Questionario. Dalla conoscenza della prima derivata si ricava immediatamente la primitiva

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1 Questionario Il primo quesito ha una sua certa difficoltà, mentre le novità assolute del questionario sono l ingresso di due esercizi sul calcolo delle probabilità, Le equazioni differenziali sono ancora sull uscio, richiedendo soltanto una verifica della soluzione fornita dal testo. 1) Determinare l espressione analitica della funzione y = f x sapendo che la retta y = 2x + 5 è tangente al grafico di f nel secondo quadrante e che f x = 2x Dalla conoscenza della prima derivata si ricava immediatamente la primitiva f x dx = 2x dx = 2 3 x3 + 6x + C, conc costante di integrazione e del coefficiente angolare della retta tangente che vale M = 2, èpossibile imporre l uguaglianza 2x = 2 2x 2 = 8 x = 2. La radice x = 2 è stata scartata, dato che il problema impone che la tangenza avvenga nel secondo quadrante.la conoscenza del punto comune tra la retta tangente e la curva x = 2, y = = 9, consentedideterminare la costante di integrazione

2 f 2 = C = 9 C = 47 3 In definitiva, la funzione risulta pari a f x = 2 3 x3 + 6x La figura che segue rappresenta la funzione di terzo grado in blu e la retta tangente in rosso. 2

3 2) Dimostrare che il volume del tronco di cono è espresso dalla formula: V = 1 3 π h R2 + r 2 + R r, dove R er sono i raggi e h l altezza. Supponendo noto il volume V C di un cono di raggio r ed altezza h V C = 1 3 πr2 h, quellodel tronco di cono si può ottenere per sottrazione. Si prolunghi la superficie laterale dalla parte del raggio più piccolo fino ad ottenere il cono V 1 diraggio di base R e altezza pari a h 1 = h + h 2, in cui h 2 è l'altezza del cono V 2 diraggio di base r. Il volume del tronco vale V = V 1 V 2 = 1 3 π R2 h π r2 h 2. Ora, dal momento che, per similitudine tra triangoli, si può scrivere h 2 = r R r h 1 h 2 = r R r h h 1 = h + h 2 = R R r h, sostituendo nella precedente espressione, si ottiene V = 1 r π R2 3 R r h 1 R π r2 3 R r h = 1 R π h R2 3 R r r2 r R r. Adoperando la scomposizione notevole 3

4 R 3 r 3 = R r R 2 + Rr + r 2, si ottiene la formula desiderata V = 1 R3 π h 3 R r r3 R r = 1 3 π h R2 + R r + r 2. Una intelligente maniera di controllare il risultato ottenuto è studiare il caso particolare r = R, quando il tronco di cono si trasforma in un cilindro ed il suo volume vale V = π h r 2. 4

5 3) Lanciando una moneta sei volte, qual è la probabilità che si ottenga testa al più due volte? Quale è la probabilità che si ottenga testa almeno due volte? Supponendo che la moneta non sia truccata, i casi possibili, lanciando sei volte la moneta, sono pari a tutte le disposizioni con ripetizione di due elementi su sei posti, vale a dire D 2,6 = 2 6 = 64. Nel primo esperimento aleatorio si desidera ottenere testa al più due volte; ciò equivale a dire che si possono presentare tre situazioni: nessuna testa, sei croci, in un caso solo; una testa, cinque croci, in sei casi; due teste, quattro croci, in quindici casi. Gli esisti favorevoli sono pari complessivamente a ventidue e, quindi, la probabilità di ottenere testa al più due volte vale P T 2 = = = %. Nel secondo esperimento aleatorio, per determinare la probabilità di avere testa almeno due volte, si può procedere adoperando la probabilità complementare ed i primi due esiti favorevoli enumerati in precedenza, sicché P T 2 = 1 P T < 2 = = = %. 5

6 4) Di quale delle seguenti equazioni differenziali y = ln x /x è soluzione? y + 2 y x = y y + xy = 1 xy = 1 x + y x 2 y + xy + 2 x = y Dal momento che y = 1 ln x 2 ln x 3 x 2 e y = x 3, si verifica facilmente che la soluzione proposta soddisfa laquarta equazione x 2 2 ln x 3 x 3 + x 1 ln x x x = ln x x ln x x = ln x x. 6

7 5) Determinare un espressione analitica della retta perpendicolare nell origine al piano di equazione x + y z = 0. Le componenti di un vettore perpendicolare al piano assegnato, che passa ovviamente per l origine, valgono a x = 1, a y = 1, a z = 1. Essi coincidono con i coefficienti direttori della retta cercata e, pertanto, si conclude che l equazione della retta, passante per l origine e perpendicolare al piano assegnato, ha equazione parametrica x = t, y = t, z = t t R. Eliminando il parametrorealet, si ottiene una rappresentazione cartesiana x = y, y = z. 7

8 6) Sia f la funzione, definita per tutti gli x reali, da f x = x x x x x 5 2. Determinare il minimo di f. Si osserva preliminarmente che la funzione data rappresenta una parabola con concavità rivolta verso l alto e, per questo motivo, il vertice è un punto di minimo relativo. Calcolando la prima derivata, risulta f x = 2 x x x x x 5 = 10x 30. Si può allora dire che la funzione è strettamente crescente quando f x > 0 x > 3 8

9 e, pertanto, presenta un minimo relativo, che è anche assoluto, nel punto di coordinate x = 3, f 3 = 10. 9

10 7) Detta A n l area del poligono regolare di n lati di piano inscritto in un cerchio C di raggio r, verificare che A n = n 2 r2 sen 2π n e calcolarne il limite per n. Ciascuno degli n triangoli isosceli tra loro congruenti in cui viene suddiviso il poligono ha angolo al vertice di semi-ampiezza π/n e lati obliqui di lunghezza r, per cui, detto OAB uno di essi, risulta AB = 2BH = 2r sen π n, OH = r cos π n. L aera del poligono si ricavamoltiplicando per nl area del triangolo OAB 10

11 A n = n AB OH 2 = nr 2 sen π n cos π n = n 2 r2 sen 2π n, avendo adoperato la formula di duplicazione delsen 2a = 2 sen a cos a. Passando al limite, si ha lim n n 2 r2 sen 2π n = sin u πr2 lim u 0 u = πr2, in cui si èeffettuato il cambiou = 2π/n. La figura che segue mostra l andamento della successione A n r 2 = n 2 sen 2π n, trasforma in funzione continua, per comodità di rappresentazione. All aumentare del numero dei lati del poligono, la successione tende lentamente al valore limite π. 11

12 8) I lati di un triangolo misurano, rispettivamente, 6 cm,6 cm e 5 cm. Preso a caso un punto P all interno del triangolo, qual è la probabilità che P disti più di 2 cm da tutti e tre i vertici del triangolo? Se si esprimono tutte le misure lineari in centimetri e le aree in centimetri quadrati, ponendo a = b = 6, c = 5, p = a + b + c 2 = 17 2, è possibile determinare, per mezzo della formula di Erone S = p p a p b p x, l area Sdel triangolo S = = = L area delle tre sezioni circolari, entro le quali il punto P non deve essere scelto, è complessivamente uguale all area del semicerchio di lato 2, di talché S 0 = S 1 + S 2 + S 3 = 4π 2 = 2π. Ciò discende dalla ben nota proprietà dei triangolo, la cui somma degli angoli interni vale

13 In definitiva, la probabilità richiesta Psi ottiene dal seguente rapporto tra aree P = S S 0 S = 1 S 0 S = 1 8π %. 13

14 9) Data la funzione f x = x3, 0 x < 1, x 2 kx + k, 1 < x 2. Determinare il parametro k inche nell intervallo 0,2 sia applicabile il teorema di Lagrange e trovare il punto di cui la tesi del teorema assicura l esistenza. La funzione data è continua nel punto x = 1, dato che f 1 = 1 = 1 k + k = f 1 +. Anche la sua prima derivata f x = 3x2, 0 x < 1, 2x k, 1 < x 2. deve essere continua nel punto x = 1, sicché f 1 = 3 = 2 k = f 1 + k = 1. Il Teorema di Lagrange assicura l esistenza di un punto c 0,2,taleche f c = f 2 f = 5 2. Per determinare c, occorre studiare le due possibili soluzioni 14

15 3c 2 = 5 2 c = 5 6 0,1, 2c + 1 = 5 2 c = 3 4 1,2, Si conclude che solamente la prima soluzione è accettabile e, pertanto, sipuòscrivereche c =

16 10) Il grafico della funzione f x = x x R, x 0 divide in due porzioni il triangolo ABCDavente vertici nei punti A 1, 0, B 4, 0, C 4, 2 e D 1, 2. Calcolare il rapporto tra le aree delle due porzioni. L area Sdel rettangolo ABCD vale S = = 6. L area del trapeziomistilineo S 1 è pari a S 1 = 1 4 x dx = 2 3 x3/2 x=4 x=1 = = Inoltre, dal momento che si può scrivere S 2 = S S 1 = = 4 3, 16

17 si conclude che il rapporto tra le aree vale S 1 S 2 = 14 4 =