Area di figure irregolari a contorno curvilineo

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1 Area di figure irregolari a contorno curvilineo Classe V - Scuola IL SEME Fidenza (PR) 23 giugno 2011 Ma.p.es. Miserotti Danila Insegnare e imparare geometria alla scuola primaria: una questione di conoscenza ed esperienza.

2 Dopo lo studio dell area delle figure piane, durante una discussione, è sorta in classe una domanda: Come si può calcolare l area di figure irregolari?

3 Cogliendo questa sfida ho proposto questa figura fotocopiata su carta da lucido (Cfr. dispensa di Paola Bruno Longo, Figure irregolari a contorno curvilineo e Vergnaud, Il bambino la matematica, la realtà ) ed ho riposto la domanda in questi termini: - Come potreste fare a conoscere l area di questa figura in cm ²?

4 Una ragazza ha risposto che avremmo potuto appoggiarla sulla carta millimetrata e contare i quadretti. Purtroppo non avevamo in classe la carta millimetrata ma fogli con il quadretto di 1 cm ² così i ragazzi hanno usato quelli appoggiandovi sopra la figura F. la superficie interna della figura risultava di tanti quadretti interi e di diversi quadretti diversamente spezzettati.

5 Ho proposto di contare i quadretti interi e di segnare di verde il contorno del poligono da essi formato Alla maggior parte dei ragazzi questa area risultava 18 quadretti, ad altri 19, a qualcuno 17 o Da cosa dipende? - Ho chiesto - Da come abbiamo messo la figura sul foglio! - L area non è precisa, restano quadretti non misurati! Insiste Marco.

6 Seguendo la proposta delle fonti sopracitate ho chiesto di segnare in blu il contorno del poligono formato dall'insieme dei quadretti che contengono almeno un punto della figura F o del suo contorno (Prof. Paola Longo) In questo caso l area risultava 45 cm², 42 cm², 48 cm², come prima a seconda della posizione della figura sul foglio Ciascuno ha scritto la sintesi dei risultati trovati, eccone una: Poligono esterno: 45 cm² Poligono interno: 18 cm² Differenza: 27 cm² FIG. 1 : 45 cm² > F > 18 cm²

7 Una domanda ricorrente Ma la misura dell area della figura F non può essere più PRECISA?

8 Proposte. Potremmo cambiare l unità di misura. Ah se avessimo la carta millimetrata!!! Si potrebbe appoggiare la figura F sui quadretti del nostro quaderno!

9 Di nuovo al lavoro.. Chi aveva i quadretti da 0,5 cm ha ottenuto un risultato simile a questo: Area della fig. F trovata con i quadretti da 0,25 cm²: poligono esterno = 148 x 0,25 cm²= 37 cm² poligono interno = 93 x 0,25 cm²= 23,25 cm² differenza = 13,75 cm² FIG cm² > F > 23,25 cm²

10 Chi aveva i quadretti da 4 mm ha ottenuto un risultato simile a quest altro: Area della fig. F trovata con i quadretti da 0,16 cm²: poligono esterno = 239 x 0,16 cm²= 38,24 cm² poligono interno = 163 x 0,16 cm²= 26,08 cm² differenza = 12,16 cm² FIG. 3 38,24 cm² > F > 26,08 cm²

11 Al termine della lezione i miei alunni erano molto contenti del lavoro perché li aveva messi in azione ma reclamavano ancora l esigenza di un area più precisa : avrebbero desiderato conoscere il valore esatto della superficie della fig. F. Io ho detto loro di pensarci ancora su.

12 Un curioso imprevisto Un alunno ha pensato che se fosse riuscito a tirare la figura in modo da ottenere un poligono con lo stesso contorno, ma di cui sapeva trovare l area, era sicuro di trovare la misura precisa della superficie della fig. F. Gli ho chiesto di andare al fondo della sua ipotesi, così nei giorni seguenti si è presentato con la fig. F trasformata in uno spago lungo come il suo contorno.

13 Mi ha detto che aveva pensato di trasformare quella figura in un quadrato: lo spago era il suo perimetro, dividendolo per 4 avrebbe trovato il lato e da qui l area, cioè 31, cm². un curioso imprevisto Spago quadrato

14 Gli ho chiesto di verificare quello che lui aveva presupposto, e cioè se era vero che figure con lo stesso perimetro avevano anche la stessa area. Senza scoraggiarsi, avendo compreso di aver usato una ipotesi implicita, senza rendersene conto, mi ha risposto: Ci provo! un curioso imprevisto Spago cerchio

15 un curioso imprevisto Un compagno gli ha detto che però doveva prepararsi ad accettare un altra approssimazione perché 3,14 non è un decimale finito: C: d = 3,14 Maestra, non sono riuscito! Il cerchio pur avendo lo stesso perimetro del quadrato non ha la stessa area, quindi non ho trovato l area della figura F! La sua risposta è stata che comunque una piccola approssimazione si può accettare Il piccolo ricercatore è ritornato il giorno seguente con l area del cerchio con una serie notevole di decimali (che sforzo di calcolo!), stavolta risultava : 40, cm².

16 Valore didattico e formativo Ho lodato il mio alunno per l impegno e gli ho chiesto di fare una relazione ai compagni delle 2 quinte: Per concludere: - Matteo non ha scoperto l area che cercavamo ma ha fatto un altra scoperta molto importante, quale? dell errore Risposta dei compagni: - Figure isoperimetriche non sono per forza equivalenti (hanno usato proprio questa terminologia) Un applauso e l autografo di Matteo!

17 Un nuovo tentativo Ci siamo procurati finalmente la carta millimetrata e vi abbiamo sovrapposto la figura F Lavoro personale Confronto Area della fig. F trovata con i quadretti da 1 mm² poligono esterno = 2761 mm² = 27,61 cm² poligono interno = 2583 mm² = 25,83 cm² differenza = 1,78 cm² FIG. 4 : 27,61 cm² > F > 25,83 cm²

18 CONCLUSIONI Gli alunni hanno notato che la differenza tra l area dei poligoni esterno e interno si riduce riducendo la misura della quadrettatura. Ho concluso che esistono strumenti più sofisticati per operare in casi come questo, come ad es. il computer ma che il metodo usato era l'unico possibile: è addirittura il metodo su cui si fonda la definizione di area di una figura irregolare, che viene definita come il numero minore di tutte le aree per eccesso e maggiore di tutte le aree per difetto, facendo la dimostrazione dell'unicità di questo numero (Prof. Paola Bruno Longo). Il concetto intuitivo di approssimazione, che all'inizio sembrava un ripiego, è risultato l'unico modo possibile per cercare di avvicinarsi, bene quanto si vuole, al numero che rappresenta l'area della figura assegnata.

19 Bibliografia Dispensa della Prof. Paola Bruno Longo, Figure irregolari a contorno curvilineo G. Vergnaud, 1994 Il bambino la matematica, la realtà, Armando, Roma. Grazie dell attenzione

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