mia funzione di utilità è concava. In questo esempio, è la radice quadrata. M. Bovi Pag. 16

17 Quantifichiamo la paura/prudenza. Il premio per il rischio (PR) Definiamo ora un altro concetto molto importante, il premio per il rischio: Esso è la differenza tra l equivalente certo (ce) della combinazione rischiosa di reddito/consumo e il valore atteso (VA) associato alla stessa combinazione rischiosa di reddito/consumo: PR=VA-ce. Questa differenza è misurata dalla distanza indicata con un tratto orizzontale (-) nella già vista figura 24.1, ovvero, la differenza tra 50 (il valore atteso della lotteria) e 44.5 (l equivalente certo), vale a dire 5.5(= ). Prima ci eravamo concentrati sulle rette orizzontali. Osserviamo ora le rette verticali disegnate nella figura Le rette estreme sulla sinistra (30) e sulla destra (70) rappresentano i due possibili risultati della lotteria in termini di consumo; la retta in posizione centrale è il reddito atteso della lotteria (è perfettamente al centro tra i due possibili risultati della lotteria perché questi sono equiprobabili); a sinistra del reddito atteso della lotteria troviamo la retta verticale (rossa) in corrispondenza dell equivalente certo. Qual è il significato economico del premio per il rischio? Esso rappresenta il massimo pagamento che l individuo è disposto a sborsare per ottenere, dalla lotteria, un risultato certo. PR=VA-ce In altri termini, il PR misura quanto si è disposti a pagare per eliminare il rischio: ce=va-pr. Il valore del PR dipende dal grado di concavità della funzione di utilità: maggiore è la concavità della funzione di utilità, maggiore è il premio per il rischio. M. Bovi Pag. 17

18 ANALISI GRAFICA Consideriamo nuovamente la situazione di un avverso al rischio. Di fronte alla solita lotteria con due esiti possibili ed equiprobabili B e A (dunque in figura il valore monetario atteso è VA X=punto equidistante da A e B), l utilità attesa è UA che è il punto equidistante da U(OA) e U(OB). Ci chiediamo ora qual è il valore monetario certo che darebbe a questo soggetto la medesima utilità (attesa) della lotteria? Si tratta ovviamente del valore EC (=equivalente certo della lotteria in questione). Se questo soggetto potesse disporre di EC starebbe altrettanto bene di quanto starebbe disponendo della possibilità di partecipare alla lotteria. Ovvero, sarebbe disposto a rinunciare ad un ammontare di valore atteso monetario pari a (X EC) a patto che EC sia certo (certa è una lotteria il cui valore atteso è EC stesso). La differenza (X EC) si chiama premio per il rischio (nb PR=VA-ce) che, quindi, è una misura di quanto quel soggetto è disposto a pagare per non rischiare/giocare. Infine tre ultime note: la retta è oggettiva : è uguale per tutti; la curva è soggettiva : dipende dalla propensione al rischio; PR, EC e VA sono tutte quantità monetarie (=> ascisse) da trasformare in utilità. M. Bovi Pag. 18

19 ESEMPIO (è quello di prima, ma ora calcoliamo il PR): Tizio ha una funzione di utilità (concava) u=1000x 1/2 (x è il reddito). Egli può effettuare un investimento/lotteria che produce un reddito netto pari a 60 con probabilità ½ e pari a 400 con probabilità ½. Il Premio al Rischio (PR) può essere definito come la somma di denaro con cui bisogna compensare un individuo per indurlo ad accettare il reddito incerto al posto di quello certo. Ovvero, il PR è: la differenza tra il valore atteso di un reddito incerto, VA, e il suo ce. Per cui: PR = VA ce Abbiamo già calcolato il ce= e il VA = ½(60) + ½(400) = = 230 da cui PR = ,44 = 37,56 M. Bovi Pag. 19

20 Generalizziamo ora i risultati che abbiamo ottenuto per i concetti di equivalente certo e premio per il rischio. L equivalente certo (ce) della combinazione rischiosa (c1, c2), date le probabilità π1 e π2 di consumare rispettivamente c1 e c2, è il guadagno certo che l individuo considera equivalente alla combinazione rischiosa (c1, c2) ed è definito dalla seguente espressione: u(ce) = π1 u(c1) + π2 u(c2) E importante ribadire che questa definizione implica che l individuo è psicologicamente indifferente tra ricevere ce con certezza e partecipare alla scelta rischiosa (c1, c2). Ne consegue che: se l individuo dovesse scegliere tra un ammontare certo di moneta maggiore di ce e la combinazione rischiosa, egli sceglierebbe l ammontare certo di moneta. se l individuo dovesse scegliere tra un ammontare certo di moneta minore di ce e la combinazione rischiosa, egli sceglierebbe la combinazione rischiosa. Il premio per il rischio PR, è definito come segue: PR = VA ce = (π1c1 + π2c2) ce La differenza tra il reddito atteso della lotteria e l equivalente certo della lotteria stessa rappresenta il PR=ilmassimo pagamento che l individuo è disposto a fare per eliminare completamente il rischio e ottenere con certezza l equivalente certo. M. Bovi Pag. 20

21 PROPRIETA DI ALCUNE FUNZIONI DI UTILITA ATTESA Prima di studiare le proprietà di alcuni tipi particolari di funzioni di utilità, ricordiamo che la funzione di utilità che definisce l insieme delle preferenze in condizioni di rischio non è unica. Infatti, si può dimostrare che se una data funzione di utilità descrive un insieme di preferenze in condizioni di rischio, lo stesso insieme di preferenze può essere descritto da qualsiasi trasformazione lineare della funzione di utilità stessa. Ciò si deve al fatto che se la funzione v è la trasformazione lineare monotonicamente crescente della funzione u, il valore atteso di v è pari alla trasformazione lineare del valore atteso di u. Ad esempio, se le preferenze sono descritte da u, le stesse preferenze possono essere descritte dalla funzione di utilità v = a + bu, dove a e b sono due costanti. Se il valore atteso di u rappresenta le preferenze, lo stesso è vero per il valore atteso di v: se il valore atteso di u è maggiore per una data combinazione rischiosa di reddito/consumo, lo stesso è vero per il valore atteso di v. A questo punto dovrebbe essere chiaro che la scala della funzione di utilità è precisa, ma arbitraria. Il punto qui è che solo se conosci la scala allora il numero diventa informativo. Esempio di come la funzione di utilità possa essere precisa, ma al contempo arbitraria: Se qualcuno vi dice che ci sono 40 gradi di temperatura e che si tratta di gradi Celsius, voi sapete precisamente che si tratta di un giorno particolarmente caldo. Tuttavia, fossero stati gradi Farheneit, il discorso sarebbe ben diverso (40 F~4 C). M. Bovi Pag. 21

22 Approccio al rischio: avversione assoluta al rischio costante Anzitutto una nota: in inglese si dice: Constant Absolute Risk Aversion (CARA). In italiano occorre fare attenzione: quando si dice costante, ci si riferisce all avversione, non al rischio. La funzione di utilità con avversione assoluta costante al rischio (o, se volete, avversione assoluta al rischio costante) è molto popolare e fornisce un approssimazione relativamente accettabile della realtà. Essa è definita dalla seguente espressione generica (c è il solito reddito/consumo): ESEMPIO: u(c)=-(1/r) -rc u(c) proporzionale a - exp(-rc) Il parametro r è conosciuto come coefficiente di avversione assoluta al rischio. Se r è positivo, la funzione di utilità CARA è concava e il soggetto è avverso al rischio. Inoltre, maggiore è r, maggiore è il grado di concavità della funzione, maggiore è l avversione al rischio. A cosa si deve la denominazione di questa funzione di utilità? Risp. Al fatto che il PR non dipende dal livello della combinazione rischiosa. ESEMPIO. La funzione di utilità disegnata nella figura 24.1 è del tipo CARA con r = u(c)=(1 e -0.03c ) / (1 e -3.3 ), In uno degli esempi precedenti, il soggetto era disposto a pagare un premio per il rischio pari a 5.5 (= ) per la combinazione (30, 70) rischiosa al 50%. Come si comporterebbe lo stesso individuo di fronte alla combinazione (5,45) rischiosa al 50%? Che premio per il rischio sarebbe disposto a pagare? M. Bovi Pag. 22

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