Corso di Automazione Industriale 1. Capitolo 4

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1 Simona Sacone - DIST Corso di Automazione Corso Industriale di 1 Automazione Industriale 1 Capitolo 4 Analisi delle prestazioni tramite l approccio simulativo Aspetti statistici della simulazione: generazione di variabili aleatorie con distribuzione generica

2 Simona Sacone - DIST 2 Distribuzioni continue Gaussiana o normale: variabili con piccoli scostamenti rispetto ad un valore atteso (scostamento rispetto ad un tempo di servizio atteso, scostamento rispetto alla dimensione di un lotto) Normale troncata: è la distribuzione normale in cui non sono ammessi i valori estermi per le code Lognormale: per variabili il cui logaritmo ha distribuzione normale

3 Simona Sacone - DIST 3 Distribuzioni continue Distribuzione normale

4 Simona Sacone - DIST 4 Distribuzioni continue Esponenziale: per variabili che modellano l intervallo tra due eventi il cui accadimento non è influenzato dal tempo trascorso dall evento precedente (intervallo tra l arrivo di due clienti, intervallo tra due guasti della stessa risorsa) Esponenziale doppia: generalizza l esponenziale, è simmetrica rispetto all origine Erlang: per variabili che modellano intervalli esprimibili come somma di esponenziali λ i x i 1 λx e Ei ( x) = ( i -1)!

5 Simona Sacone - DIST 5 Distribuzioni continue Distribuzione esponenziale

6 Simona Sacone - DIST 6 Distribuzioni continue Gamma: generalizza Erlang, per fattore forma non intero. Modella interarrivi e tempi di servizio, il maggior numero di parametri che la caratterizza permette di fissare la forma delle code. Weibull: come gamma. Trova applicazione, e.g., per modellare intervalli tra guasti quando questi sono dovuti alla presenza di più difetti e dipendono dal più serio tra essi. Beta: generalizza gamma, viene in genere utilizzata per lo studio su campioni delle variazioni percentuali di un elemento o di una situazione qualsiasi, quale ad esempio il numero di ore che si trascorrono quotidianamente davanti al televisore.

7 Simona Sacone - DIST 7 Distribuzioni continue Distribuzione gamma

8 Simona Sacone - DIST 8 Distribuzioni continue Distribuzione Weibull

9 Simona Sacone - DIST 9 Distribuzioni continue Distribuzione beta

10 Simona Sacone - DIST 10 Distribuzioni continue Logistica: utilizzata, soprattutto in biologia, per modelli relativi a livelli di tolleranza. Pareto: utilizzata per distribuzione di redditi che superano un dato valore. Gumbel: utilizzata per statistiche su valori estremi. Triangolari, trapezoidali, spline empiriche: utilizzate per distribuzioni su intervalli finiti non meglio approssimate da altre distribuzioni.

11 Simona Sacone - DIST 11 Generazione di variabili aleatorie con distribuzione generica A partire da una sequenza di numeri random (U(0,1)) opportunamente generati, i metodi per la generazione di variabili aleatorie con distribuzione generica, sono: tecnica di trasformazione inversa tecnica di trasformazione diretta metodo di accettazione/rifiuto

12 Simona Sacone - DIST 12 Generazione di variabili aleatorie con distribuzione generica Una routine di generazione di variabili aleatorie deve: essere veloce avere un ciclo sufficientemente lungo non presentare larghi gap essere replicabile generare numeri con proprietà statistiche più vicine possibile a quelle ideali utilizzare poche volte la routine di generazione di numeri random

13 Simona Sacone - DIST 13 Tecnica di trasformazione inversa Si vuole generare una variabile aleatoria X con funzione di densità di probabilità f X (x). 1) si calcola la funzione di distribuzione di probabilità o funzione cumulativa di probabilità FX (x) = x fx ( τ)dτ Tale funzione (qualora sia possibile calcolarla in forma chiusa) è continua, monotona crescente ed è sempre compresa tra 0 e 1 (per definizione F X (x) = P[X x]).

14 Simona Sacone - DIST 14 Tecnica di trasformazione inversa 2) si pone u= F X (x) con u numero random (u ~ U(0,1)) 3) si risolve X= F X -1(u) e la variabile aleatoria X è distribuita secondo f X (x) (X ~ f X (x)). Graficamente: F X (x) 1 u k 0 X k x

15 Tecnica di trasformazione inversa Esempio: generare una variabile aleatoria X con funzione di densità di probabilità esponenziale con media 1/λ (X ~ exp(λ)). 1) FX (x) = 1 e λx 2) u = 1 - e -λ x, con u ~ U(0,1) 3) X= -ln(1-u)/ λ, o, in modo equivalente, X= -(1/λ) ln(u) Simona Sacone - DIST 15

16 Simona Sacone - DIST 16 Osservazioni Tecnica di trasformazione inversa La routine di generazione di una variabile aleatoria X con funzione di densità di probabilità esponenziale: chiama una sola volta, per ogni istanza di X, la routine (RAND) di generazione di numeri random; ha lo stesso ciclo di RAND; ha gap crescenti per X crescenti; è replicabile se lo è RAND; genererebbe numeri con proprietà statistiche ideali se RAND generasse numeri random ideali.

17 Simona Sacone - DIST 17 Tecnica di trasformazione diretta La tecnica di trasformazione diretta sfrutta proprietà caratteristiche di alcune funzioni di densità di probabilità Esistono metodi esatti e metodi approssimati; noi vedremo: metodo esatto per generare variabili con funzione di densità di probabilità Erlang metodo esatto per generare variabili con funzione di densità di probabilità gaussiana metodo approssimato per generare variabili con funzione di densità di probabilità gaussiana

18 Simona Sacone - DIST 18 Tecnica di trasformazione diretta Metodo esatto per generare variabili con funzione di densità di probabilità Erlang Ei ( x) = λ i x i 1 λx e ( i -1)! Proprietà: una variabile con funzione di densità di probabilità E i (x) può essere espressa come la somma di i variabili con funzione di densità di probabilità di tipo esponenziale e valor medio 1/iλ. Metodo di generazione di variabili con pdf Erlang(i,λ): X = i ln(uk ) k= 1 iλ = 1 iλ i 1 i ln(uk ) = ln uk k= 1 iλ k= 1

19 Simona Sacone - DIST 19 Tecnica di trasformazione diretta Metodo esatto per generare variabili con funzione di densità di probabilità gaussiana N 2 ( x µ ) 1 2 ( x) = e 2σ σ 2π Proprietà: date due variabili aleatorie indipendenti z 1 e z 2 distribuite secondo la distribuzione normale standard (µ=0, σ=1), il numero complesso w= z 1 + jz 2 è tale che: 2 w = z z2 Φw U (0,2π) 1 exp 2

20 Simona Sacone - DIST 20 Tecnica di trasformazione diretta Metodo di generazione di variabili con pdf N(µ,σ 2 ): si generano due istanze delle variabili x 1 e x 2, con x x exp 2 U (0,2π) quindi, x 1,k =-2ln(u 1,k ) e x 2,k = 2π(u 2,k ) si generano z 1 e z 2 come z 1 =(-2ln(u 1,k )) 0.5 cos(2π(u 2,k )) z 2 =(-2ln(u 1,k )) 0.5 sin(2π(u 2,k ))

21 Simona Sacone - DIST 21 Tecnica di trasformazione diretta Metodo approssimato per generare variabili con funzione di densità di probabilità gaussiana Proprietà (teorema del limite centrale): la somma di n variabili indipendenti e identicamente distribuite (i.i.d.) com media µ e varianza σ 2, è approssimata da una variabile con funzione di densità di probabilità gaussiana con media nµ e varianza nσ 2.

22 Simona Sacone - DIST 22 Tecnica di trasformazione diretta Metodo di generazione di variabili con pdf N(µ,σ 2 ) (metodo di convoluzione): 1) si utilizzano n variabili con pdf U(0,1), ossia n numeri random e si calcola un istanza di una variabile con pdf N(0,1) come: n uk - 0.5n X = k = 1 n 12 2) in particolare, con n=12 X = 12 uk 6 k= 1

23 Simona Sacone - DIST 23 Tecnica di trasformazione diretta Metodo di generazione di variabili con pdf N(µ,σ 2 ) (metodo di convoluzione): 3) si calcola un istanza di una variabile y con pdf N(µ,σ 2 ) come: Y= µ +σx

24 Simona Sacone - DIST 24 Metodo di accettazione-rifiuto Si vuole generare una variabile aleatoria X con funzione di densità di probabilità f X (x) su un intervallo [a,b]. Algoritmo accettazione-rifiuto: 1) si genera un istanza di una variabile R distribuita in modo uniforme nell intervallo [a,b] (U(a,b)) 2) si accetta tale valore con probabilità pari a f X (R)/ max f X (x), lo si rifiuta con probabilità 1- f X (R)/max f X (x).

25 Simona Sacone - DIST 25 Metodo di accettazione-rifiuto prob. di rifiuto (da normalizzare) 10 prob. di accettazione (da normalizzare)

26 Simona Sacone - DIST 26 Metodo di accettazione-rifiuto Osservazioni La routine di generazione di una variabile aleatoria X con il metodo di accettazione-rifiuto: chiama almeno due volte, per ogni istanza di X, la routine RAND di generazione di numeri random; una volta per generare le variabile R, una volta per decidere se accettare o rifiutare il valore (esistono, però, metodi più specializzati e più efficienti); ha ciclo e gap che dipendono da RAND*RAND; è replicabile se lo è RAND; si utilizza solo in assenza di altri metodi.

27 Simona Sacone - DIST 27 Distribuzioni discrete Uniforme: per variabili che assumono indifferentemente uno dei valori compresi in un certo intervallo (valore di un dado singolo, posizione di una ruota,...) Poisson: numero di eventi verificatisi, tali che il tempo di interevento è distribuito in modo esponenziale (numero di telefonate, numero di clienti arrivati ad un sistema a coda M/M/1) Bernoulli: per variabili con due sole realizzazioni, con probabilità p e 1-p, rispettivamente

28 Simona Sacone - DIST 28 Distribuzioni discrete Binomiale: per variabili che rappresentano il numero di prove di successo x su un numero n di prove di tipo bernoulliano Geometrica: per variabili che rappresentano il numero di prove x prima di un successo Binomiale negativa: per variabili che rappresentano il numero di insuccessi x prima dell i-esimo successo

29 Simona Sacone - DIST 29 Distribuzioni discrete Distribuzioni discrete Per generare una variabile discreta generica X definita dalla funzione di probabilità di massa seguente = n n prob.p con, prob.p con, prob.p con, X a a a M con p 1 + p p n = 1, si utilizza un numero random u k nel seguente modo: = 1 p p p, p p p, p 0, X k n n 2 1 k k 1 u a u a u a K M

30 Simona Sacone - DIST 30 Distribuzioni discrete Il metodo è sostanzialmente basato sulla tecnica di trasformazione inversa. Infatti, la funzione di distribuzione di probabilità F(X), in questo caso è lineare a tratti. Ad esempio, con n=3 F(X) 1 p 1 + p 2 p 1 e, quindi, calcolo X come a 1 a 2 a 3 { a : F( a ), j 1,...,n} X = min u j j k =

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