Ing. Mariagrazia Dotoli Controllo non Lineare NO (3 CFU) Analisi del Piano delle Fasi IL PIANO DELLE FASI

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1 IL PIANO DELLE FASI La tecnica di analisi del piano delle fasi è un metodo grafico molto diffuso per lo studio dei sistemi non lineari del secondo ordine. L idea di base consiste nel risolvere graficamente l equazione di stato del sistema piuttosto che determinarne una soluzione analitica. Il metodo fornisce una famiglia di traiettorie del moto del sistema (corrispondenti a diverse condizioni iniziali) nello spazio di stato, che è un piano ed è detto piano delle fasi. Tali traiettorie permettono di visualizzare i pattern di movimento del sistema, fornendo delle informazioni qualitative sul comportamento dello stesso e in definitiva sulla sua stabilità. I vantaggi di questo metodo sono diversi. In primo luogo esso è un metodo grafico, dunque non richiede la soluzione analitica dell equazione differenziale che descrive la dinamica del sistema. Inoltre tale metodo è applicabile a qualsiasi tipo di sistema non lineare del secondo ordine, in particolare anche a sistemi contenenti non linearità hard. Ancora, molti sistemi non lineari possono essere efficacemente approssimati con una dinamica del secondo ordine, pertanto la tecnica di analisi del piano delle fasi è applicabile a svariate tipologie di sistemi. Lo svantaggio principale del metodo risiede nel fatto che esso è applicabile unicamente ai sistemi del secondo ordine (o al massimo del primo ordine), poiché lo studio grafico di sistemi di ordine superiore presenta complessità computazionale e grafica elevate. RITRATTO DI FASE (QUADRO DI STATO) Il metodo del piano delle fasi permette di studiare graficamente un generico sistema del secondo ordine autonomo (ovvero con equazione di stato non dipendente esplicitamente dalla variabile tempo), descritto dalle equazioni: o anche, in termini vettoriali, ( ) ( ) x (t) = f x (t),x (t) x (t) = f x (t),x (t) ( (t)) x (t) = f x, (), () Copyright Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduzione e la distribuzione del presente

2 dove x (t) e x (t) sono le variabili di stato del sistema e f e f sono due funzioni non lineari dello stato x(t)=[x (t) x (t)] T. Inoltre nella () si è posto f=[f f ] T. È interessante notare che il generico sistema non lineare avente stato x(t) di dimensione n e non autonomo descritto dall equazione ( (t),t) x (t) = f x, (3) può essere facilmente trasformato in un sistema autonomo introducendo la variabile di stato x n+ (t)=t, ovvero definendo un nuovo vettore di stato x*(t)=[x(t) T x n+ (t)] T = =[x (t) x n (t) t] T, ottenendo così le equazioni di stato: ( x* ) x (t) = f (t)... x n(t) = f n (t) x n+ (t) = ( x* ). (4) Pertanto il generico sistema non autonomo del primo ordine è trasformabile in un sistema autonomo del secondo ordine, cui è applicabile il metodo del piano delle fasi. Si consideri dunque il generico sistema (). Geometricamente, lo spazio di stato del sistema () è interpretabile come un piano nelle coordinate x e x, detto piano delle fasi o piano di stato. Dato un vettore di condizioni iniziali x()=x, la () ammette una soluzione x(t). Al variare della variabile tempo da a +, la soluzione x(t) può essere rappresentata come una curva nel piano delle fasi. Tale curva è detta traiettoria o orbita. Una famiglia di traiettorie nel piano delle fasi corrispondenti a varie condizioni iniziali è detta ritratto di fase (o quadro di stato) del sistema. Osserviamo inoltre che il sistema scritto nella sua forma vettoriale () può essere interpretato considerando f(x) come un campo vettoriale nel piano di stato, anche detto campo delle direzioni. In altre parole, ad ogni punto x=(x,x ) nel piano è possibile associare un vettore f(x). Pertanto, per ciascun punto x=(x,x ) del piano il vettore f(x) è rappresentato graficamente come un segmento orientato che parte dal punto stesso e giunge nel punto x+f(x). In genere l ampiezza del vettore che individua il campo delle Copyright Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduzione e la distribuzione del presente

3 direzioni viene rappresentata con un segmento direttamente proporzionale al valore della norma fx ( ) = f ( x) + f ( x. ) È interessante notare che la pendenza della generica traiettoria del sistema () si ottiene dividendo la seconda equazione delle () per la prima: ( ) ( ) dx f x,x =. (5) dx f x,x Pertanto il campo vettoriale f(x)=(f (x),f (x)) nel generico punto x del piano di stato ha la stessa pendenza della traiettoria in tale punto, ovvero è tangente alla traiettoria. Ne consegue che è teoricamente possibile, costruendo il diagramma del campo delle direzioni per ciascun punto del piano delle fasi, determinare la traiettoria a partire da un generico punto x, ovvero determinare graficamente la soluzione della () data una generica condizione iniziale, semplicemente congiungendo punto per punto le frecce che rappresentano il campo vettoriale. In particolare, il pacchetto software pplane (scaricabile dal web all indirizzo è un diffusissimo toolbox gratuito del Matlab, sviluppato dai ricercatori della Rice University di Houston, dedicato all analisi dei sistemi non lineari autonomi del secondo ordine con il metodo del piano delle fasi e permette di tracciare il campo vettoriale f(x) associato al sistema. Dato il sistema: ESEMPIO x(t) = x (t), (6) x (t) = x (t) si ha f(x)=(x,x ), quindi nel punto x=(,) si ottiene f(x)=(,) e il campo delle direzioni nel punto x è rappresentato da un vettore che parte da tale punto ed è diretto verso il punto x+f(x)=(,)+(,)=(3,). Ripetendo tale operazione per ogni punto del piano di stato, si ottiene il diagramma del campo vettoriale rappresentato nella figura successiva (ottenuta con il pacchetto software pplane). Copyright Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduzione e la distribuzione del presente 3

4 4 3 f(x)+x=(3,) x=(,) y Abbiamo visto che la famiglia di tutte le traiettorie o curve soluzioni dell equazione di stato nel piano delle fasi è detta ritratto di fase del sistema. La figura successiva mostra il ritratto di fase insieme al campo vettoriale dell esempio considerato. 4 3 y Copyright Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduzione e la distribuzione del presente 4

5 ESEMPIO Sia dato il sistema massa molla privo di attrito in figura. x(t) k= m= L equazione di stato del sistema è l equazione differenziale del secondo ordine lineare tempo invariante: x(t) + x(t) =, (7) ovvero, scegliendo lo stato x = [ x T x] = [ x x ] T, il sistema è descritto in una forma analoga alla () come segue: x(t) = x (t), (8) x (t) = x (t) che ha evidentemente un unico punto di equilibrio nell origine. Trasformando secondo Laplace la (7) con condizione iniziale T T x() = x () x () = x() x() = x ] T si ottiene: [ ] [ ] [ s x(t) = x cost sx(s) sx + X(s) = X(s) = x s + x(t), (9) = x sint che fornisce la soluzione analitica della (7). Sommando i quadrati delle (9) si elimina la variabile tempo, ottenendo:. () x + x = x Copyright Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduzione e la distribuzione del presente 5

6 La () descrive l equazione della traiettoria del sistema nel piano delle fasi nota la condizione iniziale. È facile dedurre che la () individua nel piano di stato una circonferenza di raggio x e centro nell origine. A seconda della condizione iniziale, si ottengono cerchi di raggio differente. Tracciando tali cerchi nel piano delle fasi, si ottiene il ritratto di fase del sistema. Si osserva che l orientamento di tali cerchi è orario, poiché la variabile x(t) è inizialmente negativa nelle (9). L efficacia del ritratto di fase consiste nel fatto che dal tracciamento dello stesso è possibile comprendere il comportamento del sistema in risposta a diverse condizioni iniziali. Nel presente esempio è evidente che le traiettorie non convergono nell origine né divergono all infinito. Esse invece circondano l origine, indicando la natura semplicemente stabile del sistema (infatti nella (7) è assente il coefficiente di smorzamento dovuto all attrito). Nel caso del precedente esempio, invece, le traiettorie erano tutte divergenti all infinito, mostrando, in particolare, che il punto di equilibrio (,) è instabile. Copyright Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduzione e la distribuzione del presente 6

7 PUNTI SINGOLARI Un importante concetto nell analisi del piano delle fasi è quello di punto singolare. Un punto singolare è un punto di equilibrio nel piano delle fasi. Come è noto, poiché un punto di equilibrio è definito come un punto nel quale il sistema può rimanere in quiete indefinitamente, in esso si ha x =, pertanto i punti di equilibrio del generico sistema () sono le soluzioni del sistema di equazioni: ( ) ( ) f x (t),x (t) =. () f x (t),x (t) = Se il particolare sistema del tipo () considerato è lineare, allora è noto che esso ammette al massimo un punto di equilibrio isolato (ovvero le () hanno o un unica soluzione o un insieme continuo di infinite soluzioni o punti singolari, come nel caso del sistema x(t) + x(t) =, che ha infiniti punti di equilibrio descritti dall asse reale x = ). Diversamente dai sistemi lineari, i sistemi non lineari possono invece presentare più punti singolari isolati, come nell esempio seguente. ESEMPIO Sia il sistema descritto dall equazione di stato Scegliendo lo stato x = x x = x x alla () come segue: x(t) +.6x(t) + 3x(t) + x (t) =. () T [ ] [ ] T x (t) = x (t). (3) x (t) = 3x (t) x (t).6x (t) I punti di equilibrio sono le due soluzioni del sistema:, il sistema è descritto in una forma analoga Copyright Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduzione e la distribuzione del presente 7

8 4 y 3 - Traiettorie convergenti Punto di equilibrio instabile Punto di equilibrio stabile All'infinito Traiettorie divergenti x = (x,x ) = (,). (4) 3x x = (x,x ) = ( 3,) Il ritratto di fase del sistema () mostra che le traiettorie nelle vicinanze dei due punti singolari hanno natura diversa. In particolare, le traiettorie convergono nel punto (,) mentre divergono dal punto (-3,). Il motivo per cui i punti di equilibrio di un sistema non lineare del secondo ordine sono detti punti singolari deriva dal fatto che per un generico sistema espresso dalle () la pendenza della generica traiettoria si ottiene, come si è anticipato, dividendo la seconda equazione delle () per la prima: ( ) ( ) dx f x,x =. (5) dx f x,x Se le funzioni f (x,x ) e f (x,x ) sono definite propriamente, ovvero assumono ciascuna un singolo valore nel generico punto x=(x,x ), allora la (5) definisce un unico valore per la pendenza della generica traiettoria (ovvero le traiettorie non si intersecano) per tutti i punti del piano delle fasi, eccetto che per i punti di equilibrio, per i quali la (5) degenera ad un valore di pendenza indeterminato pari a /. Ne consegue che in un punto di equilibrio (e solo in un punto con tali caratteristiche) possono intersecarsi Copyright Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduzione e la distribuzione del presente 8

9 infinite traiettorie differenti, come si è visto nell esempio precedente. L indeterminatezza della pendenza in tale punto fa sì che i punti di equilibrio si dicano singolari. Evidentemente, i punti singolari costituiscono degli importanti elementi caratteristici del ritratto di fase. L esame di tale punti può fornire molte informazioni sulle proprietà del sistema. In particolare, nel caso dei sistemi lineari la stabilità è univocamente determinata dalla natura dei punti di equilibrio. Invece, nel caso dei sistemi non lineari, le caratteristiche di stabilità dei punti singolari del sistema possono essere differenti (si veda l esempio precedente, in cui è facile individuare un punto di equilibrio stabile ed uno instabile), inoltre nel ritratto di fase possono essere presenti delle traiettorie periodiche, ovvero dei cicli limite. RITRATTO DI FASE DEI SISTEMI DEL PRIMO ORDINE Sebbene il metodo del piano delle fasi sia rivolto principalmente all analisi dei sistemi del secondo ordine, esso può essere utilizzato anche per analizzare il generico sistema non lineare del primo ordine autonomo descritto dall equazione: x(t) + f(x(t)) = x(t) = f(x(t)). (6) È facile osservare che, nel caso particolare di sistema di ordine uno del tipo (6), la traiettoria nel piano (x,x )=(x, x ) è unica: infatti la (6) ammette un unico valore di x(t) per x(t) fissato ed un unico valore di x(t) per x( t) fissato qualsiasi sia la condizione iniziale. Pertanto è possibile analizzare con il metodo del piano delle fasi anche un sistema del secondo ordine semplicemente tracciando nel piano (x,x ) la curva x =-f(x ) (la quale comprende tutte le traiettorie possibili del sistema, inclusi i punti di equilibrio), determinando le intersezioni di tale curva con l asse delle ordinate (le quali rappresentano evidentemente i punti di equilibrio del sistema, in cui vale x = ovvero f(x )=) e quindi individuando la direzione delle traiettorie sulla base della relazione (6) definita dal sistema dato. Copyright Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduzione e la distribuzione del presente 9

10 4 3 y - Punto di equilibrio instabile Punto di equilibrio stabile Punto di equilibrio instabile ESEMPIO Sia il sistema 3. (7) x(t) = 4x(t) + x (t) Il sistema presenta tre punti singolari, che sono le soluzioni dell equazione: xe = 3 4x + x = xe =+. (8) xe = 3 Il ritratto di fase del sistema consiste in un unica traiettoria passante per tali punti, come mostrato nella figura successiva, che rappresenta la curva (7). Le frecce in figura denotano la direzione del moto: se il segno della variabile x è positivo (negativo) nel generico punto della traiettoria, allora la freccia che indica la direzione del moto nel punto è rivolta a destra (sinistra) del punto stesso poiché un valore positivo (negativo) di x indica che x aumenta (diminuisce). Ad esempio, nel punto x= della traiettoria per la (7) si ha x =-3, quindi la traiettoria passa per il punto Copyright Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduzione e la distribuzione del presente

11 (,-3) ed essendo x negativo la direzione del moto è verso sinistra, ovvero verso il punto di equilibrio x=. Evidentemente, dal tracciamento della direzione della traiettoria nel ritratto di fase si deduce che il punto x= è un punto di equilibrio stabile, mentre gli altri due punti singolari sono instabili. COSTRUZIONE DEL RITRATTO DI FASE I moderni strumenti informatici permettono di rappresentare agevolmente il ritratto di fase di un generico sistema del tipo () attraverso la soluzione numerica delle equazioni di stato. Esistono molti pacchetti software per l analisi del piano delle fasi: come anticipato, uno dei più diffusi in ambiente Matlab è pplane. Come nel caso degli strumenti di analisi dei sistemi di controllo lineare (si pensi al luogo delle radici) è comunque di interesse pratico comprendere come costruire le traiettorie nel piano delle fasi. Esistono molti metodi pratici per il tracciamento del ritratto di fase. Nel seguito ne descriviamo due tra i più diffusi: il cosiddetto metodo analitico e il metodo delle isocline. Il primo metodo richiede la soluzione analitica delle equazioni differenziali che descrivono il sistema, pertanto è utile nella risoluzione dei sistemi lineari a tratti (ovvero descritti da un diverso modello lineare per ciascun range di funzionamento del sistema), nei quali è possibile determinare il ritratto di fase semplicemente combinando i diversi ritratti di fase dei differenti sottosistemi lineari che descrivono il sistema nel rispettivo range. Il metodo delle isocline, invece, è una tecnica grafica che può essere applicata a sistemi non lineari modellati da equazioni differenziali non risolubili analiticamente, che ricadono nel caso più comune. In generale, entrambi i metodi richiedono i seguenti passi:. calcolo degli eventuali punti singolari e se possibile delle loro caratteristiche di stabilità con il metodo della linearizzazione del sistema intorno a tali punti;. eventuale tracciamento del campo vettoriale f(x) nell area di interesse; 3. applicazione del metodo prescelto (metodo analitico o metodo delle isocline); 4. individuazione dei possibili cicli limite; 5. tracciamento di alcune possibili traiettorie. Copyright Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduzione e la distribuzione del presente

12 IL METODO ANALITICO Il metodo analitico comprende due tecniche alternative, entrambe ugualmente valide. Una prima tecnica consiste nel risolvere le () per determinare le variabili di stato in funzione del tempo, che in generale si scrivono: x (t) = g (t) x (t) = g (t) (9) e quindi nell eliminare la variabile tempo dalle (9) per ottenere la generica traiettoria del sistema, la quale può a questo punto essere tracciata nel piano di stato al variare della condizione iniziale. Un secondo metodo consiste invece nell integrare l equazione: ( ) ( ) dx f x,x = () dx f x,x in modo da determinare direttamente la relazione tra le variabili x e x e dunque l equazione della generica traiettoria. ESEMPIO Si consideri nuovamente il sistema massa-molla privo di attrito descritto dall equazione: x(t) + x(t) =. () Determiniamo il ritratto di fase del sistema utilizzando la prima tecnica analitica. Poiché dx dx dx dx si ha x = = = x la () si può riscrivere come segue: dt dx dt dx dx x x xdx xdx dx + = + =. () Copyright Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduzione e la distribuzione del presente

13 Integrando questa equazione con condizione iniziale ha: T [ ] [ x() = x() x() = x ] T si x x x x x xdx + xdx = + = x + x = x x. (3) Si ottiene il risultato, già determinato in precedenza, che le traiettorie del sistema nel piano delle fasi individuano delle circonferenze di raggio x e centro nell origine al variare della condizione iniziale. Utilizziamo ora la seconda tecnica analitica. Scegliendo lo stato x = [ x T x] = [ x x ] T, il sistema è descritto in una forma analoga alla () come segue: x(t) = x (t). (4) x (t) = x (t) Per le (4), la () si scrive per questo sistema: dx dx x = xdx + xdx = (5) x che è del tutto identica alla () se si sostituisce x fornisce l equazione delle traiettorie (3). = x e x = x e dunque integrata ESEMPIO La figura successiva mostra il sistema di controllo di un semplice modello di satellite. Il satellite è descritto da una inerzia (unitaria) rotazionale controllata da una coppia di propulsori che forniscono o una coppia costante positiva pari a +U o una coppia uguale ed opposta di valore U. L obiettivo del sistema di controllo è mantenere l antenna del satellite ad un angolo zero (il valore del riferimento è nullo) attraverso un opportuna azione dei propulsori. Copyright Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduzione e la distribuzione del presente 3

14 propulsori satellite θ d = + - U -U u s θ s θ Si tratta evidentemente di un sistema non lineare, descritto dalle equazioni: θ (t) = u(t), U se θ(t)> u(t) =,(6) + U se θ (t)< dove la prima equazione modella il satellite e la seconda i propulsori, tenendo conto che l ingresso di questi ultimi è la variabile errore sulla posizione angolare θ d (t)-θ(t)=-θ(t). Pertanto la seconda delle (6) indica che i propulsori fanno ruotare il satellite in senso antiorario (orario) se la posizione angolare è positiva (negativa), ovvero in senso opposto al valore corrente della posizione angolare, in modo da tentare di annullarla e dunque raggiungere l obiettivo del controllo. La (6) descrive un sistema lineare a tratti. Il primo sottosistema si ottiene per θ< ed è espresso dall equazione: Scegliendo lo stato [ ] T θ = U. (7) x = x x = θ θ, questo sottosistema è descritto in una forma analoga alla () come segue: T x(t) = x (t). (8) x (t) = U Dalle (8), la () si scrive per questo sottosistema: Copyright Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduzione e la distribuzione del presente 4

15 dx dx U = xdx = Udx θ dθ= Udθ. (9) x Integrando questa equazione con condizione iniziale T [ ] [ x() = x () x () = θ() θ () = θ T ] T si ha: θ θ θ θdθ= U dθ = U( θ θ) θ = Uθ+ c θ (3) dove c =-Uθ è una costante. Come è noto, la (3) descrive una parabola con asse orizzontale avente vertice sull asse delle ascisse in c,, asse coincidente con lo U stesso asse delle ascisse e fuoco a destra del vertice sullo stesso asse. Il ritratto di fase per questa parte del sistema è rappresentato nella figura successiva (tracciata per U=). 4 3 y In modo del tutto analogo al caso precedente è possibile determinare il ritratto di fase del secondo sottosistema, che si ottiene per θ> ed è descritto dall equazione: Copyright Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduzione e la distribuzione del presente 5

16 θ = U. (3) L equazione che descrive le traiettorie del sistema vale: θ θ dθ= Udθ = U( θ θ) θ = Uθ c (3) Come è noto, la (3) descrive una parabola con asse orizzontale avente vertice sull asse delle ascisse in c,, asse coincidente con lo stesso asse delle ascisse e fuoco a U destra del vertice sullo stesso asse. Il ritratto di fase per questa seconda parte del sistema è rappresentato nella figura successiva (tracciata per U=). 4 3 y Combinando i due precedenti ritratti di fase si ottiene il ritratto di fase complessivo del sistema, mostrato nella figura successiva. Si osserva che l asse verticale è una linea di switching, perché l azione di controllo e quindi le traiettorie di fase variano quando lo stato del sistema si trova su tale retta. Inoltre, le orbite sono periodiche. In altre parole il satellite, a parte il caso di angolo iniziale nullo (che è evidentemente un punto di Copyright Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduzione e la distribuzione del presente 6

17 equilibrio del sistema), oscilla con moto periodico intorno all origine del piano delle fasi sotto l azione dei propulsori. Dall osservazione del ritratto di fase del sistema si conclude che quest ultimo è marginalmente stabile, similmente a quanto visto per il sistema massa-molla discusso in precedenza. 3 Traiettorie paraboliche x x - - u=+u u=-u Linea di switching In definitiva si conclude che la legge di controllo considerata non è efficace nel controllare a zero le traiettorie del sistema. È possibile invece mostrare (si veda il testo Slotine e Li, 99) come tale legge di controllo sia efficace se nell anello di controllo si inserisce, prima del regolatore dato dalla saturazione, un giroscopio. IL METODO DELLE ISOCLINE Questo metodo di tracciamento del ritratto di fase si basa sulla determinazione delle isocline. Sia un generico sistema non lineare nella forma (). Abbiamo visto che la pendenza della traiettoria passante per il generico punto x=(x,x ) del piano delle fasi si ottiene dividendo la seconda equazione delle () per la prima, come nella (6). Una isoclina è definita come il luogo dei punti del piano di stato per i quali passano traiettorie con la stessa pendenza. Pertanto la generica isoclina di pendenza c si ottiene dalla relazione: Copyright Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduzione e la distribuzione del presente 7

18 ( ) ( ) dx f x,x = = c (33) dx f x,x e dunque è la curva descritta dall equazione ( ) ( ) f x,x = cf x,x. (34) Nel metodo delle isocline il ritratto di fase di un sistema del tipo () viene generato in due passi. Nel primo passo si determina con la (34) la generica isoclina, ovvero il campo vettoriale delle direzioni delle tangenti alle traiettorie. Nel secondo step, le traiettorie sono individuate sulla base del campo vettoriale di tali direzioni. In altre parole, si disegnano le curve (34) al variare di c nel piano di stato. Inoltre su ciascuna di tali curve si disegna per ogni punto un piccolo segmento di pendenza c. Pertanto, i segmenti disegnati sui punti di ciascuna isoclina sono paralleli tra loro ed individuano la direzione c della traiettoria passante per tali punti. Questa procedura è ripetuta finché non si ottiene un numero di isocline sufficienti a riempire il piano delle fasi. Quindi, a partire dal generico punto x del piano di stato, è possibile costruire la traiettoria che si diparte da esso muovendosi, nella direzione dei piccoli segmenti, da una isoclina all altra. Evidentemente il metodo è approssimato, in quanto si assume che le pendenze delle tangenti alle traiettorie siano costanti localmente. Per questo motivo, nelle regioni in cui la pendenza varia rapidamente è consigliabile tracciare più isocline. 6 c= c=/ c= c=-/ c=- 4 c= c=- y c=inf c=inf Copyright Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduzione e la distribuzione del presente 8

19 ESEMPIO Si consideri ancora il sistema massa - molla privo di attrito. La (34) si scrive in questo caso: x= cx x = x, (35) c pertanto le isocline sono tutte le rette passanti per l origine aventi pendenza -/c. Utilizzando il metodo delle isocline si ottiene il ritratto di fase, già determinato in precedenza, tracciato nella figura precedente. ESEMPIO Si consideri l oscillatore di Van der Pol nel caso m=k= e c=.: x(t) +.(x (t) )x(t) + x(t) =. (36) [ ] [ Scegliendo lo stato x = x x = x x alla () come segue: T ] T, il sistema è descritto in una forma analoga x(t) = x (t), (37) x (t) =.(x (t) )x (t) x (t) pertanto le isocline sono descritte dall equazione dx.(x )x x = = c, (38) dx x ovvero sono le curve descritte dall equazione Copyright Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduzione e la distribuzione del presente 9

20 .(x )x + x cx =. (39) Utilizzando il metodo delle isocline si ottiene il ritratto di fase nella figura successiva. Si osserva che, oltre al punto di equilibrio (instabile) nell origine, nel ritratto di fase del sistema è presente una traiettoria chiusa che descrive un ciclo limite. Inoltre le traiettorie che partono da punti all interno o all esterno di tale orbita periodica convergono a tale curva, che dunque individua un ciclo limite stabile. 6 4 y - traiettoria isoclina ciclo limite stabile Punto di equilibrio instabile Inoltre la figura successiva rappresenta il ritratto di fase di tale sistema completo di traiettorie e di ciclo limite ottenuto con il software pplane: è evidente che il punto di equilibrio origine è instabile ma le traiettorie che si dipartono dall intorno di tale punto non divergono, bensì tendono al ciclo limite stabile. Copyright Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduzione e la distribuzione del presente

21 4 3 y ESEMPIO Si consideri il pendolo semplice privo di attrito, descritto dalle equazioni: x(t) = x (t) g x (t) = sinx (t), L (4) dove g è l accelerazione di gravità e L la lunghezza del pendolo. Il pendolo può ruotare liberamente nel piano verticale, e l angolo x rappresenta l angolo di deviazione della fune dalla verticale: a quest ultima corrisponde un angolo x =, mentre si suppongono angoli positivi per deviazioni a destra della stessa. Inoltre la variabile di stato x individua la velocità angolare del pendolo. Le isocline sono definite dall equazione: g sin x = =, (4) dx L c dx x Copyright Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduzione e la distribuzione del presente

22 ovvero sono le curve descritte dall equazione x g = sinx. (4) cl La figura precedente mostra le isocline del sistema nel caso L=g ed una traiettoria, che come si vede è periodica (infatti in assenza di attrito il pendolo oscilla intorno al punto di equilibrio basso). Si osservi che in questo caso il ritratto di fase non presenta cicli limite, poiché un ciclo limite è una traiettoria periodica isolata, mentre in questo quadro di stato le traiettorie sono infinite e contigue. ANALISI DEL PIANO DELLE FASI PER SISTEMI LINEARI In questo paragrafo si descrive la tecnica di analisi del piano delle fasi per i sistemi autonomi del secondo ordine lineari. Vengono mostrati i particolari pattern di movimento tipici dei sistemi lineari, in modo da agevolare la successiva comprensione del metodo del piano delle fasi per i sistemi non lineari autonomi del secondo ordine. Infatti un sistema siffatto si comporta in modo simile ad un sistema lineare nell intorno di un punto di equilibrio. Il generico sistema lineare autonomo del secondo ordine si scrive come segue: Copyright Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduzione e la distribuzione del presente

23 o anche, in forma esplicita: x (t) = Ax(t). (43) x (t) = ax (t) + ax (t). (44) x (t) = a x (t) + a x (t) Ponendo a zero le derivate nelle (44) si verifica facilmente che l unico punto di equilibrio del sistema è l origine del piano di stato (x,x )=(,) nell ipotesi che A sia non singolare. Determiniamo ora gli autovalori del sistema. Il polinomio caratteristico vale: ovvero Quindi l equazione caratteristica si scrive: p(s) = si A, (45) s a a p(s) =. (46) a s a (s a )(s a ) aa = (47) ovvero: s (a + a )s aa =. (48) Pertanto ponendo a = a a b = a a + a a (49) si ha l equazione caratteristica del sistema: Copyright Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduzione e la distribuzione del presente 3

24 s + as+ b=. (5) La soluzione della (5) fornisce i due autovalori del sistema: λ = / a± a 4b. (5) È noto che l evoluzione del sistema è descritta dalla relazione: ovvero x(t)=e At x() (5) λt λt x(t) = ke + ke se λ λ λt λt x (t) = k' e + k' e se λ λ. (53) λt λt x(t) = ke + kte se λ = λ λt λt x (t) = k' e + k' te se λ = λ A seconda della disposizione degli autovalori del sistema nel piano di Gauss, si distinguono i seguenti casi:. λ e λ sono entrambi reali ed hanno lo stesso segno (positivo o negativo): l origine è un nodo, stabile (instabile) se entrambi gli autovalori sono negativi (positivi).. λ e λ sono entrambi reali ed hanno segno opposto: l origine è un punto di sella, instabile poiché un autovalore è positivo. 3. λ e λ sono complessi e coniugati con parte reale non nulla (positiva o negativa): l origine è un fuoco, stabile (instabile) se gli autovalori hanno parte reale negativa (positiva). 4. λ e λ sono immaginari puri: l origine è un punto di centro e il sistema è marginalmente stabile. Copyright Mariagrazia Dotoli. L autore garantisce il permesso per la riproduzione e la distribuzione del presente 4