Modelli microscopici della Mobilità degli elettroni in Silicio

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1 UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI UDINE Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica Dipartimento di Ingegneria Elettrica Gestionale e Meccanica Tesi di Laurea Modelli microscopici della Mobilità degli elettroni in Silicio Relatore: Chiar.mo Prof. Luca Selmi Laureando: Marco Lanaro Correlatori: Dott. Ing. Pierpaolo Palestri Dott. Ing. David Esseni Anno Accademico

2 Indice 1 Introduzione La Microelettronica ieri ed oggi Lo Scaling I dispositivi Double-Gate e Single-Gate Fet SOI La Mobilità dei portatori Scopo della Tesi Il Metodo di Simulazione Monte Carlo Introduzione al Monte Carlo Un Tipico Programma Monte Carlo Definizione del Sistema Fisico Condizioni Iniziali del Moto Durata del Volo Libero Self-Scattering Scelta del Meccanismo di Scattering Scelta dello Stato dopo lo Scattering Struttura a Bande Struttura Cristallina del Silicio Elettroni in un Potenziale Periodico - Struttura a Bande Bande di Conduzione e di Valenza - Relazioni Energetiche Modello della Banda Full-Band Determinazione delle arandezze fisiche Lo Scattering da Fononi Introduzione Formulazione Generale Introduzione ai Fononi Ottici ed Acustici Interazione Elettrone-Fonone Scattering da Fononi Acustici Scattering da Fononi Ottici Il codice di Bandit Introduzione Calcolo dello Scattering in Bandit Scelta del Meccanismo di Scattering Stato dopo lo scattering nel caso dei fononi Determinazione dello stato dopo lo scattering nel IW Rotazione dello stato dopo lo scattering Simulazioni delle Caratteristiche Velocità-Campo I

3 3.5.1 Introduzione I Potenziali di Deformazione Confronto degli Scattering rate Velocità di Saturazione in funzione della Temperatura Reticolare Velocità e Mobilità elettronica Distribuzione energetica degli elettroni Coefficienti da Generazione da Impatto Conclusioni Lo Scattering da Impurezze Ionizzate Introduzione Il Modello Fisico dello Scattering Espressione dello scattering rate Stato Dopo lo Scattering Lunghezza di Screening nella distribuzione di Fermi-Dirac Il Codice delle impurezze ionizzate in Bandit Descrizione del codice prima di essere modificato in questa tesi Calcolo dello Scattering rate Calcolo dello Stato dopo lo Scattering Analisi e Correzione del Codice mediante le Simulazioni Introduzione Il Modello della Mobilità elettronica di Tirelli Modifiche al Codice: Modello di Brooks & Herring Modifiche al Codice: Conservazione dell energia dei portatori prima e dopo dell evento di scattering Modifiche al codice: Screening secondo la Fermi-Dirac Modifiche al Codice: Funzione di Correzione della Mobilità elettronica Confronto con il modello di mobilità degli elettroni di Kaiblinger-Grulin Modifiche al Codice: Screening dipendente dalla concentrazione libera Conclusioni Conclusioni 113 A Programmi 115 A.1 Programma per il Calcolo della Dipendenza della velocità di saturazione dalla temperatura reticolare T L A.2 Programma per la determinazione della curva che approsima i dati sperimentali della mobilità elettronica A.3 Programma per la determinazione della curva che approsima i dati sperimentali della velocità elettronica A.4 Programma per il Calcolo della curva di Mobilità degli elettroni del modello di Kaiblinger-Grulin A.5 Il Tempo di rilassamento del Momento II

4 Elenco delle figure 1.1 Evoluzione della miniaturizzazione dei dispositivi elettronici Schema del Transistore MOSFET Schema del Transistore Double-Gate FET Schema del Transistore Single-Gate SOI Diagramma di flusso del programma di simulazione single particle Monte Carlo Determinazione stocastica di un evento nel caso discreto. S i rappresenta la probabilità che si verifichi l evento i-esimo Generazione del reticolo cubico a facce centrate del Silicio Zona di Brillouin del reticolo cubico a facce centrate. Le etichette Γ, X e K sono i punti di simmetria. Γ è il centro della zona [0, 0, 0]; X il punto finale in direzione [1, 0, 0]. L e K sono i punti finali nelle direzioni [1, 1, 1] e [1, 1, 0] rispettivamente Tipica rappresentazione del potenziale cristallino Bande energetiche in funzione del vettore d onda k Struttura della Banda di Conduzione del Silicio usata nel simulatore Bandit Relazione di dispersione quando si considera solo i fononi longitudinali vicino al centro della zona di Brillouin Meccanismi di Scattering Intervalle di tipo F e di tipo G Dipendenza del Potenziale di Deformazione Acustico dall energia della particella Schema concettuale della funzione CreateScattering Schema concettuale della funzione DoScattering Desistà degli stati di sr contenete lo stato dopo lo scattering Scelta dello stato dopo lo scattering in modo analitico Significato dei bit di itmp Barretta di Silicio uniformemente Drogata Confronto dello Scattering rate fononico Totale nell intervallo 0 6eV Confronto dello Scattering rate fononico Totale nell intervallo 0 100meV Ingrandimento dello Scattering rete Totale nell intervallo 0 4meV Scattering rate dei fononi di Jacoboni nell intervallo 0 6eV Scattering rate dei fononi di Jacoboni nell intervallo 0 100meV Velocità di Saturazione degli elettroni v sat in funzione della temperatura reticolare T L Curve di Mobilità elettronica e di velocità elettronica che approssimano i dati sperimentali[11] Curva di Velocità degli elettroni nella Barretta Uniforme ottenuta dalle simulazioni 53 III

5 3.18 Confronto delle velocità degli elettroni, dovute ai soli fononi, ottenute dalle simulazioni di Bandit con i potenziali di deformazione di Bandit, Jacoboni e Bufler (F x = 20[kV/cm]) Confronto delle Mobilità elettroniche ottenute dalle simulazioni di Bandit implementando i potenziali di deformazione di Bandit, Jacoboni e Bufler fino a 20[kV/cm] Confronto delle Mobilità elettroniche ottenute dalle simulazioni di Bandit implementando i potenziali di deformazione di Bandit, Jacoboni e Bufler a basso campo Funzioni di Distribuzione degli elettroni in funzione di T L ottenute con le simulazioni di Bandit Confronto delle Funzioni di Distribuzione degli elettroni per i potenziali di deformazione di Bandit, Bufler e Jacoboni per un campo elettrico di F x = 100[kV/cm] Confronto delle Funzioni di Distribuzione degli elettroni per i potenziali di deformazione di Bandit, Bufler e Jacoboni per un campo elettrico di F x = 200[kV/cm] Confronto delle Funzioni di Distribuzione degli elettroni per i potenziali di deformazione di Bandit, Bufler e Jacoboni per un campo elettrico di F x = 300[kV/cm] Confronto delle Funzioni di Distribuzione degli elettroni per i potenziali di deformazione di Bandit, Bufler e Jacoboni per un campo elettrico di F x = 500[kV/cm] Processo di Generazione coppie e-h dovuto alla ionizzazione da impatto Scattering rate da ionizzazione da impatto ottenuto dalle simulazioni di Bandit Valori di α ottenuti con i potenziali di deformazione di Jacoboni, Bufler e Bandit dalle simulazioni Bandit Distribuzione degli elettroni per un campo elettrico di F x = 200[kV/cm]: modifica di Bude dei fononi di Jacoboni Distribuzione degli elettroni per un campo elettrico di F x = 500[kV/cm]: modifica di Bude dei fononi di Jacoboni Valori di α ottenuti dei potenziali di deformazione di Jacoboni, Bude e Bandit dalle simulazioni Bandit Confronto delle curve della Mobilità elettronica di Bude e di Jacoboni Legame dei vettori d onda e gli angoli θ e φ Scattering da impurezze ionizzate: gli angoli α e θ per calcolare lo stato dopo lo scattering Posizione del livello di Fermi nel semiconduttore degenere e non degenere Rappresentazione della distribuzione di Fermi-Dirac e di Maxwell-Boltzmann in funzione della concentrazione n 0 degli elettroni Rapporto tra l inverso della lunghezza di screening usando la statistica di Fermi- Dirac e Maxwell-Boltzmann Sturuttura dati regdata delle impurezze ionizzate Sturuttura dati delle impurezze ionizzate: corrispondenza tra gli elementi della mesh e i campi della struttura regdata Sturuttura dati ionsc->ionreg delle impurezze ionizzate Schema funzionale della funzione InitIonizedImpScattering del codice delle impurezze ionizzate Schema funzionale della funzione DoImpurity del codice delle impurezze ionizzate Modelli della mobilità elettronica di Caughey-Thomas[23] e di Kosina[21] IV

6 4.12 Modello di Tirelli: Curve di Mobilità elettronica Modello di Brooks & Herring: Curve di Mobilità elettronica Problema della non conservazione dell energia dell elettrone nel processo di scattering con le impurezze ionizzate Confronto di k MB F D interpolata e non interpolata per correggere l inverso della lunghezza di screnning β s nella formulazione di Fermi-Dirac Confronto delle curve di mobilità elettronica per F x = 1, 2, 5kV/cm ottenute da Bandit con la distribuzione di Maxwell-Boltzmann e Fermi-Dirac Confronto delle curve di mobilità elettronica ottenute da Bandit con la distribuzione di Maxwell-Boltzmann e Fermi-Dirac Confronto della curva di mobilità elettronica ottenuta con Bandit con il modello di Kosina nella formulazione di Brooks & Herring Confronto del modello finale di Mobilità degli elettroni con la curva di riferimento di Cauchey-Thomas Confronto del modello finale di Mobilità degli elettroni con il modello finale di Kosina Confronto del modello finale della mobilità elettronica di Bandit con il modello di mobilità di Kaiblinger-Grulin[32] Nuova struttura dati delle impurezze ionizzate per associare ad ogni elemento della mesh i dati di screening dipendenti dalla concentrazione dei portatori liberi e delle impurezze ionizzate A.1 Legame del inverso tempo di rilassamento con lo scattering rete per le impurezze ionizzate V

7 Elenco delle tabelle 1.1 Regole di Scaling a Campo Elettrico Costante Regole di Scaling a Tensione Elettrica Costante Elementi del point group. A. Morgan, in Landsberg, ed., Solid State Theory: Methods and Applications Modelli dello scattering rate per i fononi acustici intravalle (banda sferica): modello analitico, modello Full-Band Modelli dello scattering rate per i fononi ottici intervalle (banda sferica): modello analitico, modello Full-Band ImaxTable: tabella delle disuguaglianze delle componenti del vettore d onda Tabella SwapTableF corretta Tabella SwapTableG corretta Errori della scelta dello stato dopo lo scattering nel codice di Bandit prima delle modifiche implementate in questa tesi Confronto dei potenziali di deformazione dei fononi ottici ed acustici implementati in Bandit con quelli di Jacoboni e Bufler Confronto delle velocità elettroniche ottenute dalle simulazioni per un campo elettrico di 500 V/cm Confronto delle velocità degli elettroni, dovute ai soli fononi, ottenute dalle simulazioni di Bandit con i potenziali di deformazione di Bandit, Jacoboni e Bufler (F x = 20[kV/cm]) Valori dei parametri del modello di Chinoweth presenti in letteratura Masse elettrone-lacune Parametri del modello di Caughey-Thomas per la mobilità [23] Modello di mobilità di Tirelli Modello di mobilità di Brooks & Herring Risultati della non conservazione dell energia degli elettroni per lo scattering da impurezze ionizzate del file ion-imp.c Funzione d approsimazione di k MB F D per correggere l inverso della lunghezza di screening β s nella formulazione di Fermi-Dirac Valori della Mobilità totale degli elettroni ottenuti dalle simulazioni di Bandit attivando lo scattering da impurezze ionizzate e da fononi Valori della Mobilità fononica degli elettroni ottenuti dalle simulazioni di Bandit Valori della Mobilità delle sole impurezze ionizzate degli elettroni derivate dalle simulazioni di Bandit VI

8 4.10 Valori della Mobilità delle sole impurezze ionizzate estratte dalla curva di Caughey- Thomas considerando che la mobilità dei fononi sia qualla ricavata dalle simulazioni di Bandit Modello di mobilità di Brooks & Herring: Distribuzione di Fermi-Dirac Coefficienti di correzione della mobilità degli elettroni in funzione del doping che vengono utilizzati nel codice di Bandit per lo scattering rate delle impurezze ionizzate Modello finale di mobilità per gli elettroni ottenuto con la funzione di correzione della mobilità VII

9 Capitolo 1 Introduzione 1.1 La Microelettronica ieri ed oggi Per microelettronica si intende quella disciplina dell elettronica che si interessa dello studio della tecnologia, dei dispositivi elettronici e dei circuiti elettronici in modo da miniaturizzarli così da incrementare la densità di integrazione. Figura 1.1: Evoluzione della miniaturizzazione dei dispositivi elettronici Lo sviluppo del primo transistor ad opera di W. Brattain, W. Shockley e J. Bardeen nel 1948 è l inizio dell era della microelettronica a semiconduttore così come oggi la si intende. Infatti per mezzo della tecnologia del primo transistor a semiconduttore è iniziata effettivamente l era della microintegrazione; tutti quei dispositivi elettronici che venivano realizzati con le valvole termoioniche ora vengono realizzati su semiconduttore con dimensioni sempre più scalate e consumi di potenza sempre più ridotti. La chiave di lettura della spinta all integrazione dei dispositivi va ricercata nella continua evoluzione tecnologica, nella ricerca di nuovi materiali utilizzati nei processi di fabbricazione e nella ricerca continua sui dispositivi e sui loro problemi. In questo senso, la tecnologia maggiormente diffusa ad oggi è quella dei transistori MOSFET, i quali vengono utilizzati per la realizzazione della maggior parte dei circuiti integrati. 1

10 Gate VS LG VG Ossido VD X Source n+ Drain n+ Leff p Substrato (Bulk) Y VB Figura 1.2: Schema del Transistore MOSFET La figura 1.2 riproduce lo schema di principio di un transistore n-mos che vienere realizzato partendo da un Substrato drogato con atomi di tipo accettore (p-type) nel quale vengono impiantate due tasche drogate con atomi donori (n-type) chiamate rispettivamente Source e Drain. Il processo di fabbricazione prevede la realizzazione di uno strato di isolamento (t ox ) realizzato tipicamente con ossido di silicio (SiO 2 ) sul quale viene realizzato il Gate con materiale conduttore quale ad esempio l alluminio (AL) o con polisilicio. La ricerca e lo sviluppo dei singoli dispositivi (compreso il MOS) si articola essenzialmente in due fasi: si punta alla riduzione delle dimensioni fisiche dei dispositivi già esistenti che permette di aumentare il grado di integrazione sul wafer. Questo processo prende il nome di Scaling e comprende una serie di regole che permettono una riduzione delle dimensioni fisiche senza penalizzare le prestazioni statiche e dinamiche del dispositivo; si studiano nuovi materiali, le loro proprietá, le caratteristiche chimiche ed elettriche degli elementi utilizzati e la ricerca di nuove caratteristiche progettuali dei dispositivi. 1.2 Lo Scaling La riduzione delle dimensioni fisiche del dispositivo si riferisce alle cosidette regole di Scaling che stabiliscono, fissato il fattore di riduzione K > 1, il legame che deve sussistere tra le varie grandezze coinvolte affinchè i dispositivi scalati risultino sottoposti alla medesime condizioni operative delle strutture più grandi. È necessario comprendere che lo scaling non coinvolge un solo parametro, ma modifica un intero set di parametri fisici e il processo di fabbricazione in modo da evitare l insorgere di fenomeni di degradazione delle prestazioni del transistore. Tali fenomeni sono ad esempio: gli effetti di canale corto, gli effetti legati ai portatori caldi, delle cariche intrappolate nell ossido, etc. Nella tabella 1.1 è tabulato uno scaling dei parametri fisici atto a mantenere costante il campo elettrico F in modo da conservare il medesimo grado di affidabilità. Le modifiche dei parametri fisici del transistor, secondo questa regola, quali: doping, dimensioni, tensioni, correnti, etc. sono tutte eseguite per mantenere il campo costante. Se si vuole diminuire di un fattore K 2

11 Parametri Fisici Scaling Parametri Fisici Scaling Dimensioni (L,W,t ox,y d ) 1 K Campo Elettrico ( F ) 1 Impurity Doping (N d,n a ) K Ritardo del circuito ( CGVDD I D ) 1 K Tensioni (V GS,V DS ) 1 K Dissipazione di potenza (P d ) 1 K 2 Correnti (I D ) 1 K Densità di potenza ( P d Area ) 1 Densità di corrente ( ID Area ) K Power-Dalay Product (C GVDD 2 ) 1 K 3 Capacità per Area (C G ) K Tabella 1.1: Regole di Scaling a Campo Elettrico Costante le dimensioni fisiche del transistor, ne consegue che anche la tensione elettrica V applicata al transistor deve diminuire del medesimo fattore. Tuttavia queste regole di scaling comportano l insorgere di una serie di problematiche che portano a prendere in considerazione le regole di scaling a tensione costante (tab.1.2). Le principali problematiche possono così essere riassunte: I livelli della tensione elettrica V sono generalmente fissati tra l interfaccia e il dispositivo. All aumentare del fattore di scaling K la tensione di soglia V T del transistore MOS via via si riduce potendo anche assumere valori negativi. Questo comporta, poichè anche la tensione elettrica diminuisce, che lo swing di tensione diminuisce e se V T diventa negativa si perde definitivamente la possibilità di controllare il transistor. Parametri Fisici Scaling Parametri Fisici Scaling 1 Dimensioni (L,W,t ox,y d ) K Campo Elettrico ( F ) K Impurity Doping (N d,n a ) K 2 Ritardo del circuito ( CGVDD 1 I D ) K 2 1 Tensioni (V GS,V DS ) 1 Dissipazione di potenza (P d ) K Correnti (I D ) K Densità di potenza ( P d K3 Area ) Densità di corrente ( ID Area ) K3 Power-Dalay Product (C G V 2 DD ) 1 K Capacità per Area (C G ) 1 K Tabella 1.2: Regole di Scaling a Tensione Elettrica Costante Nella tabella 1.2 sono riportate le regole di scaling a tensione costante che permettono di ovviare alla riduzione dello swing di tensione, ma determinano aumenti delle correnti e della densità di corrente, della potenza elettrica per unità di area e del campo elettrico. In generale si può osservare che l operazione di scaling determina il miglioramento di alcuni parametri quali ad esempio le costanti di tempo e il prodotto Ritardo-Potenza, ma le densità di corrente e i campi elettrici aumentano determinando un aggravamento dei fenomeni fisici intrinseci al MOS che peggiorano le prestazioni dei dispositivi. Se da una parte la riduzione delle dimensioni geometriche porta chiaramente al vantaggio dell aumento del livello di integrazione, dall altra determina l insorgere di fenomeni fisici dannosi alle prestazioni del dispositivo scalato che devono essere corretti con accorgimenti di tipo progettuale, quali ad esempio la realizzazione di un nuovo layout e il miglioramento degli step di fabbricazione. 3

12 1.3 I dispositivi Double-Gate e Single-Gate Fet SOI Nel lavoro di Wong[1] è presentata un analisi dettagliata delle tecniche di scaling dei transistori e del miglioramento delle grandezze d interesse attraverso la progettazione di nuovi dispositivi o l impiego di nuovi materiali. Per esempio, si può incrementare la densità di carica utilizzando il transistore Double-Gate FET oppure diminuendo la temperatura operativa. Se si persegue il miglioramento delle proprietá del trasporto dei portatori, cioè in primis della mobilitá all interno dei semiconduttori, si possono utilizzare varie tecniche: si può usare silicio di tipo strained ; si possono impiegare materiali che permettono di avere alte mobilità (Ge, InGaAs, InP, etc.); si possono ridurre i fattori che determinano il degrado della mobilità come ad esempio il campo elettrico trasverso, lo scattering con i fononi o con le impurezze ionizzate; Se si è posto quale obbiettivo la scalabilità dei dispositivi attraverso la riduzione del canale si possono addottare altri metodi: mantenere un buon controllo elettrostatico del potenziale di canale controllando la geometria fisica del dispositivo; aumentare la capacità di gate, attraverso la riduzione dello spessore di ossido o l impiego di un gate metallico per ottenere il controllo più efficace del potenziale di canale. Il transistor Double-Gate è schematizzato in figura 1.3 e fu introdotto per la prima volta all inizio degli anni ottanta. VS VD top gate source Lg drain VG Bottom gate tsi Figura 1.3: Schema del Transistore Double-Gate FET Questo tipo di transistor permette di: 1. Controllare gli effetti di canale corto attraverso la geometria del dispositivo; 2. di aumentare l accoppiamento del potenziale di gate V G con il potenziale di canale utilizzando un sottile spessore di silicio t si. 4

13 In figura 1.4 è schematizzato il dispositivo Single-gate SOI che è un transistore MOS realizzato su uno strato di ossido (Buried oxide). VS VG VD top gate source Lg tsi drain Buried oxide tbox=200 nm Si Substrate Figura 1.4: Schema del Transistore Single-Gate SOI Nei primi studi condotti sui Single-Gate SOI[2], si è dimostrato che la mobilità dei portatori segue la curva universale di mobilità similmente a quella ottenuta dal transitore bulk, se il campo efficace è determinato in modo appropiato al transistor Single-Gate SOI. Come analizzato nel lavoro di Esseni[3], in condizione di alta densità di carica di inversione N inv, la mobilità dei transistor ultrasottili SOI, è insensibile allo spessore del silicio t Si ed è più grande di quella del transistor MOSFET bulk fortemente drogato poichè il campo efficace è più piccolo. In condizioni di piccola N inv, la mobilità del transistor SOI presenta invece una sistematica riduzione con il decremento dello spessore del silicio t Si. L analisi suggerisce l importanza del comportamento dello scattering dei fononi dovuto al confinamento dei portatori nel sottilissimo strato di semiconduttore. Nel lavoro[4] si confronta la mobilità efficace µ eff degli elettroni del transistor Double-Gate con quella del Single-Gate in funzione della carica di inversione N inv. In condizione di alta carica di inversione, dove la mobilità efficace è limitata dallo scattering dovuto alla surface roughness, praticamente non sono state osservate differenze tra la µ eff del Single-Gate e quella del Double-Gate MOSFET. Per spessori del silicio t Si di circa 20nm o superiori la mobilità è essenzialmente la stessa per i due tipi di dispositivi. 1.4 La Mobilità dei portatori La mobilità è un importante parametro per la progettazione e l analisi dei dispositivi elettronici. Infatti modifica il fattore di guadagno k del transistor MOSFET e quindi incide sulla corrente di drain I DS αk. k = µ ɛ ox W (1.1) t ox L dove t ox è lo spessore dell ossido, W e L rappresentano le dimensioni fisiche del transistor MOSFET. La mobilità è definita come il rapporto tra la velocità media dei portatori v x e il campo elettrico F x nella direzione del trasporto x: µ x = v x F x (1.2) Fisicamente la mobilità µ x, è ottenuta dall interazione tra il campo elettrico F x, che cede energia ai portatori imponendo un moto di trascinamento e i vari meccanismi di scattering che 5

14 determinano l interruzione di tale moto attraverso le collisioni dei portatori. I meccanismi di scattering si suddividono in: elastici: L energia cinetica dei portatori si conserva prima e dopo della collisione; anelastici: L energia cinetica dei portatori non si conserva durante il processo d urto. Esistono vari meccanismi di scattering: scattering con i fononi di tipo ottico o acustico; scattering dovuto alle impurezze ionizzate; scattering dovuto alla rogosità superficiale ( surface rougness ); scattering superficiale con i fononi ottici che, come è stato analizzato nel lavoro[5], potrebbe essere importante per spiegare la dipendenza della mobilità degli elettroni dallo spessore del silicio t Si nei transistor Single-Gate e Double-Gate SOI MOSFET; scattering dovuto alle fluttuazioni dello spessore del film di silicio. 1.5 Scopo della Tesi Questa tesi si prefigge quale scopo l analisi e la comprensione dei meccanismi di scattering implementati nel simulatore Monte Carlo Bandit, che determinano la mobilità degli strati d inversione e la loro corretta implementazione in un simulatore Monte Carlo. È in quest ottica che viene affrontato lo studio dello scattering dipendente dai fononi ottici, dai fononi acustici, l analisi della funzione di distribuzione degli elettroni e dei coefficienti di ionizzazione per i set dei potenziali di deformazione di riferimento forniti da Jacoboni[9], Bufler[19] e presenti nel simulatore Bandit. Si effettua una corretta implementazione del modello per la mobilità degli elettroni facendo sì che tale modello del trasporto elettronico corrisponda con quello di Caughey-Thomas[23] che permette di descrivere la mobilità degli elettroni fino a 300K in funzione del doping e del campo elettrico. La tesi è così organizzata: Capitolo 2: Si descrive il metodo di simulazione Monte Carlo; Capitolo 3: Si prende in esame lo scattering dei fononi studiando come tale modello viene implementato nel codice di Bandit e la corrispondenza tra i dati di simulazione ed i risultati proposti in letteratura; Capitolo 4: Si analizza lo scattering dalle impurezze ionizzate e si corregge il modello implementato in Bandit in modo che sia in accordo con il modello di Caughey-Thomas per la mobilità degli elettroni. Capitolo 5: Vengono riportate le conclusioni alla tesi. 6

15 Capitolo 2 Il Metodo di Simulazione Monte Carlo 2.1 Introduzione al Monte Carlo Con l avvento dei computer ci si è resi conto dell esigenza di disporre di uno strumento potente, affidabile, che permettesse di analizzare in dettaglio le proprietà intrinseche e il comportamento dei semiconduttori in presenza e/o assenza di forze esterne. Dal punto di vista fisico-matematico, l equazione differenziale di Boltzmann, df dt = f t + (d r dt ) rf + ( d p dt ) pf = ( f t ) C (2.1) che descrive il problema del trasporto, non si presta ad una soluzione analitica semplice eccetto per pochi casi che però non modellano i sistemi reali. Quando si prende in considerazione il comportamento reale non lineare di un semiconduttore, aumenta notevolmente la difficoltà : la soluzione analitica dell equazione del trasporto senza linearizzazione, in condizione di forze esterne applicate, è un problema matematico molto impegnativo e non sempre si presta alla soluzione teorica rigorosa. Da quanto sinteticamente esposto, è quindi chiaro che è veramente importante disporre di uno strumento che risolva per via numerica l equazione 2.1 anche se tale soluzione dovesse risultare per qualche ragione non assolutamente rigorosa. Il metodomonte Carlo è un metodo numerico-statistico generale usato per risolvere problemi matematici come il problema del trasporto nei semiconduttori. L approccio numerico alla soluzione di questo problema, è una simulazione della dinamica a livello microscopico dei portatori nel cristallo. Questa tecnica di simulazione fu presentata per la prima volta da Kurosawa alla conferenza internazionale sui semiconduttori tenutasi a Kyoto nel Un Tipico Programma Monte Carlo La simulazione inizia con un elettrone posto nello stato iniziale k 0 ; la durata del volo libero è scelta da una distribuzione di probabilità determinata partendo dalla probabilità dei vari meccanismi di scattering cui è soggetto il portatore. Ogni meccanismo di scattering ha un proprio scattering rate dipendente dalle proprietà fisiche di quel meccanismo. Durante il volo libero le forze esterne impongono sui portatori una forza che ne modifica il 7

16 moto: h k = ef e + c v B r = k ɛ( k) (2.2) h dove il membro di destra rappresenta la forza di Lorenz composta dal contributo elettrico e da quello magnetico. Se il programma è di tipo single particle le particelle vengono simulate una dopo l altra e i risultati sono collezionati subito prima dell interruzione del volo libero dovuta allo scattering; se il programma è di tipo ensemble più paricelle vengono simulate contemporaneamente e le statistiche vengono raccolte in prefissati istanti. Lo step successivo è la scelta del meccanismo di scattering che pone fine al volo libero della particella in accordo con la relativa distribuzione di probabilità di tutti i possibili meccanismi di scattering. Questa scelta impone un nuovo stato k, scelto in accordo con le regole proprie del meccanismo di scattering che ha determinato l interruzione del volo libero della particella. Tale stato è assunto come stato iniziale per la successiva simulazione. Il processo è ripetuto più volte e ad ogni passo la simulazione diventa sempre più precisa: la simulazione globale termina quando si è raggiunta la precisione voluta Definizione del Sistema Fisico Il simulatore viene inizializzato partendo dalla definizione del sistema fisico d interesse fornita dall utente. Vengono definiti anche i parametri che controllano la simulazione: il numero di step di transitorio (non si collezionano i dati della simulazione) e il numero di step di simulazione per collezionare i risultati statistici d interesse. A questo punto si procede al calcolo preliminare di ogni scattering rate in funzione dell energia delle particelle; si ottiene così una informazione preliminare del massimo valore di queste funzioni per ottimizzare l efficienza della simulazione. L ultimo step di questa fase preliminare è l inizializzazione a zero delle grandezze cumulative quali ad esempio la velocità delle particelle, le correnti, etc Condizioni Iniziali del Moto Nel caso della simulazione dello stato di regime, il tempo di simulazione deve essere abbastanza lungo affinchè la scelta delle condizioni iniziali del moto per la particella non influenzi i risultati finali. Tale scelta è un compromesso tra l esigenza dell ergodicità (t ) e il tempo computazionale proprio del programma-calcolatore. Nel caso particolare in cui si applica un campo elettrico F molto alto e si inizializza l energia dell elettrone al valore k B T 0 dove k B è costante di Boltzmann; questa energia iniziale è notevolmente inferiore all energia media a regime; ne consegue che durante il transitorio, che è un tempo definito dall utente, l elettrone incrementa la propria energia fino al valore di regime. L elettrone interagisce con il campo determinando un valore di mobilità molto più alto rispetto alla condizione di stazionarietà. È per questo che vengono definiti gli step di simulazione che compongono il transitorio dove le particelle vengono simulate, ma i risultati statistici non vengono collezionati. Più lungo è il tempo di transitorio, meno le condizioni iniziali influenzano i risultati medi finali Durata del Volo Libero Self-Scattering Durante un volo libero il vettore d onda k della particella cambia in continuazione in accordo con l equazione 2.2 come conseguenza del campo elettrico applicato F. 8

17 Definizione del Sistema Fisico Input dei Parametri Fisici e di Simulazione Condizioni Iniziali del Moto Determinazione Stocastica del Volo libero Determinazione dello stato prima dello Scattering Collezione dei Dati per gli Estimatori Statistici Determinazione Stocastica del meccanismo di Scattering Precisione raggiunta? Valutazione Estimatori Determinazione Stocastica dello Stato dopo lo Scattering Stampa dei Risultati STOP! Figura 2.1: Diagramma di flusso del programma di simulazione single particle Monte Carlo Introducendo la probabilità che la particella nello stato k subisca una collisione durante il tempo dt, P [ k(t)]dt, si può derivare tutta la formulazione statistica della teoria computazionale del volo libero. Così la probabilità che una particella che aveva subito una collisione al tempo t = 0 9

18 e al tempo t non ha ancora subito nessun evento di urto, viene definita nella seguente forma: e t 0 P [ k(t )]dt (2.3) L espressione rappresenta la probabilità che nell intervallo temporale (0,t) non ci sia un evento di scattering. La probabilità che ci sia un evento di urto nell intorno di t, durante dt per la particella è la seguente: P(t)dt = P [ k(t)]e t 0 p[ k(t )]dt dt (2.4) Data la complessità dell eq.2.4, questa non viene implementata nel metodo Monte Carlo dato che l energia ɛ della particella non si conosce prima che termini il free-flight. Un metodo è il self-scattering: definendo S max il massimo valore di P ( k) nello spazio delle fasi d interesse, si ricorre al self-scattering in modo che la probabilità dello scattering totale rimanga costante ed uguale a S max. L equazione 2.4 può essere quindi ridotta nella forma: P(t) = 1 τ 0 e t τ 0 (2.5) S max = 1 τ 0 dove S max può essere una conveniente funzione dell energia. Il tempo di volo libero è ottenuto dall equazione: t r = τ 0 ln(r) Ricordando che P ( k) è una funzione dell energia posseduta dalla particella si può scegliere di assumere S max = P (ɛ M ), con ɛ M uguale alla massima energia per la particella. Dopo il free-flight si genera un numero casuale r con distribuzione uniforme e lo si confronta con: S(ɛ)/S max (2.6) L energia della particella ɛ, che permette di calcolare lo scattering rate, è calcolata al termine del volo libero. Se r > S(ɛ)/S max il meccanismo self-scattering è selezionato e lo stato dopo la collisione k è preso uguale a quello prima dell evento di urto k, così che il percorso della particella rimane imperturbato se non si verifica un vero meccanismo di scattering. Esistono algoritmi piú accurati che non vengono qui descritti per brevità Scelta del Meccanismo di Scattering A volo libero avvenuto, l energia ɛ è nota e bisogna quindi scegliere il meccanismo di scattering. Si sceglie un meccanismo appartenente all insieme dei possibili meccanismi di scattering implementati nel simulatore: introducendo un numero random r, il prodotto rs max è confrontato con le successive somme delle probabilità dei singoli meccanismi. Un meccanismo è selezionato applicando la seguente tecnica: se S i è lo scattering rate del meccanismo i-esimo S j = rs max S max = i S i Il meccanismo j-esimo è scelto se j è tale che, se la prima somma parziale che è uguale a S j assume il valore S 1 + S S j. La figura riportata mette in luce che la probabilità di scegliere il meccanismo j-esimo è proporzionale a S j come desiderato. Se viceversa tutti i possibili meccanismi di scattering sono stati provati e nessuno di essi è stato selezionato, significa che rs max > S(ɛ) e quindi bisogna introdurre un self-scattering. 10

19 Smax S1+S2+S3 S3 Sj=rSmax S1+S2 S2 S1 S1 0 Figura 2.2: Determinazione stocastica di un evento nel caso discreto. S i rappresenta la probabilità che si verifichi l evento i-esimo Scelta dello Stato dopo lo Scattering Una volta individuato il particolare meccanismo di urto che interrompe il volo libero della particella, è necessario determinare lo stato k f dopo tale evento. Se si era verificato un selfscattering, lo stato finale k f è uguale a quello iniziale k i, viceversa se si era individuato il meccanismo di urto, tale stato finale è generato stocasticamente in accordo con il procedimento proprio di ogni meccanismo di scattering. La probabilità P ( k f ) di scegliere come stato finale dopo lo scattering k f è ottenuta dal rapporto tra il transition rate S n ( k i, k f ) e il total scattering rate S n ( k i ) dello stato prima dello scattering. P ( k f ) = S n( k i, k f ) S n ( k i ) (2.7) Lo scattering rate S n ( k i ) è ottenuto dal transition rate S n ( k i, k f ) sommando tutti gli stati finali k f. S n ( k i ) = kf S n ( k i, k f ) (2.8) L equazione 2.7 può essere così riscritta: P ( k f ) = S n( k i, k f ) k f S n ( k i, k f ) (2.9) 11

20 2.2 Struttura a Bande La definizione della struttura a bande è indispensabile per derivare la relazione energetica ɛ( k), in funzione del vettore d onda k, che permette di determinare il moto della particella Struttura Cristallina del Silicio Prendendo in considerazione un cristallo di qual si voglia semiconduttore, questo è costituito da una base e da un reticolo di Bravais. La base può essere un qualunque aggregato di atomi la cui dimensione è compresa tra il singolo atomo e la molecola (p. es. DNA). Il reticolo di Bravais è un insieme di punti R l che sono generati per mezzo di tre traslazioni non complanari a 1,a 2,a 3 appartenenti allo spazio vettoriale tridimensionale. R l = l 1 a 1 + l 2 a 2 + l 3 a 3 (2.10) dove l i sono dei numeri interi. Partendo dalle proprietà di questo reticolo (p. es. riflessione, rotazione,..) si possono distinguere quattordici reticoli di Bravais. Nel caso di interesse, i semiconduttori, sono caratterizzati da una struttura tetraedica; cioè il reticolo atomico può essere visto come un reticolo cubico a facce centrate partendo da una base composta da due soli atomi. Dal punto di vista matematico è importante sottolineare che i reticoli cristallini e le loro Figura 2.3: Generazione del reticolo cubico a facce centrate del Silicio proprietà fisiche, sono trasformati in loro stessi per mezzo di opportuni operatori geometrici (rotazioni, riflessioni, ecc.)[12]. L insieme di questi operatori è chiamato point group del reticolo cristallino e comprende 48 operatori; di questi, 24 sono trasformazioni linearmente indipendenti, mentre le altre 24 si ottengono semplicemente per inversione. Nella tabella 2.1 è tabulato il point group valido per i semiconduttori a reticolo cubico a facce centrate. Ad esempio, la trasformazione Q 3 ( x 1, x 2, x 3 ) rappresenta la funzione di inversione f( x 1, x 2, x 3 ) per ogni generica funzione f dipendente dalle coordinate del sistema di riferimento. 12

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