Università di Bologna Facoltà di Scienze statistiche. Analisi fattoriale. Alessandro Lubisco

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1 Università di Bologna Facoltà di Scienze statistiche Analisi fattoriale Alessandro Lubisco

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3 INDICE Indice... i Analisi Fattoriale... 1 Aspetti introduttivi... 1 Introduzione ai modelli a variabili latenti... 4 Esempi di problemi con variabili latenti e manifeste... 5 Modelli a variabili latenti... 6 Il modello lineare a un fattore... 8 Il modello fattoriale... 1 Specificazione del modello fattoriale Comunalità e specificità Proprietà del modello fattoriale... Equivarianza rispetto a cambiamenti di scala... Identificazione del modello... 4 Invarianza del modello rispetto a rotazioni ortogonali della matrice Λ... 4 Stima dei parametri del modello... 7 Metodi di stima... 8 Metodo delle componenti principali... 9 Metodo dei fattori principali... 3 Ripercorriamo il metodo dei fattori principali Il metodo della massima verosimiglianza Rotazione degli assi fattoriali Rotazione VARIMAX (aiser, 1958) Rotazione QUARTIMAX Rotazione EQUAMAX Rotazioni oblique Prima di interpretare i fattori Esempio di valutazione dei pesi fattoriali Determinazione dei punteggi fattoriali Una prima interpretazione I pesi fattoriali Le comunalità Adeguatezza del modello e scelta del numero di fattori Percentuale di varianza spiegata da fattori Matrice di correlazione riprodotta Test sulla bontà di adattamento Riassumendo: Scopi e procedure dell analisi fattoriale Passo 1: Selezione delle variabili Passo : Calcolo ed esame della matrice di correlazione tra le variabili Passo 3: Estrazione dei fattori non ruotati Passo 4: Rotazione dei fattori Passo 5: Interpretazione della matrice dei fattori ruotati Analisi fattoriale e analisi delle componenti principali Errori comuni nell uso dell analisi fattoriale... 6

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5 ANALISI FATTORIALE ASPETTI INTRODUTTIVI Gli aspetti caratteristici dell analisi fattoriale si fondano sulle origini del metodo, che si è sviluppato all inizio del secolo scorso ad opera di Spearman, nell ambito della ricerca psicometrica sulle misure delle capacità psicoattitudinali. In un lavoro del 1904, Spearman riporta le correlazioni osservate tra i risultati (voti) conseguiti da un gruppo di studenti in tre diverse materie: lettere (X 1 ), francese (X ), inglese (X 3 ). R = 1 0,83 1 0,78 0,67 1 Egli si chiede se le correlazioni osservate non possano essere spiegate dalla relazione delle tre variabili con un unica variabile latente f che può essere pensata come, per esempio, l intelligenza o la predisposizione allo studio in determinate materie. Se esiste una variabile f in grado di render conto delle correlazioni tra ciascuna coppia di variabili, allora significa che la correlazione residua tra le variabili osservate, una volta che si è eliminato l effetto di f su ciascuna di esse, deve essere non significativamente diversa da zero, ovvero le variabili osservate devono essere linearmente indipendenti condizionatamente ai valori di f. L analisi dei fattori è un metodo di analisi multivariata volto a spiegare le correlazioni fra un insieme di p variabili osservate attraverso un insieme di m variabili non osservate. Si ricorda che la correlazione r ii tra due variabili X i e X i può risultare dalla loro associazione con una terza variabile esterna f k ed è misurabile attraverso la correlazione parziale r ii ;k. Essa misura, infatti, l associazione tra X i e X i quando f k è resa costante ed è quindi la correlazione residua tra X i e X i dopo che si è eliminato l effetto lineare di f k su ciascuna di esse.

6 Analisi fattoriale Esprimiamo le relazioni lineari di X i e X i con la variabile esterna f k (per comodità usiamo le variabili scarto) x x i i' x i x i' = b i = b ( fk fk ) + ei ei = xi xi bi( fk fk ) ( f f ) + e e = x x b ( f f ) i' k La correlazione tra i residui è data da: r ii';k = k ( ei ei )( ei' ei' ) ( ei ei ) ( ei' ei' ) Dal momento che le medie dei residui e i ed segue che: r ii';k = ( ei )( ei' ) ( ei ) ( ei' ) Sostituendo si ottiene: r ii';k = che si semplifica in: i' ( fk fk bi( xi xi ))( fk fk bi' ( xi' xi' )) ( fk fk bi( xi xi )) ( fk fk bi' ( xi' xi' )) i' i' i' i' k k e i' sono pari a zero ne r ii';k = r ii' 1 r r ik ik r i'k 1 r i' k Tale coefficiente misura la correlazione rimanente tra X i e X i dopo aver corretto entrambe le variabili dell effetto lineare di f k su di esse. Qualora X i e X i non fossero influenzate da f k allora r ii';k r ii' in quanto r ik = 0 e r i'k = 0. Poste certe condizioni sulla variabile f non osservata è facile verificare che un modello, il quale ipotizzi una relazione lineare di ciascuna delle variabili osservate con f, sia in grado di spiegare la correlazione tra le X. Se f spiega le correlazioni, allora le variabili osservate possono essere espresse in funzione di f nel modo seguente:

7 A. Lubisco 3 dove: X 1 = λ 1 f + u 1 X = λ f + u X 3 = λ 3 f + u 3 - f è un fattore latente comune a tutte le variabili, che rappresenta l abilità generale di uno studente; - i λ i sono detti pesi fattoriali; - gli u i sono i fattori specifici di ogni singola variabile. Il fattore specifico può avere in questo contesto una duplice interpretazione: o l abilità individuale in ogni singola disciplina dipende anche in una certa misura dall abilità specifica in tale disciplina; o inoltre, la presenza del fattore specifico è legata anche al fatto che la prova o l esame è solo una misura approssimata dell abilità generale dello studente e perciò affetta da errore.

8 4 Analisi fattoriale INTRODUZIONE AI MODELLI A VARIABILI LATENTI L analisi fattoriale appartiene a una famiglia di metodi che utilizza le cosiddette variabili latenti. Spesso, in particolar modo nelle scienze sociali, non si è in grado di misurare le grandezze di interesse. Esempi di tali concetti sono l intelligenza, l orientamento politico, lo stato socio-economico. Sebbene nelle scienze sociali si trattino tali grandezze al pari di qualunque altra variabile, queste si differenziano perché non possono essere osservate ed è per questo motivo che sono dette latenti. In alcuni casi, un concetto può essere rappresentato da un unica variabile latente, ma spesso essi sono di natura multidimensionale e per questo motivo possono coinvolgere più di una variabile latente. Queste variabili latenti sono talvolta chiamate fattori. Tra i metodi a variabili latenti, l analisi fattoriale è il più antico e il più usato. C è uno stretto legame tra l analisi fattoriale (Factor Analysis FA) e l analisi delle componenti principali (Principal Components Analysis PCA). Infatti, è usuale vedere la PCA come un metodo della FA (il software statistico SPSS tratta entrambi i metodi nella stessa procedura). E necessario, però, porre l accento sulla profonda diversità tra i due metodi. Questo per diverse ragioni: - La PCA è un metodo descrittivo che ha l obiettivo di riassumere una matrice di dati in maniera tale da esprimere la sua struttura in un numero ridotto di dimensioni. La FA è una tecnica basata su un modello che richiede siano fatte assunzioni riguardo le distribuzioni congiunte in popolazione delle variabili coinvolte. Ciò consente di fare inferenza riguardo alla popolazione e di fare riferimento a concetti quali bontà di adattamento, significatività e precisione delle stime. - La seconda ragione per enfatizzare la distinzione tra PCA e FA sta nel fatto che, mentre l analisi in componenti principali è un metodo per individuare una particolare trasformazione delle variabili osservate (una combinazione lineare), nella FA sono invece le variabili osservate a essere espresse come combinazione lineare di fattori latenti. Per questo motivo, la FA si inserisce nell'ambito

9 A. Lubisco 5 dei modelli a variabili latenti, dei quali verranno esaminati più avanti altri esempi. Tradizionalmente l unità di questa famiglia di metodi a variabili latenti è sempre stata oscurata dall uso di notazioni differenti e dalle diverse culture scientifiche da cui hanno avuto origine oltre che dai diversi campi di utilizzo. - Nella PCA si cerca di spiegare con poche componenti una grande parte della varianza delle variabili osservate. Nella FA, invece, si prendono in considerazione le covarianze, o le correlazioni, tra le variabili. Nella pratica, ci sono alcuni data set per i quali il modello fattoriale non fornisce un adeguato adattamento. Quindi, l analisi fattoriale presenta alcuni aspetti soggettivi tali per cui tra statistici ci sono opinioni contrastanti sulla sua validità. Talvolta, si individua un numero ridotto di fattori e tali fattori sono di facile interpretazione. Per altri dati, invece, non sono chiari né il numero dei fattori, né la loro interpretazione. Esempi di problemi con variabili latenti e manifeste i) Esiste un grande interesse nella misurazione dell intelligenza. Essa è concepita come un importante caratteristica dell'individuo posseduta in una certa misura, grande o piccola che sia. Tuttavia non si tratta di qualche cosa simile al peso o all età per i quali ci sono già degli strumenti di misura. L intelligenza è un costrutto, cioè è un concetto che troviamo utile e ricco di significato ma che non esiste, almeno non nel senso delle caratteristiche tangibili che ha, per esempio, il peso. È possibile tuttavia includerlo in un modello matematico e trattarlo come qualunque altra variabile. L intelligenza è un buon esempio di variabile latente. Le variabili indicatore sono quantità che si presume siano influenzate dalla variabile latente. Nel caso dello studio sull'intelligenza sono, usualmente, i punteggi ottenuti nei test scelti perché si ritiene che persone più intelligenti abbiano risultati migliori. Alcuni quesiti (item) potrebbero riguardare il linguaggio o la matematica, altri invece potrebbero sondare l abilità nel riconoscere particolari strutture. Se gli item richiedono tutti la medesima abilità mentale, ci si aspetta che i punteggi negli item siano correlati positivamente. Il problema è vedere se questa correlazione può essere rappresentata da un unica variabile latente e, se è così, determinare

10 6 Analisi fattoriale dove posizionare gli individui nella scala di questa variabile. ii) La misura dell orientamento politico è simile a quello dell'intelligenza. Descriviamo gli individui come tendenzialmente di destra o di sinistra, oppure più a destra/sinistra di altri. Implicitamente, in questo linguaggio c è l idea che esista una scala lungo la quale gli individui possano essere posizionati andando dall estrema sinistra all estrema destra. Questa è una scala latente e se si desidera costruire una simile scala saranno necessari opportuni indicatori. Questi possono essere determinati, per esempio, da un indagine in cui viene chiesto quali sono gli atteggiamenti riguardo ad alcune questioni politiche quali la sanità privata, l educazione privata e i sindacati. iii) Per misurare una variabile latente come lo stato socio-economico di una famiglia, è possibile, analogamente, raccogliere informazioni riguardo a reddito, occupazione e livello di istruzione dei membri della famiglia. In ciascuno di questi esempi si è utilizzato un criterio personale di comprensione della variabile latente di interesse per identificare alcune variabili manifeste che, si crede, rivelino qualche cosa riguardo la sottostante variabile latente. In effetti, si è partiti da una variabile latente per poi cercare le variabili manifeste che potessero fungere da indicatori perché già in possesso di un idea su quale potesse essere la variabile latente. Talvolta si procede nella direzione opposta. Per esempio, se si dispone di un indagine multiscopo, si può supporre che il grande numero di dimensioni manifeste, rappresentato dalle diverse decine di domande del questionario, possa essere ridotto a un numero più piccolo di dimensioni, senza che ciò comporti la perdita di informazioni essenziali. Questo secondo approccio è quello seguito usando la PCA. Modelli a variabili latenti I modelli a variabili latenti sono strettamente collegati al modello di regressione. Può essere perciò utile descrivere l idea base dell'analisi fattoriale in termini di analisi di regressione. Un modello di regressione esprime la relazione tra una variabile dipendente e una o più variabili indipendenti o regressori. Nell analisi fattoriale, la relazione di regressione è tra una variabile manifesta e le variabili latenti. In entrambi i casi vengono fatte assunzioni ri-

11 A. Lubisco 7 guardo la distribuzione dei residui o termini di errore in maniera da poter fare inferenza. Il problema essenziale che deve risolvere l'analisi fattoriale è quello di ottenere informazioni sulle variabili latenti, note le manifeste. Dal momento che non è possibile osservare le variabili latenti, è possibile conoscere qualche cosa di questa relazione solo indirettamente. Molte variabili manifeste dipendono spesso dalle medesime variabili latenti e questa dipendenza genera delle correlazioni tra di loro. In effetti, l esistenza di una correlazione tra due indicatori può essere considerata come l evidenza di una sorgente di influenza comune. L obiettivo dell analisi a variabili latenti è di determinare se la dipendenza tra le variabili osservate possa essere spiegata da un piccolo numero di variabili latenti. Come già osservato, i modelli a variabili latenti possono essere impiegati sia in un momento esplorativo per identificare le variabili latenti sottostanti un gruppo di item, sia in un approccio confermativo per verificare se un gruppo di item, costruito per misurare particolari concetti, sia effettivamente in grado di spiegare tale struttura. Ci sono vari tipi di modelli a variabili latenti. Questi modelli si distinguono per il livello di misura delle variabili osservate e per le assunzioni fatte a proposito del livello di misura delle variabili latenti. La seguente tabella mostra una classificazione dei modelli a variabili latenti. Variabili osservate Variabili latenti Metriche Categoriche Metriche Analisi fattoriale Latent trait analysis Categoriche Latent profile analysis Latent class analysis Questa tabella non esaurisce le possibilità perché, per esempio, le variabili manifeste possono essere un mix tra variabili metriche e categoriche. L analisi fattoriale, il primo dei metodi a variabili latenti di cui ci si occupa, è una tecnica appropriata quando tutte le variabili osservate sono su una scala metrica. Il modello fattoriale che è alla base del metodo assume che anche le variabili latenti siano metriche.

12 8 Analisi fattoriale IL MODELLO LINEARE A UN FATTORE Il più semplice modello fattoriale è quello che comprende un solo fattore. Charles Spearman, che inventò l analisi fattoriale, introdusse questo modello nello studio dell intelligenza umana. Si introdurrà il modello tramite un esempio che consentirà di mostrare che quello fattoriale può essere pensato come un sistema di equazioni di regressione nel quale alcune variabili (le variabili latenti) non sono osservate. L analisi fattoriale si pone l obiettivo di spiegare le correlazioni tra un gruppo di variabili manifeste. Queste correlazioni sono spesso spurie, nel senso che non sono dovute all esistenza di un legame causale diretto tra le variabili considerate. Esse talvolta esistono in quanto le variabili in questione hanno una dipendenza comune con una o più altre variabili. Per esempio, il fatto che la lunghezza dei piedi dei bambini sia correlata positivamente con l abilità nello scrivere non significa che dei piedi grandi aiutino i bambini a scrivere meglio. La correlazione è, piuttosto, una conseguenza accidentale del fatto che entrambe le caratteristiche sono correlate con l età: maggiore è l età, più grandi sono i piedi e migliore è l abilità nello scrivere. Quando ci si trova in situazioni analoghe è importante investigare per vedere se è possibile ottenere una spiegazione della correlazione attraverso la comune dipendenza con una o più altre variabili. In alcuni casi ci può essere un candidato ovvio al ruolo di altra variabile. Si supponga, per esempio, che si stia conducendo uno studio sulle spese settimanali fatte da un campione di famiglie su una grande varietà di prodotti: cibo, viaggi, divertimento, vestiti, Si supponga, inoltre, di trovare una correlazione positiva tra un paio di acquisti. Non sarebbe credibile affermare che un alta spesa in vestiti sia causa di alte spese in viaggi. È più plausibile supporre che spese alte di questi prodotti siano una conseguenza del disporre di un alto reddito. Per investigare questa ipotesi si dovrebbero ottenere ulteriori informazioni circa il reddito delle famiglie. Ciò permetterebbe di vede-

13 A. Lubisco 9 re se l ammontare di spesa per ciascun prodotto sia correlato al reddito complessivo, e, se così, se la relazione sia in grado di spiegare la correlazione tra le varie spese. Come si può effettuare questa verifica empiricamente? Una maniera potrebbe essere quella di specificare come ciascuna spesa possa essere legata al reddito. Per avere un idea preliminare su come fare ciò, si può, per esempio, specificare la relazione tra la spesa per il cibo e il reddito. Si supponga che si trovi una relazione pressoché lineare e che si ottenga un risultato analogo per ogni altro item. Si possono perciò scrivere semplici regressioni della forma: C i = α i + β i I + e i (i = 1,, ) dove C i rappresenta la spesa per l i-esimo item, I è il reddito della famiglia, α i e β i rispettivamente l intercetta e la pendenza della retta di regressione ed e i il residuo, specifico per C i con media zero, indipendente da I, che spieghi la variazione residua lungo la retta. Se si trova che questo modello ha un buon adattamento per tutti gli item di spesa, e che i residui e i sono incorrelati tra loro, allora si sarà dimostrato che il reddito è l unico elemento distinguibile determinante per la spesa. Per una quantità specifica di reddito, la spesa per l item i si comporterà come una variabile casuale con media α i + β i I e deviazione standard data dalla deviazione standard di e i. Dal momento che i residui sono indipendenti, tutte le correlazioni tra le variabili osservate vengono rimosse. Infatti considerando gli item i-esimo e j-esimo la correlazione tra C i e C j per un dato reddito I è data da E[(C i E(C i ))(C j E(C j )) I] = = E[(α i + β i I + e i (α i + β i I))(α j + β j I + e j (α j + β j I)) I] = = E[(e i e j ) I] = 0 Se tutto ciò accadesse, si verificherebbe che le reciproche correlazioni tra le spese per i vari articoli sarebbero spiegate dalla comune dipendenza dal reddito. Inoltre, i coefficienti di regressione β i spiegherebbero quanto intensamente ciascun item dipenda dal reddito. In forma generale, nell ambito del modello a un fattore, se si sup-

14 10 Analisi fattoriale pone che p variabili manifeste x 1, x,, x p dipendano per ipotesi da un unico fattore o variabile latente f, la maniera più semplice di esprimere la relazione di ciascuna x su f è tramite il modello lineare x i = λ i f + u i (i = 1,,, p) f è il fattore comune dal momento che è comune a tutte le x i. I residui u i sono i fattori specifici in quanto riferiti ciascuno alla corrispondente x i. Nel modello a un fattore si fanno le stesse ipotesi del modello di regressione: - indipendenza dei fattori specifici u i da f - distribuzione normale, media nulla e deviazione standard σ i degli u i. - si suppone inoltre gli u i siano indipendenti tra di loro per cui le x i sono condizionatamente indipendenti, dato f. Si possono perciò fare delle considerazioni per ciò che riguarda la distribuzione delle x i e in particolare sulle covarianze e correlazioni. Dal momento che f è una variabile non osservata, possiamo sceglierla con le caratteristiche che fanno più comodo, senza che questo influisca sulla forma dell equazione di regressione: f avrà media 0 e deviazione standard unitaria. Ne consegue, disponendo di questo modello, che le covarianze avranno la seguente semplice forma: Cov(x i, x j ) = λ i λ j (i, j = 1,, p; i j) È importante osservare che la covarianza è il prodotto di due numeri, uno dipendente da i e l altro da j. Da ciò è possibile determinare qualche cosa a proposito dei coefficienti di regressione del modello. Per esempio Cov(x 1, x ) Cov(x, x 3 ) / Cov(x 1, x 3 ) = λ è una relazione che serve a determinare λ dalle covarianze. In realtà, è possibile costruire altre espressioni simili a questa per determinare λ. Per esempio, se si sostituiscono gli indici 1 e 3 con qualunque altra coppia di numeri nell intervallo da 1 a p, il risultato sarà il medesimo, cioè λ. Se il modello fosse corretto e conoscessimo le reali covarianze, Cov(x i, x j ), allora le diverse equazioni re-

15 A. Lubisco 11 stituirebbero il medesimo valore del coefficiente di regressione, λ. Dal momento che analizzando dati reali si dispone solamente di stime delle covarianze (indicate con cov(x i, x j ) con la c minuscola), non si avranno identiche stime λˆ i di λ i, anche se il modello è corretto. Tuttavia, se tutte le stime di λ i fossero simili, questo potrebbe suggerire che il modello abbia un buon adattamento. Agli inizi, i modelli fattoriali venivano stimati con metodi molto simili a questo, noiosi da applicare e non facilmente estendibili al caso di più fattori. È però grazie a questo metodo che è possibile determinare i parametri del modello partendo dalle covarianze tra le variabili osservate senza conoscere i valori relativi ai fattori. Nella maggior parte dei casi pratici non ci sono variabili pronte all uso, come il reddito dell esempio precedente (anche se ci fosse, potrebbe essere impraticabile raccogliere l informazione in quanto la domanda potrebbe essere troppo intrusiva). In assenza di simili variabili, ci si deve chiedere se esista qualche variabile latente che possa avere il medesimo ruolo. Che la variabile latente sia o meno una variabile reale, ma comunque non osservabile, o un costrutto, ci si trova davanti alla stessa domanda fondamentale: c è un modo per stimare il modello di regressione appena visto senza conoscere i valori del reddito I? Questo è il problema che l analisi fattoriale si propone di risolvere. Si vedrà che l insieme delle correlazioni non contiene sufficiente informazione per permettere la stima delle relazioni di regressione e quindi di determinare l esistenza di fattori comuni.

16 1 Analisi fattoriale IL MODELLO FATTORIALE Il modello a un fattore può facilmente essere esteso al caso di un numero arbitrario di fattori. Semplicemente si sostituisce l'equazione di regressione con un equazione di regressione multipla. Come già anticipato, l analisi dei fattori, nell aspetto metodologico più generale, si propone di spiegare le correlazioni fra un insieme di p variabili osservate attraverso un numero più esiguo di variabili non osservate (fattori o variabili latenti) tra loro linearmente indipendenti. Le p variabili osservate verranno rappresentate come combinazioni lineari di un numero ridotto m (con m<p) di variabili casuali, chiamate fattori. I fattori sono costrutti sottostanti o variabili latenti che generano le variabili originarie (le variabili osservate). Alla pari delle variabili originarie, i fattori variano da individuo a individuo, ma contrariamente ad esse, i fattori non possono essere misurati o osservati. L esistenza stessa di queste variabili ipotetiche è una questione aperta. Se le p variabili originarie sono almeno moderatamente correlate, la dimensione di base del sistema è inferiore a p. L obiettivo dell'analisi fattoriale è di ridurre la ridondanza di informazione (espressa dalla presenza di correlazione) tra le variabili usando un numero inferiore a p di fattori. Si supponga che la struttura della matrice di correlazione delle variabili osservate sia tale per cui, per un sottoinsieme di variabili, ci sia alta correlazione tra loro stesse e bassa correlazione con tutte le altre. Allora, potrebbe esserci un singolo fattore sottostante che ha dato luogo a quel sottoinsieme di variabili. Se le altre variabili possono essere analogamente raggruppate in sottoinsiemi in base ad analoghe strutture di correlazione, ne segue che un piccolo gruppo di fattori può rappresentare questi gruppi di variabili. In tal caso, le strutture individuabili all interno della matrice di correlazione corrisponderanno direttamente ai fattori. Per esempio, si consideri la seguente matrice di correlazione:

17 A. Lubisco 13 1,00 0,90 0,05 0,05 0,05 0,90 1,00 0,05 0,05 0,05 0,05 0,05 1,00 0,90 0,90 0,05 0,05 0,90 1,00 0,90 0,05 0,05 0,90 0,90 1,00 In questo caso, le variabili 1 e corrispondono a un fattore e le variabili 3, 4 e 5 a un altro fattore. In altri casi, nei quali la matrice non ha strutture di correlazione così semplici, l analisi fattoriale è ancora in grado di partizionare le variabili in gruppi. L idea che sta alla base del metodo è, quindi, che la correlazione tra due variabili X i e X j possa essere spiegata dalla relazione lineare di entrambe con un insieme di m variabili f 1, f f m. Poiché la correlazione parziale tra X i e X j dati f 1, f,, f m, che indichiamo con r ij;1 m rappresenta la correlazione residua tra X i e X j non spiegata dalla loro relazione lineare con tali variabili, si dice che l insieme f 1, f,, f m consente di spiegare in modo adeguato la correlazione osservata tra X i e X j se la correlazione parziale r ij;1 m è prossima a zero, o più precisamente se l ipotesi nulla di una correlazione parziale in popolazione uguale a zero (H 0 : ρ ij;1 m ) non può essere rifiutata. Date p variabili, se un insieme di m variabili f 1, f,, f m spiega completamente i valori al di fuori della diagonale principale della matrice di correlazione R tra le p variabili osservate, la correlazione parziale degli elementi della matrice dei dati, per assegnati valori di f 1, f,, f m deve essere non significativamente diversa da zero. Le variabili X i e X j devono, quindi, essere condizionatamente incorrelate dati i valori di f 1, f,, f m (dove m<p). Questa proprietà di indipendenza locale è condizione necessaria perché l insieme di variabili f 1, f,, f m offra una spiegazione adeguata dei valori di R. Il problema così posto è indeterminato perché le variabili f 1, f,, f m non sono osservabili. Una possibile via per risolverlo è quella di imporre alcune condizioni che limitano il campo a relazioni di tipo lineare tra le variabili osservate e le variabili latenti e imporre inoltre alcune condizioni sulle

18 14 Analisi fattoriale variabili latenti stesse. Quindi, il primo passo dell analisi consiste nella formulazione di un modello appropriato. Nella formulazione più immediata, l analisi fattoriale ipotizza che ciascuna variabile osservata X i dipenda in parte da m fattori comuni a tutte le variabili, f k k = 1,, m, in parte da un fattore specifico u i. Ipotizzando una relazione lineare tra le variabili osservate e i fattori, si definisce un sistema di equazioni del tipo: X 1 = μ 1 + λ 11 f λ 1k f k + + λ 1m f m + u 1 X i = μ i + λ i1 f λ ik f k + + λ im f m + u i X p = μ p + λ p1 f λ pk f k + + λ pm f m + u p dove μ i è la media della variabile X i. La determinazione dei coefficienti λ ik, detti pesi fattoriali, consente di valutare l influenza di ciascun fattore espressa in termini di apporto relativo alla variabilità complessiva del sistema, così da individuare quali tra essi possano ritenersi statisticamente rilevanti. Questo modello somiglia solo in apparenza a quello di regressione multipla. Nel contesto della regressione, infatti, gli f k sono noti, mentre nel caso ora in esame tutti gli elementi a destra dell uguale sono quantità incognite, non direttamente misurabili o osservabili. Sotto certe condizioni è facile verificare che un modello di questo tipo è in grado di spiegare le correlazioni osservate. Si tratta comunque di un modello ed è sempre necessario verificare se tale modello sia in grado di dare una spiegazione adeguata di quanto osservato. La semplicità e l agilità degli sviluppi formali che conseguono l introduzione di alcune ipotesi, cioè a) indipendenza lineare dei fattori b) linearità delle relazioni pur non trovando frequenti riscontri nel contesto fenomenico, ne giustificano la scelta, almeno nella prima fase della ricerca.

19 A. Lubisco 15 Specificazione del modello fattoriale Sia X un vettore aleatorio (di dimensioni px1) con media μ e varianze-covarianze Σ; si definisce modello fattoriale la relazione lineare X = μ + Λf + u dove Λ (pxm) è una matrice di costanti (SONO I PESI FATTORIALI) e f (mx1) e u (px1) sono vettori aleatori. + λ λ λ λ λ λ λ λ λ + μ μ μ = p h 1 m k 1 pm pk p1 hm hk h1 1m 1k 11 p h 1 p h 1 u u u f f f X X X M M M M L L M O M M L L M M O M L L M M M M I vincoli che più frequentemente si impongono sulle componenti del modello sono i seguenti: 1) Le variabili f, i fattori comuni, hanno media zero, varianza unitaria e sono tra loro linearmente indipendenti (equivale a incorrelati) cioè: a) E(f)=0 nullità delle medie aritmetiche dei fattori comuni b) E(ff )=I unitarietà delle varianze dei fattori comuni e incorrelazione a coppie ) Le variabili u, i fattori specifici o specificità, hanno media zero, varianza ψ ii e sono tra loro incorrelate (significa che la correlazione tra le variabili originarie è spiegata completamente dai fattori comuni) cioè a) E(u)=0 nullità delle medie aritmetiche dei fattori specifici b) E(uu )=Ψ (dove Ψ=diag(ψ 11,, ψ pp )) incorrelazione a coppie relativamente ai fattori specifici ψ ψ ψ Ψ = pp hh L L M O M M L L M M O M L L

20 16 Analisi fattoriale N.B. Non ci sono ipotesi sulle varianze, per cui si ha una matrice diagonale in cui tutti gli elementi al di fuori della diagonale principale sono nulli e quelli su di essa non necessariamente uguali. Inoltre, i fattori specifici sono linearmente non correlati anche con i fattori comuni, cioè c) E(fu )=0 incorrelazione a coppie fra i fattori specifici e i fattori comuni 3) Talvolta vengono introdotte anche le seguenti ipotesi: a) I fattori comuni f hanno distribuzione normale multivariata b) I fattori specifici u hanno distribuzione normale multivariata Le ipotesi 3a e 3b implicano che anche le X i abbiano distribuzione normale multivariata e portano al modello fattoriale lineare normale. Le ipotesi b e c implicano che le correlazioni tra le X i siano completamente spiegate dai fattori. E bene sottolineare il diverso significato dell ipotesi di incorrelazione dei fattori comuni e dei fattori specifici. Per assicurare che i fattori comuni siano in grado di spiegare completamente le correlazioni tra le variabili osservate sono determinanti due ipotesi: i) che i fattori specifici siano incorrelati tra loro E(uu )=Ψ (dove Ψ=diag(ψ 11,, ψ pp )) [ipotesi b] ii) che i fattori specifici siano incorrelati con i fattori comuni E(fu )=0 [ipotesi c] Diversamente l ipotesi E(ff )=I [ipotesi 1b], non è fondamentale. Infatti la matrice di varianze-covarianze tra i fattori potrebbe essere una qualunque matrice Σ f simmetrica e definita positiva e, in quanto simmetrica, per la scomposizione di Cholesky esisterà sempre una matrice triangolare inferiore L tale che Σ f = LL. Si dimostra che il vettore f * = L -1 f ha ancora media nulla e matrice di varianze-covarianze uguale alla matrice identità; infatti: E(f * f * ) = E(L -1 ff (L ) -1 ) = L -1 E(ff )(L ) -1 = L -1 Σ f (L ) -1 = L -1 LL (L ) -1 = I

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