TECNICHE DI ELABORAZIONE NUMERICA DI IMMAGINE E VIDEO

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1 TECNICHE DI ELABORAZIONE NUMERICA DI IMMAGINE E VIDEO Ing. Michele Scarpiniti Dipartimento INFOCOM Università di Roma La Sapienza Dispense su: Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 1

2 Lezione 1: Sommario Classificazione delle immagini; La visione; La rappresentazione del colore; Dall immagine naturale a quella digitale; L immagine digitale. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 2

3 Classificazione delle immagini (1/2) Dal punto di vista della generazione: Sintetiche (disegni, grafici, ): immagini grafiche; Naturali (scene naturali): immagini fotografiche. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 3

4 Classificazione delle immagini (2/2) Dal punto di vista del colore: In bianco e nero: livelli di grigi; A colori: numero di colori. Dal punto di vista del tempo: Fisse: bi-dimensionali I( xy, ); In movimento: tri-dimensionali I( xyt,, ). Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 4

5 La visione (1/15) Un qualsiasi elemento di una scena naturale è visibile in quanto emette energia luminosa (sorgente luminosa) oppure perchè illuminato da energia di uguale natura proveniente da sorgenti luminose circostanti. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 5

6 La visione (2/15) Una sorgente luminosa è detta puntiforme se le sue dimensioni D sono piccole rispetto alla distanza L di osservazione. L D<<L D Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 6

7 La visione (3/15) Una sorgente luminosa emette potenza di natura elettromagnetica ad una o più lunghezze d onda e con intensità in genere dipendente dalla direzione definita dalla coppia di angoli φ e θ, detti di elevazione e azimuth. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 7

8 La visione (4/15) Dal punto di vista radiometrico una sorgente luminosa è caratterizzata da uno spettro di densità di potenza emesso w(λ), da una potenza totale emessa W= w(λ) dλ e da un diagramma di radiazione g(θ,φ) che stabilisce la distribuzione di tale potenza nelle varie direzioni. In particolare, se tale distribuzione è uniforme, la sorgente si dice isotropa e per essa è g(θ,φ)=1. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 8

9 La visione (5/15) Esempi di diagrammi di radiazioni generico isotropo Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 9

10 La visione (6/15) Dal punto di vista fotometrico la quantità più importante non è tanto w(λ) quanto una sua versione pesata con la curva di sensibilità dell occhio alle varie lunghezze d onda, che di solito è espressa come F(λ)=F 0 w(λ) y(λ) dove y(λ) è una funzione normalizzata ad 1 nel punto di massima sensibilità dell occhio (λ=0.54μm) ed F 0 è una costante che dipende dall unità di misura utilizzata (F 0 =680, se F è misurata in Lumen). Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 10

11 La visione (7/15) La potenza totale emessa pesata attraverso la curva di sensibilità dell occhio, prende il nome di potenza luminosa (o visiva) e vale F=F 0 w(λ) y(λ) dλ Indicando con df la frazione infinitesima di potenza luminosa che transita attraverso un elemento infinitesimo ds di una superficie sferica con centro nella sorgente e di raggio r, si avrebbe: F ds df df ( θ, ϕ) = g 2 ( θ, ϕ) 4π r Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 11

12 La visione (8/15) Data una sorgente luminosa si definisce illuminazione E di un punto P a distanza d dalla sorgente il rapporto tra la potenza luminosa che attraversa una superficie ΔS ortogonale alla congiungente sorgente-punto e ΔS E F g 4π d θ, ϕ ( ) 2 Se F è misurato in Lumen, E si misura in Lumen/m 2 detto Lux. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 12

13 La visione (9/15) La struttura dell occhio è la seguente: Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 13

14 La visione (10/15) Una scena è vista dall occhio umano in quanto la potenza luminosa irradiata da ogni suo elemento superficiale viene focalizzata dal cristallino (la lente) sulla retina e ogni ricettore di quest ultima (cono o bastoncino) trasferisce tale potenza al cervello attraverso il nervo ottico. La maggior concentrazione di coni si ha entro un angolo di ±3 rispetto al centro della retina (fovea) e ciò consente una visione più dettagliata al centro della scena. I bastoncini sono ricettori distribuiti al di fuori della fovea e sono molto sensibili all intensità luminosa ma non alla lunghezza d onda λ (visione notturna); da essi dipende la visione a bassissima luminosità. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 14

15 La visione (11/15) Il cristallino come ogni lente ribalta l immagine che lo attraversa. Questa immagine è quindi ruotata di 180 dal nervo ottico. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 15

16 La visione (12/15) Sulla retina sono presenti 6-7 milioni di coni divisi in tre categorie: 65% sensibili alla luce rossa ; 33% sensibili alla luce verde ; 2% sensibili alla luce blu. Ogni classe di coni presenta una particolare curva di assorbimento della lunghezza d onda della radiazione incidente. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 16

17 La visione (13/15) L occhio umano, così come gli altri organi umani, hanno una sensibilità allo stimolo luminoso descritta dalla legge psico-fisica di Weber, cioè vale la seguente relazione: Δ S = ΔL k L in cui S è la sensibilità luminosa e L è l intensità luminosa. Da questa relazione segue facilmente che: dl ds = k S = k log L + cost L La percezione dello stimolo varia quindi con il logaritmo dello stimolo stesso. Il logaritmo comprime la scala delle percezione e ci rende in grado di sopportare grandi escursioni di luminosità. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 17

18 La visione (14/15) L occhio si adatta a diversi range di luminosità: bella giornata estiva: lx; brutta giornata estiva: fino a lx; cielo coperto in inverno: fino a lx; notte di luna: fino a 0.25 lx; notte di stelle: fino a 0.01 lx. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 18

19 La visione (15/15) La luce visibile è composta da un insieme di frequenze in una banda piuttosto limitata nello spettro della radiazione elettromagnetica. L occhio umano è in grado di distinguere circa colori differenti. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 19

20 La rappresentazione del colore (1/36) Una sorgente luminosa monocromatica appare dotata di un certo colore che dipende dalla lunghezza d onda λ emessa. Tuttavia questo non vuol dire che i coni trasferiscono al cervello separatamente le intensità alle varie lunghezze d onda. E noto infatti che una sorgente monocromatica appare all occhio dotata di un colore che può in genere ottenersi in modo perfetto combinando le emissioni di tre altre sorgenti monocromatiche sufficientemente spaziate nello spettro, ciascuna di opportuna intensità. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 20

21 La rappresentazione del colore (2/36) Questa proprietà è chiamata natura tricromatica della visione. Indichiamo con C il colore di una sorgente monocromatica e con C 1, C 2 e C 3 i colori di tre sorgenti monocromatiche sufficientemente spaziate nello spettro, allora segue che C=α 1 C 1 +α 2 C 2 +α 3 C 3 in cui α C indica un colore uguale a C ma α volte più luminoso. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 21

22 La rappresentazione del colore (3/36) Come scelgo i tre colori di riferimento C 1, C 2 e C 3? Nel 1931 la CIE (Commission International de l Eclairage) ha provveduto ad una standardizzazione, assumendo tre lunghezze d onda associate ai colori primari: blu=b=435.8 nm, verde=v=545.1 nm, rosso=r=700 nm E il sistema RGB in cui a partire dai tre colori rosso, verde e blu posso ottenere tutte le sfumature variando i coefficienti α 1, α 2 e α 3. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 22

23 La rappresentazione del colore (4/36) I colori primari possono essere sommati per ottenere i colori secondari: Magenta (rosso + blu); Ciano (verde + blu); Giallo (rosso + verde). Sommando i tre primari, oppure un secondario ed il primario complementare si ottiene la luca bianca. Da questa idea si può generalizzare la sintesi dei colori (additiva o sottrattiva). Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 23

24 La rappresentazione del colore (5/36) La sintesi additiva si ottiene sovrapponendo radiazioni luminose di diverso colore (usata nei monitor). Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 24

25 La rappresentazione del colore (6/36) Si ha sintesi sottrattiva quando si combinano pigmenti diversi: si intende produrre un colorante che assorba alcune lunghezze d onda e ne rifletta altre (magenta: ass. il verde; ciano: ass. il rosso; giallo: ass. il blu) Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 25

26 La rappresentazione del colore (7/36) Alcune caratteristiche descrittive del colore frequentemente utilizzate sono: Luminosità (brightness): attributo che si riferisce alla quantità di luce presente; Tinta (hue): attributo legato alla lunghezza d onda dominante. Rappresenta ciò che un osservatore definisce il colore dominante ; Saturazione (saturation): attributo che si riferisce alla purezza della tinta; si ha una bassa saturazione quando nel colore è presente un elevata quantità di luce bianca mescolata alla tinta. L insieme di Tinta e Saturazione è chiamata Cromaticità, ovvero ciò che caratterizza il colore indipendentemente dall intensità luminosa presente. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 26

27 La rappresentazione del colore (8/36) Per poter ricostruire un colore si può fare il matching dei colori fondamentali variando le loro curve: Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 27

28 La rappresentazione del colore (9/36) Leggi di Grossman Simmetria: se lo stimolo A matches lo stimolo B, allora lo stimolo B matches lo stimolo A Transitività: se lo stimolo A matches lo stimolo B, e lo stimolo B matches lo stimolo C, allora A matches lo stimolo C Proporzionalità: se lo stimolo A matches lo stimolo B, allora ca matches cb, per ogni c>0 Additività: se lo stimolo A matches lo stimolo B, e lo stimolo C matches lo stimolo D, allora (A+B) matches (C+D), e anche (A+D) matches (B+C), valide per sintesi additive. A B Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 28

29 La rappresentazione del colore (10/36) Il modello CIE 1931 può essere rappresentato in un diagramma in cui sono rappresentate tutte le cromaticità che l occhio umano è in grado di percepire, prescindendo dalla luminanza. La proprietà fondamentale del diagramma CIE 1931 è data dal fatto che sommando tra loro due colori si ottiene un terzo colore; pertanto variando le proporzioni dei primi due si ottengono tutti i colori che stanno sul segmento che li unisce. Sul bordo ci sono i colori pienamente saturi; verso il centro viene aggiunta sempre più luce bianca Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 29

30 La rappresentazione del colore (11/36) Il diagramma CIE 1931 èil seguente: Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 30

31 La rappresentazione del colore (12/36) Un modello di colore (o spazio di colore o sistema di colore) è uno strumento con il quale si può specificare, creare e visualizzare un colore. I modelli di colore sono quindi necessari per definire un colore senza ambiguità. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 31

32 La rappresentazione del colore (13/36) Ecco un esempio tratto dal dizionario Webster: Rosso Tiziano: Un arancione tendente al bruno che appare un po più giallo e chiaro del marrone spezia, come pure del marrone prateria e del marrone di Windsor, ma un po più rosso e scuro del colore ambra o del fagiano dorato. E una descrizione accettabile? Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 32

33 La rappresentazione del colore (14/36) In sostanza, un modello di colore è una specificazione di un sistema di coordinate e di un sottospazio al suo interno, dove ogni colore è rappresentato da un singolo punto. I modelli di colore in uso oggi sono orientati verso: Hardware di acquisizione (RGB) e di restituzione (CMY, CMYK) Elaborazione ed analisi di immagini (RGB, HSI, HSV) Trasmissione (YUV, YIQ) Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 33

34 La rappresentazione del colore (15/36) Nel modello RGB ogni colore è rappresentato dalle sue componenti spettrali di rosso, verde e blu. Il modello è basato su un sistema di coordinate cartesiane, mentre il sottospazio di interesse è un cubo di spigolo unitario sui cui vertici sono disposti i colori primari, quelli secondari, il bianco (0,0,0) ed il nero (1,1,1). I livelli di grigio sono disposti sul segmento che congiunge (0,0,0) con (1,1,1). Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 34

35 La rappresentazione del colore (16/36) Il sottospazio del sistema RGB Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 35

36 La rappresentazione del colore (17/36) Le immagini rappresentate nel modello RGB consistono di tre immagini componenti, una per ogni colore primario: Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 36

37 La rappresentazione del colore (18/36) Il modello CMY assume come colori primari il ciano, il magenta ed il giallo. Questi sono i colori primari impiegati nella sintesi sottrattiva. Il modello CMY è quindi orientato ai dispositivi hardware di restituzione di colore che depositano su carta pigmenti colorati (stampanti ink-jet e laser) Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 37

38 La rappresentazione del colore (19/36) La conversione tra RGB e CMY è molto semplice: C=1-R M=1-G Y=1-B In effetti modello CMY non è molto usato perché è difficile produrre un nero di qualità sufficiente come sovrapposizione dei tre pigmenti. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 38

39 La rappresentazione del colore (20/36) Si considera quindi un modello quadricromatico CMYK che assume il nero (K) come quarto colore primario. La conversione tra CMY e CMYK è data dalle seguenti relazioni: CMY > CMYK K=min(C,M,Y) C=(C-K)/(1-K) M=(M-K)/(1-K) Y=(Y-K)/(1-K) CMYK > CMY C=min(1,C*(1-K)+K) M=min(1,M*(1-K)+K) Y=min(1,Y*(1-K)+K) Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 39

40 La rappresentazione del colore (21/36) I modelli RGB e CMY(K) sono orientati alla descrizione di colori per dispositivi hardware. Hanno però dei problemi: Non corrispondono alla tipologia di descrizione dei colori propria degli esseri umani; Rispetto a caratteristiche di interesse (quali la luminosità) le singole componenti risultano essere correlate. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 40

41 La rappresentazione del colore (22/36) Esistono perciò dei modelli di colore basati sulle caratteristiche con cui un essere umano usualmente definisce un colore: Tinta (Hue); Saturazione (Saturation); Luminosità (Brightness). Un vantaggio di tali modelli è che permettono all utente di specificare i colori in modo intuitivo. Per questo motivo sono molto usati nell interfacce di applicativi dedicati alla gestione del colore. Esistono diversi modelli di questo tipo. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 41

42 La rappresentazione del colore (23/36) Nel modello HSI le tre coordinate sono: Hue Saturation Intensity Il modello può essere descritto da una piramide a base triangolare o da un cono. Se consideriamo una proiezione del cubo RGB su un piano ortogonale all asse dei livelli di grigio, otteniamo una forma triangolare o esagonale, i cui punti corrispondono a colori che hanno la stessa intensità. A volte si fa riferimento ad una sezione circolare. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 42

43 La rappresentazione del colore (24/36) Esempio di codifica HSI: Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 43

44 La rappresentazione del colore (25/36) Esempio di codifica HSI descritto da una piramide: Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 44

45 La rappresentazione del colore (26/36) Esempio di codifica HSI descritto da un cono: Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 45

46 La rappresentazione del colore (27/36) Conversione RGB > HSI: Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 46

47 La rappresentazione del colore (28/36) Conversione HSI > RGB: Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 47

48 La rappresentazione del colore (29/36) Il modello HSI: Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 48

49 La rappresentazione del colore (30/36) Il modello HSV è simile al modello HSI, solo che al posto della intensità, utilizza il valore V della luminosità (brightness). Il modello è descritto da una piramide a base esagonale. Software come Matlab mettono a disposizione le funzioni per operare le trasformazioni tra RGB e HSV, perché più difficili da comprendere. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 49

50 La rappresentazione del colore (31/36) Esempio di codifica HSV: Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 50

51 La rappresentazione del colore (32/36) Esempio di codifica HSV: Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 51

52 La rappresentazione del colore (33/36) I modelli YUV e YIQ sono orientati all hardware come l RGB, ma invece di riflettere il funzionamento di sensori è legato al broadcasting. Y èla luminanza: compatibile con TV in bianco e nero; I e Q (U e V) sono le componenti cromatiche: I=R-Y=rosso-ciano (simile a un rosso-arancione); Q=B-Y=magenta-verde; è il complemento di I. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 52

53 La rappresentazione del colore (34/36) L occhio umano è meno sensibile alla cromaticità che all intensità. Quindi lo standard YIQ riduce la larghezza di banda per I e Q, risultando assai efficiente nella trasmissione del segnale video. Sono standard utilizzati per la TV in Europa (per la compatibilità con la TV in bianco e nero) e per la compressione MPEG. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 53

54 La rappresentazione del colore (35/36) Esempio di codifica YUV: Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 54

55 La rappresentazione del colore (36/36) Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 55

56 Dall immagine naturale a quella digitale (1/18) Per poter utilizzare un immagine sul calcolatore non ha più senso la rappresentazione analogica con funzioni tempo continuo. L elaborazione al computer è per sua stessa natura digitale, cioè tempo discreto. Gli eventi succedono a istanti di tempo stabiliti (tempo discreto) ed assumo valori che sono prestabiliti (quantizzazione). Il procedimento per passare dal tempo continuo al digitale è la conversione analogico-digitale (A/D). Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 56

57 Dall immagine naturale a quella digitale (2/18) Tempo Continuo x(t) Tempo Discreto 0 t Per passare dal tempo-continuo al tempo-discreto cioè l operazione di conversione A/D (campionamento) si moltiplica il segnale da convertire per un treno di impulsi spaziati di un intervallo T=1/f c. Il termine f c è detto frequenza di campionamento. Per poter successivamente ricostruire il segnale campionato il valore f c deve rispettare il teorema del campionamento. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 57

58 Dall immagine naturale a quella digitale (3/18) Operazione di campionamento: Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 58

59 Dall immagine naturale a quella digitale (4/18) Per la ricostruzione del segnale originario basta far passare il segnale campionato in un filtro passa-basso, con larghezza di banda almeno pari alla frequenza di campionamento f c. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 59

60 Dall immagine naturale a quella digitale (5/18) Se la frequenza di campionamento f c è troppo bassa, cioè se il periodo di campionamento T è troppo lungo non riesco a ricostruire il segnale originario, perché le repliche in frequenza si sovrappongono parzialmente: è il fenomeno dell aliasing. Il teorema del campionamento allora impone un limite inferiore alla frequenza di campionamento: un segnale analogico è rappresentato dai suoi campioni se è rigorosamente limitato in banda e se la frequenza di campionamento f c è almeno il doppio della massima frequenza B contenuta nel segnale, ovvero se fc 2 B Relazione di Nyquist Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 60

61 Dall immagine naturale a quella digitale (6/18) Segnale originale Segnale campionato Caso normale Segnale campionato Caso limite Segnale campionato Aliasing Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 61

62 Dall immagine naturale a quella digitale (7/18) Un immagine fissa però non è un segnale nel tempo, ma nello spazio: ha due coordinate e quindi due variabili. Il campionamento allora va effettuato in un dominio a due variabili. Si deve generalizzare allora il concetto di trasformata di Fourier a più variabili, in particolare la trasformata di Fourier bidimensionale. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 62

63 Dall immagine naturale a quella digitale (8/18) Sia g(x,y) una funzione bidimensionale definita ovunque sul piano {X,Y}, allora la sua Trasformata di Fourier è definita come: ( x, y) (, ) j2π ( x fx+ y fy) G f f = g x y e dxdy E la sua inversa come: j2π ( x fx+ y fy) (, ) (, ) g x y = G f f e df df x y x y La Trasformata di Fourier è funzione di due frequenze spaziali f x e f y ciascuna dotata di dimensione pari all inverso di una lunghezza. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 63

64 Dall immagine naturale a quella digitale (9/18) Una funzione g(x,y) è definita limitata in banda, di banda B, se esiste una regione B del piano {f x,f y } tale per cui: ( x, y) 0 ( x, y) G f f = f f B In questo caso si può vedere che tutte le sezioni g(x,y=y) di g(x,y) parallele all asse X sono funzioni unidimensionali di x limitate in banda da B/2 a B/2. Analogo discorso per le sezioni g(x=x,y). Ha senso definire un operazione di filtraggio spaziale della funzione g(x,y) mediante un filtro di funzione di trasferimento: ( x, y) (, ) H f f h x y Tale operazione dà luogo ad una funzione bidimensionale f(x,y) definita come: (, ) (, ) (, ) f x y = g x ξ y η h ξ η dξ dη ξ= η= Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 64

65 Dall immagine naturale a quella digitale (10/18) Una funzione si dice campionata per righe a passo Y se di essa è noto l andamento lungo le rette orizontali y=ky, e cioè su di essa sono note le funzioni unidimensionali: La funzione campionata: g( x, ky), k = 0, ± 1, ± 2, (, ) (, ) ( ) = k = 0 g x y g x ky u y ky ha per trasformata di Fourier una successione di funzioni G(fx,fy) traslate ciascuna di multipli di 1/Y: (, ) { (, )} (, / ) x y F x y G f f = g x y = G f f k Y k = Dunque è potenzialmente soggetta ad aliasing. La successione g(x,ky) è una rappresentazione di g(x,y) solo se è limitato in banda ±1/2Y. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 65

66 Dall immagine naturale a quella digitale (11/18) Una funzione si dice campionata per colonne a passo X se di essa è noto l andamento lungo le rette orizontali x=kx, e cioè su di essa sono note le funzioni unidimensionali: La funzione campionata: g( kx, y), k = 0, ± 1, ± 2, (, ) (, ) ( ) = k = 0 g x y g kx y u x kx ha per trasformata di Fourier una successione di funzioni G(fx,fy) traslate ciascuna di multipli di 1/X: (, ) { (, )} ( /, ) x y F x y G f f = g x y = G f k X f k = Dunque è potenzialmente soggetta ad aliasing. La successione g(kx,y) è una rappresentazione di g(x,y) solo se è limitato in banda ±1/2X. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 66

67 Dall immagine naturale a quella digitale (12/18) Banda di un segnale bidimensionale e del corrispondente segnale campionato per righe e per colonne. fy fy fy fx 1/Y fx 1/X fx Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 67

68 Dall immagine naturale a quella digitale (13/18) Il campionamento non disturba eccessivamente la visione in quanto l occhio umano, anche nella zona di visione a maggior definizione, non è in grado di distinguere due punti di uguale luminanza che distano più di ~1/60 di grado, cioè ~π/ radianti. Da questa osservazione è possibile dimostrare la distanza D oltre la quale l occhio non vede il reale andamento della luminanza. Un occhio che guardi un immagine composta da più righe distanti 1/Δy dadistanzad vedele righe distinte fino a che: 1 π Δ y > D D< Δy π Per valori superiori di D l occhio vedrà il gruppo di righe come una unica linea di maggior spessore (filtraggio passa-basso). La distinguibilità di punti di uguale luminanza ma colore diverso è circa la metà del caso appena illustrato. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 68

69 Dall immagine naturale a quella digitale (14/18) Il campionamento di una funzione bidimensionale avviene moltipicando la funzione g(x,y) con un treno di impulsi u 0 (x,y) bidimensionale anch esso. Il treno di impulsi u 0 (x,y) è rappresentato nel seguente modo: Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 69

70 Dall immagine naturale a quella digitale (15/18) Se le mie immagini variano nel tempo ottengo il video. Il video è quindi un segnale tridimensionale: ho due variabili spaziali x a y, e una variabile temporale t. Una generica funzione che rappresenta un video può essere rappresentata da g(x,y,t). Ho quindi necessità di dover definire una trasformata di Fourier tridimensionale. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 70

71 Dall immagine naturale a quella digitale (16/18) Sia g(x,y,t) una funzione tridimensionale definita ovunque sul piano {X,Y,T}, allora la sua Trasformata di Fourier è definita come: ( x, y, t) (,, ) j2π ( x fx+ y fy+ t ft) G f f f = g x y t e dxdydt E la sua inversa come: j2π ( x fx+ y fy+ t ft) g x y t = G f f f e df df df (,, ) (,, ) x y t x y t La Trasformata di Fourier è funzione di due frequenze spaziali f x e f y ciascuna dotata di dimensione pari all inverso di una lunghezza e una frequenza f t. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 71

72 Dall immagine naturale a quella digitale (17/18) Esempio di video g(x,y,t): Anche nel caso della variabile temporale è possibile operare un filtraggio passa-basso: se infatti le funzioni campionate nel tempo (fotogrammi) distano nel tempo meno di T=40ms (periodo di campionamento corrispondente a 25 fotogrammi al secondo) ho l impressione che la funzione sia continua. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 72

73 Dall immagine naturale a quella digitale (18/18) Un tipico fenomeno di aliasing temporale si verifica quando viene inquadrata una ruota a raggera in rotazione. Se la velocità di rotazione è bassa, essa appare ruotare nel verso giusto, ma al crescere della velocità il verso di rotazione appare prima nullo e poi invertito. Il fatto che per certe velocità la ruota appaia ferma è ovvio in quanto a tali velocità T è esattamente uguale al tempo impiegato dalla ruota per ruotare di un angolo pari alla distanza angolare tra raggi e quindi in questi casi i successivi fotogrammi sono tutti uguali. Per gli stessi motivi, il verso di rotazione può apparire l opposto di quello reale. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 73

74 L immagine digitale (1/30) Un immagine digitale è rappresentata da una griglia di valori numerici, ovvero una matrice. Ogni elemento, detto pixel, è il valore della luminanza campionata e quantizzata in quel punto. valore Nella tabella sono riportati valori abbastanza comuni nelle tipiche immagini digitali. Spesso si preferisce scegliere i valori di N, M e L come potenze di 2 per motivi legati all elaborazione circuitale (FFT, ecc). Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 74

75 L immagine digitale (2/30) Possiamo qui vedere il passaggio da un settore dell immagine alla matrice che rappresenta i pixels. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 75

76 L immagine digitale (3/30) Un'immagine visualizzata nel formato numerico. La tonalità di grigi di ogni quadrato è stata sostituita dal valore numerico corrispondente di intensità. Cosa descrive questa immagine? Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 76

77 L immagine digitale (4/30) È immediatamente chiaro che l'immagine mostra un volto maschile. Il nostro sistema visivo effettua l'operazione di riconoscimento dell'immagine senza fatica, anche se l'immagine al livello dei nostri fotorecettori è rappresentata essenzialmente campionata. Il nostro sistema visivo riesce in qualche modo a dare un significato a tutti questi dati e determinare l'oggetto nell'ambiente. Tecniche di Elaborazione Numerica di Immagine e Video Ing. Michele Scarpiniti 77

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