Percentuali, problemi non ovvi

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1 Percentuali, problemi non ovvi

2 Variazioni assolute e variazioni relative (continua) Supponiamo che il prezzo di un bene all istante t sia p t = 120 all istante successivo t+1 il nuovo prezzo del bene è p t+1 =140.Qual è stata la variazione assoluta e quale quella relativa del prezzo?

3 Variazioni assolute e variazioni relative (segue) La variazione assoluta di prezzo da t a t+1 risulta: - = Mentre la variazione percentuale a è data da: a p t1 p t p t+1 =140 p t =120 p t =20 p t p p t t %

4 Variazioni assolute e variazioni relative (segue) Conoscendo invece il prezzo p t =120 e la variazione percentuale a=10% è possibile calcolare il prezzo al tempo t+1, cioè p t+1?

5 Variazioni assolute e variazioni relative (segue) Il valore del prezzo all istante t+1 si calcola immediatamente: il valore alla fine dell intervallo [t,t+1] è : Si può verificare che: %

6 DEFINIZIONE: Dato un numero x t che misura una certa grandezza all istante t, diciamo che la grandezza subisce una variazione relativa di entità a se fra il valore x t, il successivo valore x t+1 e il numero a sussistono le relazioni: xt 1 xt xt a, x a t1 xt 1 x x t t

7 e ora qualche problema Nello svolgere i problemi proposti tenete presente che spesso: la risposta più intuitiva è quella errata la formalizzazione dei termini del problema richiede un grosso sforzo di astrazione una volta formalizzato, il problema richiede l esecuzione di calcoli di facilità irrisoria

8 Problema 1 Variazioni di un prezzo Dato il prezzo iniziale p 0 di un bene il quale subisce prima un aumento del 10%, assumendo il valore p 1, e successivamente una diminuzione del 10%, assumendo il valore p 2 possiamo affermare: +10% -10% p 0 p 1 p 2 p 2 è minore di p 0 p 2 è uguale a p 0 p 2 è maggiore di p 0 Cliccare la risposta ritenuta corretta

9 Problema 1 La risposta è corretta infatti supponendo p 0 =100, si avrebbe: +10% -10% p 0 =100 p 1 =110 p 2 =99

10 Problema 1 La risposta non è corretta infatti supponendo p 0 =100, si avrebbe: +10% -10% p 0 =100 p 1 =110 p 2 =99 La risposta corretta è quindi: p 2 < p 0 e p 0 subisce una variazione complessiva di 1%

11 Problema 1 Supponiamo ora che le due variazioni cambino di ordine, ossia che il prezzo subisca prima una riduzione del 10% e poi un aumento del 10% -10% +10% p 0 p 1 p 2 vi aspettate comunque una riduzione complessiva dell 1% (ossia una variazione percentuale di 1%)? Sì No Cliccare la risposta ritenuta corretta

12 Problema 1 La risposta è corretta infatti supponendo al solito p 0 =100, si avrebbe nuovamente 99 come valore finale: -10% +10% p 0 =100 p 1 =90 p 2 =99

13 Problema 1 La risposta non è corretta infatti supponendo al solito p 0 =100, si avrebbe nuovamente 99 come valore finale: -10% +10% p 0 =100 p 1 =90 p 2 =99

14 Problema 1 Un ulteriore esempio sembrerebbe confermare l ipotesi secondo cui la variazione complessiva del prezzo non dipende dall ordine in cui avvengono le variazioni parziali, infatti se le variazioni in valore assoluto fossero del 20% e del 10%, si avrebbe: Cambiando l ordine delle due variazioni si ottiene ancora la stessa variazione finale: +20% -10% p 0 =100 p 1 =120 p 2 =108-10% +20% p 0 =100 p 1 =90 p 2 =108

15 Problema 1 Nel primo esempio, in entrambi i casi la somma algebrica delle due variazioni è pari al 10%, infatti si ha: 20% 10% 10% Invece la variazione percentuale al termine delle due fasi è dell 8% : a % L aumento percentuale netto non coincide con la somma algebrica delle due variazioni percentuali e non dipende dall ordine in cui le due variazioni avvengono.

16 Problema 1 Dette: Formalizzazione a la variazione relativa di prezzo nel primo periodo, cioè: p1 p0 p0 a p p la successiva variazione di prezzo 0 0 p 2 p 1 p 1 p p 1 1 Valgono le seguenti relazioni

17 Problema 1 p 11 =p 00 (1+a) p 22 =[p =p 1 0 (1+) (1+a)](1+)= =p 0 [(1+a)(1+)]=p 0 [1+(a+)+ a] Cliccare qui per visualizzare il passaggio successivo

18 Problema 1 Negli esempi considerati si ha: Esempio1 a = +10% = -10% a = = -1% Da cui si ottiene: p 2 = p 0 (1+0.1)(1-0.1) = p 0 [1+( )+0.1(-0.1)] = p 0 [1-0.01] = 0.99 p 0 confermando la formula generale.

19 Problema 1 Esempio2 a = +20% = -10% a = = -2% Da cui si ottiene: p 2 = p 0 (1+0.2)(1-0.1) = p 0 [1+( )+0.2(-0.1)] = p 0 [ ] = 1.08 p 0 confermando la formula generale.

20 Problema 2 Sconto + IVA La PCstore comunica il prezzo dei propri prodotti IVA inclusa (20%) e pratica poi alla cassa uno sconto del 10% La PCmedia comunica invece i prezzi scontati (del 10%), Iva esclusa (20%)

21 Problema 2 Il problema è diverso dal problema formulato con gli esempi precedenti solo a parole, ma è formalizzabile nello stesso identico modo, per cui la risposta è il prezzo scontato e comprensivo di IVA risulta dell 8% superiore al prezzo imponibile in entrambi i casi, le due offerte risultano quindi coincidenti. Per tornare alla formalizzazione del primo problema cliccare qui

22 Problema 3 Sconto 20% + 10% Un commerciante pratica uno sconto del 20% + 10% che significa prima lo sconto del 20% e poi, sul prezzo scontato, un ulteriore sconto del 10%.? Qual è lo sconto complessivo g<0 effettivamente praticato?

23 Problema 3 g=? Come già visto nella formalizzazione del problema 1 valgono: p 2 =p 0 (1-20%)(1-10%)= p 0 (80%) (90%)= p 0 (72%) Da cui: p 2 =p 0 (1+g) (1+g)=72% g =- 28%

24 Problema 3 In modo equivalente: p 2 =p 0 (1-20%)(1-10%)= p 0 [(1-20%)(1-10%)] = p 0 ( )= p 0 (1-0.28)= p 0 (1-28%) Per tornare alla formalizzazione del primo problema cliccare qui

25 Problema 4 Tasso di inflazione medio Il tasso di inflazione di un anno è stato pari al 5%, nell anno successivo del 55%. f? Qual è stato il tasso di inflazione medio nei due anni?

26 Problema 4 Qualche definizione prima di iniziare f 1 = 5% tasso di inflazione nel primo periodo f 2 = 55% tasso di inflazione nel secondo periodo I 0 indice iniziale dei prezzi al tempo 0 I 1 indice dei prezzi al tempo 1 I 2 indice finale dei prezzi al tempo 2 Poiché la media aritmetica tra i due tassi f 1 =5% e f 2 =55% è del 30%, possiamo dedurre che il tasso medio è proprio il 30%?

27 Problema 4 Qual è il significato di tasso di inflazione medio nei due periodi? Definiamo tasso medio di inflazione nei due periodi il tasso di inflazione che, costante nei due anni, produce la stessa variazione complessiva dell indice dei prezzi. Ossia:

28 Problema 4 I 2 = I = I I I Fattore di crescita complessivo I I 2 0 (1 f ) ( 1 f ) f 27.57% Cliccare qui qui per per visualizzare il il passaggio successivo

29 Problema 4 In generale con f 1 e f 2 qualsiasi: ( 1 f ( 1( 1 f ) f ) (1 (1 f1 )(1 f1)(1f 2 ) f 2 ) 1 ) Cliccare qui per Cliccare visualizzare qui per il passaggio visualizzare successivo il passaggio successivo

30 Problema 4 f f1 f 2 1 f1 1 f Il tasso medio di inflazione è minore della somma algebrica dei due tassi di inflazione

31 Problema 4 Formalizzazione generale con n periodi n f f f n i i n n i i n i i n n f f f f f

32 FINE

33 Problema 5 Consumo di benzina Se il numero di km. per litro percorsi da un automobile passa da 10 a 12 Di quando diminuisce in percentuale il consumo?

34 Problema 5 La percorrenza kilometrica per litro aumenta del 20%, ma questo, non significa che il consumo diminuisca di altrettanto. Per misurare la variazione richiesta è necessario definire il consumo in litri/km, ossia: 1/10 litri/km. prima della miglioria 1/12 litri/km. dopo la miglioria

35 Problema 5 La riduzione di consumo è quindi : a % 16.7% 10

36 Problema 5 Formalizzazione Detti: d km/l prima della miglioria 1/d consumo prima della miglioria d km/l dopo la miglioria 1/d consumo dopo la miglioria la riduzione percentuale di consumo risulta: 1 d' 1 d 1 d d' d d' Cliccare qui qui per per visualizzare il il passaggio successivo

37 Problema 6 Potere d acquisto Detto potere d acquisto di una moneta la quantità di merce acquistabile per unità di moneta q a quanto ammonta la variazione percentuale di potere d acquisto in corrispondenza ad un aumento di prezzi del 10%?

38 Problema 6 Se il tasso di inflazione fosse del 100% i prezzi raddoppierebbero e il potere di acquisto si dimezzerebbe (variazione del 50%)

39 Problema 6 Probabilmente nell esempio proposto la variazione del potere di acquisto non è del 10%. Immaginiamo di avere a disposizione una somma di importo 1000 e che il prezzo unitario del paniere di beni sia p=100, con la possibilità di acquistare una quantità q=10. Se p = 110, la quantità acquistabile q diventa:

40 Problema 6 Generalizzazione (continua) Detti: p: il prezzo unitario del paniere di beni q: la quantità acquistabile con un unità di moneta, poiché deve valere la relazione pq=1, ne segue che il potere di acquisto è pari a 1/p a: tasso di inflazione (se a<0 il prezzo diminuisce) p : il nuovo prezzo unitario del paniere di beni con p = p (1+ a) q : il nuovo potere d acquisto : la variazione percentuale di potere di acquisto corrispondente al prezzo p con q = q (1+ ) (a>0 <0 ; a<0 >0)

41 Problema 6 Generalizzazione (segue) Scriviamo l equazione conservativa, con riferimento alla costanza della somma unitaria disponibile: a a a a 1 a Cliccare Cliccare qui qui per per visualizzare visualizzare il il passaggio passaggio successivo successivo

42 Problema 6 Generalizzazione (segue) a 1 a Il segno meno indica che se il tasso di inflazione è positivo il potere d acquisto diminuisce (se invece fosse negativo aumenterebbe) Il denominatore 1+a mostra che < a per a>0.

43 Problema 6 Generalizzazione (segue) Se il tasso di inflazione è positivo, l errore che si commette ad identificare la perdita percentuale di potere d acquisto con il tasso di inflazione aumenta con l aumentare del tasso di inflazione.

44 Problema 6 Negli esempi proposti le formule trovate danno: a 10% 0.1 a 100% 1 a % 1a a % 1a 11 2 confermando la formula generale.

45 Problema 7 Incremento salariale netto Se il salario in un anno aumenta del 15% e nello stesso periodo il tasso di inflazione è del 10% qual è il tasso di aumento reale del salario equivalente all aumento percentuale del potere d acquisto?

46 Ponendo ad esempio il salario iniziale S=1000, il prezzo del paniere p= 100 con la possibilità di acquistare una quantità 10, si ha: Problema 7

47 Problema 7 Pertanto la nuova quantità acquistabile q risulta: q' La conseguente variazione percentuale positiva è: q' q q %...

48 Problema 7 Detti: Generalizzazione (continua) S il salario iniziale g il tasso di variazione relativa dei salari p: il prezzo unitario del paniere di beni q: la quantità acquistabile per unità di salario a: tasso di inflazione p : il nuovo prezzo unitario del paniere di beni con p = p (1+ a) q : la nuova quantità acquisibile per unità di salario : la variazione percentuale reale del salario con q = q (1+ ) Notare che il problema è di poco diverso da quello precedente

49 Problema 7 Nel problema proposto le formule trovate danno: a 10% 0.1, g 15% g a 1 a % confermando la formula generale.

50 Problema 7 Generalizzazione (segue) E possibile ottenere (variazione percentuale reale del salario) come passaggi analoghi a quelli del caso precedente: pq (1+ a) (1+ ) = pq (1+ g) Cliccare qui per Cliccare qui per visualizzare il visualizzare il passaggio successivo passaggio successivo

51 Problema 7 In modo equivalente: Generalizzazione (segue) (1+ pq (1+ a) a + = a) + g (1+ - a a ) = 1+ = pq g (1+ g) Cliccare qui per Cliccare qui per visualizzare il visualizzare il passaggio successivo passaggio successivo

52 Problema 8 Tempo di raddoppio di una popolazione La popolazione di Rainbow Island è composta oggi da 1000 individui, se il suo tasso di crescita annuo fosse del 5% per tutti gli anni futuri in quanti anni raddoppierebbe?

53 Problema 8 Detta P t la popolazione all anno t si ha: La popolazione cresce secondo la progressione geometrica 1000(1+0.05) t, essendo t l anno al quale ci riferiamo.

54 Problema 8 Gli abitanti dell isola, negli anni 0, 1, 2,, 20 saranno in: < < 2 079

55 Problema 8 La numerosità della popolazione raddoppia, in più di 14 anni, ma in meno di 15. In particolare, il raddoppio avviene nella parte iniziale del 15 anno infatti 1980 è assai più vicino di 2079 al numero 2000 anche se questo non significa che la popolazione sia di 2000 persone dopo anni come si otterrebbe effettuando un interpolazione lineare.

56 Problema 8 Formalizzazione (continua) Detti: P 0 la popolazione iniziale a il tasso annuo di crescita della popolazione (costante ed indipendente dalla numerosità della popolazione medesima) P t la popolazione alla fine del t-esimo anno dove P t = P 0 (1+a) t

57 Problema 8 Formalizzazione (segue) Si tratta di trovare l esponente t tale che P t = 2P 0, ossia di risolvere l equazione: nell incognita t. P t t 1 a 2 P 0 txln(1+a) t = t 2 = = ln2 calcolando sfruttando dividendo i le logaritmi ambo proprietà i membri di dei ambo logaritmi per i membri ln(1+a) Cliccare qui per Cliccare qui per visualizzare il visualizzare il passaggio successivo passaggio successivo

58 Problema 8 Formalizzazione (segue) Negli esempi proposti le formule trovate danno: t ln 2 ln 1a ln 2 ln confermando la formula generale.

59 Problema 8 Si osserva che se invece di cercare il tempo di raddoppio della popolazione cercassimo il tempo in cui la popolazione raggiunge un certo valore K, la formula generale sarebbe: t ln ln K P ln K ln 0 P 0 1 a ln1 a