ESERCITAZIONI CALCOLO COMBINATORIO

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1 ESERCITAZIONI CALCOLO COMBINATORIO

2 Esercizio 1 (C) La Quinella all ippodromo del luogo consiste nell indicare i cavalli che si classificheranno primo e secondo in una corsa senza riguardo all ordine. Se otto cavalli vengono iscritti ad una corsa, quante combinazioni Quinella ci saranno? È una combinazione senza ripetizione. n 8 cavali totali k 2 posizioni n 8! k k!( n k)! 2!(8 2)! Cn, k 28 Esercizio 2 (C) Una studentessa ha sette libri che vorrebbe sistemare dentro una borsa porta documenti. Tuttavia, ci stanno soltanto quattro libri nella borsa. Senza badare alla sistemazione, quanti modi esistono per sistemare quattro libri dentro la borsa porta documenti? n n totale dei libri 7 k possibilità di disporre 4 libri n 7! k k!( n k)! 4!(7 4)! Cn, k 35 Esercizio 3 (C) Si deve effettuare una lotteria giornaliera e si devono selezionare due numeri vincenti da un totale di 100 numeri. Quante differenti combinazioni di numeri vincenti sono possibili? È una combinazione senza rimessa. n n tot di numeri 100 k classe formata da 2 numeri n 100! k k!( n k)! 2!(100 2)! Cn, k 4950 Esercizio 4 (C) In una classe di 18 maschi e 12 femmine si devono scegliere 3 rappresentanti. Quanti sono i modi possibili se: a) non si impongono condizioni b) vi devono essere 2 maschi e 1 femmina c) vi devono essere 2 femmine e 1 maschio

3 Soluzione: elle combinazioni richieste, n Risposta (a): Giacché i rappresentanti devono essere 3 qualunque, la soluzione è C 30, Risposta (b): La combinazione su 2 maschi è C 18,2 153 mentre la combinazione su 1 femmina è C 12,1 12. La soluzione sarà quindi il prodotto C 18,2 *C 12, Risposta (c): Stessa tecnica. C 12,2 *C 18, Esercizio 5 (C) a un'urna contenente 15 palline rosse e 10 bianche si estraggono contemporaneamente 2 palline. a) In quanti modi può essere effettuata la scelta? b) In quanti modi può essere effettuata la scelta di 2 palline rosse? c) In quanti modi può essere effettuata la scelta di una pallina rossa e di una pallina bianca? Soluzione: Le palline in totale sono Soluzione (a): C 25,2 300 Soluzione (b): C 15,2 105 Soluzione (c): C 15,1 *C 10, Esercizio 6 () Tre soggetti estraggono a turno quattro palline numerate da un urna che ne contiene esattamente quattro, numerate da 1 a 4. opo ogni estrazione il numero viene riportato in una tabella. Alla fine delle estrazioni ci sarà una tabella con tre righe, una per ogni soggetto, e quattro colonne, una per ogni estrazione, contenente tutti i numeri estratti. Quante sono le possibili tabelle che si ottengono se, dopo ogni estrazione, la pallina viene rimessa nell urna? In totale abbiamo estrazioni tra loro indipendenti. Possiamo quindi considerare i risultati possibili come il numero di disposizioni con ripetizione di 4 elementi presi 12 alla volta r , Si supponga ora che l estrazione avvenga nel seguente modo: il primo soggetto esegue le quattro estrazioni senza rimettere le palline nell urna, solo quando ha terminato le palline vengono messe nell urna. A questo punto il secondo soggetto esegue le sue quattro estrazioni nello stesso modo, e così il terzo. Quante sono le possibili tabelle che si ottengono? Per ciascun soggetto le possibili estrazioni sono date dalle disposizioni senza ripetizione di 4 elementi a gruppi di quattro (quindi permutazioni) 4,4 P4 4! 24

4 Ciascuna di queste 24 possibili sequenze può associarsi alle possibili sequenze degli altri soggetti, pertanto il numero di estrazioni possibili sarà Esercizio 7 () La serratura di una camera di sicurezza di una banca è composta da tre quadranti con 30 posizioni per uno. Ognuno dei tre quadranti deve essere nella posizione giusta perché la serratura possa essere aperta. Quante differenti combinazioni di quadranti possibili ci sono per questa serratura? Ci troviamo di fronte ad una disposizione (perché conta l ordine) con ripetizione. n n di numeri di ogni serratura k ampiezza del campione In totale abbiamo 90 numeri, l ampiezza del campione è di 3 numeri. r n, k n k Esercizio 8 () La Big Triple all ippodromo del luogo consiste nell indicare il corretto ordine di arrivo dei cavalli classificati tra i primi tre nella nona corsa. Se ci sono 12 cavalli iscritti alla nona corsa, quanti risultati Big Triple potranno esserci? È una disposizione senza ripetizione. n cavalli totali partecipanti alla corsa 12 k classe formata dalle 3 posizioni n, k n*( n 1)*( n 2)*...*( n k + 1) 12, 3 12*11* nk, ( n k)! 12! 12! (12 3)! 9! , 3 Esercizio 9 () Ad una gara partecipano 20 concorrenti. Quante terne di primi tre classificati si possono formare (nell'ipotesi che non vi siano dei pari-merito)? Soluzione: Richiedere le terne dei primi tre classificati a una gara significa dare importanza all'ordine in cui questi sono giunti al traguardo e ovviamente quando si parla di ordine implica

5 sempre la disposizione. La precisazione "senza pari-merito ", vale a dire senza piazzamenti uguali per nessuno, suggerisce la non ripetitività. Quindi si tratta di disposizioni semplici. 20,3 20*19* In quanti modi diversi 4 persone possono occupare 4 posti fra 7 a disposizione? E se le persone fossero 7? Soluzione: Si tratta di banali disposizioni semplici. Nel primo caso sarà: 7,4 7*6*5* Nel secondo caso: 7,7 7*6*5*4*3*2*1 7! 5040 Esercizio 10 () Quanti numeri di 6 cifre si possono formare se le cifre possono essere ripetute e i numeri non devono iniziare con lo zero? Soluzione: Si tratta di disposizioni con ripetizioni (l'esercizio ci informa infatti che le cifre possono essere ripetute). I numeri di 6 cifre che si possono formare globalmente (anche quei numeri che iniziano con uno 0) sono perciò: n,k n k 10, a questo milione di numeri, però, bisogna togliere quei numeri che iniziano con 0 e che là sono compresi (tipo , eccetera). Quanti sono questi numeri? Semplice: equivalgono a quei numeri disposti (sempre ammettendo ripetizioni e sempre su n10 cifre) ma in gruppi da k5 cifre perché stavolta non consideriamo la prima cifre che è 0. Quindi, la soluzione dell'esercizio sarà: 10,6-10, Esercizio 11 () Quante sono le possibili coppie di numeri che possono uscire in 2 lanci della roulette? Soluzione: Le possibili uscite alla roulette sono 37 perché c'è anche lo 0. Le ripetizioni sono ovviamente ammesse, quindi: 37,

6 Esercizio 12 (P) Un ristoratore apre un nuovo locale; nella sala principale vuole sistemare 15 tavoli su 3 file. I tavoli che possiede sono 6 quadrati, da quattro posti, 5 rotondi, da 6 posti, e 4 rettangolari, da 8 posti ciascuno. Supponendo che voglia mettere in ogni fila solo tavoli dello stesso tipo, quante sono le possibili sistemazioni? Per ciascuna fila l ordine è importante e non c è ripetizione. Pertanto la fila con i tavoli quadrati potrà essere sistemata in P 6 6! modi; la fila con i tavoli rotondi può essere sistemata in P 5 5! modi; infine la fila con i tavoli rettangolari in P 4 4! modi. al momento che anche le tre file possono essere disposte in P 3 3! modi, il numero totale di sistemazioni possibili dei tavolini è dato da: P 3 P6 P5 P4 3!6!5!4! Esercizio 13 (P) Ci sono sei macchine da corsa. Ammettendo che gareggiando e che, nessuna di esse si ritiri dalla corsa, in quanti diversi ordini di arrivo possono piazzarsi le macchine? È una permutazione senza ripetizione. Pn 6! 720 Esercizio 14 (P) Un giardiniere ha sette file disponibili nel suo orto per piazzarci pomodori, melanzane, peperoni, cetrioli, fagioli, insalata e zucche. A ciascuna verdura verrà assegnata una fila ed una fila soltanto. Quanti modi ci sono per posizionare queste verdure nel suo orto? È una permutazione senza ripetizione. Pn 7! 5040

7 Esercizio 15 (P) A una gara partecipano 20 concorrenti. In quanti modi potrebbe essere formata la classifica finale dei 20 concorrenti? Soluzione: Si tratta di permutare i 20 concorrenti, anche perché non è richiesto k. Per cui sarà: P 20 20! * Esercizio 16 (P) Calcolare quanti anagrammi (anche senza significato) si possono formare con le parole VITI, CASSA, ITALIA, NINNOLO. Soluzione: Si tratta di applicare le permutazioni con elementi non tutti distinti. Viti: 2 4! 24 P elementi di ripetono (appaiono 2 I) 2! 2 Cassa: 2,2 5! 120 P elementi + 2 elementi si ripetono (appaiono 2 A e 2 S) 2!*2! 4 Italia: 2,2 6! 720 P elementi + 2 elementi si ripetono (appaiono 2 A e 2 I) 2!*2! 4 3,2 7! 5040 Ninnolo: P elementi + 2 elementi si ripetono (appaiono 3 N e 2 O) 3!*2! 12