1. I Tassi di interesse. Stefano Di Colli

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1 1. I Tassi di interesse Metodi Statistici per il Credito e la Finanza Stefano Di Colli

2 Strumenti (in generale) Un titolo rappresenta un diritto sui redditi futuri dell emittente o sulle sue attività Un obbligazione è un titolo di debito che contiene la promessa di pagamenti periodici per un determinato lasso di tempo Un azione ordinaria è uno strumento finanziario che rappresenta una quota di proprietà in una società 2

3 Mercati (in generale) Mercati monetari (emissioni di importo unitario elevato, rischio di insolvenza ridotto, scadenza massimo a 1 anno) Mercati obbligazionari (obbligazioni pubbliche e corporate) Mercati azionari (regolamentati e OTC) Mercati valutari Mercati dei derivati (regolamentati e OTC) 3

4 Tassi (in generale) Il tasso di interesse rappresenta il costo del credito o la sua remunerazione corrisposta a fronte del prestito di fondi Il tasso di cambio rappresenta il prezzo di una valuta rispetto a un altra 4

5 Capitalizzazione e attualizzazione Gli strumenti di debito danno origine a dei flussi di pagamento in favore degli investitori. Domanda: vale più un euro pagato oggi o un euro pagato fra sei mesi? 5

6 Capitalizzazione e attualizzazione Investo un euro oggi L euro investito oggi è detto capitale L euro più gli interessi che ricevo in futuro è detto montante Domanda: da cosa dipende l entità del montante? Risposta: l entità del montante dipende dal tasso di interesse, dal regime di capitalizzazione e dall orizzonte temporale dell investimento. 6

7 Capitalizzazione e attualizzazione Domanda: qual è il montante di 100 investiti per un anno al 15%? Domanda: qual è il valore attuale di 100 tra un anno dato che il tasso di interesse corrente è 15%? Domanda: è più profittevole un investimento di 100 al 15% per quattro mesi o per un anno? Domanda: è più profittevole un investimento di 100 al 4% per tre mesi o al 15% per un anno? 7

8 Capitalizzazione e attualizzazione In generale: Capitalizzazione Regime Interesse semplice M=C[(1+i k *k)] Regime Interesse composto M=C(1+i k ) k Attualizzazione C=M/[(1+i k *k)] C=M/(1+i k ) k 8

9 Capitalizzazione e attualizzazione Tassi equivalenti: Domanda 1: Se un investimento di 100 frutta 15 in quattro mesi e un altro di 100 ne frutta sempre 15, ma in un anno, qual è più vantaggioso? Domanda 2: Come si misura quanto è preferibile il primo? Si considera il tasso equivalente a un anno del 15% quadrimestrale 9

10 Capitalizzazione e attualizzazione Regime Interesse semplice Regime Interesse composto [(1+15%*3)]=1+i A 1+i A =(1+15%) 3 1+i A =[(1+15%*3)] 1+i A =(1+15%) 3 i A =1+15%*3 1 = 45% i A =(1+15%) 3 1 = 52,87% Tassi equivalenti in generale: Regime Interesse semplice Regime Interesse composto 1+i A =[(1+i k *k)] 1+i A =(1+i k ) k 10

11 Capitalizzazione e attualizzazione Dovendo scegliere tra le quattro seguenti alternative, 1. Tasso di rendimento semestrale del 4,16% 2. Tasso di rendimento quadrimestrale del 2,70% 3. Tasso di rendimento trimestrale del 2,0% 4. Tasso di rendimento biennale del 15,0% quale suggerireste? 11

12 Capitalizzazione e attualizzazione Si consideri un semplice strumento di debito: un prestito Vengono prestati 100 per un anno. Alla fine verrà restituito il capitale più 10 aggiuntivi. Domanda: Qual è il tasso di interesse? i 10 = = 0,10 = 10%

13 Capitalizzazione e attualizzazione La somma dovuta alla scadenza sarà così determinata 100 ( 1+ 0,1) = 110 Se venisse rinnovato il prestito per un altro anno? 110 ( 1+ 0,1) = 100 ( 1+ 0,1) ( 1+ 0,1) = 100 ( 1+ 0,1) 2 = 121 E così via 3 ( ) ( ) ( ) ,1 = ,1 = 133;... ; ,1 n 13

14 Valore attuale Se il tasso di interesse è il 10% é indifferente avere 100 oggi o 110 tra una anno o 121 tra due anni o 133 tra tre anni Qual è il valore attuale di 121 tra due anni? = 2 = 1+ 0,1 1+ 0,1 2 ( ) ( ) Il calcolo del valore attuale di somme che saranno ricevute in futuro è detto sconto. In generale VA n t=1 1 ( + i) = FC t n 14

15 Valore attuale Domanda: qual è il valore attuale di 250 che verranno pagati tra due anni al tasso di interesse del 15%? Riprendendo la formula generale VA = FC n t= t ( + i ) FC= flusso di cassa tra due anni=250 i = tasso di interesse annuo=0,15 n = numero di anni = 2 VA n = 250 = 250 1, 3225 = ( 1+ 0,15) 2 189, 04 15

16 Quattro strumenti del mercato del credito 1. Prestito semplice: il prestatore fornisce al mutuatario un certo ammontare di fondi, rimborsati alla scadenza con l aggiunta di un pagamento supplementare. Esempio: Caso visto in precedenza 16

17 Quattro strumenti del mercato del credito 2. Prestito a rata costante: il prestatore fornisce al mutuatario alcuni fondi che vengono rimborsati periodicamente con rate costanti nel tempo (cosidetto ammortamento alla francese, comprensive di una quota interesse e una quota capitale. Esempio: Si prendono in prestito 1000 e si pagano rate annuali di 126 ogni anno per 25 anni É utilizzato nei prestiti rateali (finanziamenti per acquisti di immobili, mutui ipotecari) 17

18 Quattro strumenti del mercato del credito 3. Obbligazione con cedola (coupon): assicura al proprietario il pagamento di una cedola ogni anno fino alla data di scadenza, quando viene rimborsato il valore nominale (par value). Esempio: Un obbligazione del valore nominale di 1000 frutta una cedola annua di 100 (10 anni). Alla scadenza prevede il rimborso di 1000 É identificata da tre informazioni: la società o l ente che l ha emessa, la data di scadenza, il tasso cedolare. Esempi: Btp, obbligazioni statali e societarie 18

19 Quattro strumenti del mercato del credito 4. Titolo a sconto (obbligazione senza cedola o zerocoupon bond): viene acquistato a un prezzo inferiore al suo valore nominale. Alla scadenza viene rimborsato il valore nominale, senza alcun pagamento di interesse. Esempio: un titolo a sconto con valore nominale di 1000 è acquistato per 900. Dopo un anno al titolare viene rimborsato l intero valore nominale. Sono titoli a sconto i Bot e i titoli senza cedola a lungo termine 19

20 Quattro strumenti del mercato del credito I quattro tipi di strumenti richiedono pagamenti in tempi diversi (alla scadenza per lo zcb, periodici per gli altri) Domanda: Come si fa a determinare quale di questi quattro strumenti garantisce un rendimento maggiore? Per compararli bisogna ricorrere al valore attuale e al tasso di interesse effettivo 20

21 Rendimento effettivo a scadenza Definizione: Il rendimento effettivo a scadenza (yield to maturity) rappresenta quell unico tasso che eguaglia la somma dei valori attuali dei flussi di cassa prodotti da uno strumento di debito al suo valore odierno 21

22 Rendimento effettivo a scadenza Nel caso di un prestito semplice Si prendono in prestito 100 in cambio della restituzione di 110 tra un anno Il rendimento a scadenza si calcola a partire da i = i = 1,10 1= 0,10 = 10% 100 ( 1 ) Nel caso dei prestiti semplici tasso di interesse e rendimento a scadenza coincidono 22

23 Rendimento effettivo a scadenza Nel caso di un prestito a rata costante Si prendono in prestito 1000 in cambio della restituzione di rate annuali da 85,81 per 25 anni Il rendimento a scadenza si calcola a partire da 85,81 85,81 85,81 85, = i 1+ i 1+ i 1+ i Generalizzando C ( ) ( ) ( ) R R R R = = n R 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i 2 3 n ( ) ( ) ( ) t= 1( ) t 23

24 Rendimento effettivo a scadenza Nel caso di un obbligazione con cedola La logica è la stessa vista per il prestito a rata costante Il rendimento a scadenza si calcola uguagliando il suo prezzo corrente alla somma dei valori attuali P C C C C = = n C 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i 1+ i 2 3 n ( ) ( ) ( ) t= 1( ) t Dove C è la cedola al posto della rata 24

25 Rendimento effettivo a scadenza Nel caso di un obbligazione con cedola si parla anche di tasso di rendimento a scadenza (TRES), sotto due ipotesi: 1. il mantenimento del titolo fino alla scadenza 2. reinvestimento dei flussi intermedi (le cedole) a un tasso che è costante e pari al TRES Dove C è la cedola P = n t=1 1 C ( + TRES) t 25

26 Rendimento effettivo a scadenza Il caso specifico di una rendita perpetua: si tratta di un obbligazione perpetua: La formula per il rendimento a scadenza diventa P Dove C è la cedola c = C i c 26

27 Rendimento effettivo a scadenza Nel caso di uno zero coupon bond Si consideri uno zcb che che corrisponde dopo un anno un valore nominale di 1000 a fronte di un prezzo di acquisto di = i i = = ,1% In generale i = V P P 27

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